第四章《 投影与视图》单元能力练习 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 北师大版数学九年级上册《投影与视图》单元卷，通过选择、填空、解答题（30+18+72分），融合科技（东风导弹三视图）、文化（《孙子算经》影长）等情境，考查空间观念、几何直观与应用意识，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|三视图判断（如第2题东风导弹三视图辨析）、几何体还原（如第9题小立方块个数）|结合科技情境，基础巩固与空间想象并重| |填空题|6/18|投影计算（如第16题《孙子算经》影长问题）、表面积求解（如第12题三视图表面积）|融入文化素材，考查抽象能力与运算能力| |解答题|6/72|中心投影实践（如第19题木棒投影探究）、综合作图与证明（如第20题投影生成轴对称图形）|设计分层探究任务，发展推理意识与创新应用|

第四章《 投影与视图》单元能力练习 2026-2027学年北师大版数学九年级上册 一、选择题（每题3分，共30分） 1．如图所示的几何体，其主视图是（　　） A． B． C． D． 2．图1是纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式现场，东风-5C液体洲际战略核导弹首次亮相，其打击范围可覆盖全球.图2是东风-5C导弹的部分示意图，关于其三视图，下列说法正确的是（　　） A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都不相同 3．一个几何体的三视图如图所示，这个几何体可能是（　　） A． B． C． D． 4．下图是由五个大小相同的正方体搭成的几何体，它的左视图是（　　） A． B． C． D． 5．如图所示的几何体，其俯视图是（　　） A． B． C． D． 6．如图是某物体的三视图，则此物体侧面展开图面积是（　　） A．cm B．cm C．cm D．cm 7．由5个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图为（　　） A． B． C． D． 8．如图，正方形ABCD边长为2，以AB所在直线为轴，将正方形ABCD旋转一周，所得圆柱的主视图的面积为（　　） A．8 B．4 C．8π D．4π 9．一个由相同小立方块搭成的几何体，从正面、左面、上面看到的形状图如图所示，则搭成这个几何体的小立方块的个数为（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 10．如图，在一间黑屋子里，用一盏白炽灯照射直角三角板形成影子，三角板始终保持与地面平行，它向白炽灯靠近的过程中（不与光源接触），下列说法正确的是（　　） A．越来越大 B．影子不是直角三角形 C．影子越来越小 D．影子越来越大 二、填空题（每题3分，共18分） 11．一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，如图分别是从它的正面、上面看到的形状图，那么搭成该几何体至少需用小立方块　 　个． 12．某几何体是由棱长为1cm的小正方体组合而成，下图是这个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是　 　cm2. 13．如图所示，地面上铺了一块长方形地毯ABCD，因使用时间长而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面直径为，已知，，一只蚂蚁从A点爬到C点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走　 　m的路程． 14．如图，在直角坐标系中，点是一个光源．木杆两端的坐标分别为，．则木杆在轴上的投影长为　 　． 15．露营越来越受大众喜爱．如图是一个帐篷的示意图，其高，某时刻帐篷顶端E在阳光下的影子为点F，，交于点G，，在同一时刻，附近一根长为的标杆在地面的影长为，则为　 　． 16．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其有题译文如下：“有一根竹竿在太阳下的影子长15尺．同时立一根1.5尺的小标杆，它的影长是0.5尺．如图所示，则可求得这根竹竿的长度为　 　尺． 三、解答题（共6题，共72分） 17．在平整的地面上，有一个由7个完全相同的小立方块搭成的几何体，每个小正方体的棱长均为10cm，如图所示． （1）请画出这个几何体的主视图和左视图； （2）如果在这个几何体上再摆放一个相同的小正方体，并保持这个几何体从正面看和从上面看到的形状图不变，最多添加_______小正方体； （3）将原几何体露出的表面部分（不含底面）涂成红色，那么红色部分的面积为多少？ 18．如图，这是由几个大小相同的小正方体所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置上小正方体的个数． （1）请在方格图中，画出该几何体的主视图和左视图． （2）若现在你的手头还有一些相同的小正方体可添放在几何体上，要保持主视图和左视图不变，则最多可以添加个　 　小正方体． 19．数学实践小组利用一盏台灯和一根木棒，开展中心投影的实践活动．如图，他们将一块透明板水平放置，使透明板面与地面平行，台灯底座中心点为点 P，并测得点光源O到板面的垂直距离OM为60cm，点光源O到地面的垂直距离ON为96cm，木棒AB的长度为20cm．实践小组的相关探究如下： （1）实践探究一： 如图1，将木棒AB水平放置于板面上，AB在直线 PM上．在灯光照射下，木棒AB在地面上形成的投影为CD．从点M出发，将木棒沿PM方向平移，观察其投影CD长度的变化情况． ①请判断CD长度的变化情况为： ▲ ： A.逐渐变长 B.逐渐变短 C.不变 ②请证明①的结论： （2）实践探究二： 如图2，将木棒AB垂直放置于板面上，在灯光照射下，木棒AB在地面上形成的投影为CD．从点M出发，将木棒沿PM方向平移，观察其投影CD长度的变化情况． ①请判断CD长度的变化情况为： ▲ . A.逐渐变长 B.逐渐变短 C.不变 ②当木棒AB平移至某处时，MA=20cm，请计算此时投影CD的长度． 20．综合与实践 主题：利用投影生成轴对称图形． 素材：一根5米长的木棍倾斜固定在半空，点离地面高度为4米，，之间的水平宽度为4米．如图（1），白天的某一时刻，阳光下（图中虚线为太阳光线）木棍在地面上投影为（点，的对应点分别为，）．如图（2），点的正上方有一路灯，夜晚在路灯的照射下木棍在地面上的投影为（点，的对应点分别为，）． 操作与探究： （1）分别在图（1）、图（2）中画出木棍在地面上的投影和；（用直尺作图，线条用实线） （2）在（1）的条件下，测得米，为验证木棍，投影线，，影长组成的四边形是轴对称图形，请你帮助证明； （3）在（1）的条件下，发现图（2）中木棍，投影线，，影长组成的四边形也是轴对称图形，请求出路灯距地面的高度． 21．某数学学习小组学习完四边形后进行了如下探究，已知四边形为矩形，请你帮助他们解决下列问题： （1）【初步尝试】：他们将矩形的顶点、分别在如图（1）所示的的边、上，顶点、恰好落在的对角线上，求证：； （2）【深入探究】：如图2，若为菱形，，若，求的值； （3）【拓展延伸】：如图（3），若为矩形，；且，请直接写出此时的值是________（用含有，的代数式表示）． 22．某班计划用一些长方形的卡纸，为同学们制作棱长为的正方体心愿语盒（有盖）．设计组参照图1的两款心愿语盒，分别设计了如图2所示的两种对应的展开图（不考虑接缝）以供选择，但设计稿还没完全画完． 材料组准备了图3的三种类型的卡纸供选择，规格如表： 卡纸型号 型号I 型号II 型号Ⅲ 卡纸规格（单位：） （如图1网格） 任务一：（1）请帮设计组在图2中把两张设计稿补充完整（各一种方案即可）； 任务二：（2）设计组在对型号的卡片进行设计时发现此卡片如果用来做边长为正方体纸盒只能做1个，利用率不高，所以打算用型号的卡片来做一个有盖的长方体纸盒（不考虑接缝），由于卡片已经被制作组的成员在左上角减去了一个边长为的正方形纸片，所以制作组想干脆做一个深度为的体积尽量大的长方体纸盒，请你在图中画出设计稿（减去的部分打阴影，棱长用实线描出），并算出这个纸盒的体积． 任务三：①型号II的卡片最多可以剪出___________个图1的心愿语盒的展开图； ②型号III的卡片最多可以剪出___________个图1的心愿语盒的展开图，请你在型号III的卡纸上，画出此方案（只画外轮廓即可）． 答案解析部分 1．【答案】A 【解析】【解答】解： 该棱柱正面能看到左右并列两个矩形，中间有一条竖直实线分隔 ， 对照选项，可以确定为A. 故答案为：A. 【分析】 主视图是从题目标注的主视方向正向观察几何体得到的视图，结合几何体的样式，确定即可. 2．【答案】B 【解析】【解答】解：东风洲际导弹的三视图为： 所以主视图与俯视图相同，左视图与俯视图和主视图不相同． 故答案为：B． 【分析】作出简单组合体的三视图，逐项判断解答即可． 3．【答案】D 【解析】【解答】解：由题意可得： 这个几何体可能是 故答案为：D 【分析】根据几何体三视图即可求出答案. 4．【答案】A 【解析】【解答】解：它的左视图是． 故选：A． 【分析】根据组合体的三视图即可求出答案. 5．【答案】A 【解析】【解答】解：从正上方看，该几何体的小正方体分布为2 行 3 列。第一行（靠近观察者的一行）：有 3 个小正方体，分别位于第 1、2、3 列。 第二行（远离观察者的一行）：只有 1 个小正方体，位于第 3 列。 A、呈现 2 行 3 列布局，第一行 3 个，第二行第 3 列 1 个，与上述观察结果一致，故A符合题意 ； B、列数不足 3 列，故B不符合题意 ； C、第二行出现 2 个小正方体，故C不符合题意 ； D、第二行无小正方体，故D不符合题意 ； 故答案为：A。 【分析】先明确俯视图是从正上方观察几何体得到的平面图形，再确定小正方体的行列分布与数量，最后对比选项，选出与实际分布一致的图形。 6．【答案】C 【解析】【解答】解：由三视图可知圆锥的底面半径为4cm，高为8cm，所以母线长为cm， 所以侧面积为rl＝×4×4cm， 故答案为：C． 【分析】由三视图可以确定这个几何体为一个圆锥，底面半径为4cm，高为8cm，故母线长为4cm，再根据侧面积即可求出答案. 7．【答案】D 【解析】【解答】解：从上边看，可得俯视图如下： 故选：D． 【分析】根据俯视图定义（从上边看得到的平面图形）即可解答． 8．【答案】A 【解析】【解答】解：由题意可得该圆柱底面半径为2，高为2， ∴该圆柱体的主视图就是一个长为4，宽为2的矩形， ∴该圆柱的主视图的面积为4×2=8. 故答案为：A. 【分析】根据面动成体可得以AB所在直线为轴，将正方形ABCD旋转一周，所得圆柱底面半径为2，高为2，进而根据圆柱的主视图是一个矩形，且主视图反映的是几何体的宽与高，故该圆柱体的主视图就是一个长为4，宽为2的矩形，最后根据矩形的面积计算公式计算可得答案. 9．【答案】B 【解析】【解答】解：从上面看最底层有4个小立方体，由正面看可得有2层，上面一层是1个小立方体，从左面看，一列是1个小立方体，另一列有2个小立方体，如下图所示： ∴搭成这个几何体的小立方块的个数是4+1=5个， 故选：B． 【分析】 本题考查根据从不同方向看到几何体的图形，判断组成几何体立方块的个数．根据从上面看到的图形，得出最底层小立方体2行，前面一行靠左边只有一块，第2行3块，共4块，再根据从正面和左面看到的图形得出有2层，结合上面看到的下面一层4块，上面一层1块，所以总块数是5块 10．【答案】D 【解析】【解答】解：A、根据位似图形的性质可得，位似角大小始终保持不变，该选项错误，故不符合题意； B、根据位似图形的性质可得，影子是直角三角形，该选项错误，故不符合题意； C、 根据位似图形的性质可得，影子越来越大，该选项错误，故不符合题意； D、根据位似图形的性质可得，影子越来越大，该选项正确，故符合题意； 故选：D． 【分析】本题主要对中心投影，相似三角形，位似图形的性质进行考查． 11．【答案】6 【解析】【解答】解：根据主视图可得，俯视图第一列中至少一处有2层， 所以该几何体至少是用6个小立方体搭成的， 故答案为：6． 【分析】根据三视图的定义求解即可。 12．【答案】14 【解析】【解答】解：综合三视图分析，该几何体仅有1层，包含前后两排：前排有2个小正方体，后排有1个小正方体，总计3个小正方体。 几何体的表面积可通过三视图面积之和的2倍计算： 主视图有2个正方形面，左视图有2个正方形面，俯视图有3个正方形面， 单个正方形面积为， 因此总表面积为。 故答案为： 【分析】本题考查由三视图判断几何体并计算表面积。先根据三视图还原几何体的堆叠方式，确定小正方体的数量与位置；再利用“几何体表面积等于三视图面积和的2倍”的规律，分别统计三个视图中的正方形面数，计算后乘以2即可得到总表面积。 13．【答案】26 【解析】【解答】解：如图，将中间半圆柱的凸起展平，图形长度增加半圆周长， 原图长度增加， 则， 连接AC， ， 故答案为：26． 【分析】将中间半圆柱的凸起展平，使原来的长方形长增加而宽不变，再利用勾股定理求出新矩形的对角线长即可. 14．【答案】6 【解析】【解答】解：如图，延长、分别交轴于点、，作轴于点，交于点， ， ，木杆两端的坐标分别为，， ∴D（2，1），E（0，1） ，，， ，， ，即， ， 木杆在轴上的投影长为， 故答案为：． 【分析】先根据P、A、B的坐标，确定D、E的坐标，然后确定PD、PE、AB的长度，再根据，列出相似比，最后即可求出。 15．【答案】3 【解析】【解答】解：，， ∴2：OF=1：2，解得：， （m）． 故答案为：3． 【分析】根据平行投影，列出比例式求得OF，再利用线段差求出的长． 16．【答案】45 【解析】【解答】解：设这根竹竿的长度为x尺， 根据题意得， 解得x=45， 故答案为：45． 【分析】根据同一时刻，物高与影长成正比例计算即可． 17．【答案】（1）解：如图所示； （2）2 （3）解： 答：将原几何体露出的表面部分（不含底面）涂成红色，那么红色部分的面积为． 【解析】【解答】解：（2）添加的位置如图所示， 故答案为：2. 【分析】（1）根据三视图的作法，分别找出主视图的列数及每列小正方形数目；左视图列数及每列小正方形数目，据此画出图形； （2）根据从上面看和从左面看到的形状图不变解答即可； （3）用露出面的个数乘一个面的面积即可． （1）如图所示； （2）添加的位置如图所示， 故答案为：2； （3）答：将原几何体露出的表面部分（不含底面）涂成红色，那么红色部分的面积为． 18．【答案】（1）解：如图所示： （2） 【解析】【解答】解：（2）解：如图所示：保持主视图和左视图不变，则最多可以添加1个小正方体． 【分析】本题以俯视图标数字的形式为背景，考查了根据俯视图及小正方体个数画主视图、左视图，以及在保持主视图和左视图不变的前提下确定最多可添加小正方体的数量。 （1）根据俯视图中每列的最大数字确定主视图各列高度，根据每行的最大数字确定左视图各列高度； （2）在俯视图每个位置上分析能否增加正方体而不改变该位置在正面与左面投影的最高层数，找出可添加的位置及数量。 19．【答案】（1）解：①C ②∵AB∥CD， ∴△OAB∽△OCD， 又∵OM⊥AB， ON⊥CD， ∵OM， ON， AB不变， ∴将木棒AB沿PM方向平移，其投影CD长度不变． （2）解：①A ②∵∠AEB=∠MEO， ∠BAE=∠OME=90°， ∴△BAE∽△OME， ∴设AE=x， 则ME=x+20， 解得AE=x=10 ∵AE∥CD， ∴△OAE∽△OCD. 即 ∴CD=16； 【解析】【解答】（1）①解： ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵、、不变， ∴长度不变， ∴将木棒沿方向平移，其投影长度不变， 故答案为：C； （2）①解：∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵从点M出发，将木棒沿方向平移， ∴长度逐渐变长， ∵、、不变， ∴长度逐渐变长， 故答案为：A； 【分析】本题考查中心投影的特点及相似三角形的判定与性质的综合应用，核心是将中心投影问题转化为相似三角形问题求解。 （1）①木棒水平放置时，，结合中心投影的性质可证 ，相似三角形对应边成比例，即 ，由于 、、 均为定值，因此 的长度不变； ②通过证明 ，利用相似比推导得出 ，进一步验证 为定值； （2）①木棒垂直放置时，，可证 ，得出 ，再由 证 ，得到 ，当木棒沿 方向平移时， 逐渐变长，因此 逐渐变长，进而 逐渐变长； ②根据①中的相似三角形关系，先代入 等已知条件求出 的长度，再将 的值代入 中，即可计算出投影 的长度。 20．【答案】（1）解：如图，线段与线段为所求作图形； （2）证明：如图，过点作交于点． 则， 依题意 四边形为平行四边形． 米， 又米， ， ，即 （3）解：如图，路灯在点正上方． ，，三点在同一直线上，且， 过点作于点，于点， 则四边形是矩形． 米，米 米，米． 四边形是轴对称图形， （米）． ， 米 （米） 答：路灯距地面高度为米. 【解析】【分析】(1)根据平行投影（太阳光线平行）和中心投影（灯光从点发出）的定义作图即可； (2)本题考察平行四边形的判定与性质及轴对称的性质。过作交于，因为，所以四边形是平行四边形，米；又米，故，所以，又，因此。 (3)本题考察中心投影、轴对称的性质及相似三角形的应用。由轴对称性得，过作于，于，则四边形是矩形，米，米，米。证明，由，即，解得米，故路灯高度米。 （1）解：如图，线段与线段为所求作图形； （2）证明：如图，过点作交于点． 则， 依题意 四边形为平行四边形． 米， 又米， ， ，即 （3）解：如图，路灯在点正上方． ，，三点在同一直线上，且， 过点作于点，于点， 则四边形是矩形． 米，米 米，米． 四边形是轴对称图形， （米）． ， 米 （米） 答：路灯距地面高度为米. 21．【答案】（1）证明：∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图（2），连接，交于， 由（1）可知，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵矩形， ∴， ∵为菱形，， ∴，，，， ∴，， ∴， 如图（2）作于， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ​​​​​​ （3） 【解析】【解答】（3）解：∵为矩形，；，由勾股定理得，， 如图（3），连接，作于， 同理（2）可知，， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【分析】（1）先利用“AAS”证出，再利用全等三角形的性质可得BH=DF，再利用线段的和差及等量代换可得BF=DH； （2）连接，交于，作于，先求出，可得，再求出即可； （3）连接，作于，先证出，可得，即，再求出，结合，最后求出即可. （1）证明：∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图（2），连接，交于， 由（1）可知，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵矩形， ∴， ∵为菱形，， ∴，，，， ∴，， ∴， 如图（2）作于， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：∵为矩形，；， 由勾股定理得，， 如图（3），连接，作于， 同理（2）可知，， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 22．【答案】解：（1）补全设计稿如图所示：（答案不唯一）； （2）解：由题意，设计稿如图所示， 长方体的长为，宽为，高为，体积为； （3）①3； ②4，如图： 【解析】【解答】 解：（3）①如图，型号II的卡片最多可以剪出个图①的心愿语盒A的展开图；最多可以剪出3个图①的心愿语盒B的展开图； 故答案为：3 ②观察图形可得：型号III的卡片最多可以剪出4个图1的心愿语盒的展开图； 故答案为：4 【分析】 （1）根据正方体的展开图，画出A，B的展开图解答即可； （2）根据长方体的展开图补全设计稿，然后观察图形可得长方体的长为，宽为，高为根据长方体的体积公式进行计算即可解答； （3）分别在型号II的卡片和型号III的卡片上画出图形，然后根据观察图形可得型号III的卡片最多可以剪出4个图1的心愿语盒的展开图，解答即可． 学科网（北京）股份有限公司 $