25.2.3 因式分解法 教案 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该教案聚焦因式分解法解一元二次方程，通过复习直接开平方法、配方法、公式法及因式分解知识，搭建新旧知识桥梁，以实际问题情境自然引出新知，梳理解法脉络。 亮点在于以竖直上抛问题体现数学眼光观察现实世界，对比三种解法培养数学思维的择优意识，分层练习与特色作业强化数学语言表达，助力学生深化转化思想，为教师提供系统教学资源提升课堂效率。

第二十五章 一元二次方程 25.2.3 因式分解法   一、教材分析 因式分解法是人教版一元二次方程四种解法收尾内容，承接直接开平方法、配方法、公式法，是解特殊一元二次方程最简便的解法. 它以整式因式分解、乘法分配律、零乘积性质为前置知识，既是对前面三种解法的补充优化，也为后续一元二次方程实际应用、二次函数、分式化简、高次方程降次求解奠定运算基础. 在整章体系里，它完善一元二次方程解法体系，凸显“降次转化”这一解一元二次方程核心思想，同时衔接初中代数恒等变形主线，是代数运算体系关键节点，兼具工具性与思想性双重价值. 教材先借助竖直上抛实际问题列出方程10x-5x2 =0，结合实际意义引出因式分解解法；依托“若ab=0；则a=0或b=0”原理，讲解因式分解法降次解方程的原理；通过例4两类典型题型，讲解移项整理、提公因式、平方差因式分解解方程步骤；对比配方法、公式法、因式分解法各自优缺点，归纳解一元二次方程通用思路“二次化一次、降次求解”；最后设置分层练习题，包含基础解方程、实际几何面积应用题，巩固解法并落地实际应用，由实际情境——原理推导——例题示范——方法对比——习题应用，逻辑层层递进，由具象到抽象，由方法学习到思想提炼.   二、教学目标 1.掌握因式分解法解一元二次方程步骤，理解零乘积原理，能规范用提公因式、平方差分解解方程. 2.会先移项整理方程为一边为 0 形式，辨析 “或” 逻辑含义，能根据方程特点择优选用三种解法. 3.经历实际列方程→因式分解降次→归纳解法的探究过程，深化 “二次转一次” 转化思想. 4.感受解法多样化与简便性，养成先观察再选法的运算习惯，体会数学简化思想的实用价值.   三、教学重难点 重点：掌握因式分解法解一元二次方程步骤，理解零乘积原理，能规范用提公因式、平方差分解解方程. 难点：会先移项整理方程为一边为 0 形式，辨析 “或” 逻辑含义，能根据方程特点择优选用三种解法.   四、教学过程 · 复习回顾 问题1：我们学过的解一元二次方程的方法有哪些? 答：(1)直接开平方法：x2=a(a≥0)或(mx+n)2=a(a≥0) (2)配方法：(x+h)2=k(k≥0) (3)公式法：x＝ (b2-4ac≥0) 问题2：将下列各题因式分解： (1)am +bm +cm= . (2)a2-b2= . (3) a22ab+b2 = . 答：(1)m(a+b+c)；(2) (a+b)(a-b)； (3) (ab)2 师生活动：教师抛出两个回顾问题，点名学生口头回答一元二次方程三种解法；再请三名学生依次上台填写因式分解结果，其余学生草稿书写核对，师生共同订正纠错，梳理提公因式、平方差、完全平方公式. 设计意图：唤醒旧知，衔接因式分解与解方程知识，为因式分解法降次解方程铺垫基础，搭建新旧知识桥梁，顺势引出本节课新知. · 探究新知 活动一：探究用因式分解法解一元二次方程 问题3：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以 10 m/s 的速度竖直上抛，那么物体经过 x s 后的离地高度(单位：m)约为 10x-5x2 . 根据上述规律，物体经过多少秒落回地面? 师生活动：教师抛出竖直上抛实际问题，引导学生列方程；学生先用配方法、公式法解题，教师顺势提问简便解法，组织学生探究因式分解降次思路，讲解零乘积原理，师生共同归纳因式分解法定义、依据与解题实质. 设物体经过 x s 落回地面，这时它离地面的高度为0 m ，即 10x-5x2= 0 自己尝试用学过的方法解这个一元二次方程. 问题4：解一元二次方程10x-5x2=0 . 方法一：配方法 解：二次项系数化为1，得： x2-2x=0 配方，得： x2-2x+12=12 (x-1)2=1 由此可得 x-1=1 即 x1=0，x2=2 方法二：公式法 5x2-10x= 0 因为a=5，b=-10，c=0， 所以Δ=b2-4ac=100>0 方程有两个不相等的实数根 x= 即 x1=0，x2=2 问题5：用配方法或公式法解方程10x-5x2=0 都不简单，你能想到别的简单方法解这个方程吗? 思路：方程的右边为0，左边可以因式分解，得x(10-5x) = 0 这个方程的左边是两个一次因式的乘积，右边是0. 我们知道，如果两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反之，如果两个因式中任何一个为0，那么它们的积也等于0. 知识小贴士：如果ab=0，那么a=0，或b=0. 结论：利用“因式的乘积为0”的性质，可以求解此类方程. ①因式分解 原方程10x-5x2=0可因式分解为 x(10-5x)=0 ②求根 由乘积为零的性质，得 x=0，或(10-5x) = 0 解得 x1= 0，x2=2. 结论：方程10x-5x2=0的两个根是 x1= 0，x2=2 ③实际意义 对于这两个根，x1=0表示物体抛离地面的时刻，即在 0 s 时物体被抛出，此刻物体的高度是 0 m ；而x2=2表示物体在抛离地面 2 s 时落回地面. 问题6：解方程10x-5x2=0时，二次方程是如何降为一次的? 答：可以发现，在上述解法中，由10x-5x2＝0到x=0或10-5x=0的过程，不是用开平方降次，而是先分解因式，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法. 总结：适合用因式分解法求解的一元二次方程的特点：方程一边为0，另一边易于分解成两个一次因式乘积的形式. 因式分解法的理论依据：若两个因式的积为0，则这两个因式至少有一个为0． 实质：将一个一元二次方程降次，转化为两个一元一次方程． 注意：(1)解方程时需先将方程右边化为 0，再对左边因式分解. (2) 整理后缺项的一元二次方程用因式分解法求解较简单. 设计意图：依托实际情境引出新知，对比旧解法凸显因式分解法简便性，理解降次转化核心思想，明晰解法原理与适用特征，完成新知自然生成. 问题7：解下列方程： (1) x(x-2)＋x-2=0； (2)5x2-2x-=x2-2x+． 师生活动：教师出示两道典型例题，先让学生独立尝试求解，指名学生板演解题过程；师生共同订正点评，分析整体提公因式、平方差分解技巧，再组织学生分组梳理因式分解法四步解题步骤，教师补充丢根易错提醒. 解：(1)左边因式分解，得 (x-2)(x+1)=0． 于是 x-2=0，或x+1=0． 即 x1=2，x2=-1． 总结：因式分解法解一元二次方程，不必急于化为一般式，应先观察式子特征，有公因式就提取；如本例中把 x－2 看作一个整体提公因式，解题更简便． (2)移项、合并同类项，得 4x2-1=0． 左边因式分解，得 (2x+1)(2x-1)=0． 于是 2x+1=0，或2x-1=0， 即 x1=- ，x2=． 总结：常用方法：(1) 提公因式法：把多项式各项的公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式． (2) 逆用平方差公式(a＋b)(a-b)＝a2-b2和完全平方公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2来分解因式． 问题8：你能根据前面的解题过程，总结出用因式分解法解一元二次方程的一般步骤吗？ (1)移：移项，将方程的右边化为0. (2)分：将方程左边分解为两个一次因式的乘积. (3)化：令每个因式等于0，转化为两个一元一次方程. (4)解：分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 简记歌诀：右化零，左分解，两因式，各求解. 注意：不能随意在方程两边约去含未知数的代数式，如x(x-1)=x，若约去x，则会丢失x=0这个根. 设计意图：巩固因式分解解方程的实操方法，突破整体分解难点，归纳标准化解题流程，明确易错陷阱，夯实本课解题规范，深化降次转化的核心思想. 活动二：探究择优合适方法解方程 问题9：学习了配方法、公式法、因式分解法等求解一元二次方程的方法后，你能说说它们各自的特点吗? 师生活动：教师抛出对比问题，组织学生小组交流三种解法特点，小组代表发言汇总；师生共同梳理不同形式方程的最优解法选择策略，提炼“降次转化”核心思路，教师点拨归纳解题择优判断技巧，完善知识体系. 答：配方法： 配方法要先配方，再开方，进而降次. 公式法： 直接利用求根公式解方程. 因式分解法：因式分解法要先将方程一边化为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0. 总结：配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法只在解某些一元二次方程时比较简便. 总之，解一元二次方程的基本思路是：先将二次方程化为两个一次方程，即降次，再分别解两个一次方程. 一元二次方程的解法选择： 1.一般地，当一次项系数为0时(ax2+c=0)，应选用直接开平方法. 2.若常数项为0(ax2+bx=0)，应选用因式分解法. 3.化为一般式(ax2+bx+c=0)后，若一次项系数和常数项都不为0，先看左边是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，否则就选用公式法或配方法：此时若二次项系数为1，且一次项系数为偶数，则可选用配方法；否则可选公式法，系数含根式时也可选公式法. 设计意图：辨析三种解法优劣，建立方程题型与解法的匹配思维，形成择优解题意识，深化降次本质理解，提升学生灵活选择方法、高效解方程的综合能力. · 应用新知 【经典例题】 师生活动：教师出示两道综合例题，先给学生独立思考时间，指名学生口述解题思路；教师点评零乘积性质的几何应用，带领学生完成根的代入求值运算，纠正逻辑疏漏，完整梳理解题步骤，全班订正完善书写格式. 例1 若，，为的三边长，且，，满足，则的形状是             三角形． 分析： ， 或 或(含a=b=c的等边情形) 是等腰三角形(含等边三角形情形) 故答案为：等腰或等边． 答：等腰或等边 例2如果是关于的一元二次方程的一个根，求的值及另一个根． 解：把代入方程，得 ， 即． 因式分解，得 ． 于是得 ，或， 即，． 把或分别代入方程， 得． ，，， ． ． ，． 的值为或，另一个根为． 设计意图：拓展因式分解法应用场景，联动几何、方程知识，深化对“积为0则至少一因式为0”的理解，锻炼综合解题能力，落实知识融会贯通. · 课堂练习 【教材练习】 1.解下列方程： (1) x2+x=0； (2) x2-x=0； (3) 3x2-6x=-3； (4) 4x2-81=0； (5) 3x(2x+1)=4x+2； (6) (x-4)2=(5-2x)2. 解：(1)左边因式分解，得 x(x+1)=0． 于是x=0，或x+1=0． 即 x1=0，x2=-1． (2)左边因式分解，得 x(x-)=0． 于是 x=0，或x-=0． 即 x1=0，x2=． (3)移项，得 3x2-6x+3=0 二次项系数化为1，得 x2-2x+1=0 左边因式分解，得 (x-1)2=0． 即 x1=x2=1． (4)左边因式分解，得 (2x-9)(2x+9)=0． 于是2x-9=0，或2x+9=0. 即 x1=，x2=-． (5)移项，得 3x(2x+1)-(4x+2)=0 3x(2x+1)-2(2x+1)=0 左边因式分解，得 (2x+1)(3x-2)=0 2x+1=0，或3x-2=0． 即 x1=-，x2=． (6)移项，得 (x-4)2-(5-2x)2=0 左边因式分解，得(x-4-5+2x)(x-4+5-2x)=0 (3x-9)(1-x)=0 于是 3x-9=0，或1-x=0. 即 x1=3，x2=1． 2.如图，把小圆形场地的半径增加 5 m，得到大圆形场地，大圆形场地与小圆形场地的面积比为 9∶4. 求小圆形场地的半径. 解：设小圆形场地的半径为 r m，则大圆形半径为 (r+5) m. 由题意，得： 整理得： ∵半径为正，∴方程取正平方根. ∴ ，解得 r=10 答：小圆形场地的半径为 10 m. 师生活动：教师布置课堂练习，学生独立完成六道解方程与几何应用题，两名学生上台板演；师生逐题核对答案，针对整体提公因式、平方差分解易错点点评，梳理实际问题验根要点，规范解题步骤. 设计意图：分层巩固因式分解法各类题型解法，强化移项、变形、分解解题流程，对接几何实际应用，锻炼建模解题能力，查漏补缺夯实本节课重难点. 【限时训练】 1.若的两根分别是与，则多项式可以分解为(     ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：的两根分别是与， ， ， 故选：． 2.若关于的一元二次方程的常数项为，则两个根为(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D  【解析】解：关于的一元二次方程的常数项为， 且， 解得：， 方程为， 解得：或， 故选：． 3.若三角形两边长分别为和，第三边的长是方程的根，则此三角形的周 长为(     ) A. B. C. 或 D. 或 【答案】A  【解析】解：， ， ， 或， 当时， ， 、、不能组成三角形， 当时， ， 、、能组成三角形， 该三角形的周长为， 故选：． 4.我们在八年级的因式分解中已经初步接触过“十字相乘法”因式分解，即如：“十字相乘法”也可以用于解一元二次方程． 一元二次方程的解为          ； 若，则的值为          ； 如果，那么的值为          ． 【答案】(1)x1＝6，x2＝－2  (2)－1  (3)2  5.用因式分解法解下列方程： ； ； ； ． 【答案】(1)解：因式分解，得 x（x－3）＝0， ∴x＝0或x－3＝0， ∴x1＝0，x2＝3； (2)移项，得2y（2＋y）＋（y＋2）＝0， 因式分解，得（2y＋1）（2＋y）＝0， ∴2y＋1＝0或2＋y＝0， ∴， y2＝－2； (3)因式分解，得 （2x－1＋x）（2x－1－x）＝0， ∴3x－1＝0或x－1＝0， ∴， x2＝1； (4)因式分解，得 （x－3）（x＋1）＝0， ∴x－3＝0或x＋1＝0， ∴x1＝3，x2＝－1.  师生活动：教师出示分层提升练习题，学生独立完成作答，选取学生代表上台板演；师生逐题讲评，针对根与因式关系、参数取值、三角形三边取舍、分式与零指数隐藏限制条件重点剖析，梳理易错点，完善解题逻辑. 设计意图：拔高知识综合性，串联韦达雏形、几何三边、分式隐含约束等内容，灵活运用因式分解法解题，破除思维定式，提升学生审题辨析、综合解题与严谨验根的能力. · 课堂总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容. 1.本节课你学到了什么？ 2.因式分解法解一元二次方程的定义是什么？ 3.因式分解法解一元二次方程的理论依据是什么？ 4.说一说因式分解法解一元二次方程的步骤？ 设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识. · 特色作业 主题：一元二次方程解法择优探究小报告 任务：1自行选取三道不同形式一元二次方程：①可提公因式型；②平方差结构型；③不易因式分解型. 2.分别用因式分解法、公式法逐一求解，对比每道题两种方法的计算步骤多少、运算繁琐程度. 3.梳理什么样的方程优先用因式分解法，总结因式分解法 “降次求解” 的本质逻辑. 要求：1. 解题步骤书写规范，对比分析条理清楚，明确提炼选择解法的判断技巧. 2.独立完成，感悟转化思想，全文控制在 180 字左右. 学科网（北京）股份有限公司 $