26.2.3二次函数的图像与性质（一般式）同步练习2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本练习通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，覆盖二次函数图像与性质核心知识点，从概念理解到实际应用，培养抽象能力、推理意识与模型意识，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|图像与系数关系、对称轴、最值|单选题1-3直接考查开口方向、形状、最值计算，夯实概念理解| |能力提升|图像比较、解析式确定|填空题15结合图像判断系数关系，单选题8多情境抛物线过点问题，培养推理能力| |综合应用|实际应用与动态问题|解答题23矩形面积最值、24抛物线与直线综合，构建数学模型解决问题|

26.2.3二次函数的图像与性质（一般式）同步练习 一、单选题 1．如图是抛物线的示意图，则a的值可以是（   ） A． B．0 C．1 D．2 2．与抛物线的形状大小开口方向相同，只有位置不同的抛物线是（　　） A． B． C． D． 3．二次函数的最小值是（　　） A． B．3 C． D．5 4．已知抛物线的图象上三个点的坐标分别为，，C，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 5．将二次函数和的图象画在同一平面直角坐标系中，那么这两个图象都是上升的部分，所对应自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 6．根据表中的自变量x与函数y的对应值，可判断此函数解析式为（   ） x … 0 1 2 … y … 2 … A． B． C． D． 7．一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   8．如图，在平面直角坐标系中，点，，，若抛物线经过A，B，C三点中的两个点，则符合题意的a的最大值是（   ） A． B． C． D． 9．已知二次函数，其中，则函数值的最大值是（    ） A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点作轴的垂线，交抛物线另一侧于点，点，在线段上，且关于轴对称，分别过点，作轴的垂线交抛物线于点，，则四边形的周长的最大值为（） A．8 B．10 C． D． 二、填空题 11．已知抛物线过点，，，则这个抛物线的解析式为________． 12．如果抛物线对称轴是直线，那么________． 13．二次函数，当_____时，y有最小值，最小值是______． 14．若，则的最大值为______． 15．从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息： ①；②；③：④．你认为其中正确信息的有______．（填写序号） 16．已知二次函数，当时，函数取得最值10，当时，，则函数解析式为________（一般式）． 17．二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表，则m的值为______． 0 1 2 3 4 7 2 2 7 18．已知点、、为抛物线上的点，则______． 19．已知二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且经过点．下列结论：①；②若点，是抛物线上的两点，则；③；④若，则.其中正确的结论序号为__________． 20．已知抛物线，当时，的值恒大于等于．则的取值范围为__________． 三、解答题 21．已知二次函数． x … 0 1 2 3 … y … 2 …    (1)完成如表，并根据列表，在所给的平面直角坐标系中画出的图象； (2)当x在什么范围内时，y随x增大而减小． 22．如图，一次函数的图象与坐标轴交于点、，抛物线的图象经过、两点．    (1)求二次函数的表达式； (2)若点为抛物线上一动点，在直线上方是否存在点使的面积最大？若存在，请求出面积的最大值及点的坐标，请说明理由． 23．如图，D，E，F是三边上的点，且四边形为矩形，，． (1)设，______（用含x的表达式表示）； (2)求矩形的面积的最大值． 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，直线交抛物线对称轴于点，为轴下方抛物线上一点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)直线，分别交对称轴于点，，当点，均在点的下方时，求证：为定值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，掌握二次项系数与图象开口的关系成为解题的关键． 由图象可知抛物线的开口向下，得出二次项系数小于0，据此即可解答． 【详解】解：∵抛物线的开口方向向下， ∴二次项系数小于0，只有A选项符合题意． 故选：A． 2．B 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象的形状大小由的大小决定，开口方向由的正负决定是解题的关键．利用形状大小开口方向相同可得二次项系数相同，即可解决． 【详解】解：∵与抛物线的形状大小开口方向相同，只有位置不同， ∴二次项系数等于， 只有选项B符合， 故选：B． 3．A 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，本题考查了将二次函数写成顶点式，即可得出答案． 【详解】解：， ∴抛物线开口向上， ∴当时，二次函数有最小值是， 故选：A． 4．A 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确二次函数的性质．求出抛物线的开口方向和对称轴，然后根据抛物线的对称性和增减性，即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴二次函数的开口向下，对称轴是直线， ∴时，y随x的增大而减小， ∵C点关于直线的对称点是， ∵， ∴， 故选：A． 5．C 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质．根据题意画出函数的图象，然后根据函数的图象即可得到结论． 【详解】解：列表： 0 1 2 3 6 3 2 3 6 7 18 6 描点、连线，可得到这两个函数的图象，如图： 由图象知，这两个图象都是上升的部分，所对应自变量的取值范围是， 故选：C． 6．D 【分析】本题考查求二次函数的解析式，根据对称性得到顶点坐标为，设出顶点式，把代入解析式，进行求解即可． 【详解】解：由表格可知，和时的函数值相同， ∴对称轴为直线， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为，把代入，得：， ∴； 故选：D． 7．B 【分析】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象的综合．本题可先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致即可判断． 【详解】解：A、由抛物线可知，，，由直线可知，，，即，，故本选项错误； B、由抛物线可知，，，由直线可知，，，即，，故本选项正确； C、由抛物线可知，，，由直线可知，，，即，，故本选项错误； D、由抛物线可知，，，由直线可知，，，即，，故本选项错误． 故选：B． 8．C 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，分3种情况求出含漱液解析式即可求解． 【详解】解：①当抛物线过A、B两点时，可得， ∴； ②当抛物线过B、C两点时，可得， ∴； ③当抛物线过A、C两点时，可得， ∴， ∴符合题意的a的最大值是． 故选C． 9．D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数开口向上，最大值出现在端点处，再比较端点和顶点的函数值即可．掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴该二次函数的图象开口向上，顶点为，最小值为， 当时，， 当时，， ∵， ∴当时，函数值的最大值为． 故选：D． 10．B 【分析】本题主要考查二次函数的性质、抛物线的对称性及四边形周长的计算，熟练掌握二次函数的表达式求解与最值分析是解题的关键．先求出抛物线表达式，设出点C坐标，进而表示出其他点坐标，得出四边形周长的表达式，再利用二次函数性质求最大值． 【详解】解：由题意知四边形为矩形． 将点代入抛物线， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为． 设点的坐标为， 由抛物线的对称性得点的坐标为， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴四边形的周长为， ∴当时，四边形的周长的最大值为10． 11． 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的表达式，把点，，代入，利用待定系数法列方程组，解方程组可得抛物线的解析式． 【详解】解：∵抛物线过点，，， ∴， 解得， ∴这个抛物线的解析式为． 故答案为：． 12．/0.5 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质， 根据抛物线对称轴公式建立方程求解． 【详解】解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴， 解得． 故答案为：． 13． / / 【分析】本题考查了二次函数的最值问题．根据二次函数的顶点坐标进行解答即可． 【详解】解：二次函数，，开口向上， 当时，有最小值，最小值为：， 故答案为：，． 14． 【分析】本题主要考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键，由，得，即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴当时，的最大值为， 故答案为：． 15．①②③④ 【分析】由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．本题考查了二次函数图像与系数的关系，熟练掌握：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口，当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置，当与同号时，对称轴在轴左，当与异号时，对称轴在轴右，常数项决定抛物线与轴交点，抛物线与轴交于，是解答本题的关键． 【详解】解：由图可知，二次函数图像开口向上，图像与轴的交点在负半轴， ，，故①正确； 二次函数图像的对称轴，， ， ，故②正确； 由图可知，当时，，故③正确； 由对称轴，可得， ∴ 故④正确， 综上所述，正确的有：①②③④； 故答案为：①②③④． 16． 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式．由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式，然后把代入求出a的值即可． 【详解】解：当时，函数取得最值10，即抛物线的顶点坐标为， 设， 当时，， 把代入， 得， ， ， 故答案为：． 17． 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式，熟练掌握用待定系数法求出二次函数的解析式的方法是解题的关键．利用待定系数法求出二次函数的解析式，即可求解． 【详解】解：把点代入，得： ，解得：， ∴二次函数的解析式为， 当时，． 故答案为：． 18．3 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．二次函数图象上所有点的坐标均满足该函数解析式． 由抛物线的解析式可知抛物线的对称轴是直线，根据点和的坐标知，则点和关于直线对称．据此易求的值，进而把点的坐标代入解析式即可求得的值． 【详解】解：抛物线解析式为， 该抛物线的对称轴是直线， 又点和关于直线对称， ， ， 把代入抛物线的解析式得，． 故答案为：3． 19．①②④ 【分析】本题考查了二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，由对称轴为即可判断①；根据点，到对称轴的距离即可判断②；由抛物线经过点，得出，对称轴，得出，代入即可判断③；根据二次函数的性质以及抛物线的对称性即可判断④． 【详解】解：∵对称轴， ∴， ∴，①正确； ∵抛物线开口向上，点到对称轴的距离小于点的距离， ∴，故②正确； ∵经过点， ∴， ∵对称轴， ∴， ∴，即 ∴，故③错误； ∵对称轴， ∴点的对称点为， ∵开口向上， ∴时，．故④正确； 故答案为：①②④． 20． 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，解一元一次不等式，根据题意，确定函数图象的开口和对称轴，分类讨论：；；根据函数最值的计算方法即可求解． 【详解】解：已知抛物线，则，对称轴为， ∴抛物线开口向下， 当时，在内，时，抛物线取到最小值， ∴最小值为：， 解得，； ∴； 当时，在内，时，抛物线取到最小值， ∴最小值为：， 解得，， ∴； 综上所述，的取值范围为， 故答案为： ． 21．(1)，作图见解析 (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质，准确作图并掌握二次函数的性质是解题关键． （1）代入计算即可，根据所求各点，描点，连线，作图即可． （2）结合图象及性质即可解答． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，， x … −1 0 1 2 3 … y … 2 −1 2 … 故答案为：； 图象如图所示：    （2）解：由图得： 对称轴为， ， ∴当时，y随x增大而减小． 22．(1)； (2)当时，面积的最大值为， 点的坐标是 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的性质，根据数形结合的思想解题时关键． （）根据一次函数解析式求出点、的坐标，然后运用待定系数求二次函数解析式即可； （）设的面积为，，则，列出关于的二次函数，利用二次函数的性质即可得解。 【详解】（1）解：在中，令得，令得 ，， 二次函数的图象过、两点， ， 解得 二次函数的表达式为； （2）解：过点作轴交于点，    设的面积为，，则， ∴ ∵，， ∴ ∴当时，面积的最大值为，， 点的坐标是 23．(1) (2) 【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质，矩形的性质，二次函数的图象与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先证明，得到，然后通过勾股定理求得，即可得到的表达式； （2）设矩形的面积为，通过矩形的面积，得到，通过二次函数的图象与性质，可知其最大值． 【详解】（1）解：D，E，F是三边上的点，且四边形为矩形，， ，，， ， ， ， ，，， ， ， ， ； 故答案为：； （2）解：设矩形的面积为， 矩形的面积， ， ， 其函数图象开口向下， 时，矩形的面积取得最大值，最大值为． 24．(1) (2) 证明：，当时，， ， ∴设直线的解析式为， 把点代入，得：， ∴直线的函数表达式为， 抛物线对称轴交直线于点，对称轴为直线， 当时，， ， 如图，设点， ， 设直线的函数表达式为， 将点的坐标代入，得，则， 直线的函数表达式为， 当时，， ， ． 同理可得，直线的函数表达式为，                      当时，， ， ， ． 为定值． 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出直线的解析式，进而求出点坐标，设，求出的坐标，进而求出的长，进行求解即可． 【详解】（1）解：抛物线经过点，， ， 解得，                                   抛物线的函数表达式为； （2）略 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $