25.2.2 公式法解一元二次方程 讲义 2026-2027学年人教版数学九年级上册

本讲义聚焦公式法解一元二次方程核心知识点，梳理从配方法推导求根公式的过程，明确根的判别式Δ=b²-4ac的三种情况及“化一般式、定系数、判Δ、代公式”的基本步骤，搭建系统学习支架。 资料通过分层典例（含参数、新定义运算等）与同步练习，以“先化一般式→代入Δ讨论→再求根”三步法培养推理意识，结合实例提升数学语言表达能力。课中辅助分层教学，课后助力查漏补缺，强化知识应用。

初中数学（RJ）九年级上册 25.2.2 公式法解一元二次方程 教师版 一、课标要求与学习目标 【课标要求】会用公式法解一元二次方程，会用根的判别式 Δ=b²-4ac 判别根的情况（含字母系数的讨论）。 二、知识梳理 知识点 1 　公式法 1.核心思想：用配方法把 ax²+bx+c=0 （a≠0）化为的一般形式，求出求根公式的一般形式。 2.根的判别式 Δ = b² - 4ac：Δ>0 ⟹ 方程有两个不相等的实数根；Δ=0 ⟹ 两个相等的实数根；Δ<0 ⟹ 没有实数根。 3.求根公式：当Δ≥0时，方程 ax²+bx+c=0 （a≠0）的实数根可写为。 4.基本步骤：①将一元二次方程化成一般形式；②确定二次项系数、一次项系数、常数项；③确定根的判别式正负；④代入根据求根公式求解。 5.适用题型：所有一元二次方程。 ★ 重点　求根公式，使用前提是 a≠0 且根号内 Δ=b²-4ac ≥ 0。 ⚠ 易错　①分子分母记反；②忘记 Δ<0 时无实数根；③含字母系数时未讨论a=0。 ◆ 方法　Δ=b²-4ac 是判别式：Δ>0 两不等根，Δ=0 两等根，Δ<0 无实数根；解含参字母系数的方程时，常用"先化一般式 → 代入 Δ 讨论 → 再求根"三步走。 三、典例精析 题型 1 　判断不含参数的一元二次方程组的根的情况　 ★ 点拨　用 Δ=b²-4ac 判别；分别判断 Δ>0、=0、<0 的根的形态。 1．（2026•阜阳二模）下列方程中，没有实数根的是（　　） A．x2+1＝﹣2x B．2x2+x＝﹣1 C．2x2+5x＝0 D．x2﹣x＝3 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根的判别式解答即可． 【解答】解：A、化为一般式得x2+2x+1＝0，Δ＝22﹣4×1×1＝0，方程有两个相等的实根，不符合题意； B、化为一般式得2x2+x+1＝0，Δ＝12﹣4×2×1＝﹣7＜0，方程没有实数根，符合题意； C、化为一般式得2x2+5x＝0，Δ＝52﹣4×2×0＝25＞0，方程有两个不相等的实数根，不符合题意； D、化为一般式得x2﹣x﹣3＝0，Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣3）＝13＞0，方程有两个不相等的实数根，不符合题意． 故选：B． 2．（2026•姚安县二模）方程x2+2x+3＝0的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．只有一个实数根 C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】C 【分析】计算出Δ＝b2﹣4ac的值即可判断． 【解答】解：∵a＝1，b＝2，c＝3， ∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×3＝﹣8＜0， ∴方程没有实数根， 故选：C． 3．（2026•宁明县三模）定义运算：a※b＝a2﹣2ab+1．例如：4※3＝42﹣2×4×3+1＝﹣7．则方程x※（﹣1）＝﹣2的根的情况为（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据新定义运算，将原方程转化为标准一元二次方程，再通过计算判别式的值判断根的情况． 【解答】解：根据题意可知：x2+2x+3＝0， 根的判别式 Δ＝22﹣4×1×3＝4﹣12＝﹣8＜0， ∴该方程无实数根． 故选：C． 题型 2 　判断含参数的一元二次方程的根的情况 ★ 点拨　化一般式后代入 Δ，对参数范围分类讨论（Δ>0、=0、<0）。 1．（2026•安徽模拟）当m﹣n＝2时，关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣2n＝0的根的情况为（　　） A．有两个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根的判别式解答即可． 【解答】解：关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣2n＝0， ∵a＝﹣1，b＝m，c＝﹣2n， ∴Δ＝b2﹣4ac＝m2﹣4×（﹣1）×（﹣2n）＝m2﹣8n， ∵m﹣n＝2， ∴m＝n+2， ∴m2﹣8n＝（n+2）2﹣8n＝（n﹣2）2≥0， ∴Δ＝b2﹣4ac≥0， ∴方程有两个实数根． 故选：A． 2．（2026•梁园区校级模拟）关于x的一元二次方程x2+kx﹣2＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】对于ax2+bx+c＝0（a≠0），当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根，当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，当Δ＜0时，方程没有实数根，据此即可解答． 【解答】解：∵x2+kx﹣2＝0， ∴Δ＝b2﹣4ac＝k2﹣4×1×（﹣2）＝k2+8＞0， 所以原方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 3．（2026•安徽）已知关于x的一元二次方程ax2﹣bx+b﹣a＝0（a≠0）有两个相等的实数根，则（　　） A．﹣2 B． C． D．2 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根的判别式进行计算即可． 【解答】解：由题知， 因为关于x的一元二次方程ax2﹣bx+b﹣a＝0（a≠0）有两个相等的实数根． 所以（﹣b）2﹣4a（b﹣a）＝0， 整理得，b2﹣4ab+4a2＝0， 则（b﹣2a）2＝0， 所以b＝2a， 所以． 故选：D． 题型 3 　根据一元二次方程的根的情况求值或范围　 ★ 点拨　由 Δ>0、=0、<0 列出参数的不等式或等式，求解参数范围。 1．（2026•泌阳县模拟）若关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣6x﹣2＝0有实数根，则a的取值范围为（　　） A． B．a≠3 C．且a≠3 D．且a≠3 【答案】D 【分析】根据根的判别式解答即可． 【解答】解：根据根的判别式可知： Δ＝36+8（a﹣3）≥0且a﹣3≠0， ∴且a≠3 故选：D． 2．（2026•喀什地区模拟）若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x﹣1＝0有实数根，则m的取值范围是（　　） A．m≠2 B．m≥1且m≠2 C．m≤3且m≠2 D．m≥1 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的判别式，有实根，则Δ≥0，由此即可求解． 【解答】解：关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x﹣1＝0有实数根，且a＝m﹣2，b＝2，c＝﹣1， ∴Δ＝22+4（m﹣2）≥0，解不等式得，m≥1， ∵关于x的一元二次方程， ∴m﹣2≠0，即m≠2， ∴m≥1且m≠2． 故选：B． 题型 4 　利用公式法解一元二次方程　 ★ 点拨　写出 a、b、c 代入求根公式；含字母系数时先化一般式。 1．（2026春•德州期末）解方程：3x2﹣5x+1＝0 【答案】， 【分析】根据配方法即可求出答案； 【解答】解：a＝3，b＝﹣5，c＝1， Δ＝b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×3×1＝13＞0， 方程有两个不等的实数根 ∴x， ∴， 2．（2026春•明水县校级月考）解方程：x2﹣5x﹣5＝0． 【答案】，． 【分析】先确定a＝1，b＝﹣5，c＝﹣5，再求出b2﹣4ac，然后根据求根公式解答． 【解答】解：∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣5， ∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣5）＝45＞0， ∴， ∴． 3．（2026春•泰山区期末）解方程：（3x﹣1）（x+1）＝1；（公式法） 【答案】，； 【分析】根据公式法解方程即可 【解答】解：原方程整理得3x2+2x﹣2＝0， ∵a＝3，b＝2，c＝﹣2， ∴b2﹣4ac＝22﹣4×3×（﹣2）＝28＞0， ∴， ∴，． 题型 5 　根的判别式与方程的解　 ★ 点拨　由 Δ 的符号反推根的情况：Δ>0 两不等根，Δ=0 两等根，Δ<0 无实根。 1．（2026•永安市三模）对于一元二次方程ax2+2cx+b＝0（a≠0），若满足a2+b2＝c2，则我们把这样的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． （1）当a＝3，b＝4，c＞0时，求相应的“勾系一元二次方程”的根； （2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”x2+2cx+b＝0必有实数根． 【答案】（1），；（2）见解答过程． 【分析】（1）先根据“勾系一元二次方程”的定义求出c＝5，再解一元二次方程即可； （2）先根据“勾系一元二次方程”的定义求出c2＝1+b2，然后利用根的判别式解答即可． 【解答】（1）解：∵c2＝a2+b2＝32+42＝25． ∵c＞0， ∴c＝5（负舍）， ∴原方程为：3x2+10x+4＝0． ∵Δ＝102﹣4×3×4＝52＞0， ∴， ∴，． （2）证明：由条件可得：c2＝1+b2， ∴， ∵， ∴， ∴关于x的勾系一元二次方程x2+2cx+b＝0必有实数根． 2．（2026春•亳州期中）已知关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+1＝0． （1）若x＝﹣2是该方程的一个解，求k的值； （2）若该方程有实数根，求k的取值范围． 【答案】（1）k1＝﹣1，k2＝﹣3；（2）． 【分析】（1）将x＝﹣2代入x2﹣（2k﹣1）x+k2+1＝0，然后解方程即可得到k1＝﹣1，k2＝﹣3； （2）根据根的判别式Δ≥0，可求得k的取值范围． 【解答】解：（1）由条件可知（﹣2）2﹣（2k﹣1）×（﹣2）+k2+1＝0， 整理得k2+4k+3＝0， 解得k1＝﹣1，k2＝﹣3； （2）由条件可知： [﹣（2k﹣1）]2﹣4×1×（k2+1）＝﹣4k﹣3≥0， 解得， 即时，关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+1＝0有实数根． 3．（2026春•瑶海区校级期末）已知方程x2+bx+c＝0（x为实数），请你解答下列问题： （1）若b＝2，c＝﹣1，解此方程； （2）若b﹣c＝1，求证：此方程至少有一实数根． 【答案】（1）；（2）见解答过程. 【分析】（1）将b＝2，c＝﹣1代入原方程，解一元二次方程即可得到结果； （2）利用一元二次方程根的判别式，结合已知条件b﹣c＝1变形配方，证明判别式大于等于0，即可证明结论． 【解答】解：（1）∵b＝2，c＝﹣1， ∴原方程为x2+2x﹣1＝0， 配方得（x+1）2＝2， 开方得， 解得； （2）对于一元二次方程x2+bx+c＝0， 根的判别式为 Δ＝b2﹣4c， ∵b﹣c＝1， ∴c＝b﹣1， 将c＝b﹣1代入Δ得 Δ＝b2﹣4（b﹣1）＝b2﹣4b+4＝（b﹣2）2， ∵任意实数的平方是非负数， ∴（b﹣2）2≥0，即Δ≥0， ∴此方程至少有一个实数根． 四、同步练习 1．（2025秋•随州期末）若关于x的一元二次方程kx2﹣（2k+1）x+k+2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A． B．且k≠0 C． D．且k≠0 【答案】D 【分析】先根据一元二次方程的定义和根的判别式确定k≠0且Δ＞0，计算求解即可． 【解答】解：由条件可知k≠0且Δ＞0， ∵a＝k，b＝﹣（2k+1），c＝k+2， Δ＝b2﹣4ac ＝[﹣（2k+1）]2﹣4k（k+2） ＝4k2+4k+1﹣4k2﹣8k ＝﹣4k+1， ∵Δ＞0， ∴﹣4k+1＞0， 解得：， 综上且k≠0． 故选：D． 2．（2026春•合肥校级月考）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（　　） A．x2+1＝0 B．2x2+x+1＝0 C．x2﹣4x+4＝0 D．3x2﹣x﹣1＝0 【答案】D 【分析】对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），当判别式Δ＝b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根，分别计算各选项的判别式即可判断． 【解答】解：A、x2+1＝0， ∵a＝1，b＝0，c＝1， ∴Δ＝02﹣4×1×1＝﹣4＜0，方程无实数根，不符合题意； B、2x2+x+1＝0， ∵a＝2，b＝1，c＝1， ∴Δ＝12﹣4×2×1＝﹣7＜0，方程无实数根，不符合题意； C、x2﹣4x+4＝0， ∵a＝1，b＝﹣4，c＝4， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×4＝0，方程有两个相等的实数根，不符合题意； D、3x2﹣x﹣1＝0， ∵a＝3，b＝﹣1，c＝﹣1， ∴Δ＝（﹣1）2﹣4×3×（﹣1）＝13＞0，方程有两个不相等的实数根，符合题意． 故选：D． 3．（2025秋•玉溪期末）若关于x的方程x2﹣6x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值为（　　） A．﹣9 B．3 C．9 D．36 【答案】C 【分析】根据一元二次方程有两个相等实数根的条件，可知判别式Δ＝0，代入系数建立方程求解c的值． 【解答】解：由题意得，Δ＝（﹣6）2﹣4×1×c＝0， ∴36﹣4c＝0， ∴4c＝36， ∴c＝9， 故选：C． 4．（2026春•玄武区校级期末）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法中正确的个数有（　　） ①若b＝0，则方程总有实数根； ②若b2＝4ac，则方程有两个相等的实数根； ③若a＝b＝c，则方程无实数根； ④若b＝a+c，则方程总有实数根． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】结合已知确定根的判别式Δ＝b2﹣4ac的符号，即可作出判断． 【解答】解：∵一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式为Δ＝b2﹣4ac， ①当b＝0时，Δ＝b2﹣4ac＝﹣4ac， 若ac＞0，则Δ＜0，此时方程无实数根，故①错误； ②当b2＝4ac时，Δ＝b2﹣4ac＝0，此时方程有两个相等的实数根，故②正确； ③当a＝b＝c时，Δ＝b2﹣4ac＝a2﹣4a2＝﹣3a2， ∵a≠0， ∴a2＞0， ∴﹣3a2＜0，即Δ＜0，此时方程无实数根，故③正确； ④当b＝a+c时，Δ＝b2﹣4ac＝（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2≥0， 此时方程总有实数根，故④正确； 综上所述，正确的个数有3个， 故选：C． 5．（2026春•椒江区期末）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则下列成立的是（　　） A．若0＜n＜1，则 B．若0＜n＜1，则 C．若n＞1，则 D．若n＞1，则 【答案】D 【分析】由一元二次方程有两个相等实数根得判别式为0，推导m与n的数量关系，结合n的范围判断的范围． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴且m≠0， 解得， 当0＜n＜1时，3＜2n+3＜5， ∴， 则 ，可能小于1也可能大于1，故A、B均不成立． 当n＞1时，2n+3＞5， ∴， ∴，故C错误，D正确． 故选：D． 6．（2026春•合肥校级期末）关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0满足a﹣b+c＝0，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（　　） A．a﹣2c＝0 B．2a﹣b＝0 C．b+2c＝0 D．a+2c＝0 【答案】B 【分析】先得出a≠0、方程根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝0，再得出a＝c，据此逐项判断即可． 【解答】解：由条件可知a≠0，其根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝0， ∵a﹣b+c＝0， ∴b＝a+c， ∴（a+c）2﹣4ac＝0， 整理得：（a﹣c）2＝0， ∴a＝c， ∴b＝a+a＝2a，即2a﹣b＝0，则选项B正确； 假设a﹣2c＝0成立，则a﹣2a＝0，解得a＝0，与a≠0矛盾，则假设不成立，选项A错误； 假设b+2c＝0成立，则2a+2a＝0，解得a＝0，与a≠0矛盾，则假设不成立，选项C错误； 假设a+2c＝0成立，则a+2a＝0，解得a＝0，与a≠0矛盾，则假设不成立，选项D错误． 故选：B． 7．（2026春•北仑区校级期末）探讨关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0总有实数根的条件，以下是三名同学给出的建议．甲：a﹣b﹣1＝0；乙：a，b同号；丙：a+b﹣1＝0．下列判断正确的是（　　） A．甲、乙、丙的建议都正确 B．只有乙的建议不正确 C．甲、乙、丙的建议都不正确 D．只有甲的建议正确 【答案】B 【分析】根据根的判别式的定义得到Δ＝b2+4a，根据特例和根的判别式的意义可对甲的条件进行判断；若a＝b+1，则Δ＝（b+2）2≥0，则根据根的判别式的意义可对乙的条件进行判断；若a＝﹣b+1，Δ＝（b﹣2）2≥0，则根据根的判别式的意义可对丙的条件进行判断． 【解答】解：由题意得，Δ＝b2+4a， 若a﹣b﹣1＝0，即a＝b+1，Δ＝b2+4（b+1）＝（b+2）2≥0，方程总有实数根，所以甲的条件满足方程总有实数根； 若a、b同号，不妨令a＝﹣1，b＝﹣1，此时Δ＝1﹣4＝﹣3＜0，方程没有实数解，所以乙的条件不满足方程总有实数根； 若a+b﹣1＝0，即a＝﹣b+1，Δ＝b2+4（﹣b+1）＝（b﹣2）2≥0，方程总有实数根，所以丙的条件满足方程总有实数根； 故选：B． 8．（2026春•大连期末）若关于x的一元二次方程ax2﹣3x+4＝0有两个相等的实数根，则a的值为　　 ． 【答案】． 【分析】根据方程有两个相等的实数根时Δ＝b2﹣4ac＝0列出方程，解之可得答案． 【解答】解：由题意得，Δ＝（﹣3）2﹣4×4a＝0且a≠0， ∴9﹣16a＝0且a≠0， ∴a， 故答案为：． 9．（2026春•路桥区期中）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法正确的是　 　 ． ①若4a+2b+c＝0，则b2﹣4ac≥0； ②若方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，则方程ax2+c＝0必有两个不相等的实数根； ③若2026是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定是cx2+bx+a＝0的一个根； ④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则． 【答案】①③④． 【分析】对每个说法，结合一元二次方程的根的定义、判别式、方程变形等知识逐一分析判断． 【解答】解：①若4a+2b+c＝0，则b2﹣4ac≥0， 当x＝2时，代入方程得a•22+b•2+c＝4a+2b+c＝0，说明方程有一个根为x＝2，因此判别式b2﹣4ac≥0，①正确； ②若方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根， b2﹣4ac≥0， 则方程ax2+c＝0 c＝0有两个相等的实数根②错误； ③若2026是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定是cx2+bx+a＝0的一个根，把x＝2026代入ax2+bx+c＝0，得a•20262+b•2026+c＝0； ∴， ∴一定是cx2+bx+a＝0的一个根③正确； 若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2﹣4ac， ∵x0是方程的根， ∴abx0+c＝0，即abx0＝﹣c， 展开右边：4a24abx0+b2＝4a（abx0）+b2＝4a（﹣c）+b2＝b2﹣4ac，④正确； 故答案为：①③④． 10．（2025秋•新会区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】k． 【分析】根据方程的系数，结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，可得出9﹣4k＞0，解之即可得出k的取值范围． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝（﹣3）2﹣4×1×k＝9﹣4k＞0， 解得：k， ∴k的取值范围是k． 故答案为：k． 11．（2026春•泰安期中）解方程：3x2﹣5x+1＝0（公式法）． 【答案】，． 【分析】根据公式法解方程即可． 【解答】解：∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×3×1＝13＞0， 所以． 所以，． 12．（2026•武威模拟）解方程：x2﹣5x+1＝0 【答案】，． 【分析】根据配方法可以解答此方程 【解答】解：x2﹣5x+1＝0， a＝1，b＝﹣5，c＝1， Δ＝b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×1＝21＞0， ， ∴， 13．（2025春•蔡甸区校级期末）解方程：2x2﹣3x﹣1＝0． 【答案】，． 【分析】利用公式法解方程． 【解答】解：∵a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）＝17＞0， ∴， ∴，． 14．（2026春•盐城校级期中）已知关于x的一元二次方程x2+（m+2）x+m+1＝0． （1）若方程有一实数根为3，求m的值； （2）求证：无论m取何值，方程总有实数根． 【答案】（1）m＝﹣4； （2）证明：∵关于x的一元二次方程x2+（m+2）x+m+1＝0， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（m+2）2﹣4×1×（m+1） ＝m2+4m+4﹣4m﹣4 ＝m2≥0， ∴无论m取何值，方程总有实数根． 【分析】（1）直接把x＝3代入到原方程中得到关于m的方程，解方程即可得到答案； （2）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可． 【解答】（1）解：由条件可知：32+3（m+2）+m+1＝0， 解得m＝﹣4； （2）证明：∵Δ＝b2﹣4ac＝（m+2）2﹣4×1×（m+1） ＝m2+4m+4﹣4m﹣4 ＝m2≥0， ∴无论m取何值，方程总有实数根． 15．（2026春•全国）小明和小华分别求出了方程4x2+4x﹣1＝0的根． 小明：x1＝x2； 小华：x1＝1，x2． 他们的答案正确吗？说说你的判断方法． 【答案】小明和小华的答案都不正确． 【分析】利用配方法解方程，求出方程的根，以此判断即可． 【解答】解：小明和小华的答案都不正确，理由如下： 4x2+4x﹣1＝0， ， ， ， ， ∴，， ∴小明和小华的答案都不正确． 16．（2026春•全国）解关于x的方程：ax2+2x﹣1＝0． 【答案】当a＝0时，方程的解是x；当a≥﹣1且a≠0时，方程的根是，；当a＜﹣1时，原方程无实数根． 【分析】①当a＝0时，②当a≠0时，分Δ≥0、Δ＜0两种情况，分别解方程即可． 【解答】解：①当a＝0时，方程ax2+2x﹣1＝0为2x﹣1＝0，解得x； ②当a≠0时，ax2+2x﹣1＝0， Δ＝22﹣4a×（﹣1）＝4+4a， 当4+4a≥0，即a≥﹣1时，Δ≥0， ∴， ∴，； 当4+4a＜0，即a＜﹣1时，Δ＜0，原方程无实数根． 17．（2026春•招远市期末）新运算a★b＝a2﹣2a﹣3b，例如：3★5＝32﹣2×3﹣3×5＝﹣12．若关于x的方程x★m＝5有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）当m＝7时，用配方法解此方程． 【答案】（1）m＞﹣2； （2）x1＝1+3，x2＝1﹣3． 【分析】（1）先利用新定义得到x2﹣2x﹣3m＝5，再把方程化为一般式，接着利用根的判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3m﹣5）＞0，然后解不等式即可； （2）当m＝7时，方程变形为x2﹣2x＝26，然后利用配方法解方程即可． 【解答】解：（1）根据新定义方程 x★m＝5化为x2﹣2x﹣3m＝5， 方程化为一般式为x2﹣2x﹣3m﹣5＝0， ∵此方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3m﹣5）＞0， 解得m＞﹣2， 即m的取值范围为m＞﹣2； （2）当m＝7时，方程变形为x2﹣2x＝26， x2﹣2x+1＝27， （x﹣1）2＝27， x﹣1＝±3， ∴x1＝1+3，x2＝1﹣3． 18．（2026春•萧山区期末）求方程x2﹣2x﹣4＝0的正数根． 【答案】． 【分析】先确定一元二次方程的各项系数，利用求根公式求出方程所有根，再从中筛选出正数根即可求解． 【解答】解：方程x2﹣2x﹣4＝0， ∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣4， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣4）＝20＞0． ∴． ∴x1，x2， ∴方程的正数根为． 19．（2026春•张店区期中）【阅读材料】 在学习二次根式时，小张同学发现一些含根号的式子可以化成另一表达式的平方． 如：． 【理解运用】 （1）填空：（　　 ）2+（　　 ）2+2（　　 ）2； 【问题解决】 （2）化简：； （3）解方程：． 【答案】（1），，；（2）；（3）1． 【分析】（1）仿照材料中的完全平方公式结构，把 5 拆成两个数的和，使它们的乘积为 6，即可凑成平方形式； （2）先把4写成2，再将 12 拆成和为 12、积为 20 的两个数，凑成完全平方； （3）用公式法解一元二次方程，代入求根公式，再对根号内的式子进行配方化简． 【解答】解：（1）5+22， 故答案为：，，； （2）； （3）方程x2x0， a，b，c， Δ＝b2﹣4ac＝7+2， x±（1）， 即x11，x21． 20．（2025秋•朝阳区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣1＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若该方程有一个根为2，求m的值． 【答案】（1）因为关于x的一元二次方程为x2+mx+m﹣1＝0， 所以Δ＝m2﹣4×1×（m﹣1）＝（m﹣2）2≥0， 所以方程总有两个实数根； （2）m＝﹣1． 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式进行证明即可； （2）将x＝2代入计算即可． 【解答】（1）证明：因为关于x的一元二次方程为x2+mx+m﹣1＝0， 所以Δ＝m2﹣4×1×（m﹣1）＝（m﹣2）2≥0， 所以方程总有两个实数根； （2）解：因为该方程有一个根为2， 所以22+2m+m﹣1＝0， 解得m＝﹣1． 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $初中数学（RJ）九年级上册 25.2.2 公式法解一元二次方程 学生版 一、课标要求与学习目标 【课标要求】会用公式法解一元二次方程，会用根的判别式 Δ=b²-4ac 判别根的情况（含字母系数的讨论）。 二、知识梳理 知识点 1 　公式法 1.核心思想：用配方法把 ax²+bx+c=0 （a≠0）化为的一般形式，求出求根公式的一般形式。 2.根的判别式 Δ = b² - 4ac：Δ>0 ⟹ 方程有两个不相等的实数根；Δ=0 ⟹ 两个相等的实数根；Δ<0 ⟹ 没有实数根。 3.求根公式：当Δ≥0时，方程 ax²+bx+c=0 （a≠0）的实数根可写为。 4.基本步骤：①将一元二次方程化成一般形式；②确定二次项系数、一次项系数、常数项；③确定根的判别式正负；④代入根据求根公式求解。 5.适用题型：所有一元二次方程。 ★ 重点　求根公式，使用前提是 a≠0 且根号内 Δ=b²-4ac ≥ 0。 ⚠ 易错　①分子分母记反；②忘记 Δ<0 时无实数根；③含字母系数时未讨论a=0。 ◆ 方法　Δ=b²-4ac 是判别式：Δ>0 两不等根，Δ=0 两等根，Δ<0 无实数根；解含参字母系数的方程时，常用"先化一般式 → 代入 Δ 讨论 → 再求根"三步走。 三、典例精析 题型 1 　判断不含参数的一元二次方程组的根的情况　 ★ 点拨　用 Δ=b²-4ac 判别；分别判断 Δ>0、=0、<0 的根的形态。 1．（2026•阜阳二模）下列方程中，没有实数根的是（　　） A．x2+1＝﹣2x B．2x2+x＝﹣1 C．2x2+5x＝0 D．x2﹣x＝3 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根的判别式解答即可． 【解答】解：A、化为一般式得x2+2x+1＝0，Δ＝22﹣4×1×1＝0，方程有两个相等的实根，不符合题意； B、化为一般式得2x2+x+1＝0，Δ＝12﹣4×2×1＝﹣7＜0，方程没有实数根，符合题意； C、化为一般式得2x2+5x＝0，Δ＝52﹣4×2×0＝25＞0，方程有两个不相等的实数根，不符合题意； D、化为一般式得x2﹣x﹣3＝0，Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣3）＝13＞0，方程有两个不相等的实数根，不符合题意． 故选：B． 2．（2026•姚安县二模）方程x2+2x+3＝0的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．只有一个实数根 C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】C 【分析】计算出Δ＝b2﹣4ac的值即可判断． 【解答】解：∵a＝1，b＝2，c＝3， ∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×3＝﹣8＜0， ∴方程没有实数根， 故选：C． 3．（2026•宁明县三模）定义运算：a※b＝a2﹣2ab+1．例如：4※3＝42﹣2×4×3+1＝﹣7．则方程x※（﹣1）＝﹣2的根的情况为（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据新定义运算，将原方程转化为标准一元二次方程，再通过计算判别式的值判断根的情况． 【解答】解：根据题意可知：x2+2x+3＝0， 根的判别式 Δ＝22﹣4×1×3＝4﹣12＝﹣8＜0， ∴该方程无实数根． 故选：C． 题型 2 　判断含参数的一元二次方程的根的情况 ★ 点拨　化一般式后代入 Δ，对参数范围分类讨论（Δ>0、=0、<0）。 1．（2026•安徽模拟）当m﹣n＝2时，关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣2n＝0的根的情况为（　　） A．有两个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根的判别式解答即可． 【解答】解：关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣2n＝0， ∵a＝﹣1，b＝m，c＝﹣2n， ∴Δ＝b2﹣4ac＝m2﹣4×（﹣1）×（﹣2n）＝m2﹣8n， ∵m﹣n＝2， ∴m＝n+2， ∴m2﹣8n＝（n+2）2﹣8n＝（n﹣2）2≥0， ∴Δ＝b2﹣4ac≥0， ∴方程有两个实数根． 故选：A． 2．（2026•梁园区校级模拟）关于x的一元二次方程x2+kx﹣2＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】对于ax2+bx+c＝0（a≠0），当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根，当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，当Δ＜0时，方程没有实数根，据此即可解答． 【解答】解：∵x2+kx﹣2＝0， ∴Δ＝b2﹣4ac＝k2﹣4×1×（﹣2）＝k2+8＞0， 所以原方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 3．（2026•安徽）已知关于x的一元二次方程ax2﹣bx+b﹣a＝0（a≠0）有两个相等的实数根，则（　　） A．﹣2 B． C． D．2 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根的判别式进行计算即可． 【解答】解：由题知， 因为关于x的一元二次方程ax2﹣bx+b﹣a＝0（a≠0）有两个相等的实数根． 所以（﹣b）2﹣4a（b﹣a）＝0， 整理得，b2﹣4ab+4a2＝0， 则（b﹣2a）2＝0， 所以b＝2a， 所以． 故选：D． 题型 3 　根据一元二次方程的根的情况求值或范围　 ★ 点拨　由 Δ>0、=0、<0 列出参数的不等式或等式，求解参数范围。 1．（2026•泌阳县模拟）若关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣6x﹣2＝0有实数根，则a的取值范围为（　　） A． B．a≠3 C．且a≠3 D．且a≠3 【答案】D 【分析】根据根的判别式解答即可． 【解答】解：根据根的判别式可知： Δ＝36+8（a﹣3）≥0且a﹣3≠0， ∴且a≠3 故选：D． 2．（2026•喀什地区模拟）若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x﹣1＝0有实数根，则m的取值范围是（　　） A．m≠2 B．m≥1且m≠2 C．m≤3且m≠2 D．m≥1 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的判别式，有实根，则Δ≥0，由此即可求解． 【解答】解：关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x﹣1＝0有实数根，且a＝m﹣2，b＝2，c＝﹣1， ∴Δ＝22+4（m﹣2）≥0，解不等式得，m≥1， ∵关于x的一元二次方程， ∴m﹣2≠0，即m≠2， ∴m≥1且m≠2． 故选：B． 题型 4 　利用公式法解一元二次方程　 ★ 点拨　写出 a、b、c 代入求根公式；含字母系数时先化一般式。 1．（2026春•德州期末）解方程：3x2﹣5x+1＝0 【答案】， 【分析】根据配方法即可求出答案； 【解答】解：a＝3，b＝﹣5，c＝1， Δ＝b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×3×1＝13＞0， 方程有两个不等的实数根 ∴x， ∴， 2．（2026春•明水县校级月考）解方程：x2﹣5x﹣5＝0． 【答案】，． 【分析】先确定a＝1，b＝﹣5，c＝﹣5，再求出b2﹣4ac，然后根据求根公式解答． 【解答】解：∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣5， ∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣5）＝45＞0， ∴， ∴． 3．（2026春•泰山区期末）解方程：（3x﹣1）（x+1）＝1；（公式法） 【答案】，； 【分析】根据公式法解方程即可 【解答】解：原方程整理得3x2+2x﹣2＝0， ∵a＝3，b＝2，c＝﹣2， ∴b2﹣4ac＝22﹣4×3×（﹣2）＝28＞0， ∴， ∴，． 题型 5 　根的判别式与方程的解　 ★ 点拨　由 Δ 的符号反推根的情况：Δ>0 两不等根，Δ=0 两等根，Δ<0 无实根。 1．（2026•永安市三模）对于一元二次方程ax2+2cx+b＝0（a≠0），若满足a2+b2＝c2，则我们把这样的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． （1）当a＝3，b＝4，c＞0时，求相应的“勾系一元二次方程”的根； （2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”x2+2cx+b＝0必有实数根． 【答案】（1），；（2）见解答过程． 【分析】（1）先根据“勾系一元二次方程”的定义求出c＝5，再解一元二次方程即可； （2）先根据“勾系一元二次方程”的定义求出c2＝1+b2，然后利用根的判别式解答即可． 【解答】（1）解：∵c2＝a2+b2＝32+42＝25． ∵c＞0， ∴c＝5（负舍）， ∴原方程为：3x2+10x+4＝0． ∵Δ＝102﹣4×3×4＝52＞0， ∴， ∴，． （2）证明：由条件可得：c2＝1+b2， ∴， ∵， ∴， ∴关于x的勾系一元二次方程x2+2cx+b＝0必有实数根． 2．（2026春•亳州期中）已知关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+1＝0． （1）若x＝﹣2是该方程的一个解，求k的值； （2）若该方程有实数根，求k的取值范围． 【答案】（1）k1＝﹣1，k2＝﹣3；（2）． 【分析】（1）将x＝﹣2代入x2﹣（2k﹣1）x+k2+1＝0，然后解方程即可得到k1＝﹣1，k2＝﹣3； （2）根据根的判别式Δ≥0，可求得k的取值范围． 【解答】解：（1）由条件可知（﹣2）2﹣（2k﹣1）×（﹣2）+k2+1＝0， 整理得k2+4k+3＝0， 解得k1＝﹣1，k2＝﹣3； （2）由条件可知： [﹣（2k﹣1）]2﹣4×1×（k2+1）＝﹣4k﹣3≥0， 解得， 即时，关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+1＝0有实数根． 3．（2026春•瑶海区校级期末）已知方程x2+bx+c＝0（x为实数），请你解答下列问题： （1）若b＝2，c＝﹣1，解此方程； （2）若b﹣c＝1，求证：此方程至少有一实数根． 【答案】（1）；（2）见解答过程. 【分析】（1）将b＝2，c＝﹣1代入原方程，解一元二次方程即可得到结果； （2）利用一元二次方程根的判别式，结合已知条件b﹣c＝1变形配方，证明判别式大于等于0，即可证明结论． 【解答】解：（1）∵b＝2，c＝﹣1， ∴原方程为x2+2x﹣1＝0， 配方得（x+1）2＝2， 开方得， 解得； （2）对于一元二次方程x2+bx+c＝0， 根的判别式为 Δ＝b2﹣4c， ∵b﹣c＝1， ∴c＝b﹣1， 将c＝b﹣1代入Δ得 Δ＝b2﹣4（b﹣1）＝b2﹣4b+4＝（b﹣2）2， ∵任意实数的平方是非负数， ∴（b﹣2）2≥0，即Δ≥0， ∴此方程至少有一个实数根． 四、同步练习 1．（2025秋•随州期末）若关于x的一元二次方程kx2﹣（2k+1）x+k+2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A． B．且k≠0 C． D．且k≠0 2．（2026春•合肥校级月考）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（　　） A．x2+1＝0 B．2x2+x+1＝0 C．x2﹣4x+4＝0 D．3x2﹣x﹣1＝0 3．（2025秋•玉溪期末）若关于x的方程x2﹣6x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值为（　　） A．﹣9 B．3 C．9 D．36 4．（2026春•玄武区校级期末）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法中正确的个数有（　　） ①若b＝0，则方程总有实数根； ②若b2＝4ac，则方程有两个相等的实数根； ③若a＝b＝c，则方程无实数根； ④若b＝a+c，则方程总有实数根． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2026春•椒江区期末）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则下列成立的是（　　） A．若0＜n＜1，则 B．若0＜n＜1，则 C．若n＞1，则 D．若n＞1，则 6．（2026春•合肥校级期末）关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0满足a﹣b+c＝0，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（　　） A．a﹣2c＝0 B．2a﹣b＝0 C．b+2c＝0 D．a+2c＝0 7．（2026春•北仑区校级期末）探讨关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0总有实数根的条件，以下是三名同学给出的建议．甲：a﹣b﹣1＝0；乙：a，b同号；丙：a+b﹣1＝0．下列判断正确的是（　　） A．甲、乙、丙的建议都正确 B．只有乙的建议不正确 C．甲、乙、丙的建议都不正确 D．只有甲的建议正确 8．（2026春•大连期末）若关于x的一元二次方程ax2﹣3x+4＝0有两个相等的实数根，则a的值为　　 ． 9．（2026春•路桥区期中）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法正确的是　 　 ． ①若4a+2b+c＝0，则b2﹣4ac≥0； ②若方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，则方程ax2+c＝0必有两个不相等的实数根； ③若2026是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定是cx2+bx+a＝0的一个根； ④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则． 10．（2025秋•新会区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 11．（2026春•泰安期中）解方程：3x2﹣5x+1＝0（公式法）． 12．（2026•武威模拟）解方程：x2﹣5x+1＝0 13．（2025春•蔡甸区校级期末）解方程：2x2﹣3x﹣1＝0． 14．（2026春•盐城校级期中）已知关于x的一元二次方程x2+（m+2）x+m+1＝0． （1）若方程有一实数根为3，求m的值； （2）求证：无论m取何值，方程总有实数根． 15．（2026春•全国）小明和小华分别求出了方程4x2+4x﹣1＝0的根． 小明：x1＝x2； 小华：x1＝1，x2． 他们的答案正确吗？说说你的判断方法． 16．（2026春•全国）解关于x的方程：ax2+2x﹣1＝0． 17．（2026春•招远市期末）新运算a★b＝a2﹣2a﹣3b，例如：3★5＝32﹣2×3﹣3×5＝﹣12．若关于x的方程x★m＝5有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）当m＝7时，用配方法解此方程． 18．（2026春•萧山区期末）求方程x2﹣2x﹣4＝0的正数根． 19．（2026春•张店区期中）【阅读材料】 在学习二次根式时，小张同学发现一些含根号的式子可以化成另一表达式的平方． 如：． 【理解运用】 （1）填空：（　　 ）2+（　　 ）2+2（　　 ）2； 【问题解决】 （2）化简：； （3）解方程：． 20．（2025秋•朝阳区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣1＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若该方程有一个根为2，求m的值． 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $