14.3角平分线 第2课时 角平分线的判定课件 2026-2027学年人教版八年级数学上册

这是一份初中数学全等三角形章节的同步教学课件，围绕角平分线判定定理展开，通过温故知新回顾性质，经历“猜想—证明—辨析—应用”探究过程，结合例题分析性质与判定的区别联系，延伸至三角形内心和旁心，配套分层练习巩固。 资料注重数学思维与核心素养培养，通过猜想证明过程发展推理能力，对比表格清晰呈现性质与判定的互逆关系，结合贸易市场选址等实例强化应用意识，探究三角形内心和旁心培养空间观念，分层练习满足不同学情。能帮助学生深化几何推理能力，为教师提供结构化教学支持。

第十四章 全等三角形 14.3角平分线 第2课时 角平分线的判定 学习目标 1.掌握角平分线的判定定理，能准确区分角平分线的性质定理与判定定理，熟练完成定理的证明与基础应用。 2. 经历 “猜想 — 证明 — 辨析 — 应用” 的探究过程，体会互逆命题的数学思想，提升全等三角形的推理证明能力。 3. 通过三角形三条角平分线交于一点的探究，感知几何图形的对称性，培养严谨的几何推理思维。 教学重点：角平分线判定定理的理解、证明及简单应用。 教学难点：辨析角平分线性质与判定的因果关系，根据题意精准选择定理解题。 角的平分线 作一个角的平分线 角的平分线的性质 图示 的点到 的距离相等. 图示 依据 符号 语言 角的平分线上 角两边 SSS 温故知新 　我们知道，角的平分线上的点到角两边的距离相等。反过来，交换这个性质的题设和结论，你能得到哪一个命题？ 角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上. 探究新知 这个命题是真命题还是假命题呢？如果是真命题，请证明；如果是假命题，请举出一个反例。 猜想：这是一个真命题！ 角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。 B A O D E 已知：PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，且PD=PE. 求证：点P在∠AOB的角平分线上. 证明： 作射线OP， ∴点P在∠AOB 角的平分线上. 在Rt△PDO和Rt△PEO 中， OP=OP（公共边） PD= PE ∵PD⊥OA,PE⊥OB. ∴∠PDO=∠PEO=90° ∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）. ∴∠AOP=∠BOP P . 探究新知 角的平分线的判定方法： 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 应用所具备的条件： （1）位置关系：点在角的内部； （2）数量关系：该点到角两边的距离相等. 符号语言： 如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E，PD=PE， ∴点P在∠AOB的平分线上. 发现新知 图形 已知条件 结论 C 1 2 P D E O C B 1 A 2 P D E OP平分∠AOB PD⊥OA于D PE⊥OB于E PD=PE P D E O B A P D E C 角的平分线的性质和判定的区别与联系 两个定理的条件与结论是相反的！ PD⊥OA于D PE⊥OB于E PD=PE OP平分∠AOB 知识类比 例1.如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰20000）？ D C S 解：作夹角的角平分线OC， 截取OD=2.5cm ,D即为所求. O 例题分析 例2. 解：∵AD是△ABC的角平分线，DC⊥AC于点C，DE⊥AB于点E， ∴DE＝CD＝4 cm. ∵AC＝BC，∴∠B＝∠BAC. ∵∠C＝90°，∴∠B＝ ×90°＝45°. ∴∠BDE＝90°－45°＝45°，∴BE＝DE. 在等腰直角三角形BDE中， BD＝ ∴AC＝BC＝CD＋BD＝(4＋4 ) (cm). 例题分析 例3.已知：如图，P是∠AOB平分线上的一点，PC⊥OA,PD⊥OB, 垂足分别为C,D.求证：（1）OC=OD;（2）OP是CD的垂直平分线 证明:(1)∵OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C,PD⊥OB于点D ∴PC=PD 在Rt△COP和Rt△DOP中， ∵ OP=OP PC=PD ∴Rt△COP≌Rt△DOP(HL) ∴OC=OD (2)由(1)知OC=OD ∴△COD是等腰三角形 又∵OP是∠AOB的平分线(三线合一) ∴OP是CD的垂直平分线 例题分析 活动1 分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三个内角的平分线，你发现了什么？ 发现：三角形的三条角平分线相交于一点 探究新知 活动2 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组垂线段，你发现了什么？ 发现：这个交点到三角形三边的垂线段相等 你能证明这个结论吗？ 观察与猜想 已知：点P是△ABC的两条角平分线BM、CN的交点，过点P分别作AB、 BC、AC的垂线，垂足分别是D、E、F。 求证：∠A的平分线经过点P，且PD=PE=PF。 证明：∵BM是△ABC的角分线，点P在BM上， F D A C B M N P E ∴PD=PE 同理，PE=PF ∴PD=PE=PF. ∴点P在∠A的平分线上 即∠A的平分线经过点P (角平分线上的点到角两边的距离相等) 求证：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。 （角的内部到角的两边距离相等的点， 在这个角的角平分线上） 证明新知 D E F A B C P N M 发现新知 结论1.三角形的三条内角平分线交于一点，这一点叫三角形的内心。 结论2.三角形的内心都在三角形内部， 并且到三边的距离相等。 新知迁移 思考：三角形的一条内角平分线与另外两个外角的角平分线是否也交于一点？这一点又有什么性质呢？ 如图，已知∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F， 求证：点F在∠DAE的平分线上． 证明： 过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M. ∵点F在∠BCE的平分线上， 　　　　 FG⊥AE， FM⊥BC，垂足为G、M ∴FG＝FM. 又∵点F在∠CBD的平分线上， 　　　　FH⊥AD， FM⊥BC， ∴FM＝FH， ∴FG＝FH. ∴点F在∠DAE的平分线上.　 G H M A B C F E D 新知迁移 三角形的一条内角平分线与另外两个外角的角平分线交于一点（旁心），这一点到三角形三边所在直线的距离相等。 图形 已知条件 结论 C 1 2 P D E O C B 1 A 2 P D E OP平分∠AOB PD⊥OA于D PE⊥OB于E PD=PE P D E O B A P D E C 1.角的平分线的性质和判定的区别与应用 PD⊥OA于D PE⊥OB于E PD=PE OP平分∠AOB 课堂小结 2.三角形的内心和旁心的定义和性质 1.如图(1)，PD⊥OA,PE⊥OC,若 PD=PE,∠POC=30°，则∠AOC的度数 D E A C P O 2.如图，PM⊥AB于M,PN⊥AC于N,PM=3,当PN= 时，点P在∠BAC的平分线上 C B M A N P (2) (1) 60° 3 分层练习 3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB于点E.若CD＝3，则DE的长为 ( )  A. 1.5 B．3 C．4 D．6 B 分层练习 4.如图，点F在射线OA上，∠EFA＝30°，点E在∠AOB的平分线上，EC⊥OB，EC＝4.如果EF∥OC，那么△OFE的面积是 ( ) A. 4 B．8 C．16 D．18 C 5.如图，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE，CF相交于点D.若BD＝CD， 求证：AD平分∠BAC. 证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB， ∴∠DEC＝∠DFB＝90°. 又∵∠CDE＝∠BDF，CD＝BD， ∴△DEC≌△DFB(AAS). ∴DE＝DF. 又∵DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F ∴AD平分∠BAC. 分层练习 6.已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线．求证：BD＝2CD. 证明：如图，过点D作DE⊥AB于点E. ∵AD是△ABC的角平分线，∠C＝90°，DC⊥AC于点C， ∴DE＝CD. 在Rt△BDE中，∠B＝30°， ∴BD＝2DE.∴BD＝2CD. 分层练习 解：当AD与EF满足AD垂直平分EF时， AD是△ABC的角平分线．理由如下： 如图，设AD与EF相交于点G. ∵AD垂直平分EF， ∴∠EGD＝∠FGD＝90°，EG＝FG. 7.如图，在△ABC中，点D在BC上，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，连接AD，EF.当AD与EF满足什么条件时，AD是△ABC的角平分线？为什么？ 分层练习 又∵GD＝GD， ∴△EGD≌△FGD(SAS). ∴ED＝FD. 又∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F， ∴点D在∠BAC的平分线上． ∴AD是△ABC的角平分线． P1 P2 P3 P4 l1 l2 l3 8.如图, 直线l1、l2、l3表示三条互相交叉的公路, 现要建一个货物中转站, 要求它到三条公路的距离相等, 可选择的地址有几处? 画出它的位置. 分层练习 答：可选择的位置有四处，如右图点P1、P2、P3、P4所示 $