第二章 直线和圆的方程 单元卷-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 高中数学选择性必修一第二章单元复习卷，聚焦直线与圆的方程核心知识，通过多样题型梯度设计，考查运算能力、推理意识及模型应用，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|圆的内切（1）、直线距离（4）、位置关系（5）|基础概念辨析，如充要条件判断（6）| |多选题|3|两圆位置关系（9）、直线方向向量（10）|多角度考查，如圆与原点关系（9B）| |填空题|3|切线斜率（12）、弦长计算（14）|聚焦关键技能，情境简洁| |解答题|5|直线过定点（15）、外接圆方程（18）|分层设问，如16题从弦长到参数范围再到切线，提升综合应用能力|

高中数学人教A版选择性必修一第二章直线和圆的方程 一、单选题 1．已知圆，圆，若圆与圆内切，则实数a的值为（    ） A． B． C． D． 2．若圆与圆交于M，N两点，则直线MN的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 3．过点的面积最小的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 4．直线与直线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 5．直线与圆的位置关系是（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 6．已知a是实数，则“”是“方程表示圆”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知直线：，：，若，则实数的值为（     ） A．0 B．1 C．0或1 D．1或2 8．已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，且经过不在的点，那么与（ ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 二、多选题 9．记圆：，圆：，则（   ） A． B．若坐标原点在圆上，则点在圆上 C．若圆与圆内切，则 D．当时，圆与圆的相交弦方程为 10．已知直线，，则下列说法正确的是（   ） A．直线的一个方向向量是 B．若，则 C．若，则直线，之间的距离为 D．直线过定点 11．已知直线，则下列结论正确的是（   ） A．直线在轴上的截距为4 B．点（2，-2）在直线上 C．直线的一个方向向量为 D．直线的倾斜角为 三、填空题 12．若过点的直线l与圆只有一个公共点，则l的斜率为______． 13．已知直线：，：，若圆C的圆心在x轴正半轴上，且与直线，都相切，则圆C的标准方程为__________. 14．直线与曲线相交于，两点，则弦长______． 四、解答题 15．已知两条直线． (1)求证：直线过定点，并求出该定点的坐标； (2)若，不重合，且垂直于同一条直线，将垂足分别记为A，B，求． 16．已知圆，直线. (1)若，求直线被圆所截得的弦长； (2)若直线与圆相交，求实数的取值范围； (3)若直线斜率为，且与圆相切，求直线的方程. 17．已知的三个顶点的坐标分别为，，. (1)求点到直线的距离； (2)求边上的高所在直线的方程； (3)求边上的中线所在直线的方程. 18．的三个顶点分别是． (1)求边BC所在直线的方程； (2)求外接圆的方程． 19．已知圆C经过点，，. (1)求圆C的标准方程； (2)若过原点O的直线l与圆C相切，求直线l的方程. 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学人教A版选择性必修一第二章直线和圆的方程 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B A A A C B ABD AD 题号 11 答案 AD 1．C 【分析】本题考查两圆内切的位置关系，利用两圆内切的充要条件：圆心距等于两圆半径之差的绝对值，建立等量关系即可求解a的值. 【详解】解：由题知： 圆方程可化为：，所以圆心为，半径， 由圆的方程可知，圆心为，半径， 所以圆心距. 因为圆与圆内切，所以圆心距，即，所以或，而，因此. 2．C 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， ，圆与圆相交，直线的斜率为， 而，因此直线的斜率为，其倾斜角为. 3．B 【详解】圆的面积最小时线段为直径，圆心为线段的中点，坐标为，半径为， 故所求的圆的标准方程为． 4．A 【详解】直线，即， 所以直线与直线之间的距离. 5．A 【分析】先求圆心到直线距离，再与半径比较即可判断位置关系. 【详解】由圆，可得圆心，半径， 则圆心到直线的距离为， 故直线与圆相交. 6．A 【分析】配方得到圆的充要条件即可判断. 【详解】方程配方得， 若方程表示圆，则，解得， 则“”是“方程表示圆”的充分不必要条件. 7．C 【详解】已知直线：，：，若， 则有， 化简方程得：， 解得或，C正确. 8．B 【分析】由两直线的斜率关系判断. 【详解】由题意， 所以，且经过不在的点， 所以. 9．ABD 【分析】A选项，先得到，，由两点间距离公式可得A正确；B选项，代入原点坐标，求出，得到圆的方程，从而得到点在圆上；C选项，根据圆心距和两圆半径的关系得到方程，求出；D选项，两圆相减可得相交弦方程. 【详解】A选项，圆的圆心为，圆的圆心为， 则，A正确； B选项，若坐标原点在圆上，则，故， 故圆的方程为， 将代入可得，故点在圆上，B正确； C选项，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 由A知，， 若圆与圆内切，则，解得，C错误； D选项，时，圆：，圆：， 两圆相减得，D正确. 故选：ABD 10．AD 【分析】根据直线方向向量的定义、两条直线垂直的性质、结合平行线间的距离公式、直线的点斜式方程逐一判断即可. 【详解】，所以该直线的斜率为. ，所以该直线的斜率为，恒过点. 对于A，因为直线的斜率为， 所以直线的一个方向向量是，设， 显然，所以直线的一个方向向量是， 故A正确； 对于B，当时，直线的斜率为， 因为， 所以不成立，故B错误； 对于C，若，所以， 所以， 所以直线，之间的距离为，故C错误； 对于D，直线过定点 ，故D正确. 故选：AD 11．AD 【分析】求轴截距时，令，代入直线方程得 ，故截距为4， 将点 代入方程，得，不满足方程，直线斜率为-1，方向向量应满足，不满足， 斜率，结合倾斜角范围，得， 【详解】令，得，则直线在轴上的截距为4， 也可化为截距式得到，故A正确； 因为，所以点不在直线上，故B错误； 若直线的一个方向向量为，则斜率，不符合题意，故错误； 由直线得直线的斜率，所以直线的倾斜角为，故D正确， 故选：AD. 12． 【分析】确定给定圆的圆心及半径，再利用直线与圆相切求出斜率. 【详解】圆的圆心，半径， 点在圆外，而直线与圆相交， 依题意，直线与圆相切，且斜率存在，设其方程为， 由，解得，所以的斜率为. 13． 【分析】设轴正半轴上圆心为，由圆与两直线相切得圆心到两直线距离相等，去掉分母化简得，舍去不合题意的得，再求出半径平方，即可写出圆的标准方程. 【详解】设圆的圆心为，其中，半径为. 因为圆与直线和都相切， 则圆心到两条直线的距离均等于半径，即，. 化简得，即. 因为，分情况讨论：当时，解得； 当时，解得，不符合，舍去. 将代入距离公式，得，则. 所以圆的标准方程为. 14． 【详解】曲线的方程可化为，是一个圆， 其圆心为，半径， 直线即到圆心的距离， 则弦长. 15．(1)证明见解析， (2)或． 【分析】（1）变形直线的方程，进而求出定点坐标即可. （2）由给定条件可得，进而求出值，再利用平行线间距离公式求解. 【详解】（1）由直线变形得：， 对任意实数，当，即时，恒有， 所以直线过定点，该定点的坐标为. （2）由，不重合，且垂直于同一条直线，得， 因此，解得或， 当时，，则； 当，即，，则， 所以等于或． 16．(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用圆心到直线距离与半径联立勾股定理求弦长即可； （2）利用直线与圆的位置关系中的相交情况解决问题； （3）利用直线与圆的位置关系中的相切情况解决问题. 【详解】（1）由题得，圆心，半径， 圆心到直线的距离，则有弦长为. 故直线被圆所截得的弦长为. （2）由题得圆心到直线的距离，且直线， 则有，解得， 故实数的取值范围是. （3）由题设直线，即，若与圆相切，则圆心到直线的距离， 则有，解得或， 故直线的方程为或. 17．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用斜率公式求出，利用点斜式求出直线的方程，利用点到直线的距离求出点到直线的距离； （2）两直线垂直，且都存在斜率，则有； （3）利用中点坐标公式求出的中点，利用斜率公式求出直线的斜率，利用点斜式求出直线的方程. 【详解】（1），，则，直线的方程为， 即，，点到直线的距离为； （2）设边上的高所在直线的斜率为 ， ，，， 边上的高所在的直线过， 边上的高所在直线的方程为，即； （3）设中点，，， ，， ，， 则边上的中线所在直线的方程为， 即. 18．(1) (2)或 【分析】（1）根据点斜式直接计算即可； （2）根据圆的一般式方程，列方程组求解即可． 【详解】（1）根据题意，，则边BC所在的直线方程为，整理得． （2）设圆的一般方程为， 可列表达式为，解得， 则圆的方程为或． 19．(1) (2)或. 【分析】（1）设出圆的一般方程并代入三点坐标，可求得圆的方程，再化成标准方程即可； （2）对直线l的斜率是否存在分类讨论，再由点到直线距离等于半径即可求得直线l的方程. 【详解】（1）设圆， 代入三点得，解得， 则圆， 可得圆的标准方程为. （2）直线若斜率不存在，则直线为，圆心到直线的距离， 则直线与圆相切. 直线若斜率存在，则直线为，即, 圆心到直线的距离，解得， 则直线与圆相切. 综上直线的方程为或. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $