第05讲 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 讲义-2027届高三数学一轮复习（中等难题突破）

该高中数学高考复习讲义围绕一元二次不等式核心考点，涵盖解法（含参与不含参）、三个“二次”关系、恒成立及整数解问题，按基础到综合逻辑架构知识点，通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生构建解题框架。 讲义采用分类讨论与数形结合策略，如含参不等式求解中引导学生按参数范围分层讨论，结合二次函数图象培养直观想象与逻辑推理能力。设置基础变式与综合题型分层练习，配合即时反馈，助力学生高效突破难点，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

1．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型，能在具体的问题情境中识别一元二次不等式，通过研究一元二次不等式的求解，培养数学运算和直观想象素养． 2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程之间的联系． 3．通过研究含参数的一元二次不等式的求解，熟练掌握分类讨论的数学思想，提升逻辑推理、数学运算和数学抽象素养． 1．一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0(a≠0)的解集 设相应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根为x1，x2且x1≤x2，Δ＝b2－4ac，则不等式的解集的各种情况如下表： Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两个相异实数根 x1，x2(x1＜x2) 有两个相等实数根 x1＝x2＝－ 无实 数根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 {x|x＜x1或x＞x2} R ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} 2．与一元二次不等式有关的恒成立问题 （1）一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R的条件是． （2）一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为R的条件是． 注意：对于不等式ax2＋bx＋c＞0(＜0)，求解时不要忘记a＝0时的情形． 3．分式不等式与整式不等式 （1）＞0(＜0)⇔f(x)g(x)＞0(＜0)；（2）≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0． 4．简单的绝对值不等式 （1）|x|＞a(a＞0)的解集为(﹣∞，﹣a)∪(a，＋∞)；（2）|x|＜a(a＞0)的解集为(﹣a，a)． 5．几个关于一元二次方程的根的关系 （1）ax2＋bx＋c＝0(a≠0)与方程ax2﹣bx＋c＝0的根互为相反数； （2）ax2＋bx＋c＝0(a≠0)与方程cx2＋bx＋a＝0(c≠0)的根互为倒数； （3）ax2＋bx＋c＝0(a≠0)与方程cx2﹣bx＋a＝0(c≠0)的根互为负倒数． 题型一：不含参的一元二次不等式的解法 1．一元二次不等式解法 例1．求下列不等式的解集 （1）； （2）； （3）； （4）． 变式训练： 1．解不等式：2x2﹣3x＋1≤0． 2．解不等式：x(x＋2)＞x(3﹣x)＋1． 3．解不等式：3x2﹣2x＋1≤0． 2．可转化为一元二次不等式的不等式解法 例2．（1）； （2）； （3）． 例3．（1）； （2）； （3）． 变式训练： 1．解下列分式不等式 （1）； （2）． 2．解下列绝对值不等式 （1）； （2）； （3）． 3．高次不等式解法 例4．（1）x4﹣2x3﹣6x2＋5x＋2＞0； （2）﹣2x3＋3x2＋8x＋3＞0． 变式训练： 1．解下列不等式 （1）4x3＋4x2﹣7x＋2≤0； （2）2x3﹣6x2＋5x﹣2≤0． 2．不等式的解集为 A． B． C． D． 题型二：含参的一元二次不等式的解法 例5．解下列关于x的不等式 （1）ax2＋(2a﹣1)x﹣2＜0； （2）ax2﹣3x＋2＞0． 变式训练： 1．解关于x的不等式：． 2．解关于x的不等式：a(x2＋1)≥2x(a＞0)． 题型三：三个“二次”的关系 例6．（1）已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{}，则关于x的不等式cx2＋bx＋a＞0的解集为 ． （2）（多选）已知关于x的不等式a(x＋1)(x﹣3)＋1＞0(a≠0)的解集是(，)，则下列结论正确的是 A．＋＝2 B．＜﹣3 C．﹣1＜＜＜3 D．﹣＞4 变式训练： 1．若一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(9，11)，则cx2﹣bx＋a＞0的解集为 ． 2．（多选）已知关于x的不等式a(x﹣1)(x＋3)＋2＞0(a≠0)的解集是(，)，则下列结论正确的是 A．＋＋2＝0 B．＋3＜0 C． D．＜﹣3＜1＜ 题型四：一元二次不等式的恒成立问题 例7．（1）若不等式对一切xR恒成立，则实数a的取值范围是 A．(，2] B．[﹣2，2] C．(﹣2，2] D．(，﹣2) （2）若对任意的x[﹣1，2]，都有（a为常数），则a的取值范围是 A．(，﹣3] B．(，0] C．[1，) D．(，1] （3）若不等式，当时恒成立，则x的取值范围是 A．[﹣1，3] B．(，﹣1] C．[3，) D．(，﹣1)(3，) 变式训练： 1．若对任意实数x，关于x的不等式(a2﹣1)x2﹣(a﹣1)x﹣1＜0恒成立，则实数a的取值范围为 ． 2．已知不等式﹣2x2＋bx＋c＞0的解集是(﹣1，3)，若对于任意x[﹣1，0]，不等式﹣2x2＋bx＋c＋t≤4恒成立，则t的取值范围是 ． 题型五：一元二次不等式的整数解问题 例8．（1）关于x的不等式恰有2个整数解，则实数a的取值范围是 ． （2）已知关于x的不等式的解集为A，若集合A中恰有两个整数解，则实数a的取值范围是 ． 变式训练： 1．若关于x的不等式ax2＋(2a﹣1)x﹣2＜0恰有3个整数解，则实数a的取值范围是 ． 2．若关于x的不等式x2﹣ax＋2≤0在(0，)上恰有3个整数解，则实数a的取值范围是 ． 1．不等式的解集为 A． B． C． D． 2．已知不等式组的解集是关于的不等式的解集的子集，则实数a的取值范围为 A．a≤0 B．a＜0 C．a≤﹣1 D．a＜﹣2 3．甲、乙两人解关于的不等式，甲写错了常数，得到的解集为；乙写错了常数，得到的解集为.若甲、乙两人除写错常数外，其余求解过程都正确，则原不等式的解集为 A． B． C． D． 4．若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 5．已知二次函数的最小值为，若关于的不等式的解集为区间，则实数的值为 A． B． C． D． 6．已知关于x的不等式的解集中有且仅有2个整数，则实数a的取值范围是 A． B． C． D． 7．（多选）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是 A． B． C．不等式的解集为或 D．的最小值为6 8．（多选）已知不等式对任意实数恒成立，则实数的可能取值为 A． B．1 C．3 D．5 9．不等式的解集为________． 10．若不等式组的解集中所含整数解只有，则的取值范围是________． 11．在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着神秘的“黑洞”现象，数学黑洞：无论怎样取值，在规定的处理法则下，最终都将得到固定的一个值，再也跳不出去，就像宇宙中的黑洞一样．目前已经发现的数字黑洞有“123黑洞”、“卡普雷卡尔黑洞”、“自恋性数字黑洞”等．定义：若一个位正整数的所有数位上数字的次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数．已知所有一位正整数的自恋数组成集合，集合，则的非空真子集个数为________． 12．已知关于x的不等式ax2－3x＋2＞0的解集为(－∞，1)∪(b，＋∞)(b＞1)． （1）求a，b的值； （2）当x＞0，y＞0，且满足＋＝1时，2x＋y≥k2＋k＋2恒成立，求k的取值范围． 13．解下列关于x的不等式． （1）ax2﹣(2a＋1)x＋2＜0(a＞0)； （2）4x2﹣20kx＋25＞0(kR)． 14．已知，函数．若不等式对，恒成立，求实数的取值范围． 附加题： 15．已知函数，正实数，满足．证明：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 1．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型，能在具体的问题情境中识别一元二次不等式，通过研究一元二次不等式的求解，培养数学运算和直观想象素养． 2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程之间的联系． 3．通过研究含参数的一元二次不等式的求解，熟练掌握分类讨论的数学思想，提升逻辑推理、数学运算和数学抽象素养． 1．一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0(a≠0)的解集 设相应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根为x1，x2且x1≤x2，Δ＝b2－4ac，则不等式的解集的各种情况如下表： Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两个相异实数根 x1，x2(x1＜x2) 有两个相等实数根 x1＝x2＝－ 无实 数根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 {x|x＜x1或x＞x2} R ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} 2．与一元二次不等式有关的恒成立问题 （1）一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R的条件是． （2）一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为R的条件是． 注意：对于不等式ax2＋bx＋c＞0(＜0)，求解时不要忘记a＝0时的情形． 3．分式不等式与整式不等式 （1）＞0(＜0)⇔f(x)g(x)＞0(＜0)；（2）≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0． 4．简单的绝对值不等式 （1）|x|＞a(a＞0)的解集为(﹣∞，﹣a)∪(a，＋∞)；（2）|x|＜a(a＞0)的解集为(﹣a，a)． 5．几个关于一元二次方程的根的关系 （1）ax2＋bx＋c＝0(a≠0)与方程ax2﹣bx＋c＝0的根互为相反数； （2）ax2＋bx＋c＝0(a≠0)与方程cx2＋bx＋a＝0(c≠0)的根互为倒数； （3）ax2＋bx＋c＝0(a≠0)与方程cx2﹣bx＋a＝0(c≠0)的根互为负倒数． 题型一：不含参的一元二次不等式的解法 1．一元二次不等式解法 例1．求下列不等式的解集 （1）； （2）； （3）； （4）． 【解析】解：（1）因为﹣3x2﹣25x＋18＞0，所以3x2＋25x﹣18＜0，则(x＋9)(3x﹣2)＜0， 所以﹣9＜x＜，所以原不等式的解集为(﹣9，)； （2）当x2＋4x＋2＝0，解得，则x2＋4x＋2＞0，所以x＞或x＜， 所以原不等式的解集为(，)(，)； （3）因为＝(﹣11)2﹣4×1×40＜0，所以原不等式的解集为R； （4）因为9x2﹣6x＋1＜0，所以(3x﹣1)2＜0，所以原不等式的解集为． 变式训练： 1．解不等式：2x2﹣3x＋1≤0． 【解析】因为2x2﹣3x＋1≤0，所以(x﹣1)(2x﹣1)≤0，解得≤x≤1，所以原不等式的解集为[，1]． 2．解不等式：x(x＋2)＞x(3﹣x)＋1． 【解析】因为x(x＋2)＞x(3﹣x)＋1，所以x2＋2x＞3x﹣x2＋1，则2x2﹣x﹣1＞0，故(2x＋1)(x﹣1)＞0， 解得x＜或x＞1，所以原不等式的解集为(，)(1，)． 3．解不等式：3x2﹣2x＋1≤0． 【解析】因为＝(﹣2)2﹣4×3×1＜0，所以原不等式的解集为． 2．可转化为一元二次不等式的不等式解法 例2．（1）； （2）； （3）． 【解析】解：（1）等价于(2x﹣3)(1﹣x)＜0，所以(2x﹣3)(x﹣1)＞0， 则x＞或x＜1，所以原不等式解集为(，1)(，)； （2）等价于(2x﹣3)(1﹣x)≥0且1﹣x≠0，所以(2x﹣3)(x﹣1)≤0且x≠1， 则1＜x≤，所以原不等式解集为(1，]； （3）因为，所以，则等价于(3x﹣4)(1﹣x)≥0且1﹣x≠0， 即(3x﹣4)(x﹣1)≤0且x≠1，所以1＜x≤，所以原不等式解集为(1，]． 例3．（1）； （2）； （3）． 【解析】解：（1）因为，所以，当时，x＝8或2， 所以，解得x≥8或x≤2，所以原不等式的解集为(，2][8，)； （2）因为，所以，则， 故，即(x＋6)(5x﹣4)＞0，得x＞或x＜﹣6， 所以原不等式的解集为(，﹣6)(，)； （3）①当x＜时，，，解得x＜﹣1， 所以x＜﹣1； ②当≤x＜2时，，，解得x＞， 所以＜x＜2； ③当x≥2时，，﹣x﹣3＜2，解得x＞﹣5， 所以x≥2． 综上所述，x＜﹣1或x＞，即原不等式解集为(，﹣1)(，) 变式训练： 1．解下列分式不等式 （1）； （2）． 【解析】解：（1）因为，所以(x＋1)(3x﹣1)＞0，解得x＞或x＜﹣1， 所以原不等式的解集为(，﹣1)(，)； （2）因为，所以，则，所以3x(x﹣1)≥0且x﹣1≠0， 所以x≤0或x＞1，所以原不等式的解集为(，0](1，)． 2．解下列绝对值不等式 （1）； （2）； （3）． 【解析】解：（1）因为，所以，当，则x＝5或﹣1， 则，得﹣1≤x≤5，所以原不等式的解集为[﹣1，5]； （2）因为，所以(2x﹣3)2＞(x＋4)2，则(2x﹣3)2﹣(x＋4)2＞0， 所以[(2x﹣3)＋(x＋4)][(2x﹣3)﹣(x＋4)]＞0，(3x＋1)(x﹣7)＞0，解得x＜或x＞7， 所以原不等式的解集为(，)(7，)； （3）①当x＜﹣3，，﹣4≤2成立，则x＜﹣3； ②当﹣3≤x＜1，，2x＋2≤2，解得x≤0， 则﹣3≤x≤0； ③当x≥1，，4≤2，无解． 综上，x≤0．所以原不等式的解集为(，0]． 3．高次不等式解法 例4．（1）x4﹣2x3﹣6x2＋5x＋2＞0； （2）﹣2x3＋3x2＋8x＋3＞0． 【解析】解：（1）因为x4﹣2x3﹣6x2＋5x＋2＞0，所以x4﹣x3﹣x3＋x2﹣7x2＋7x﹣2x＋2＞0， 则x3(x﹣1)﹣x2(x﹣1)﹣7x(x﹣1)﹣2(x﹣1)＞0，故(x﹣1)(x3﹣x2﹣7x﹣2)＞0， 所以(x﹣1)(x3＋2x2﹣3x2﹣6x﹣x﹣2)＞0，则(x﹣1)[x2(x＋2)﹣3x(x＋2)﹣(x＋2)]＞0， 所以(x﹣1)(x＋2)(x2﹣3x﹣1)＞0，解得x＜﹣2或＜x＜1或x＞， 所以原不等式的解集为(，﹣2)(，1)(，)； （2）因为﹣2x3＋3x2＋8x＋3＞0，则2x3﹣3x2﹣8x﹣3＜0，2x3＋2x2﹣5x2﹣5x﹣3x﹣3＜0， 所以2x2(x＋1)﹣5x(x＋1)﹣3(x＋1)＜0，则(x＋1)(2x2﹣5x﹣3)＜0， 故(x＋1)(2x＋1)(x﹣3)＜0，解得﹣1＜x＜或x＞3， 所以原不等式的解集为(﹣1，)(3，)． 变式训练： 1．解下列不等式 （1）4x3＋4x2﹣7x＋2≤0； （2）2x3﹣6x2＋5x﹣2≤0． 【解析】解：（1）因为4x3＋4x2﹣7x＋2≤0，则4x3＋8x2﹣4x2﹣8x＋x＋2≤0， 所以4x2(x＋2)﹣4x(x＋2)＋(x＋2)≤0，则(x＋2)(4x2﹣4x＋1)≤0， 故(x＋2)(2x﹣1)2≤0，解得x≤﹣2且x＝，所以原不等式解集为(，﹣2]{}； （2）因为2x3﹣6x2＋5x﹣2≤0，则2x3﹣4x2﹣2x2＋4x＋x﹣2≤0， 所以2x2(x﹣2)﹣2x(x﹣2)＋x﹣2≤0，则(x﹣2)(2x2﹣2x＋1)≤0，因为2x2﹣2x＋1＞0， 所以x﹣2≤0，解得x≤2，所以原不等式解集为(，2]． 2．不等式的解集为 A． B． C． D． 【解析】因为，所以x(x＋2)(x﹣3)＜0，解得x＜﹣2或0＜x＜3，故选A． 题型二：含参的一元二次不等式的解法 例5．解下列关于x的不等式 （1）ax2＋(2a﹣1)x﹣2＜0； （2）ax2﹣3x＋2＞0． 【解析】解：（1）因为ax2＋(2a﹣1)x﹣2＜0，所以(x＋2)(ax﹣1)＜0， ①当a＜，此时＞﹣2，解得x＞或x＜﹣2，原不等式解集为(，﹣2)(，)； ②当a＝，此时(x＋2)2＞0，解得x≠﹣2，原不等式解集为(，﹣2)(﹣2，)； ③当＜a＜0，此时＞﹣2， 解得x＞﹣2或x＜，原不等式解集为(，)(﹣2，)； ④当a＝0，此时x＋2＞0，解得x＞﹣2，原不等式解集为(﹣2，)； ⑤当a＞0，此时＞﹣2，解得﹣2＜x＜，原不等式解集为(﹣2，)； 综上所述，当a＜，原不等式解集为(，﹣2)(，)；当a＝，原不等式解集为(，﹣2)(﹣2，)；当＜a＜0，原不等式解集为(，)(﹣2，)；当a＝0，原不等式解集为(﹣2，)；当a＞0，原不等式解集为(﹣2，)． （2）＝9﹣8a， ①当a＜0时，＞0，此时，所以解集为(，)； ②当a＝0时，﹣3x＋2＞0，解得x＜，所以解集为(，)； ③当0＜a＜时，＞0，此时，解得x＜或x＞， 所以原不等式解集为(，)(，)； ④当a＝时，此时(3x﹣4)2＞0，解得x≠，所以解集为(，)(，)； ⑤当a＞时，＜0，此时解集为R； 综上所述，当a＜0，原不等式解集为(，)；当a＝0，原不等式解集为(，)；当0＜a＜，原不等式解集为(，)(，)；当a＝，原不等式解集为(，)(，)；当a＞，原不等式解集为R． 变式训练： 1．解关于x的不等式：． 【解析】解：因为，所以，则，故(ax﹣1)(x﹣1)＜0， ①当a＜0时，＜1，解得x＜或x＞1，原不等式解集为(，)(1，)； ②当a＝0时，x﹣1＞0，解得x＞1，原不等式解集为(1，)； ③当0＜a＜1时，1＜，解得1＜x＜，原不等式解集为(1，)； ④当a＝1时，则，此时不等式解集为； ⑤当a＞1时，则＜1，解得＜x＜1，原不等式解集为(，1)． 综上所述，当a＜0时，原不等式解集为(，)(1，)；当a＝0时，原不等式解集为(1，)；当0＜a＜1时，原不等式解集为(1，)；当a＝1时，原不等式解集为；当a＞1时，原不等式解集为(，1)． 2．解关于x的不等式：a(x2＋1)≥2x(a＞0)． 【解析】解：因为a(x2＋1)≥2x(a＞0)，所以ax2﹣2x＋a≥0，＝4﹣4a2＝4(1＋a)(1﹣a)， ①当0＜a＜1时，＞0，，解得x≥或x≤， 所以原不等式的解集为(，][，)； ②当a＝1时，则(x﹣1)2≥0，所以原不等式的解集为R； ③当a＞1时，＜0，所以原不等式的解集为R． 综上所述，当0＜a＜1时，原不等式的解集为(，][，)；当a≥1时，原不等式的解集为R． 题型三：三个“二次”的关系 例6．（1）已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{}，则关于x的不等式cx2＋bx＋a＞0的解集为 ． （2）（多选）已知关于x的不等式a(x＋1)(x﹣3)＋1＞0(a≠0)的解集是(，)，则下列结论正确的是 A．＋＝2 B．＜﹣3 C．﹣1＜＜＜3 D．﹣＞4 【解析】（1）因为不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{}，所以x＝或是方程ax2＋bx＋c＝0的解，a＜0，所以，则，cx2＋bx＋a＞0，则，所以x2﹣5x＋6＜0，解得2＜x＜3，故不等式的解集为(2，3)． （2）关于x的不等式a(x＋1)(x﹣3)＋1＞0(a≠0)的解集是(，)，所以a＜0，且，是一元二次方程a(x＋1)(x﹣3)＋1＝0的两个解，由根与系数的关系知，＋＝2，选项A正确；＜﹣3，选项B正确；由二次函数y＝a(x＋1)(x﹣3)＋1＞0的解集是(，)，且a＜0，﹣1和3是方程a(x＋1)(x﹣3)＝0的两解，如图所示：所以＜﹣1＜3＜，选项C错误；则﹣＝＝，选项D正确．故选ABD． 变式训练： 1．若一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(9，11)，则cx2﹣bx＋a＞0的解集为 ． 【解析】由一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(9，11)，可得a＜0，，，所以c＝99a＜0，b＝﹣20a＞0，所以cx2﹣bx＋a＞0，即99ax2＋20ax＋a＞0，即99x2＋20x＋1＜0，得(9x＋1)(11x＋1)＜0，解得，所以cx2﹣bx＋a＞0的解集为(，)． 2．（多选）已知关于x的不等式a(x﹣1)(x＋3)＋2＞0(a≠0)的解集是(，)，则下列结论正确的是 A．＋＋2＝0 B．＋3＜0 C． D．＜﹣3＜1＜ 【解析】关于x的不等式a(x﹣1)(x＋3)＋2＞0(a≠0)的解集是(，)，则有a＜0且，是方程a(x﹣1)(x＋3)＋2＝0，即ax2＋2ax﹣3a＋2＝0的两个根，则有＋＝﹣2，A正确；＜﹣3，B正确；又由，必有，C错误；由于方程a(x﹣1)(x＋3)＝0的解为﹣3和1，而方程a(x﹣1)(x＋3)＋2＝0的两根为，，结合二次函数的性质，有＜﹣3＜1＜，D正确．故选：ABD． 题型四：一元二次不等式的恒成立问题 例7．（1）若不等式对一切xR恒成立，则实数a的取值范围是 A．(，2] B．[﹣2，2] C．(﹣2，2] D．(，﹣2) （2）若对任意的x[﹣1，2]，都有（a为常数），则a的取值范围是 A．(，﹣3] B．(，0] C．[1，) D．(，1] （3）若不等式，当时恒成立，则x的取值范围是 A．[﹣1，3] B．(，﹣1] C．[3，) D．(，﹣1)(3，) 【解析】（1）当a＝2时，﹣4＜0，成立；当a≠2时，若原不等式恒成立，则，解得﹣2＜a＜2，综上，实数a的取值范围是(﹣2，2]．故选C． （2）要使对任意的x[﹣1，2]成立，则，1＋2＋a≤0，解得a≤﹣3．故选A． （3）原不等式可转化为，当时恒成立，则，解得x＞3或x＜﹣1，故选D． 变式训练： 1．若对任意实数x，关于x的不等式(a2﹣1)x2﹣(a﹣1)x﹣1＜0恒成立，则实数a的取值范围为 ． 【解析】①当a＝1时，﹣1＜0恒成立；②当﹣1＜a＜1时，(a﹣1)2﹣4(a2﹣1)(﹣1)＜0，则5a2﹣2a﹣3＜0，即(5a＋3)(a﹣1)＜0，解得＜a＜1，综上所述，实数a的取值范围为(，1]． 2．已知不等式﹣2x2＋bx＋c＞0的解集是(﹣1，3)，若对于任意x[﹣1，0]，不等式﹣2x2＋bx＋c＋t≤4恒成立，则t的取值范围是 ． 【解析】不等式﹣2x2＋bx＋c＞0的解集是(﹣1，3)，所以﹣1，3是方程﹣2x2＋bx＋c＝0的解，所以﹣1＋3＝，﹣1×3＝，解得b＝4，c＝6，所以﹣2x2＋4x＋6＋t≤4恒成立，所以(﹣2x2＋4x＋2＋t)max≤0，因为y＝﹣2x2＋4x＋2＋t在[﹣1，0]单调递增，当x＝0时，y取最大值为2＋t，所以2＋t≤0，解得t≤﹣2，所以t的取值范围是(，﹣2]． 题型五：一元二次不等式的整数解问题 例8．（1）关于x的不等式恰有2个整数解，则实数a的取值范围是 ． （2）已知关于x的不等式的解集为A，若集合A中恰有两个整数解，则实数a的取值范围是 ． 【解析】（1）由题恰有2个整数解，即＜0恰有两个解， ∴(a＋1)(a﹣1)＞0，即a＞1或a＜﹣1．当a＞1时，不等式解为＜x＜，∵ (0，)，恰有两个整数解即：1，2，∴2＜≤3，解得：≤a＜；当a＜﹣1时，同理可得＜a≤，综上所述：≤a＜或＜a≤． （2）由题意可得，判别式△，解得，或．设， ①当时，由于，且对称轴在轴的左侧，故A中的两个整数为和0， 故有，且，解得． ②当时，对称轴，设A＝(m，n)，由于集合A中恰有两个整数则有， 即，即，解得． 故有对称轴，而(2)，(3)， 故A中的两个整数为4和5，故(4)，(5)，(6)． 即，且， 解得． 综合可得，，或．故实数a的取值范围是[﹣1，)(，9]． 变式训练： 1．若关于x的不等式ax2＋(2a﹣1)x﹣2＜0恰有3个整数解，则实数a的取值范围是 ． 【解析】当a≤0，原不等式有无数个整数解，故a＞0，因为ax2＋(2a﹣1)x﹣2＜0，所以(x＋2)(ax﹣1)＜0，＞﹣2，解得﹣2＜x＜，则3个整数解是﹣1，0，1，故1＜≤2，所以≤a＜1，即a的取值范围是[，1)． 2．若关于x的不等式x2﹣ax＋2≤0在(0，)上恰有3个整数解，则实数a的取值范围是 ． 【解析】因为x2﹣ax＋2≤0，参变分离得，令，易知在(0，)单调递减，在(，)单调递增，又，，，恰有3个整数解，所以≤a＜，即a的取值范围是[，)． 1．不等式的解集为 A． B． C． D． 【解析】不等式，转化为，即，即且，解得，故解集为．故选B． 2．已知不等式组的解集是关于的不等式的解集的子集，则实数a的取值范围为 A．a≤0 B．a＜0 C．a≤﹣1 D．a＜﹣2 【解析】，解得：，因为是不等式的解集的子集，故要满足：，解得：，故选A． 3．甲、乙两人解关于的不等式，甲写错了常数，得到的解集为；乙写错了常数，得到的解集为.若甲、乙两人除写错常数外，其余求解过程都正确，则原不等式的解集为 A． B． C． D． 【解析】因为甲写错了常数，得到的解集为，根据根与系数的关系，所以．因为乙写错了常数，得到的解集为，根据根与系数的关系，所以，即．所以原不等式为，解得．故选D． 4．若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 【解析】根据题意当时，解得，当时，不等式恒成立，符合题意； 当，不等式，不符合题意； 当，的不等式的解集为， 所以，解得，综上所述，．故选D． 5．已知二次函数的最小值为，若关于的不等式的解集为区间，则实数的值为 A． B． C． D． 【解析】的最小值为，，即，的解集为，的解集为，的两根分别为，，则，，又，，解得：．故选A． 6．已知关于x的不等式的解集中有且仅有2个整数，则实数a的取值范围是 A． B． C． D． 【解析】由题可知，则，即，解得，可知，化简为，解得，当时，可得，若不等式有且仅有2个整数解，解必为和，则，解得．当时，可得，若不等式有且仅有2个整数解，解必为和，则，解得． 所以实数a的取值范围是．故选D． 7．（多选）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是 A． B． C．不等式的解集为或 D．的最小值为6 【解析】A选项，依题可得函数开口向下与轴交点横坐标为2，3，故A错误； B选项，依题可得时，函数值小于0，即，故B正确； C选项，因为开口向下与轴交点横坐标为2，3，所以，即，且，所以不等式可化为，即，解集为或，故C正确； D选项，，当且仅当时，即时取等，故D正确．故选BCD． 8．（多选）已知不等式对任意实数恒成立，则实数的可能取值为 A． B．1 C．3 D．5 【解析】不等式，由不等式恒成立，可知，即，解得：，选项中满足条件的只有BC． 9．不等式的解集为________． 【解析】因为，所以，解得，则此不等式的解集为． 10．若不等式组的解集中所含整数解只有，则的取值范围是________． 【解析】由，得，得或，所以的解集为，由，得，当，即时，得，所以的解集为，此解集中不含，不符合题意； 当，即时，化为，所以的解集为空集，不符合题意； 当，即时，得，所以的解集为，因为不等式组的解集中所含整数解只有，，结合数轴分析可知，得． 11．在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着神秘的“黑洞”现象，数学黑洞：无论怎样取值，在规定的处理法则下，最终都将得到固定的一个值，再也跳不出去，就像宇宙中的黑洞一样．目前已经发现的数字黑洞有“123黑洞”、“卡普雷卡尔黑洞”、“自恋性数字黑洞”等．定义：若一个位正整数的所有数位上数字的次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数．已知所有一位正整数的自恋数组成集合，集合，则的非空真子集个数为________． 【解析】根据题意：当，当时，由，即，解得或，所以，，所以，所以的非空真子集个数为个． 12．已知关于x的不等式ax2－3x＋2＞0的解集为(－∞，1)∪(b，＋∞)(b＞1)． （1）求a，b的值； （2）当x＞0，y＞0，且满足＋＝1时，2x＋y≥k2＋k＋2恒成立，求k的取值范围． 【解析】解：（1）因为不等式ax2－3x＋2＞0的解集为(－∞，1)∪(b，＋∞)， 所以1和b是方程ax2－3x＋2＝0的两个实数根，且a＞0， 所以解得或(舍去)． （2）由（1）知a＝1，b＝2，于是＋＝1， 2x＋y＝(2x＋y)＝4＋＋≥4＋2＝8， 当且仅当＝，＋＝1，即时等号成立． 依题意有(2x＋y)min≥k2＋k＋2，即8≥k2＋k＋2，即k2＋k﹣6≤0，解得﹣3≤k≤2， 所以k的取值范围为[﹣3，2]． 13．解下列关于x的不等式． （1）ax2﹣(2a＋1)x＋2＜0(a＞0)； （2）4x2﹣20kx＋25＞0(kR)． 【解析】解：（1）当a＞0时，不等式ax2﹣(2a＋1)x＋2＜0可化为：(ax﹣1)(x﹣2)＜0． 所以方程(ax﹣1)(x﹣2)＝0的两个根为和2． 当0＜a＜时，＞2，所以不等式的解集为． 当a＞时，2＞，不等式的解集为． 当a＝时，不等式(x﹣2)2＜0，不等式的解集为． 综上知，当0＜a＜时，不等式的解集为． 当a＞时，不等式的解集为． 当a＝时，不等式的解集为． （2）不等式4x2﹣20kx＋25＞0中，计算Δ＝400(k2﹣1)，令Δ＝0，解得k＝±1， 当k＝1时，不等式化为(2x﹣5)2＞0，解得； 当k＝﹣1时，不等式化为(2x＋5)2＞0，解得； 当k＞1或k＜﹣1时，Δ＞0，不等式4x2﹣20kx＋25＞0对应的方程有两个不等的实数根，，且＜， 解不等式得x＜，或x＞； 当﹣1＜k＜1时，Δ＜0，不等式4x2﹣20kx＋25＞0对应的方程没有实数根，不等式的解集为R． 综上知，k＝1时，不等式的解集为；当k＝﹣1时，不等式的解集为； 当k＞1或k＜﹣1时，不等式的解集为； 当﹣1＜k＜1时，不等式的解集为R． 14．已知，函数．若不等式对，恒成立，求实数的取值范围． 【解析】解：不等式对，恒成立， 即对，恒成立， 故且在，恒成立， 令，，，则， 令，解得：，令，解得：， 故在，递增，在，递减，故， 令，，，，故在，递减， ，综上：． 附加题： 15．已知函数，正实数，满足．证明：． 【解析】证明：由，即， 从而，令，则由， 由，，即．． 可知，在区间上单调递减，在区间上单调递增． 所以（1），所以，解得：或． 因为，，因此成立． 2 学科网（北京）股份有限公司 $