25.2.2 公式法-解一元二次方程（讲义，2大知识8大题型）数学新教材人教版九年级上册

第二十五章 一元二次方程 25.2.2 公式法 知识点一 公式法解一元二次方程 求根公式的定义：一般地，对于一元二次方程，当时，方程的实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式. 公式法定义：求根公式表达了用配方法解一般形式的一元二次方程的结果，解一个具体的一元二次方程时，把各系数代入求根公式，可以直接得出方程的根，这种解一元二次方程的方法叫作公式法。 【解读】 1）求根公式是专门用来解一元二次方程的，故首先明确a≠0.又因为开平方运算时，被开方数必须是非负数，所以第二个条件是，即求根公式使用的前提条件是a≠0且. 2）适用范围：适用于所有一元二次方程，求根公式为 用公式法解一元二次方程的一般步骤： 方法 典例 将一元二次方程整理成一般形式； 将原方程化为一般形式： 确定公式中a、b、c的值； （易错点：忽略系数前面的符号） 求出的值； 当时，将将a、b、c的值代入求根公式：，从而请求出方程的解. 即学即练 1．（25-26九年级上·广东广州·期中）用公式法解一元二次方程时，首先要确定a、b、c的值，下列叙述正确的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，根据一元二次方程的一般形式，即可求解． 【详解】解： ∴，， 故选：D． 2．（25-26九年级上·新疆·期末）若一个一元二次方程的根为， 则该一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的求根公式， 通过比较给定根表达式与求根公式，确定二次项系数a、一次项系数b和常数项c的值，从而得到方程． 【详解】解：∵一元二次方程求根公式为 ， 给定根为， ∴，故， ，故， 又， ∴，代入，得，即，故， 因此方程为， 即， 故选：C． 3．（24-25九年级上·广东江门·期中）一元二次方程的解为______． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．用公式法求解即可． 【详解】解：， ， ， ∴， ∴，． 故答案为： ，． 知识点二 根的判别式 定义：一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母Δ表示，即. 一元二次方程根的情况与判别式的关系： 1）方程有两个不相等的实数根:； 2）方程有两个相等的实数根：； 3）方程没有实数根. 【解读】 1）在实数范围内，一元二次方程的根的情况由确定. 2）已知一元二次方程有两个根，隐含着. 3）一元二次方程根的判别式只运用于一元二次方程，当无法判定方程是不是一元二次方程时应对方程进行分类讨论. 4）若关于x的方程有实数根，应分为两种情况讨论：当a=0时，b≠0； 当a≠0时，. 【注意】 1）使用一元二次方程根的判别式时，应先将方程整理成一般形式，再确定a，b，c的方程； 2）当时，方程有两个相等的实数根，不能说方程只有一个实数根 即学即练 1．（25-26九年级上·河南周口·期末）一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【答案】A 【分析】先确定一元二次方程的各项系数，计算根的判别式，再根据判别式的意义判断根的情况． 【详解】解：∵一元二次方程中，，， ∴ ∴原方程有两个不相等的实数根． 【点睛】本题考查一元二次方程（，、、为常数）的根的判别式的应用，理解判别式对应的根的三种情况是解题的关键，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 2．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）已知关于x的方程有两个实数根，则m的取值范围是（   ） A．且 B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义及判别式的性质，先将方程整理为一元二次方程的标准形式，根据一元二次方程的定义（二次项系数不为0）及判别式的性质（有两个实数根则判别式）求解的取值范围即可． 【详解】将方程整理为标准形式得 又方程有两个实数根 此方程为一元二次方程， 故二次项系数且判别式， 其中，，， 解得， ∴的取值范围是且． 故选：D． 3．（25-26九年级上·山西晋中·期末）若关于x的一元二次方程无实数解，请你写出一个符合题意的k的值是______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程无实数根的条件，判别式需小于零，计算即可得出结果，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解此题的关键． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程无实数解， ∴， 解得：， ∴符合题意的k的值是， 故答案为：（答案不唯一）． 题型01 根据求根公式判断一元二次方程 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·河北唐山·期末）用公式法解关于的一元二次方程，得，则该一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的求根公式与方程的对应关系，将题目给出的根的表达式与求根公式对比，确定、、的值，从而得到原方程． 【详解】解：一元二次方程的一般形式为()，其求根公式为． 题目中给出的根的表达式为，与求根公式对比可得： ，故； ，故； ，故． 因此，该一元二次方程为； 故选：C． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）用公式法解方程时，得，则“”处应填（） A． B．5 C． D．7 【答案】A 【分析】本题考查公式法解一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． 将方程化为标准形式，确定系数、、，再根据求根公式判断“□”处应填． 【详解】解：∵原方程， 移项得， ∴，，． 求根公式为， ∴“□”处应填． 故选A． 2．（25-26九年级上·福建厦门·期中）关于x的一元二次方程的根是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的求根公式，熟记求根公式是解题的关键．直接应用一元二次方程求根公式，代入对应系数计算． 【详解】解：方程 中，，一次项系数为，常数项为． 代入求根公式 ，得： 与选项 A 一致， 故选：A． 3．（25-26九年级上·河南南阳·期中）以为根的一元二次方程是________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的求根公式，熟练掌握求根公式式解题的关键． 通过对比给定的求根公式与标准求根公式，确定一元二次方程的系数，从而得到方程． 【详解】解：给定的求根公式为，标准求根公式为， 对比可得：，因此， ，因此， 根号内部表达式为，得， 因此一元二次方程为，即 故答案为：． 题型02 用公式法解标准形式的一元二次方程 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·上海·月考）点在线段上，且，如果，那么的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设，则，根据题意可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得或（舍去）， 故选：B． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）用公式法解方程时所得到的解正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解一元二次方程，涉及公式法解一元二次方程，利用公式法直接求解即可得到答案，熟悉一元二次方程的常见解法是解决问题的关键． 【详解】解：， ， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 2．（25-26九年级上·陕西榆林·月考）定义一种新运算：，例如：．若，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义运算及一元二次方程的解法，根据新定义可得，解方程即可． 【详解】解：， 解得， 故答案为． 3．（25-26九年级上·吉林白山·期末）解方程：． 【答案】． 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，直接利用公式法解方程即可． 【详解】解： ∵， ∴， ∴， 解得． 题型03 用公式法解非标准形式的一元二次方程 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·四川绵阳·期中）若方程是关于x的一元二次方程，则方程的根是（　　） A． ， B．， C． ， D．以上答案都不对 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此确定m的值，然后代入方程求解根，与选项对比即可得到答案． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴， ∴， ∴原方程为，即， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）一元二次方程的根的情况是（   ） A．没有实数根 B．有一个正根，一个负根 C．有两个正根，且都小于3 D．有两个正根，且有一根大于3 【答案】D 【详解】一元二次方程化简，得． ，， ， 即． ， 该方程有两个正根，且有一根大于3． 2．（25-26九年级上·广东揭阳·期末）对于实数a，b，定义：，．若，且满足，则____________________ ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，解一元二次方程．理解新定义运算是解题的关键． 根据新定义运算，将给定表达式转化为关于 的方程，然后求解二次方程，并根据 的条件选取合适的根． 【详解】由定义和，得则 即 ， 由于 ，故取 故答案为：． 题型04 不解方程，判断根的情况 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·广东江门·期中）一元二次方程的实数根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，通过计算判别式与0的大小关系，即可判断方程实数根的情况. 【详解】∵一元二次方程中，，，， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根. 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）方程的根的情况是（   ） A．两实根的和为 B．两实根的积为3 C．有两个不相等的正实数根 D．没有实数根 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义； 利用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况即可． 【详解】解：在方程中，，，． ， ∴方程没有实数根． 故选：D． 2．（25-26九年级上·河南周口·期末）将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，则方程的根的情况为（    ） A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根 C．没有实数根 D．有两个相等的实数根 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先根据新定义将方程转化为一元二次方程的一般形式，再利用根的判别式判断根的情况． 【详解】解：由题意知， ∴， 整理得， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 3．（25-26九年级上·山东济宁·期末）下列方程无解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式．通过计算每个一元二次方程的判别式，若，则方程无实数解，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、∵，∴，方程有解，故该选项不符合题意； B、∵，∴，方程有解，故该选项不符合题意； C、∵，∴，方程有解，故该选项不符合题意； D、∵，∴，∴，方程无解，故该选项符合题意； 故选：D． 题型05 已知方程根的情况，求参数的取值范围 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·江苏扬州·月考）一元二次方程有两个不等实根，则的取值范围是______． 【答案】且 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义和根的判别式，根据一元二次方程的定义可知，二次项系数不为，再由方程有两个不相等的实数根，可得根的判别式大于． 【详解】解：因为是一元二次方程， 所以． 因为方程有两个不相等的实数根， 所以方程根的判别式，即 解得. 所以的取值范围为且． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）若关于x的一元二次方程有实数根，则实数t的取值范围是_________． 【答案】 【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数即可，掌握相关知识是解题的关键．根据一元二次方程有实数根的条件，判别式大于或等于零． 【详解】解：一元二次方程中，，，， 判别式 ， 由 ，得 ，即 ， 所以 ． 故答案为： ． 2．（25-26九年级上·甘肃武威·月考）关于的一元二次方程没有实数根，那么的值可以是___________．（写出一个即可） 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 根据一元二次方程根与判别式的关系，当判别式小于零时，方程没有实数根，由此求出m的取值范围，并选取一个符合条件的值． 【详解】解：由题意得，． 解得． 因此，m的值可以是1． 故答案为：1（答案不唯一）． 3．（25-26九年级上·湖南湘西·月考）若关于变量x的方程有且仅有一个实根，则______． 【答案】3或7/7或3 【分析】本题主要考查了方程的根，分类讨论是解题的关键； 方程有且仅有一个实根需分两种情况讨论：当二次项系数为零时为一元一次方程，有一个实根；当二次项系数不为零时为一元二次方程，判别式为零． 【详解】解：方程 ， 当 即 时，方程化为 ，解得 ，有且仅有一个实根． 当 即 时，方程为一元二次方程， 判别式 ． 令 ，得 ，即 ，整理得 ， 解得 ． 验证 时，，符合条件． 故 答案为： 3 或 7． 题型06 应用判别式证明方程根的情况 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·云南文山·期中）已知关于x的方程 (1)求证：此方程总有实数根； (2)若方程有两个相等的实数根，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根，也考查了解一元二次方程，掌握根的判别式是解决本题的关键． （1）先计算根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）利用根的判别式的意义得到，则可得到． 【详解】（1）证明： ， 方程总有实数根； （2）解：方程有两个相等的实数根， ， 解得． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·江苏连云港·月考）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，方程总有实数根； (2)若方程有一个根不小于5，求m的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． （1）根据根的判别式求出的值，再进行判断即可； （2）解方程得到，，根据方程有一个根不小于5，得到不等式，解不等式即可得到结论． 【详解】（1） 证明：∵，，， ∴， ∵是非负数， ∴． ∴无论m取何实数时，原方程总个实数根； （2） 解：， 解得，， ∵原方程有一个根不小于5， ∴， ∴． 2．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）关于的一元二次方程． (1)求证：此方程必有实数根； (2)若方程有两个相等的实数根，求此时方程的根． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式及其解法，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键； （1）根据一元二次方程根的判别式可进行求解； （2）由（1）可知，然后问题可求解． 【详解】（1）证明：∵是关于的一元二次方程， ∴， ， 方程必有的实数根； （2）解：由（1）可知：当时，方程有两个相等的非零实数根， ， 方程即， 解得． 3．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）关于的方程． (1)求证：不论取何值，方程总有两个实数根； (2)若方程有两个相等的实数根，请求出的值并求此时方程的根． 【答案】(1)见解析 (2)，此时方程的根为 【分析】本题考查了根的判别式以及公式法解一元二次方程； （1）由根的判别式，可证出：不论取何值，方程总有两个实数根； （2）由关于的方程有两个相等的实数根，可得出根的判别式，解之可得出的值，将其代入原方程，再利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）证明： ， 不论取何值，方程总有两个实数根； （2）解：关于的方程有两个相等的实数根， ， 解得：． 将代入原方程得：， 即 解得：， 的值为，此时方程的根为． 题型07 含参方程的根的情况分类讨论 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·江西景德镇·期中）若关于的方程有实数根，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式． 分两种情况讨论：当时，方程变为一次方程，有实数根；当时，方程为一元二次方程，利用根的判别式求解． 【详解】解：当，即时，方程为，解得，有实数根； 当，即时，方程为一元二次方程，判别式， 由得，解得， 综上，实数的取值范围是． 故答案为：． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25九年级上·北京海淀·期中）若关于的方程有实数根，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义．当，即时，原方程为一元一次方程，解得可得出x的值，进而可得出符合题意；当，即时，利用根的判别式，可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，进而可得出且．综上，即可得出m的取值范围． 【详解】解：当，即时，原方程为， 解得：， ∴符合题意； 当，即时，， 解得：， ∴且． 综上所述，m的取值范围是． 故答案为：． 2．（24-25九年级上·全国·期中）已知方程有实数根，则k的取值范围是_______ 【答案】 【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根；若，则方程有两个相等的实数根；若，则方程没有实数根．分类讨论当时和时两种情况，即可求解． 【详解】解：当时，原方程为，解得，满足题意； 当时，原方程可化为 由题意得：，解得：； 综上所述：， 故答案为：． 3．（2025九年级上·全国·专题练习）已知关于x的方程． (1)若方程有实数根，求k的取值范围． (2)若方程有两个相等的实数根，求k的值，并求此时方程的根． 【答案】(1)k的取值范围为 (2)， 【分析】（1）分两种情况讨论，当k≠0时，该方程为一元二次方程；当k＝0时，该方程为一元一次方程，再分别求得k的取值范围即可； （2）只要让根的判别式△=，求得k的值，进而求得方程的解即可． 【详解】解：（1）当时，方程为一元一次方程，有解，满足题意； 当时，方程为一元二次方程． 方程有实数根，， 解得，则且． 综上所述，k的取值范围为． （2）方程有两个相等的实数根， ，且，解得， 原方程为，解得． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及解法，熟练掌握一元二次方程根的判别式及解法是解题的关键. 题型08 判别式与几何图形综合 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·四川宜宾·月考）已知关于的一元二次方程.若的两边，的长是这个方程的两个实数根.第三边的长为5，当是等腰三角形时，的值为（   ） A．3或4 B．4或5 C．5 D．4 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的解和等腰三角形，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 先利用公式法求出方程的解为，然后分类讨论：或时为等腰三角形，然后求出k的值． 【详解】解：， 解得， ，的长是这个方程的两个实数根， ， ，中有一个数为5． 当时，解得，此时三边分别为，能构成三角形，则是等腰三角形， 当时，此时三边分别为，能构成三角形，是等腰三角形， 即k为值为：5或4． 故选：B． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25九年级上·安徽宿州·期中）如图，在矩形中，，先以顶点B为圆心，以边为半径作弧交对角线于点E，再以顶点D为圆心，以边为半径作弧交对角线于点 F，则方程 的一个正根是（     ）      A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理、一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理求出，利用求根公式解方程，比较即可． 【详解】解：∵四边形是矩形 ∴ 在中，由勾股定理得，， ∴， 解方程得， ∴线段的长是方程的一个根． 故选：C． 2．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，在矩形中，以点为圆心，为半径作弧与交于点，以点为圆心，为半径作弧与交于点．设，，则（   ） A．线段的长是方程的一个解 B．线段的长是方程的一个解 C．线段的长是方程的一个解 D．线段的长是方程的一个解 【答案】A 【分析】根据勾股定理求出的长，由作法得，，由线段的和差关系可得，，再分别求出方程，，，的解，从而求解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， 由作法知：，， ∴，， A．解方程，得：， ∴线段的长是方程的一个解，故此选项符合题意； B．解方程，得：， ∴线段的长不是方程的解，故此选项不符合题意； C．解方程，得：， ∴线段的长不是方程的解，故此选项不符合题意； D．解方程，得：， ∴线段的长不是方程的解，故此选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，解一元二次方程，得到，是解题的关键． 3．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图，将矩形沿线段翻折，使点恰好落在边上的点处，再沿边将矩形剪开，所得的另一个矩形和原来的矩形相似，则原来的矩形的宽与长的比值为______． 【答案】 【分析】根据翻折变换的性质得到，根据相似多边形的性质得到比例式，整理得到一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：由翻折变换的性质可知，， 则， ∵矩形和矩形相似， ∴，即， 整理得，， 解得，（负值已舍去）， ∴原来的矩形的宽与长的比值为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十五章 一元二次方程 25.2.2 公式法 知识点一 公式法解一元二次方程 求根公式的定义：一般地，对于一元二次方程，当时，方程的实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式. 公式法定义：求根公式表达了用配方法解一般形式的一元二次方程的结果，解一个具体的一元二次方程时，把各系数代入求根公式，可以直接得出方程的根，这种解一元二次方程的方法叫作公式法。 【解读】 1）求根公式是专门用来解一元二次方程的，故首先明确a≠0.又因为开平方运算时，被开方数必须是非负数，所以第二个条件是，即求根公式使用的前提条件是a≠0且. 2）适用范围：适用于所有一元二次方程，求根公式为 用公式法解一元二次方程的一般步骤： 方法 典例 将一元二次方程整理成一般形式； 将原方程化为一般形式： 确定公式中a、b、c的值； （易错点：忽略系数前面的符号） 求出的值； 当时，将将a、b、c的值代入求根公式：，从而请求出方程的解. 即学即练 1．（25-26九年级上·广东广州·期中）用公式法解一元二次方程时，首先要确定a、b、c的值，下列叙述正确的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（25-26九年级上·新疆·期末）若一个一元二次方程的根为， 则该一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·广东江门·期中）一元二次方程的解为______． 知识点二 根的判别式 定义：一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母Δ表示，即. 一元二次方程根的情况与判别式的关系： 1）方程有两个不相等的实数根:； 2）方程有两个相等的实数根：； 3）方程没有实数根. 【解读】 1）在实数范围内，一元二次方程的根的情况由确定. 2）已知一元二次方程有两个根，隐含着. 3）一元二次方程根的判别式只运用于一元二次方程，当无法判定方程是不是一元二次方程时应对方程进行分类讨论. 4）若关于x的方程有实数根，应分为两种情况讨论：当a=0时，b≠0； 当a≠0时，. 【注意】 1）使用一元二次方程根的判别式时，应先将方程整理成一般形式，再确定a，b，c的方程； 2）当时，方程有两个相等的实数根，不能说方程只有一个实数根 即学即练 1．（25-26九年级上·河南周口·期末）一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 2．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）已知关于x的方程有两个实数根，则m的取值范围是（   ） A．且 B．且 C． D．且 3．（25-26九年级上·山西晋中·期末）若关于x的一元二次方程无实数解，请你写出一个符合题意的k的值是______． 题型01 根据求根公式判断一元二次方程 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·河北唐山·期末）用公式法解关于的一元二次方程，得，则该一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）用公式法解方程时，得，则“”处应填（） A． B．5 C． D．7 2．（25-26九年级上·福建厦门·期中）关于x的一元二次方程的根是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·河南南阳·期中）以为根的一元二次方程是________． 题型02 用公式法解标准形式的一元二次方程 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·上海·月考）点在线段上，且，如果，那么的长为（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）用公式法解方程时所得到的解正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·陕西榆林·月考）定义一种新运算：，例如：．若，则的值为_____． 3．（25-26九年级上·吉林白山·期末）解方程：． 题型03 用公式法解非标准形式的一元二次方程 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·四川绵阳·期中）若方程是关于x的一元二次方程，则方程的根是（　　） A． ， B．， C． ， D．以上答案都不对 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）一元二次方程的根的情况是（   ） A．没有实数根 B．有一个正根，一个负根 C．有两个正根，且都小于3 D．有两个正根，且有一根大于3 2．（25-26九年级上·广东揭阳·期末）对于实数a，b，定义：，．若，且满足，则____________________ ． 题型04 不解方程，判断根的情况 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·广东江门·期中）一元二次方程的实数根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）方程的根的情况是（   ） A．两实根的和为 B．两实根的积为3 C．有两个不相等的正实数根 D．没有实数根 2．（25-26九年级上·河南周口·期末）将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，则方程的根的情况为（    ） A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根 C．没有实数根 D．有两个相等的实数根 3．（25-26九年级上·山东济宁·期末）下列方程无解的是（   ） A． B． C． D． 题型05 已知方程根的情况，求参数的取值范围 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·江苏扬州·月考）一元二次方程有两个不等实根，则的取值范围是______． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）若关于x的一元二次方程有实数根，则实数t的取值范围是_________． 2．（25-26九年级上·甘肃武威·月考）关于的一元二次方程没有实数根，那么的值可以是___________．（写出一个即可） 3．（25-26九年级上·湖南湘西·月考）若关于变量x的方程有且仅有一个实根，则______． 题型06 应用判别式证明方程根的情况 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·云南文山·期中）已知关于x的方程 (1)求证：此方程总有实数根； (2)若方程有两个相等的实数根，求m的值． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·江苏连云港·月考）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，方程总有实数根； (2)若方程有一个根不小于5，求m的取值范围． 2．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）关于的一元二次方程． (1)求证：此方程必有实数根； (2)若方程有两个相等的实数根，求此时方程的根． 3．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）关于的方程． (1)求证：不论取何值，方程总有两个实数根； (2)若方程有两个相等的实数根，请求出的值并求此时方程的根． 题型07 含参方程的根的情况分类讨论 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·江西景德镇·期中）若关于的方程有实数根，则的取值范围是_______． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25九年级上·北京海淀·期中）若关于的方程有实数根，则的取值范围是_____． 2．（24-25九年级上·全国·期中）已知方程有实数根，则k的取值范围是_______ 3．（2025九年级上·全国·专题练习）已知关于x的方程． (1)若方程有实数根，求k的取值范围． (2)若方程有两个相等的实数根，求k的值，并求此时方程的根． 题型08 判别式与几何图形综合 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·四川宜宾·月考）已知关于的一元二次方程.若的两边，的长是这个方程的两个实数根.第三边的长为5，当是等腰三角形时，的值为（   ） A．3或4 B．4或5 C．5 D．4 变｜式｜巩｜固 1．（24-25九年级上·安徽宿州·期中）如图，在矩形中，，先以顶点B为圆心，以边为半径作弧交对角线于点E，再以顶点D为圆心，以边为半径作弧交对角线于点 F，则方程 的一个正根是（     ）      A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 2．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，在矩形中，以点为圆心，为半径作弧与交于点，以点为圆心，为半径作弧与交于点．设，，则（   ） A．线段的长是方程的一个解 B．线段的长是方程的一个解 C．线段的长是方程的一个解 D．线段的长是方程的一个解 3．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图，将矩形沿线段翻折，使点恰好落在边上的点处，再沿边将矩形剪开，所得的另一个矩形和原来的矩形相似，则原来的矩形的宽与长的比值为______． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $