2.4一元二次方程解决问题同步练习 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 本练习聚焦一元二次方程应用，通过基础巩固、情境应用、综合拓展三层设计，覆盖增长率、传染、利润等典型问题，培养数学建模与应用能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一概念直接应用|单选/填空（如价格降价、握手问题），强化方程列法| |中档|典型情境方程构建|结合生活情境（如奥运纪念品利润、绿地道路面积），培养模型意识| |提高|多知识点综合运用|动态几何与利润综合题（如再生纸产量与利润增长），发展逻辑推理能力|

2.4一元二次方程解决问题同步练习 2026-2027学年苏科版数学九年级上册 一、单选题 1．某商品的价格为100元，因为积压，经过两次降价x%后的价格为81元，则x为（　　） A．10 B．11 C．12 D．20 2．某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了人，则可得到方程（　　） A． B． C． D． 3．冬天天气寒冷，冷空气刺激呼吸道，容易引起人体免疫功能降低，导致病毒感染．某校12月初有一人患了流感，经过两轮传染后，共64人患流感，假设每轮传染中平均每人传染人，则可列方程（　　） A． B． C． D． 4．近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，各经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车2月份售价为25万元，同年4月份售价为20.25万元，则该款汽车这两个月售价的月平均降价率为x，可列方程为（　　） A． B． C． D． 5．某班组织了一次小型同学聚会，参与的同学每两人之间都握了一次手，所有人共握了次手．设共有位同学聚会，则满足的关系式为(　　) A． B． C． D． 6．有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有144个人患了流感，每轮传染中平均每人传染了x个人，下列结论错误的是（　　） A．1轮后有个人患了流感 B．第2轮又增加个人患流感 C．依题意可得方程 D．不考虑其他因素经过三轮传染，一共会有1584人患流感 7．某型号手机原来销售单价是4000元，经过两次降价促销，现在的销售单价是2560元，若两次降价的百分率相同都是，则可得方程（　　） A． B． C． D． 8．莆田聚焦打造世界妈祖文化中心，深耕“妈祖故里·灵秀莆田”品牌，实现文化传播与旅游消费双丰收．据统计，湄洲岛2023年累计接待游客万人次，2025年累计接待游客万人次．设湄洲岛这两年接待游客量的年平均增长率为x，根据题意可列方程（　　） A． B． C． D． 9．某地区2022年投入某项经费2500万元，预计2024年投入3600万元，设这两年投入该项经费的年平均增长百分率为，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 10．一个两位数等于各位数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，这个两位数是（　　） A．18 B．20 C．24 D．22 二、填空题 11．一个小组有若干人，新年互送贺卡一张，共送72张贺卡，设该小组共有人，则可列方程　 　 12．2024年7月27日，“北京中轴线——中国理想都城秩序的杰作”被正式列入《世界遗产名录》．中轴线上的故宫博物院是深受大众喜爱的旅游景点之一，据统计2024年国庆假期共接待观众万人次，2026年国庆假期接待的观众预期达到58万人次，求国庆假期接待观众人次的年平均增长率．设国庆假期接待观众人次的年平均增长率为x，则可列方程为　 　． 13．某区组织一场篮球联赛，每两队之间都赛2场，计划安排56场比赛，应有　 　个球队参加比赛． 14．某电商平台在“618”大促活动中，一款智能手环标价为500元，连续两次降价，最终售价为320元，则平均每次降价的百分率为　 　． 15．某工厂生产的笔记本，每本成本10元，由于连续两次降低成本，现在的成本是8.1元，则平均每次降低成本的百分率是　 　． 16．某商品经过两次连续涨价，每件售价由原来的35元涨到了55元．设平均每次涨价的百分率为x，那么可得方程是　 　． 17．如图所示，某市世纪广场有一块长方形绿地长18m，宽15m，在绿地中开辟三条道路后，剩余绿地的面积为224m2，如图，设道略的宽为xm，则可列方程为　 　. 18．今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到56个红包，则该群一共有　 　人． 19．《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺； 斜放，竿与门对角线长恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少? 设门对角线的长为x尺，可列方程为　 　． 20．随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增，缴税数额也相应递增．已知该公司2022年缴税25万元，2024年缴税36万元，那么该公司这两年缴税的年平均增长率是　 　． 三、解答题 21．如图，有一块面积为300平方分米的矩形铁皮，已知该矩形铁皮的长、宽之比为． （1）求矩形铁皮的长与宽(结果保留根号)． （2）若沿着虚线将铁皮的四个角剪掉，制作成一个有底无盖的长方体铁皮盒子，剪掉的四个角都是边长为分米的正方形，求长方体铁皮盒子的体积． 22．2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，小红、小亮去某商场买“弗里热”纪念品后的对话如下： 小红：该商场每个“弗里热”纪念品的进价是20元． 小亮：当该商场每个“弗里热”纪念品的售价为30元时，每周可售出500个，售价每上涨1元，平均每周的销售量就减少10个． 根据他们的对话，解决下面的问题： （1）若每个“弗里热”纪念品的售价上涨3元，则该商场平均每周可以获得销售利润________元． （2）若该商场计划一周的利润达到8000元，又要尽可能让顾客得到实惠，则每个“弗里热”纪念品的售价应定为多少元？ 23．春节是中国的传统节日，春节前是购物的高峰期，苹果寓意“平平安安”，销售特别火爆．某水果商从农户手中购进A、B两种糖心苹果，其中A种糖心苹果进货价为25元/件，销售价为40元/件，B种糖心苹果进货价为18元/件，销售价为30元/件．（注：利润＝销售价﹣进货价） （1）水果店用3300元购进A、B两种糖心苹果共160件，求两种糖心苹果分别购进的件数； （2）水果店发现B种糖心苹果还有大量剩余，决定对B种糖心苹果调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，为了尽快减少库存，将销售价定为每件多少元时，才能使B种糖心苹果每天销售利润为96元？ 24．如图，某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长），另三边用木栏围成，木栏长．所围矩形鸡场的长、宽分别为多少时，鸡场的面积能达到？ 25． 已知一个数的平方等于这个数本身，求这个数(要求列出一元二次方程求解). 26．直福购物逐渐走进了人们的生活，某电商在料者上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售、如果按每件60元销售，每天可卖出20件，通过市场调查发现，每件小商品的售价每降低1元，则日销售量可增加2件． （1）当每件小商品的售价为50元时，日销售量为______件； （2）若计划每日获利448元，为了尽快减少库存，每件售价应定为多少元？ 27．广西桂林山水甲天下，桂林已成为国内外最受游客喜欢的旅游城市之一．在年国庆长假期间，接待游客达万人次左右，预计在年国庆长假期间，接待游客达万人次左右． （1）求桂林年至年国庆长假期间接待游客人次的年平均增长率； （2）桂林漓江景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为5元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价元，则平均每天可销售杯，若每杯售价降低1元，则平均每天可多销售杯．年国庆期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶上实现平均每天元的利润额？ 28．电商平台销售一种T恤衫，每件进价为100元．经市场调查发现：每周销售量（件）与销售单价（元/件）满足一次函数关系（其中x为整数，且）部分数据如下表所示： 销售单价（元/件） 120 130 135 销售量（件） 80 60 50 根据以上信息，解答下列问题： （1）求y与x的函数关系式； （2）求每周销售这种T恤衫获得的利润（元）的最大值； （3）电商平台希望每周获得1000元的利润，且尽可能让利于顾客，请计算销售单价应定为多少元？ 29．将进货单价为40元的商品按50元售出时，就能卖出500个，已知这种商品每个涨价0.1元，其销售量就减少1个，若设这种商品每个涨价x元． （1）用含x的代数式表示． ①每个商品的实际利润是 元； ②实际的销售量是 个． （2）为了赚得8000元的利润而又尽量兼顾顾客的利益，每个售价应定为多少？ 30．某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨 （1）求4月份再生纸的产量； （2）若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加m%.5月份每吨再生纸的利润比上月增加 %，则5月份再生纸项目月利润达到66万元求m的值； （3）若4月份每吨再生纸的利润为1 200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%．求6月份每吨再生纸的利润． 答案 1．【答案】A 2．【答案】C 3．【答案】D 4．【答案】A 5．【答案】B 6．【答案】D 7．【答案】C 8．【答案】B 9．【答案】D 10．【答案】C 11．【答案】 12．【答案】 13．【答案】8 14．【答案】 15．【答案】 16．【答案】 17．【答案】 18．【答案】8 19．【答案】 20．【答案】20% 21．【答案】（1）长为，宽为 （2）立方分米 22．【答案】（1） （2）每个“弗里热”纪念品的售价应定为元 23．【答案】（1）解：设A种糖心苹果件，B种糖心苹果件， 由题意得： ， 解得， 答：商店购进A种糖心苹果60件，B种糖心苹果100件 （2）解：设B种苹果每件降价元，则B种苹果每天可售出件，由题意得： ， 解得：或 ∵尽快减少库存， ∴降价越多越好， ∴， ∴（元） 答：销售价定为每件元时，才能使B种糖心苹果每天销售利润为96元． 24．【答案】所围矩形鸡场的长、宽分别为时，鸡场的面积能达到 25．【答案】解：设这个数为x. 由题意得 解得 所以这个数为0或1. 26．【答案】（1）40 （2）54元 27．【答案】（1）年平均增长率为 （2）当每杯售价定为元时，店家在此款奶茶上实现平均每天元的利润额 28．【答案】（1）解：由每周销售量（件）与销售单价（元/件）满足一次函数关系，可设y与x的函数关系式为， 把和分别代入， 得，解得， ； 即y与x的函数关系式为； （2）解：由题意可得，， 由（1）的， 则， ，开口向下，对称轴为， 则时，W有最大值，最大值为元 答：每周销售这种T恤衫获得的利润（元）的最大值为1800元； （3）解：由题意可得，， ∵由（1）的， ∴，化简可得，， 解得，， ，尽可能让利于顾客， 销售单价为110元． 29．【答案】（1）①，； （2） 30．【答案】（1）解：设3月份再生纸的产量为x吨，则4月份再生纸的产量为(2x-100)吨，依题意得x+2x-100=800 ，解得x= 300， ∴2x-100= 2x300- 100=500，即4月份再生纸的产量为500吨． （2）解：依题意得1 000(1+ % ) ×500( 1 +m%)= 660 000， 整理得m2+300m-6 400=0，解得m1= 20，m2=-320(不合题意，舍去)，即m的值为20． （3）解：设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为y，5月份再生纸的产量为a吨， 依题意得1 200(1+y)2·a(1+y)=(1+25%)×1 200(1+y)·a， ∴1200(1+y)2=1 500． 即6月份每吨再生纸的利润是1500元 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $