2.3一元二次方程根与系数关系 同步练习 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程根与系数关系，通过基础直接应用、中档综合变形、提高综合解答三层设计，构建从单一到综合的知识巩固路径，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|韦达定理直接应用|选择1-3题直接求两根和与积，夯实概念理解| |中档|代数式变形与方程根定义结合|选择7题、填空9题综合方程根的定义，提升推理能力| |提高|判别式与韦达定理综合应用|解答13-17题含证明与参数求解，发展综合应用能力|

2.3一元二次方程根与系数关系 同步练习 2026-2027学年北师大版数学九上 一．选择题（共8小题） 1．一元二次方程2x2+x﹣2＝0两根之积为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．2 D． 2．已知关于x的一元二次方程x2﹣3kx+4＝0的两个根为x1，x2，且满足x1+x2＝x1•x2，则k的值为（　　） A． B． C． D． 3．若m，n是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个根，则mn+m+n的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1 4．若一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个实数根分别为x1，x2，则的值为（　　） A． B． C． D．2 5．设a，b是关于x的一元二次方程x2﹣x﹣2026＝0的两个实数根，则a2b+ab2的值为（　　） A．2026 B．2027 C．﹣2026 D．﹣2025 6．已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣3＝0的两实数根分别为x1和x2，则的值等于（　　） A． B． C． D． 7．已知m，n是方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根，则m2+4m+2n＝（　　） A．1 B．10 C．﹣1 D．﹣10 8．小安同学发现：关于x的两个一元二次方程：①ax2+bx+c＝0，②﹣ax2+bx﹣c＝0（a，b，c均为常数，且a≠0）的解存在某个数量关系．若已知a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0的解为x1＝2，x2＝﹣3，则方程﹣ax2+bx﹣c＝0的解为（　　） A．x1＝1，x2＝﹣4 B．x1＝﹣1，x2＝4 C．x1＝3，x2＝﹣2 D．x1＝﹣3，x2＝2 二．填空题（共4小题） 9．设α，β是方程x2﹣3x﹣5＝0的两根，则α2+2β2﹣3β的值为　 　 ． 10．已知m、n是一元二次方程x2﹣3x﹣6＝0的两个根，则m2﹣mn+n﹣2m的值为　 　 ． 11．已知x1、x2方程x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根，则的值是　 　 ． 12．已知方程x2﹣2026x+1＝0的两个根分别为x1，x2，则的值为　 　 ． 三．解答题（共5小题） 13．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣k＝0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）若该方程的两个不相等的实数根分别为x1，x2，且满足x1+x2＝x1x2﹣3，求k的值． 14．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+m+4＝0有两个实数根x1，x2． （1）求m的取值范围； （2）若3x1＝x2+2，求m的值． 15．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m（m+4）＝0． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若方程的两根为x1，x2，求的值． 16．已知关于x的一元二次方程x2+mx+3x+m＝3． （1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为4，求m的值以及另一个根． 17．关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2． （1）求实数k的取值范围； （2）若方程两实数根满足|x1+x2|＝x1x2.，求k的值 2.3一元二次方程根与系数关系 同步练习 2026-2027学年北师大版数学九上 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．一元二次方程2x2+x﹣2＝0两根之积为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．2 D． 【解答】解：方程的两根之积为． 故选：B． 2．已知关于x的一元二次方程x2﹣3kx+4＝0的两个根为x1，x2，且满足x1+x2＝x1•x2，则k的值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由条件可知：x1+x2＝3k，x1•x2＝4， ∵x1+x2＝x1•x2， ∴3k＝4， 解得：， 验证判别式：Δ＝（﹣3k）2﹣4×1×4＝0，符合要求， 故k的值为． 故选：A． 3．若m，n是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个根，则mn+m+n的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1 【解答】解：根据根与系数的关系得m+n＝1，mn＝﹣1， 所以mn+m+n＝﹣1+1＝0． 故选：C． 4．若一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个实数根分别为x1，x2，则的值为（　　） A． B． C． D．2 【解答】解：由条件可知两根满足，， 在方程x2﹣4x+3＝0中，a＝1，b＝﹣4，c＝3， ∴，， 又∵， 代入x1+x2＝4，x1x2＝3， 得． 故选：C． 5．设a，b是关于x的一元二次方程x2﹣x﹣2026＝0的两个实数根，则a2b+ab2的值为（　　） A．2026 B．2027 C．﹣2026 D．﹣2025 【解答】解：由题知， 因为a，b是一元二次方程x2﹣x﹣2026＝0的两个实数根， 则，， 所以a2b+ab2＝ab（a+b）＝﹣2026×1＝﹣2026． 故选：C． 6．已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣3＝0的两实数根分别为x1和x2，则的值等于（　　） A． B． C． D． 【解答】解：若 x1，x2 是方程的两个实数根，则 ，， 已知方程为 3x2+4x﹣3＝0， ∴a＝3，b＝4，c＝﹣3， ∴，， 又∵， 代入得：． 故选：A． 7．已知m，n是方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根，则m2+4m+2n＝（　　） A．1 B．10 C．﹣1 D．﹣10 【解答】解：由题知， 因为m，n是方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根， 所以m+n＝﹣2，m2+2m﹣5＝0， 则m2+2m＝5， 所以m2+4m+2n＝m2+2m+2（m+n）＝5﹣4＝1． 故选：A． 8．小安同学发现：关于x的两个一元二次方程：①ax2+bx+c＝0，②﹣ax2+bx﹣c＝0（a，b，c均为常数，且a≠0）的解存在某个数量关系．若已知a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0的解为x1＝2，x2＝﹣3，则方程﹣ax2+bx﹣c＝0的解为（　　） A．x1＝1，x2＝﹣4 B．x1＝﹣1，x2＝4 C．x1＝3，x2＝﹣2 D．x1＝﹣3，x2＝2 【解答】解：设y＝x﹣1， ∴y1＝2﹣1＝1，y2＝﹣3﹣1＝﹣4， 即ay2+by+c＝0的解为y1＝1，y2＝﹣4， 对方程﹣ax2+bx﹣c＝0两边同乘﹣1，得ax2﹣bx+c＝0， 即a（﹣x）2+b（﹣x）+c＝0， 令z＝﹣x，可得az2+bz+c＝0， ∴该方程的解为z1＝1，z2＝﹣4， 即﹣x1＝1，﹣x2＝﹣4， 解得x1＝﹣1，x2＝4． 故选：B． 二．填空题（共4小题） 9．设α，β是方程x2﹣3x﹣5＝0的两根，则α2+2β2﹣3β的值为　24　 ． 【解答】解：由条件可知： ， ∴原式＝3α+5+2（3β+5）﹣3β ＝3α+3β+15 ＝24， 故答案为：24． 10．已知m、n是一元二次方程x2﹣3x﹣6＝0的两个根，则m2﹣mn+n﹣2m的值为　15　 ． 【解答】解：由一元二次方程根的定义得m2﹣3m﹣6＝0，即m2＝3m+6， 由根与系数的关系得m+n＝3，mn＝﹣6， 将m2＝3m+6代入所求代数式得： m2﹣mn+n﹣2m＝3m+6﹣mn+n﹣2m＝m+n﹣mn+6＝3﹣（﹣6）+6＝15 ＝m+n﹣mn+6 ＝3﹣（﹣6）+6 ＝15． 故答案为：15． 11．已知x1、x2方程x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根，则的值是　﹣2014　 ． 【解答】解：∵x1、x2方程x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝3，且x3x1﹣2＝0， ∴x3x1+2， ∴x3x2﹣2025 ＝3x1+2+3x2﹣2025 ＝3（x1+x2）+2﹣2025 ＝3×3+2﹣2025 ＝﹣2014， 故答案为：﹣2014． 12．已知方程x2﹣2026x+1＝0的两个根分别为x1，x2，则的值为　﹣1　 ． 【解答】解：由条件可知， ∴． ∵x1，x2是方程x2﹣2026x+1＝0的两根， ∴x1x2＝1， ∴， ∴． ∴ ＝（2026x1﹣1）﹣2026x1 ＝﹣1． 故答案为：﹣1． 三．解答题（共5小题） 13．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣k＝0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）若该方程的两个不相等的实数根分别为x1，x2，且满足x1+x2＝x1x2﹣3，求k的值． 【解答】解：（1）根据题意得Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4（k2﹣k）＞0， 解得k， 即k的取值范围为k； （2）根据根与系数的关系得x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2﹣k， ∵x1+x2＝x1x2﹣3， ∴2k+1＝k2﹣k﹣3， 整理得k2﹣3k﹣4＝0， 解得k1＝﹣1，k2＝4， ∵k， ∴k的值为4． 14．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+m+4＝0有两个实数根x1，x2． （1）求m的取值范围； （2）若3x1＝x2+2，求m的值． 【解答】解：（1）由题知， 因为关于x的一元二次方程x2﹣6x+m+4＝0有两个实数根， 所以Δ＝（﹣6）2﹣4（m+4）≥0， 解得m≤5； （2）由题知，x1+x2＝6，x1•x2＝m+4， 因为3x1＝x2+2， 所以x1＝2，x2＝4， 所以m+4＝2×4， 解得m＝4． 15．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m（m+4）＝0． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若方程的两根为x1，x2，求的值． 【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣4）2﹣4×1×[﹣m（m+4）] ＝16+4m2﹣16m ＝4（m﹣2）2≥0， ∴该方程总有两个实数根； （2）解：根据根与系数的关系得x1+x2＝4， 原式＝x1（x1+x2）+4x2 ＝4x1+4x2 ＝4（x1+x2） ＝4×4 ＝16． 16．已知关于x的一元二次方程x2+mx+3x+m＝3． （1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为4，求m的值以及另一个根． 【解答】（1）证明：∵x2+mx+3x+m＝3， ∴x2+（m+3）x+m﹣3＝0， ∴Δ＝（m+3）2﹣4•1•（m﹣3） ＝m2+6m+9﹣4m+12 ＝m2+2m+21 ＝（m2+2m+1）+20 ＝（m+1）2+20， ∵（m+1）2≥0， ∴Δ＝（m+1）2+20≥20＞0， ∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵该方程的一个根为4， ∴把x＝4代入x2+mx+3x+m＝3得42+4m+12+m＝3， 解得m＝﹣5， ∴原方程为x2﹣5x+3x﹣5＝3，即x2﹣2x﹣8＝0， ∴（x﹣4）（x+2）＝0， ∴x﹣4＝0或x+2＝0， 解得x＝4或x＝﹣2， ∴原方程的另一个根为﹣2． 17．关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2． （1）求实数k的取值范围； （2）若方程两实数根满足|x1+x2|＝x1x2.，求k的值 【解答】解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+1）＝4k2+4k+1﹣4k2﹣4＝4k﹣3＞0， 解得k； （2）∵k， ∴x1+x2＝2k+1＞0， 又∵x1•x2＝k2+1＞0， ∴x1＞0，x2＞0， ∴|x1+x2|＝x1+x2＝2k+1， ∵|x1+x2|＝x1•x2， ∴2k+1＝k2+1， ∴k1＝0，k2＝2， 又∵k， ∴k＝2． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/8/23 13:30:40；用户：曙光；邮箱：15046884347；学号：19101398 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $