基本不等式“1”的妙用——求最值 专题训练-2026-2027学年高一上学期数学人教版A版必修第一册

**基本信息** 以“1的代换”为核心，通过五步标准流程系统构建基本不等式求最值的方法体系，逻辑递进覆盖基础到综合应用。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题必备|方法总结|核心原理（乘1不变性）+五步标准步骤（乘、展开、整理、不等式、取等）|从原理到标准型，构建应用框架| |单选题|8题|“1的代换”基础应用|正实数条件下直接求最值，强化运算能力| |填空题|5题|参数与最值结合|含分式/多元变量变式，深化推理意识| |解答题|5题|实际问题建模|展房造价等应用场景，培养模型意识|

基本不等式“1”的妙用求最值 姓名：___________ 班级：___________ 【解题必备】 ①核心原理 任何式子乘以1，原式大小不变 ②标准型 已知，求最小值. 步骤： 1.乘： 2.展开：原式= 3.整理常数项+两个分式项：原式= 4.分式用基本不等式： 5.写取等条件 一、单选题 1．已知，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 2．已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 3．已知，，且，则的最小值为（     ） A． B．5 C．4 D．3 4．已知，则的最小值是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 5．若正数满足，则的最小值是（   ） A． B． C．4 D． 6．已知正数满足，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 7．已知实数，，满足，则的最小值是（   ） A． B． C．1 D．2 8．已知，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．已知均为正数，满足，当取最小值时，的值为______． 10．设a，b为正数，且，则的最小值为______． 11．设，，，则的最小值为__________. 12．已知，，则的最小值为__________． 13．已知正实数，满足，则的最小值为__________. 三、解答题 14．已知，均为正数，. (1)求的最小值； (2)求的最小值； (3)求的最小值. 15．（1）已知，求的最小值； （2）已知，，，求的最小值； 16．某公司准备搭建一间临时展房，用来开产品展览会，展房高为3米，背面靠墙，其余三面使用一种新型板材围成，板材厚度忽略不计.设展房正面长为米，侧面长为米. (1)若满足，求的最小值？ (2)已知展房占地面积为108平方米，正面每平方米造价1200元，侧面每平方米造价800元，屋顶造价5800元，怎样设计能使总造价最低？最低是多少？ 17．已知，完成下列问题. (1)若，求的最小值； (2)若，求的最小值. 18． 问题：已知均为正实数，且，求证：． 证明：（当且仅当时，等号成立．） 学习上述解法并解决下列问题： (1)已知均为正实数，且，求的最小值； (2)已知均为正实数，且，求证：； (3)求的最小值，并求出使得取得最小值时的值． 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 《基本不等式“1”的妙用求最值》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D C A B B C D 1．C 【分析】根据基本不等式“1”的用法求解即可. 【详解】因为，所以， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为4. 2．D 【分析】利用“1的代换”构造符合基本不等式的结构，进而求解的最小值. 【详解】已知为正实数，且，则 ， 因此, 当且仅当即时取等号， 故的最小值为9. 3．C 【分析】利用常值代换法和基本不等式即可求得. 【详解】已知，，且， ， 当且仅当，结合得时等号成立， 的最小值为． 4．A 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由，得，则 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是4. 故选：A 5．B 【分析】根据基本不等式“1”的用法求解即可. 【详解】由正数，且，得， 则， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值是. 故选：B 6．B 【分析】根据题意，巧用“1”化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】， 当且仅当，即时，取等号， 故选：B． 7．C 【分析】利用，结合基本不等式求解. 【详解】因，，满足，则， 于是 ，当且仅当时，即，等号成立， 故的最小值是. 故选：C 8．D 【分析】将条件 代入原式，得到关于 的表达式 ，再通过配凑项法将其转化为可使用基本不等式的形式求解. 【详解】因为，， 则 ， 当且仅当，即，时等号成立， 故的最小值是. 故选:D. 9．/ 【详解】由正数满足，得， 当且仅当时取等号，由，得， 所以当取最小值时，的值为. 10． 【分析】通过基本不等式“1”妙用求得最小值. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值为． 故答案为：. 11． 【分析】借助基本不等式“1”的活用计算即可得. 【详解】， 当且仅当且，即、时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 12． 【分析】利用，结合基本不等式可求最小值. 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 13． 【分析】利用基本不等式“1”的代换即可解答. 【详解】令，所以，且， 因为，所以， 所以 ， 当且仅当时，等号成立，即，所以 所以，又因为，此时， 所以当时，的最小值为. 14．(1) (2) (3) 【分析】（1）由条件等式通分结合基本不等式即可求解； （2）由基本不等式常数“1”的等价代换法即可计算求解； （3）由重要不等式结合（1）即可计算求解. 【详解】（1）因为，均为正数，， 所以即，当且仅当时等号成立， 所以，即的最小值为； （2）由题可得，当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为； （3）由（1）可得，当且仅当时等号成立， 所以的最小值. 15．（1）；（2）16 【分析】（1）利用基本不等式计算可得； （2）利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. （2）因为，，， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为． 16．(1)9. (2)当展房正面长为12米，侧面长为9米时，总造价最低为92200元. 【分析】（1）将条件变形为，再对使用“乘1法”并结合基本不等式求解； （2）由题意得到总造价，利用题设条件和基本不等式即可求解. 【详解】（1）因且，两边同除以，可得， ， ，当且仅当时，等号成立. 所以的最小值为9. （2）由题意，，设总造价为， 则 由解得，即当时，上式等号成立， 所以当展房正面长为12米，侧面长为9米时，总造价最低为92200元. 17．(1)49 (2)64 【分析】（1）由基本不等式乘1法即可求解； （2）由基本不等式得到，再结合一元二次不等式求解即可. 【详解】（1）因，且， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为49. （2）因，则， 即，可得， 即或（舍），解得， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为64. 18．(1)6 (2) 当且仅当时，等号成立. (3) 【分析】（1）考查1的代换，将转换，再与相乘，用基本不等式. （2）考查1的代换，与相乘，用基本不等式. （3）考查第二问的应用，将转化为，再用第二问的结论. 【详解】（1）转换，， 当且仅当时，等号成立． （2）略 （3）转化为，由（2）知，，当且仅当，即. 所以的最小值为. 答案第6页，共7页 答案第7页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $