第11讲 对数与对数函数 讲义-2027届高三数学一轮复习（中等难题突破）

该高中数学讲义聚焦对数与对数函数高考核心考点，涵盖概念、运算性质、换底公式、函数图象与性质及反函数等内容，按“概念-运算-性质-应用”逻辑架构知识体系，通过考点梳理、题型分类讲解、解题方法指导及真题训练，帮助学生系统构建知识网络，突破运算化简、函数单调性等难点。 资料突出数学运算、逻辑推理与直观想象素养培养，创新采用“概念辨析-典例建模-分层训练”模式，如通过沙漏实际应用问题（例6）强化数学建模，结合函数图象变化趋势分析（例10）提升直观想象，设置基础到综合变式训练，确保高效复习，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰教学路径。

1．理解对数的概念和运算性质，灵活应用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数，了解对数在简化运算中的作用，通过指、对数互化，培养数学运算、逻辑推理、直观想象等素养． 2．理解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并理解对数函数的单调性与特殊点，通过掌握对数函数的图象及性质，培养直观想象、逻辑推理等素养． 3．通过对数函数的应用，提升逻辑推理、数学运算等素养，知道对数函数(a＞0且a≠1)与指数函数(a＞0且a≠1)互为反函数． 1．对数的概念 一般地，如果(a＞0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．几个恒等式：①；②；③；④． 2．两个重要对数 （1）常用对数：以10为底数的对数lgN； （2）自然对数：以无理数e＝2.71828…为底数的对数lnN． 几个近似值：e≈2.7；e2≈7.4；e3≈20；≈1.65，ln2≈0.7；ln3≈1.1；ln5≈1.6；ln7≈1.9． 3．对数的运算性质 如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么 （1）；（2）；（3）． 4．对数换底公式 （a＞0，且a≠1；b＞0；c＞0，且c≠1）． 三个常用推论：①；②；③． 5．对数函数的概念 一般地，函数(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域为(0，)． 6．对数函数的图象与性质 a＞1 0＜a＜1 图象 定义域 (0，) 值域 R 性质 定点 图象过定点(1，0) 单调性 在(0，)上是增函数 在(0，)上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 函数值的 变化情况 当x＞1时，y＞0； 当x＝1时，y＝0； 当0＜x＜1时，y＜0． 当x＞1时，y＜0； 当x＝1时，y＝0； 当0＜x＜1时，y＞0． 注：的图象与的图象关于x轴对称． 7．对数函数图象的变化趋势 当对数函数的底数a＞1时，a越大，增长越慢，图象在x轴上方越靠近x轴；当0＜a＜1时，a越小，图象在x轴下方越靠近x轴． 8．反函数 一般地，指数函数(a＞0且a≠1)与对数函数(a＞0且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换． 互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称；互为反函数的两个函数具有相同的单调性． 题型一：对数及其运算 1．对数的概念及指数式与对数式的互化 例1．（1）对数式中实数a的取值范围是 ． （2）若，，则的值为 ． 【解析】（1）a﹣2＞0，a﹣2≠1，且5﹣a＞0，则a＞2，a≠3，且a＜5，解得2＜a＜5且a≠3，故a的取值范围是(2，3)(3，5)． （2）因为，，所以，，，则＝＝＝16． 2．对数恒等式及对数运算性质的应用 例2．（1）若＝1，则x＝ ． （2）若，则x＝ ． （3）＝ ． 【解析】（1）2x2﹣1＝3x2＋2x﹣1，则x(x＋2)＝0，解得x＝0或﹣2，当x＝0时，2x2﹣1＝3x2＋2x﹣1＝﹣1＜0，不符题意，舍，故x＝﹣2． （2）由题意得，，所以，故x＝43＝64． （3）＝＝＝18﹣48＋27＋＝． 例3．求下列各式的值： （1）； （2）； （3）． 【解析】解：（1）原式＝＝6＋2＝8； （2）原式＝＝＝＝＝1； （3）原式＝＝＝＝1． 3．换底公式的运用 例4．（1）若＝8，则x＝ ． （2）已知a＞1且，则a＝ ． （3）已知a，b，c是不等于1的正数，且，，则abc＝ ． （4）已知，，则＝ ．（用m，n表示） 【解析】（1），则＝2，x＝25． （2）因为，所以，则，整理得：＋﹣1＝0，解得＝﹣1或，故a＝或64，因为a＞1，所以a＝64． （3）由题意知，x，y，z均不为0，令，则，，，因为，所以，则，故，所以abc＝1． （4）因为，所以，则． 4．对数方程 例5．解下列方程： （1）； （2）； （3）． 【解析】解：（1），2x＝28，解得x＝14； （2）x2﹣3x＋2＝3x﹣3，整理得x2﹣6x＋5＝0，解得x＝1或5，经检验x＝1不是原方程的解，所以原方程的解为x＝5； （3）原方程可化为，则，所以，解得x＝3或9． 5．对数的实际应用 例6．沙漏也叫做沙钟，是一种测量时间的装置．现有一个沙漏（如图）上方装有acm3的细沙，细沙从中间小孔由上方慢慢漏下，经过tmin时剩余的细沙量为ycm3，且（b为常数），经过7min时，上方还剩下一半细沙，要使上方细沙是开始时的，求需经过的时间？ 【解析】解：方法一： 由题意得，则，则当y＝a时，，因为，所以，所以t＝21，即要使上方细沙是开始时的，需经过21min． 方法二：由题意得，则，两边同时取ln，得，则，当y＝a时，，两边同时取ln，得，即，所以要使上方细沙是开始时的，需经过21min． 变式训练： 1．设a＝，b＝，则的值为 A． B． C．27 D．26 【解析】，，所以＝，选B． 2．已知，则＝ A．1 B．1或9 C．9 D．3或9 【解析】因为，则，则，整理得x2﹣10xy＋9y2＝10，则(x﹣y)(x﹣9y)＝0，因为x＞0，y＞0，x﹣3y＞0，则x＞3y＞0，故x＝9y，即＝9，选C． 3．荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把(1＋1%)365看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是1.01365≈37.7834；而把(1﹣1%)365看作是每天的“退步”率都是1%，一年后是0.99365≈0.0255．这样，一年后的“进步值”是“退步值”的．那么当“进步值”是“退步值”的5倍时，大约经过 （参考数据：lg101≈2.0043，lg99≈1.9956，lg2≈0.3010） A．70天 B．80天 C．90天 D．100天 【解析】设大约经过x天，“进步值”是“退步值”的5倍，则，即，两边同时取lg得，，则，故，得≈80，选B． 4．（多选）已知正数x，y，z满足，则下列说法中正确的是 A． B．3x＞4y＞6z C． D． 【解析】令＝t，则，，，则，，则，A正确；，，，因为，，＝，所以，则，又lnt＞0，所以，即3x＜4y＜6z，B错误；因为，所以，则＝(＋)z，C正确；因为，所以，即，故，D正确．选ACD． 5．＝ ． 【解析】＝3﹣2×＝3﹣1＋＝2＋＝4． 6．＝ ． 【解析】． 7．已知x＞0，y＞0，若﹣1≤≤2，1≤≤4，则的取值范围是 ． 【解析】因为﹣1≤≤2，1≤≤4，所以0≤＋≤6，则0≤≤6，即的取值范围是[0，6]． 8．（1）已知，，试用m，n表示； （2）解方程：； （3）已知a＞b＞1，若，且，求ab． 【解析】解：（1）因为，所以， ； （2）x＋1＞0，x＋4＞0，得x＞﹣1，因为，所以，所以，则，整理得x2﹣2x﹣15＝0，解得x＝5或﹣3，又x＞﹣1，所以x＝5； （3）令，因为a＞b＞1，所以＞1，则，即为，解得t＝3，，则，因为，所以，即a＝3b，故b3＝3b，因为b＞1，所以b＝，所以a＝，则ab＝27． 题型二：对数函数 1．对数函数的概念 例7．（1）下列函数是对数函数的是 A． B． C． D． （2）对数函数的图象过点M(125，3)，则此对数函数的解析式为 ． 【解析】（1）对于A，只有当a＞0且a≠1时，才是对数函数，A不选；对于B，＝x，不是对数函数，B不选；对于C，对数函数的自变量x是真数，而不是底数，故不是对数函数，C不选；综上，选D． （2）设该函数解析式为(a＞0且a≠1)，因为图象过点M(125，3)，所以3＝，即a3＝125，所以a＝5，则此对数函数的解析式为． 2．对数型函数的定义域、值域问题 例8．（1）函数的定义域是 ． （2）已知函数的定义域为R，则实数k的取值范围为 ． 【解析】（1）由题意得，则，所以＜x≤1，定义域为(，1]． （2）由题意得，不等式的解集为R，①当k＝0时，则符合题意；②，解得0＜k＜3，故0≤k＜3．综上，k的取值范围为[0，3)． 例9．（1）已知函数的值域为R，则实数k的取值范围为 ． （2）函数的最小值为 ． （3）函数的值域为 ． （4）若函数在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为1，则a的值为 ． （5）已知函数，当0＜a＜b时，，且函数在[a2，b]上的最大值与最 小值之差为2，则的值为 ． 【解析】（1）由题意得，的值域包含(0，)，则，解得k≥3，所以k的取值范围为[3，)． （2），所以当＝﹣1时，即x＝，的最小值为﹣1． （3），所以函数的值域为[1，)． （4）当a＞1时，函数在[a，2a]上单调递增，则，即﹣(1＋logaa)＝1，loga2＝1，解得a＝2；当0＜a＜1时，函数在[a，2a]上单调递减，则，即1＋logaa﹣()＝1，＝1，解得a＝；综上，a的值为2或． （5）因为，0＜a＜b且，则0＜a＜1＜b，﹣log2a＝log2b，即ab＝1，所以，a2＜a＜1＜b，易知函数在[a2，b]上的最大值为，最小值为0，则，解得，则b＝2，所以＝8． 3．对数型函数的图象 例10．（1）函数(a＞0且a≠1)的图象恒过定点的坐标为 ． （2）函数的图象可以是 A B C D （3）函数的图象大致为 A B C D 【解析】（1）令x＋2＝1，则x＝﹣1，代入函数求得y＝1，故过定点(﹣1，1)． （2）先求得定义域为(，﹣1)(1，)，排除AB选项；其次易知该函数为偶函数，关于y轴对称，当x＞1时，原函数为在(1，)单调递减，根据偶函数性质得，原函数在(，﹣1)单调递增，故选D． （3）先求定义域为(，﹣1)(1，)，再判断奇偶性，，所以该函数为奇函数，关于原点对称，排除B；令，求得x＝±1，排除A；求得＜0，排除D．综上选C． 变式训练： 1．下列函数是对数函数的是 A． B．(a＞0且a≠1) C． D．(a＞0且a≠1) 【解析】是对数函数，但是不是对数函数，A错；(a＞0且a≠1)是对数函数，但是(a＞0且a≠1)不是对数函数，B错误；(a＞0且a≠1)是对数函数，但是(a＞0且a≠1)不是对数函数，D错误；综上，选C． 2．函数，则的定义域为 A．(，) B．(，)(，) C．[，) D．(，](，) 【解析】由题意，得，解得﹣4≤x＜3，令﹣4≤＜3，解得x＞或x≤，故选D． 3．若函数的值域为R，则实数a的取值范围是 A．(，4] B．[0，4] C．(，4) D．(0，4) 【解析】当a≤0时，函数在R上单调递增，值域为R，故的值域为R，符合题意；当a＞0时，函数值域为[，)，当≤0时，的值域为R，解得0＜a≤4．综上所述，实数a的取值范围是a≤4，选A． 4．已知函数，则函数的图象是 A B C D 【解析】根据题意，因为的定义域为，所以的定义域为，所以排除A，C；因为≥0，所以≤0，所以排除B，故选D． 5．（多选）已知函数，下列说法正确的是 A．的定义域为R，当且仅当0＜a＜1 B．的值域为R，当且仅当a≥1 C．的最大值为2，当且仅当a＝ D．有极值，当且仅当a＜1 【解析】若的定义域为R，则的解集为R，则a＝0或，解得0≤a＜1，A错误；若的值域为R，则的最小值小于等于0，则，解得a≥1，B正确；的最大值为2，相当于的最小值为，则，解得a＝，C正确；若有极小值，相当于有极大值，则，则a＜0，若有极大值，相当于有极小值，则，则0＜a＜1，故有极值时，a＜0或0＜a＜1，D错误；综上，选BC． 6．函数的值域为 ． 【解析】，故值域为[，)． 7．已知函数(a＞0且a≠1)在区间[，4]上的最大值为4，则a的值为 ． 【解析】当a＞1，则在区间[，4]上单调递增，则max＝f(4)＝＝4，解得a＝2；当0＜a＜1，则在区间[，4]上单调递减，则max＝f()＝＝4，解得a＝．综上，a的值为2或． 8．函数，若在(0，)上存在最小值，则实数a的取值范围 ． 【解析】在[a，)单调递增，则，在(0，a)单调递减，则＞﹣2log2a，要使在(0，)上有最小值，则，即，令，显然在(0，)单调递增，又，则不等式时，0＜a≤，则实数a的取值范围(0，]． 9．已知函数，若有四个不同实根，，，且满足＜＜＜，则＝ ，的取值范围是 ． 【解析】函数，其函数图象如下所示： 若有四个不同实根，则1＜＜2＜＜4＜＜， ＜＜8，则，则， ，故＝1；根据二次函数对称性，得＋＝12， ，4＜＜，令＝ ，在(4，)单调递减，则，即，故的取值范围是(78，80)． 4．对数型函数的单调性、奇偶性、对称性问题 例11．（1）函数的单调递增区间为 ． （2）已知函数(m＞0且m≠1)在[，6]上单调递增，则实数m的取值范围是 ． （3）若函数(a＞0且a≠1)是增函数，则实数a的取值范围是 ． 【解析】（1）先求定义域，，解得﹣2＜x＜1，令，对称轴为x＝，原函数可以看成是和的复合函数，要求增区间，其实就是求在(﹣2，1)的减区间，即(，1)，所以函数的单调递增区间为(，1)． （2）函数是和的复合函数，该复合函数在[，6]上单调递增，①当m＞1时，则，解得m≥2；②当0＜m＜1时，则，＜m≤．综上，实数m的取值范围是(，][2，)． （3），要使原函数是增函数，则只要＞0，显然a＞1符合题意；当0＜a＜1时，则，即，则，故，解得0＜a＜，所以实数a的取值范围是(0，)(1，)． 例12．请按从小到大的顺序比较下列各数大小 （1），，，； （2），，； （3）已知a，b，c均大于1，满足，，． 【解析】解：（1）令，，， 因为在(0，)单调递增，又3＜3.14＜，所以，所以1＜c＜b； 因为在(0，)单调递增，又1＜2＜3＜，所以，则0＜ln2＜ln3＜ln，所以，故，即，所以a＞b； 因为在R上单调递减，又0＜，所以，即1＞，所以d＜1； 综上d＜c＜b＜a． （2）令（，n≥2）， 即，则，故， 其中，n≥2，所以，所以c＜b＜a． （3）因为，，， 所以，，， 构造函数，，当x＞e时，，所以f(x)在(e，)单调递减， 因为3＜4＜5，所以，即，所以， 则，故，令，，，， 函数与函数，，交点的横坐标分别为c，a，b， 作出函数与函数，，的图象如下： 则c＜a＜b． 例13．（1）若函数是奇函数，则实数a＝ ． （2）已知函数，则使成立的x的取值范围是 ． 【解析】（1）因为函数是奇函数，则，则＝0，即，解得a＝1或3，当a＝3时，，定义域为，定义域不关于原点对称，不符题意，舍；当a＝1时，，定义域为，定义域关于原点对称，，因此原函数是奇函数，符合题意．综上所述，a的值为1． （2）原函数定义域为R，，所以是偶函数，当x≥0时，，在[0，)单调递增，根据偶函数关于y轴对称，在(，0]单调递减，要使成立，则，故，解得＜x＜1，故原不等式成立的x的取值范围是(，1)． 5．对数型函数与不等式恒（能）成立问题、零点问题 例14．（1）已知函数，，若[1，2]，[3，4]，使得≥成立，则实数a的取值范围是 ． （2）对于aR，关于x的不等式在[1，e]总有解，则m的取值范围是 ． （3）已知函数，．若g(x)存在2个零点，则实数a的取值范围是 ． 【解析】（1）若[1，2]，[3，4]，使得≥成立，即min≥min成立，①当a＞1时，在[1，2]单调递减，在[3，4]单调递增，则min＝，min＝g(3)＝，故≥，4﹣a2≥3﹣a＞0，解得1＜a≤；②当0＜a＜1时，在[1，2]单调递减，在[3，4]单调递减，则min＝，min＝g(4)＝，故≥，0＜4﹣a2≤4﹣a，无解；综上，实数a的取值范围是(1，]． （2）因为函数，在[1，e]上都单调递增，所以函数在[1，e]上也单调递增，所以[a＋1，a＋1＋e]．当m≤0时，显然关于x的不等式在[1，e]总有解．当m＞0时，由得或，要使在[1，e]总有解，只需m≤a＋1＋e；要使在[1，e]总有解，只需﹣m≥a＋1，即m≤﹣1﹣a，所以2m≤a＋1＋e＋(﹣1﹣a)，即m≤，又m＞0，所以0＜m≤．综上，m的取值范围是(，]． （3）令＝0，则﹣a＝f(x)＋x＝，g(x)存在2个零点，也就是函数y＝﹣a与函数y＝有两个交点，作出两函数图象使它们有2个交点，可得﹣a≤1，解得a≥﹣1． 变式训练： 1．“a＞”是“函数在区间(1，)上单调递增”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】是和的复合函数，因为复合函数单调递增，所以和的单调性相同，因为a＞0，开口向上，若在(1，)上单调，一定是单调递增，则也单调递增，故，a＞1，a﹣3＋a≥0，故a≥，因为“a＞”是“a≥”的充分不必要条件，故选A． 2．若为偶函数，则a＝ A．﹣1 B．0 C． D．1 【解析】定义域为(，)(，)，关于原点对称，＝，因为f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(﹣x)，即，所以a＝0，选B． 3．若，则 A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜c＜b 【解析】因为，，所以a＞0，所以，所以0＜a＜1， 因为b＞0，所以b3＞0，因为，所以，故b＞1，同理c＞1， ，则，，令，，， 则b为与图象交点的横坐标， c为与图象交点的横坐标，如图： 则b＜c，综上：a＜b＜c，故选A． 4．若是奇函数，则a＝ ，b＝ ． 【解析】，求得定义域为，根据奇函数定义域关于原点对称，则，解得a＝，则原函数变为，则f(0)＝0，即，求得b＝ln2，则，，因此原函数是奇函数，符合题意．综上，a＝，b＝ln2． 5．已知函数，且，则实数m的取值范围为 ． 【解析】原函数定义域为，，所以是偶函数，当x＞0时，，在(0，)单调递增，根据偶函数关于y轴对称，则在(，0)单调递减，因为，则或，解得或，所以实数m的取值范围为(0，)(4，)． 6．，，若[﹣2，﹣1]，[0，1]，使得≥，则实数m的最大值是 ． 【解析】若[﹣2，﹣1]，[0，1]，使得≥，即min≥min成立，在[﹣2，﹣1]单调递减，在[0，1]单调递增，则min＝，min＝g(0)＝0，所以2﹣m≥0，解得m≤2．则实数m的最大值是2． 7．设函数，(其中a＞1)，则f(2027)＝ ；若函数f(x)与g(x)的图象有3个交点，则实数a的取值范围为 ． 【解析】f(2027)＝f(2025)＝f(2023)＝…＝f(﹣1)＝＝1； 当0＜x≤2时，则﹣2＜x﹣2≤0，可得； 当2＜x≤4时，则0＜x﹣2≤2，可得； 当4＜x≤6时，则2＜x﹣2≤4，可得； 当6＜x≤8时，则4＜x﹣2≤6，可得； 画出函数f(x)与g(x)的图象，如图所示： 由，可得a＝；又由，可得a＝， 由图象可知，若两个函数的图象有3个交点，可得＜a≤，所以实数a的取值范围为(，]． 1．若函数（且），则函数的图象恒过定点 A． B． C． D． 【解析】由题意可知，令，得，代入得，故函数的图象恒过定点，选A． 2．若偶函数满足，当时，，则 A． B． C． D． 【解析】因为，用代替得，即，又因为函数为偶函数，则，则，所以的一个周期为2，因为，且，当时，，则，选C． 3．已知，，则的最小值为 A． B． C． D． 【解析】令，由，得，，则，当且仅当时取等号，所以的最小值为，选B． 4．已知定义在R上的函数满足：当时，恒有成立，设，，，则 A． B． C． D． 【解析】因定义在R上的函数满足：当时，恒有成立，则在R上单调递增，，注意到，又由基本不等式可得，则，从而；，从而，则，得，选B． 5．有这样一种说法：一张纸经过一定次数对折之后的厚度能超过地月距离，但实际上，因为纸张本身有厚度，所以我们并不能将纸张无限次对折，当厚度超过纸张的长边时，便不能继续对折了.一张长边为，厚度为的矩形纸张沿两个方向不断对折，则经过两次对折后，长边变为，厚度变为．在理想情况下，对折次数满足关系：．根据以上信息，一张长为100cm，厚度为0.05cm的纸经过对折后的厚度的最大值为（参考数据：） A．1.28cm B．2.56cm C．12.8cm D．6.4cm 【解析】因为对折次数，所以这张纸最多能对折7次．因为对折次后，纸张的厚度为，所以对折7次后纸张的厚度为，选D． 6．的图象与轴和直线围成的封闭区域的面积为 A． B． C． D． 【解析】由得，解得，即函数的定义域为，因为，所以，所以函数的图象关于点对称，因为，，记点、，如下图所示： 结合对称性质可知，的图象与轴和直线 围成的封闭区域的面积等于的面积，所求区域的面积等于 ，选D． 7．（多选）已知的定义域为，值域为，则 A．若，则 B．对任意，使得 C．对任意的图象恒过一定点 D．若在上单调递减，则的取值范围是 【解析】对于A，因为定义域为，只需要恒成立，所以判别式，即，所以真数不能取遍所有正实数，所以，故A正确； 对于B，若，即，化简，故解得，故B错误； 对于C，，因为与无关，所以，，故不恒过定点，故C错误； 对于D，若在上单调递减，只需要在上单调递减，且，即，解得，故,故D正确．选AD． 8．（多选）已知函数，，则下列说法正确的有 A．关于点对称 B．关于点对称 C．若函数在上的最大值、最小值分别为 M、 N，则 D．在上单调递增 【解析】对于A，将的图象向左平移一个单位得为奇函数，图象关于原点对称，则的图象关于对称，故A正确； 对于B，将的图象向下平移两个单位得再向左平移一个单位得，的图象关于对称，∴的图象关于对称，故B正确； 对于C，因为在上递减，且为奇函数，，在上为减函数，在上为减函数，又上为减函数，故是上的减函数，∴在处取得最大值，则在处取得最小值，利用函数的对称性，可得故C正确， D错误．故选：ABC． 9．已知函数，若（其中），则的最小值为 ． 【解析】不妨设，因为，所以，所以，所以，当且仅当时等号成立，所以，当且仅当，即即时等号成立，所以的最小值为4． 10．若存在实数x使得成立，则实数m的最大值为 ． 【解析】，，，，令，若存在使得不等式成立，，函数在上单调递增，在上单调递减，函数在上单调递增，在上单调递减，，，即，，解得：，，实数的最大值为1． 11．已知函数，若方程恰有个不同的实数根，则 的取值范围是 ． 【解析】由，则方程的根即为方程与的根．函数的图象如下： 结合函数的图象可知，有个不同的根，则要有个 不同的根，才能使方程有个实数根，所以由图象可知． 12．已知函数． （1）求的值； （2）解不等式． 【解析】解：（1），， 所以； （2）当时， ， 所以， 当时， ， 所以， 综上，不等式的解集为． 13．已知函数为奇函数． （1）求实数a的值； （2）设函数，若对任意的，总存在，使得 成立，求实数的取值范围． 【解析】解：（1）∵是奇函数，且定义域为，∴，即， 解得，将代入函数得， ，符合奇函数定义，∴； （2）∵，单调递增， ∴在定义域上单调递增，又， ，∴， ∵， ∴令，则， 又，，函数对称轴为， 开口向上，∴， ∵对任意的，总存在， 使得成立，即， 即，∴，所以实数的取值范围为． 14．已知函数是定义在上的奇函数，当时，且． （1）求的解析式； （2）若函数在区间上的最大值为2，求的值； （3）已知函数，若同时满足条件：①，或；②，求的取值范围． 【解析】解：（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以， 当时，， 则时，，则， 综上所述，； （2）当时，，， 则， 因为函数，开口向下，对称轴为， 则当时，时取得，时取得，故， 当时，时，函数，解得； 当时，时，，解得， 综上所述，或； （3）由函数，， 令，解得， 所以时，，时，， 当时，若时，， 若时，， 由①可知，当时，需满足恒成立， 而时，，因此当时，不可能恒成立，不符合题意； 当时，若时，， 若时，， 由①可知，当时，需满足恒成立， 所以，而，则，解得， 当时，，当时，， 由②可知，， 只需满足，解得， 综上所述，若同时满足条件①②，则的取值范围为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 1．理解对数的概念和运算性质，灵活应用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数，了解对数在简化运算中的作用，通过指、对数互化，培养数学运算、逻辑推理、直观想象等素养． 2．理解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并理解对数函数的单调性与特殊点，通过掌握对数函数的图象及性质，培养直观想象、逻辑推理等素养． 3．通过对数函数的应用，提升逻辑推理、数学运算等素养，知道对数函数(a＞0且a≠1)与指数函数(a＞0且a≠1)互为反函数． 1．对数的概念 一般地，如果(a＞0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．几个恒等式：①；②；③；④． 2．两个重要对数 （1）常用对数：以10为底数的对数lgN； （2）自然对数：以无理数e＝2.71828…为底数的对数lnN． 几个近似值：e≈2.7；e2≈7.4；e3≈20；≈1.65，ln2≈0.7；ln3≈1.1；ln5≈1.6；ln7≈1.9． 3．对数的运算性质 如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么 （1）；（2）；（3）． 4．对数换底公式 （a＞0，且a≠1；b＞0；c＞0，且c≠1）． 三个常用推论：①；②；③． 5．对数函数的概念 一般地，函数(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域为(0，)． 6．对数函数的图象与性质 a＞1 0＜a＜1 图象 定义域 (0，) 值域 R 性质 定点 图象过定点(1，0) 单调性 在(0，)上是增函数 在(0，)上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 函数值的 变化情况 当x＞1时，y＞0； 当x＝1时，y＝0； 当0＜x＜1时，y＜0． 当x＞1时，y＜0； 当x＝1时，y＝0； 当0＜x＜1时，y＞0． 注：的图象与的图象关于x轴对称． 7．对数函数图象的变化趋势 当对数函数的底数a＞1时，a越大，增长越慢，图象在x轴上方越靠近x轴；当0＜a＜1时，a越小，图象在x轴下方越靠近x轴． 8．反函数 一般地，指数函数(a＞0且a≠1)与对数函数(a＞0且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换． 互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称；互为反函数的两个函数具有相同的单调性． 题型一：对数及其运算 1．对数的概念及指数式与对数式的互化 例1．（1）对数式中实数a的取值范围是 ． （2）若，，则的值为 ． 2．对数恒等式及对数运算性质的应用 例2．（1）若＝1，则x＝ ． （2）若，则x＝ ． （3）＝ ． 例3．求下列各式的值： （1）； （2）； （3）． 3．换底公式的运用 例4．（1）若＝8，则x＝ ． （2）已知a＞1且，则a＝ ． （3）已知a，b，c是不等于1的正数，且，，则abc＝ ． （4）已知，，则＝ ．（用m，n表示） 4．对数方程 例5．解下列方程： （1）； （2）； （3）． 5．对数的实际应用 例6．沙漏也叫做沙钟，是一种测量时间的装置．现有一个沙漏（如图）上方装有acm3的细沙，细沙从中间小孔由上方慢慢漏下，经过tmin时剩余的细沙量为ycm3，且（b为常数），经过7min时，上方还剩下一半细沙，要使上方细沙是开始时的，求需经过的时间？ 变式训练： 1．设a＝，b＝，则的值为 A． B． C．27 D．26 2．已知，则＝ A．1 B．1或9 C．9 D．3或9 3．荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把(1＋1%)365看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是1.01365≈37.7834；而把(1﹣1%)365看作是每天的“退步”率都是1%，一年后是0.99365≈0.0255．这样，一年后的“进步值”是“退步值”的．那么当“进步值”是“退步值”的5倍时，大约经过 （参考数据：lg101≈2.0043，lg99≈1.9956，lg2≈0.3010） A．70天 B．80天 C．90天 D．100天 4．（多选）已知正数x，y，z满足，则下列说法中正确的是 A． B．3x＞4y＞6z C． D． 5．＝ ． 6．＝ ． 7．已知x＞0，y＞0，若﹣1≤≤2，1≤≤4，则的取值范围是 ． 8．（1）已知，，试用m，n表示； （2）解方程：； （3）已知a＞b＞1，若，且，求ab． 题型二：对数函数 1．对数函数的概念 例7．（1）下列函数是对数函数的是 A． B． C． D． （2）对数函数的图象过点M(125，3)，则此对数函数的解析式为 ． 2．对数型函数的定义域、值域问题 例8．（1）函数的定义域是 ． （2）已知函数的定义域为R，则实数k的取值范围为 ． 例9．（1）已知函数的值域为R，则实数k的取值范围为 ． （2）函数的最小值为 ． （3）函数的值域为 ． （4）若函数在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为1，则a的值为 ． （5）已知函数，当0＜a＜b时，，且函数在[a2，b]上的最大值与最 小值之差为2，则的值为 ． 3．对数型函数的图象 例10．（1）函数(a＞0且a≠1)的图象恒过定点的坐标为 ． （2）函数的图象可以是 A B C D （3）函数的图象大致为 A B C D 变式训练： 1．下列函数是对数函数的是 A． B．(a＞0且a≠1) C． D．(a＞0且a≠1) 2．函数，则的定义域为 A．(，) B．(，)(，) C．[，) D．(，](，) 3．若函数的值域为R，则实数a的取值范围是 A．(，4] B．[0，4] C．(，4) D．(0，4) 4．已知函数，则函数的图象是 A B C D 5．（多选）已知函数，下列说法正确的是 A．的定义域为R，当且仅当0＜a＜1 B．的值域为R，当且仅当a≥1 C．的最大值为2，当且仅当a＝ D．有极值，当且仅当a＜1 6．函数的值域为 ． 7．已知函数(a＞0且a≠1)在区间[，4]上的最大值为4，则a的值为 ． 8．函数，若在(0，)上存在最小值，则实数a的取值范围 ． 9．已知函数，若有四个不同实根，，，且满足＜＜＜，则＝ ，的取值范围是 ． 4．对数型函数的单调性、奇偶性、对称性问题 例11．（1）函数的单调递增区间为 ． （2）已知函数(m＞0且m≠1)在[，6]上单调递增，则实数m的取值范围是 ． （3）若函数(a＞0且a≠1)是增函数，则实数a的取值范围是 ． 例12．请按从小到大的顺序比较下列各数大小 （1），，，； （2），，； （3）已知a，b，c均大于1，满足，，． 例13．（1）若函数是奇函数，则实数a＝ ． （2）已知函数，则使成立的x的取值范围是 ． 5．对数型函数与不等式恒（能）成立问题、零点问题 例14．（1）已知函数，，若[1，2]，[3，4]，使得≥成立，则实数a的取值范围是 ． （2）对于aR，关于x的不等式在[1，e]总有解，则m的取值范围是 ． （3）已知函数，．若g(x)存在2个零点，则实数a的取值范围是 ． 变式训练： 1．“a＞”是“函数在区间(1，)上单调递增”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．若为偶函数，则a＝ A．﹣1 B．0 C． D．1 3．若，则 A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜c＜b 4．若是奇函数，则a＝ ，b＝ ． 5．已知函数，且，则实数m的取值范围为 ． 6．，，若[﹣2，﹣1]，[0，1]，使得≥，则实数m的最大值是 ． 7．设函数，(其中a＞1)，则f(2027)＝ ；若函数f(x)与g(x)的图象有3个交点，则实数a的取值范围为 ． 1．若函数（且），则函数的图象恒过定点 A． B． C． D． 2．若偶函数满足，当时，，则 A． B． C． D． 3．已知，，则的最小值为 A． B． C． D． 4．已知定义在R上的函数满足：当时，恒有成立，设，，，则 A． B． C． D． 5．有这样一种说法：一张纸经过一定次数对折之后的厚度能超过地月距离，但实际上，因为纸张本身有厚度，所以我们并不能将纸张无限次对折，当厚度超过纸张的长边时，便不能继续对折了.一张长边为，厚度为的矩形纸张沿两个方向不断对折，则经过两次对折后，长边变为，厚度变为．在理想情况下，对折次数满足关系：．根据以上信息，一张长为100cm，厚度为0.05cm的纸经过对折后的厚度的最大值为（参考数据：） A．1.28cm B．2.56cm C．12.8cm D．6.4cm 6．的图象与轴和直线围成的封闭区域的面积为 A． B． C． D． 7．（多选）已知的定义域为，值域为，则 A．若，则 B．对任意，使得 C．对任意的图象恒过一定点 D．若在上单调递减，则的取值范围是 8．（多选）已知函数，，则下列说法正确的有 A．关于点对称 B．关于点对称 C．若函数在上的最大值、最小值分别为 M、 N，则 D．在上单调递增 9．已知函数，若（其中），则的最小值为 ． 10．若存在实数x使得成立，则实数m的最大值为 ． 11．已知函数，若方程恰有个不同的实数根，则 的取值范围是 ． 12．已知函数． （1）求的值； （2）解不等式． 13．已知函数为奇函数． （1）求实数a的值； （2）设函数，若对任意的，总存在，使得 成立，求实数的取值范围． 14．已知函数是定义在上的奇函数，当时，且． （1）求的解析式； （2）若函数在区间上的最大值为2，求的值； （3）已知函数，若同时满足条件：①，或；②，求的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $