专题14 直线与圆 暑假预习讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

专题14 直线与圆 暑假预习讲义 ✺知识框架 1.线圆基础位置关系：通过圆心到直线的距离与半径的大小对比，精准区分相交、相切、相离三类位置，掌握定义特征与双向判定法则。 2.切线核心重难点：吃透切线判定定理、性质定理，熟练掌握两类切线证明的标准解题模型。 3.切线长定理：掌握圆外一点引圆双切线的核心性质，熟练解决线段、角度类几何基础题型。 4.圆与圆位置关系：依托圆心距与两圆半径和、差的数量关系，精准判定五种圆与圆的位置关系。 ✅本章全程贯穿数形结合核心思想，以“数量关系判定图形位置”为核心逻辑，先夯实直线与圆的基础位置判定，再聚焦切线相关核心定理与必考解题模型，最后拓展圆与圆的位置关系。是初中圆的几何推理、计算的核心重点，也是中考基础与中档题型的高频考点。 ✺学习目标 1.熟记直线与圆的三种位置关系及判定依据；精准掌握切线判定、切线性质、切线长三大核心定理；掌握两圆五种位置关系的定义及圆心距、半径的数量判定公式，构建完整的圆位置关系知识体系。 2.可独立完成线圆位置关系的快速判定；规范书写切线证明的几何推理过程；能灵活运用切线长定理进行线段、角度计算；精准判定两圆位置关系，夯实几何解题基础。 3.树立数形结合、分类讨论的核心数学思想，培养几何直观能力、逻辑推理能力和规范答题素养，适配中考基础题型与中档题型解题要求。 ✺题型归纳 题型1.判断直线和圆的位置关系 题型2.已知直线和圆的位置关系求半径的取值 题型3.已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 题型4.求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 题型5.求直线平移到与圆相切时运动的距离 题型6.有关切线的概念辨析 题型7.判断或补全使直线为切线的条件 题型8.证明某直线是圆的切线 题型9.切线的性质定理 题型10.切线的性质和判定的综合应用 题型11.应用切线长定理求解 题型12.应用切线长定理求证 题型13.直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 题型14.圆外切四边形模型 题型15.过圆外一点作圆的切线(尺规作图) 题型16.切线的应用 题型17.圆内知识综合 题型18.圆与三角形的综合 题型19.圆与四边形的综合 题型20.圆与函数的综合 题型21.其他问题 题型22.圆和圆的位置关系 题型23.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、直线与圆的三种位置关系 设定：⊙O半径为r，圆心O到直线l的垂线段距离为d。直线和圆的位置关系由d与r的大小关系唯一确定。 1.相交：直线与圆有两个公共点，该直线为圆的割线。判定关系：d < r。 2.相切：直线与圆有唯一公共点，该直线为圆的切线，公共点为切点。判定关系：d = r。 3.相离：直线与圆无公共点，直线与圆相互分离。判定关系：d > r。 知识点二、切线的判定定理 定理内容：经过半径外端，且垂直于该半径的直线，是圆的切线。如下图. 必备双条件（缺一不可）：①直线过半径外端点；②直线与对应半径互相垂直。 知识点三、切线的性质定理 定理内容：圆的任意一条切线，垂直于过切点的半径。如下图 几何语言：若直线l切⊙O于点A，则OA⊥l。 知识点四、切线长定理 切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。如下图. 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等；这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 几何语言：若PA、PB分别切⊙O于A、B，则PA=PB，∠APO=∠BPO。 知识点五、圆与圆的位置关系 设定：两圆半径分别为R、r（默认R≥r），两圆圆心间距为圆心距d，共五种位置关系，判定规则清晰唯一。 1.外离：无公共点，两圆相互独立。判定：d > R+r。 2.外切：有唯一公共点，两圆外相接。判定：d = R+r。 3.相交：有两个不同公共点。判定：R-r < d < R+r。 4.内切：有唯一公共点，小圆内切于大圆。判定：d = R-r。 5.内含：无公共点，小圆完全在大圆内部；同心圆（d=0）为内含的特殊情况。判定：d < R-r。 核心总结：圆与圆的位置关系由圆心距、半径和、半径差三者共同决定，数量关系与位置关系双向互推。 ✺题型精讲 题型1.判断直线和圆的位置关系 1．圆的半径为，圆心与直线上某一点距离为，则直线与圆的位置关系不可能是（     ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据直线与圆的位置关系，结合垂线段最短，即可作出判断． 【详解】解：设圆心到直线的距离为d，圆的半径为，圆心与直线上某一点的距离为， 又∵垂线段最短， 圆心到直线的距离， ∴ ∴直线与圆相切或相交，不可能相离． 2．的半径为，圆心到直线的距离为，则直线与的位置关系是__________． 【答案】相交 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系；由题意得出，根据直线和圆的位置关系的判定方法判断即可． 【详解】解：∵的半径为，圆心到直线的距离为， ∴， 即， ∴直线l与⊙O的位置关系是相交， 故答案为：相交． 3．已知圆的直径为，根据下列圆心到直线l的距离，分别判断直线l与圆有几个公共点，并说明理由： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)解：有2个公共点，理由如下， ∵圆的直径为， ∴圆的半径， ∵圆心到直线l的距离， ∴， ∴直线l与圆相交， ∴直线l与圆有2个公共点． (2)解：有1个公共点，理由如下， ∵圆心到直线l的距离， ∴， ∴直线l与圆相切， ∴直线l与圆有1个公共点． (3)解：没有公共点，理由如下， ∵圆心到直线l的距离， ∴， ∴直线l与圆相离， ∴直线l与圆没有公共点． 【分析】先根据已知直径求出圆的半径，再通过比较圆心到直线的距离与圆半径的大小关系，判断直线与圆的位置关系，进而得到公共点个数． 【详解】（1）解：略． （2）解：略． （3）解：略． 题型2.已知直线和圆的位置关系求半径的取值 1．如图，在中，，，．以点C为圆心，r为半径作圆．若与斜边所在直线有且只有一个公共点，则r的值为（     ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】首先由勾股定理求，再用面积法求出到的距离，然后根据切线的判定定理回答即可． 【详解】解：在中，，，． ， 过点作于点， ， ， 与斜边所在直线有且只有一个公共点， 与相切， ． 2．如图，中，以点为圆心作，与，有交点（不经过点，两点），，．若，则的半径的取值范围是________． 【答案】 【分析】分别求出与相切时，过点时两种情况半径的值，再结合图像分析即可． 【详解】，，， ， 如图，当与相切时，半径， 当过点时，半径， 由图像可得，当与，有交点（不经过点，两点）时， 的半径的取值范围是． 3．如图，，点M在上，且，以点M为圆心，r为半径画圆，试讨论r的大小与所画的圆和射线的公共点个数之间的对应关系． 【答案】当时，与射线没有公共点；当或时，与射线只有一个公共点；当时，与射线有两个公共点 【分析】此题考查了直线与圆的交点个数问题．作于点N，求出，分情况讨论求解即可． 【详解】解：作于点N，如图， ∵， ∴， ∴当时，与射线OA只有一个公共点； 当时，与射线OA没有公共点； 当时，与射线OA有两个公共点； 当时，与射线OA只有一个公共点． ∴当时，与射线OA没有公共点；当或时，与射线OA只有一个公共点；当时，与射线OA有两个公共点． 题型3.已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 1．若直线l与半径为5的相离，则圆心O与直线l的距离d为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一条直线与一个圆相离，那么该圆的圆心到该直线的距离大于该圆的半径，据此可得答案． 【详解】解：∵直线与半径为5的相离， ∴圆心与直线的距离． 2．设的半径为4，点O到直线a的距离为d，若与直线a至多只有一个公共点，则d的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系．根据题意可得与直线a相离或相切，即可求解． 【详解】解：∵与直线a至多只有一个公共点， ∴与直线a相离或相切， ∵的半径为4， ∴． 故答案为： 3．已知圆与直线相切，求m的值． 【答案】或 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，根据圆的方程得到圆的半径和圆心坐标，然后根据直线与圆相切可知，圆心到直线的距离等于半径的长，再根据距离公式即可求解． 【详解】解：由圆方程可得圆心，半径， ∵直线与圆相切， ∴圆心到直线距离等于半径： 解得，即． 题型4.求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 1．如图，在平面直角坐标系xOy中，的半径为2，点P的坐标为，若将沿y轴向下平移，使得与x轴相切，则向下平移的距离为（    ） A．1 B．5 C．3 D．1或5 【答案】D 【分析】分圆P在轴的上方与轴相切和圆P在轴的下方与轴相切两种情况分别求解即可． 【详解】解：当圆P在轴的上方与轴相切时，平移的距离为， 当圆P在轴的下方与轴相切时，平移的距离为， 综上所述，向下平移的距离为1或5． 故选：D． 【点睛】本题考查了相切的定义、平移变换等知识点，注意分类讨论是解答本题的关键． 2．如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴上一动点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作，当与直线AB相切时，点P的坐标是（） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】由题意根据函数解析式求得A（-4，0），B（0，-3），得到OA=4，OB=3，根据勾股定理得到AB=5，设⊙P与直线AB相切于D，连接PD，则PD⊥AB，PD=1，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵直线交x轴于点A，交y轴于点B， ∴令x=0，得y=-3，令y=0，得x=-4， ∴A（-4，0），B（0，-3）， ∴OA=4，OB=3， ∴AB=5， 设⊙P与直线AB相切于D， 连接PD， 则PD⊥AB，PD=1， ∵∠ADP=∠AOB=90°，∠PAD=∠BAO， ∴△APD∽△ABO， ∴， ∴， ∴AP=， ∴OP=或OP=， ∴P或P， 故选：B． 【点睛】本题考查切线的判定和性质，一次函数图形上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，正确的理解题意并运用数形结合思维分析是解题的关键． 3．在平面直角坐标系中，的半径为1． 给出如下定义：记线段的中点为，当点不在上时，平移线段，使点落在上，得到线段（分别为点的对应点）线段长度的最小值称为线段到的“平移距离”． （1）已知点的坐标为，点在轴上． ①若点与原点重合，则线段到的“平移距离”为________； ②若线段到的“平移距离”为2，则点的坐标为________； （2）若点都在直线上，且，记线段到的“平移距离”为，求的最小值； （3）若点的坐标为，且，记线段到的“平移距离”为，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①；②或；（2） ；（3） 【分析】（1）根据平移的性质以及线段AB到的“平移距离”的定义判断即可求出． （2）过点O作 于E，联立方程组求出OE即可得出的最小值． （3）以A为圆心，1为半径作，连接OA 交于E、F；由图可知：当M在点时，最小；在点E时，最大．由此得出的取值范围． 【详解】（1）①当B与原点O重合时，AB中点为，移动最小距离为向左平移到上． 故答案为： ②当“平移距离”为2时，如图： 有两种情况，当为时， ，AB=4， 为． 当为时，，AB=8，B为． 故答案为： 或． （2）如图： 直线如图L，当L平移到m位置时，最小.即平移到直线m与相切时，最小． 过点O作于E， 则 设直线OE为y=kx， ， ∴ 即， ∴． 联立方程组， 解得： ， ∴E为 ， ∴， ∴． （3）∵， ∴AM=1， 即M点在以A为圆心，半径为1的圆上，如图所示： 连接OA 交于E、F，可知：当M在点F时，最小；在点E时，最大． 当M在F时，， 当M在E时，， ∴． 【点睛】本题属于综合题，考查了平面直角坐标系平移变换，一次函数的性质，圆相切的相关概念，解直角三角形，线段AB到的“平移距离”的定义等知识；此题解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会寻找特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题． 题型5.求直线平移到与圆相切时运动的距离 1．已知：的半径为，圆心到直线l的距离为，将直线l沿垂直于l的方向平移，使l与相切，则平移的距离是（　　） A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】解：如图，当l经过点B时，，则； 当l移动到时，则； 即平移的距离是或． 2．如图，⊙O的半径OC=10cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A，B两点，AB=16cm，则l沿OC所在直线向下平移_________cm时与⊙O相切． 【答案】4 【分析】根据垂径定理可求出，再利用勾股定理可得，从而，再由l与⊙O相切，则点 到直线l的距离等于OC=10cm，从而得到l沿OC所在直线向下平移的距离等于，即可求解． 【详解】解：∵直线l⊥OC，AB=16cm， ∴ ， ， ∵ ， 在 中，由勾股定理得 ， ∴ ， 若l与⊙O相切， 则点 到直线l的距离等于OC=10cm， ∴l沿OC所在直线向下平移的距离等于 即l沿OC所在直线向下平移时与⊙O相切． 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，直线与圆的位置关系，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 3．在平面直角坐标系中，A、B为平面内不重合的两个点，若Q到A、B两点的距离相等，则称点Q是线段的“似中点”． (1)已知，，在点、、、中，线段的“似中点”是点___________： (2)直线与x轴交于点M，与y轴交于点N． ①求在坐标轴上的线段的“似中点”； ②若的半径为2，圆心P为，上存在线段的“似中点”，请直接写出t的取值范围． 【答案】(1)E，G (2)①或 ② 【分析】（1）分别求出各点到点A，B的距离，根据定义判断即可； （2）①先求出点，，再根据勾股定理求出，可求出，可确定“似中点”的位置，分两种情况求出坐标即可；②作出图形，G，K分别是，与垂直平分线相切的切点，连接，，则，，则，，再求出线段长，然后根据直角三角形的性质求出，，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点，，， ∴，， ∴， ∴点D不是线段的“似中点”； ∵点， ∴，， ∴， ∴点E是线段的“似中点”； ∵点， ∴，， ∴， ∴点F不是线段的“似中点”； ∵点， ∴，， ∴， ∴点G是线段的“似中点”． 故答案为：E，G； （2）解：①直线，当时，；当时，， ∴点，， ∴，， ∴，， 所求的点H是的垂直平分线l与坐标轴的交点，如图所示． ∴，． 当“似中点”在x轴上时，，则； 当“似中点”在y轴上时，，则． 所以，； ②如图所示，G，K分别是，与垂直平分线相切的切点，连接，，则，，则，． ∵，，的半径为2，， ∴，， ∴，， ∴当时，上存在线段的“似中点”． 【点睛】本题主要考查了新定义的理解，两点之间的距离公式，圆的切线的性质，勾股定理，含直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质定理，理解“到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”是解题的关键． 题型6.有关切线的概念辨析 1．下列说法：①三点确定一个圆；②垂直于弦的直径平分弦；③三角形的内心到三角形三条边的距离相等；④垂直于半径的直线是圆的切线．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据三角形内心的概念和性质、垂径定理、切线的判定定理、确定圆的条件判断即可． 本题考查了三角形的内切圆与内心，垂径定理，确定圆的条件，切线的判定，掌握基本的概念是解题关键． 【详解】∵ ①不在同一直线上的三点确定一个圆，三点共线，无法确定圆，∴ ①错误； ∵ ②根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦是正确的，∴ ②正确； ∵ ③三角形的内心是角平分线交点，到三边距离相等，∴ ③正确； ∵ ④垂直于半径且过半径外端的直线才是切线，∴ ④错误； ∴ 正确说法有②和③，共2个． 故选：B． 2．如图，以边为直径作交于点，恰好是的切线，为切点，连接．若，则的度数为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、圆周角定理、切线的定义，首先根据切线的定义可得：，再根据三角形内角和定理求出，最后再根据圆周角定理可求． 【详解】解：为直径，是的切线，为切点， ， 在中，， ， 对应的圆心角为，圆周角为， ． 3．如图，在矩形中，是对角线，． (1)求作，使得与相切于点E；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)射线交于F，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据尺规作图，先作的垂线，再作； （2）设，，先推导出，，证明，得到，推导出，求出，则，再根据正弦的定义求解即可． 【详解】（1）解：如图，点E即为所求； （2）解：设，． ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（负根已经舍去）， ∴， ∵， ∴． 题型7.判断或补全使直线为切线的条件 1．如图，点在上，点在外，以下条件不能判定是切线的是（    ） A． B． C． D．与的交点是中点 【答案】D 【分析】本题考查切线的判定，勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握切线的判定是解题的关键．根据切线的判定分别对各个选项进行判断，即可得出结论． 【详解】 解：A、， ， ， 点B在上， 是的半径， 是切线； B、， ， ， ， ， 点B在上， 是的半径， 是切线； C、， 是直角三角形，， ， 点B在上， 是的半径， 是切线； D、与的交点是中点， 不能证出， 因此不能判定是切线； 故选：D． 2．如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB=120°，那么当∠CAB的度数等于________度时，AC才能成为⊙O的切线． 【答案】60 【分析】由已知可求得∠OAB的度数，因为OA⊥AC，AC才能成为⊙O的切线，从而可求得∠CAB的度数． 【详解】解：∵△AOB中，OA=OB，∠AOB=120°， ∴， ∵当OA⊥AC即∠OAC=90°时，AC才能成为⊙O的切线， ∴当∠CAB的度数等于60°，即OA⊥AC时，AC才能成为⊙O的切线． 故答案为：60． 【点睛】本题考查了切线的判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，掌握切线的判定定理是解答此题的关键． 3．下面是小石设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图的过程． 已知：如图1，⊙及⊙上一点． 求作：直线PN，使得PN与⊙相切． 作法：如图2， ①作射线OP； ②在⊙外取一点Q（点Q不在射线OP上），以Q为圆心，QP为半径作圆，⊙Q与射线OP交于另一点M； ③连接MQ并延长交⊙Q于点N； ④作直线PN． 所以直线PN即为所求作直线． 根据小石设计的尺规作图的过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：∵是⊙的直径， ∴＝ （        ）（填推理的依据）． ∴． 又∵是⊙的半径， ∴是⊙的切线（        ）（填推理的依据）． 【答案】（1）补全图形如下图； （2），直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 【分析】（1）根据题意作出图形即可； （2）根据圆周角定理可得∠MPN=90°，根据切线的判定定理即可得结论. 【详解】（1） 略 （2）证明：∵是⊙的直径， ∴＝ 90 （直径所对的圆周角是直角）（填推理的依据）． ∴． 又∵是⊙的半径， ∴是⊙的切线（经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线  ）（填推理的依据）． 故答案为：90，直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 【点睛】本题考查了切线的判定及圆周角定理，正确作出图形是解题关键. 题型8.证明某直线是圆的切线 1．如图，已知的半径为5，直线经过上一点P，下列条件不能判定直线与相切的是（    ） A． B． C．点O到直线的距离是5 D． 【答案】A 【分析】依据切线的判定定理“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线”或“圆心到直线的距离等于半径”进行判断即可． 【详解】解：A、，不能判定直线与相切，符合题意； B、由，得到，且点P在上，能判定直线与相切，不符合题意； C、点O到直线的距离是5，等于半径，能判定直线与相切，不符合题意； D、且点P在上，能判定直线与相切，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了切线的判定；熟练掌握切线的判定是解题的关键． 2．如图，为的直径，、为上的点，连接、、、，为延长线上一点，连接，且，．若的半径为，则点到的距离为________． 【答案】/ 【分析】连接OC，证明CD⊥OC；运用勾股定理求出OD=10，过点A作AF⊥DC，交DC延长线于点F，过点C作CG⊥AD于点G，在Rt△OCD中运用等积关系求出CD，同理，在△ACD中运用等积关系可求出AF 【详解】解：连接OC， ∵AB是圆的直径， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴，即OC⊥CD ∵的半径为 ∴ 在Rt△OCD中， ∴ ∴ 过点A作AF⊥DC，交DC延长线于点F，过点C作CG⊥AD于点G， ∵ ∴，解得， 同理： ∴ ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了切线的判定、三角形面积、勾股定理等知识，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形． 3．下面是“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程． 已知：和上一点． 求作：的切线，使经过点． 作法：如图， ①作射线； ②以点为圆心，小于的长为半径作弧交射线于，两点； ③分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于，两点； ④作直线．则就是所求作的的切线． (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：∵，， ∴垂直平分（________）， ∴， ∵点在圆上， ∴就是所求作的的切线（________）． 【答案】(1)切线如图所示： (2)证明：∵，， ∴垂直平分（垂直平分线的逆定理）， ∴， ∵点在圆上， ∴就是所求作的的切线（切线的判定定理）． 【详解】（1）略 （2） 略 题型9.切线的性质定理 1．如图，为的切线，交于点，为上一点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据切线的性质得到，利用直角三角形两锐角互余求出，再根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵为⊙的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵与分别是所对的圆周角和圆心角， ∴． 2．如图，在中，，，圆心在上的半圆与斜边相切于点，则的度数是_____度． 【答案】25 【分析】先求出，连接，则，求出，最后再由圆周角定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 如图，连接， ∵圆心在上的半圆与斜边相切于点， ∴， ∴， ∴． 3．如图，是直径，点是上一点，过点作的切线，过点作的垂线，垂足为点，交于点，连接． (1)求证：平分； (2)若，，求长． 【答案】(1)证明：如图，连接，则， ， 是的切线， ∴， 又∵， ， ， ， 平分． (2) 【分析】（1）连接，得到，再由切线得到，结合得到，然后得到，最后得到，然后得证结果； （2）过点作于点，先通过，，求得， ，然后设半径为，进而表示出、的长，再利用勾股定理列出关于的方程求解的值，最后得到的长度． 【详解】（1）略 （2）解：，，， ， 过点作于点， 则四边形为矩形， ， ， 设，则 ， 在中，， ， 解得：， ． 题型10.切线的性质和判定的综合应用 1．过点作圆的切线只有一条，那么点与圆的位置关系是（  ） A．点在圆外B．点在圆上C．点在圆内 D．以上都有可能 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系、切线的判定等知识，熟练掌握圆的切线的判定是解题关键．根据点与的位置，分别进行分析即可得． 【详解】解：如果点在外，则过点作的切线有两条； 如果点在内，则过点的直线与相交； 如果点在上，则过点作的切线只有一条； 如图，连接，过点作的切线，则， 是唯一的， 过点作的切线只有一条， 故选：B． 2．如图，为外一点，与相切于点，若，则 ______ 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质、含角的直角三角形，解题的关键是掌握切线的性质． 根据与相切于点，得出，再利用含的直角三角形的性质求解． 【详解】与相切于点， ， ， ， ， 故答案为：． 3．如图，为的直径，是的切线，切点为点B，点D为上一点，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径长． 【答案】(1) 证明：如图，连接， ∵为的直径，与相切于点B， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵是的半径，且， ∴是的切线； (2)6 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理、切线的判定与性质． （1）连接，由切线的性质得，则，因为，，所以，则，即可证明是的切线； （2）由，得，而，，则，求得，所以的半径长为． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴的半径长为． 题型11.应用切线长定理求解 1．如图，，是的切线，，是切点，点在上，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，延长，交于，连接，根据圆周角定理得出，，进而求出，根据切线的性质及切线长定理得出，，进而求出，根据等腰三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，延长，交于，连接，则为的直径， ∵为的直径， ∴， ∵和都是所对的圆周角，， ∴， ∴， ∵，是的切线，，是切点， ∴，， ∴，， ∴． 2．如图，，是的两条切线，A，B是切点，C是上一点，过点C画的切线，分别交，于点D，E，，则的周长是________． 【答案】24 【详解】解：和是的两条切线， ， 同理可得：，， 的周长 ． 3．已知，如图，是的直径，直线，分别切于点，点，连接，． (1)求证：； (2)若，，求出的长． 【答案】(1)证明：连接， 直线，分别切于点， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， ∴； (2)的长． 【分析】（1）连接，根据切线长定理可知，证明，可知，根据圆周角定理得到，即可证明； （2）根据全等三角形的性质得到，可知，进而得到，根据弧长公式计算即可． 【详解】（1）略； （2）解：∵， ∴ ， ， ， ， 的长． 题型12.应用切线长定理求证 1．如图，是的两条切线，切点分别为交于点．下列结论中，错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据切线长定理和半径相等，得到是线段的中垂线，逐一进行判断即可． 【详解】解：连接，    则：， ∵是的两条切线， ∴， ∴是线段的中垂线， ∴， ∴； ∴， 条件不足，无法得到， ∴； 综上，只有选项D错误，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查切线长定理：从圆外一点，引圆的两条切线，则该点到两个切点间的距离相等． 2．如图，是的直径，切于点A，切于点B，且，则点O到弦的距离为______． 【答案】/ 【分析】连接，圆周角定理得到，利用切线长定理得到为等边三角形，进而得到，利用解直角三角形得到，作，证明，利用相似三角形的性质求解，即可解题． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ， ∵切于点A，切于点B， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 作， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质、切线长定理、等边三角形的判定与性质、解直角三角形，相似三角形的性质和判定等知识点；熟练掌握切线的性质和相似三角形的性质和判定是解题的关键． 3．如图，在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦分别与小圆相切于点、．与相等吗？为什么？ 【答案】 解：与相等 如图，连接、， 是小圆的两条切线，切点分别为、， ，， 又是大圆的弦，， ，， ． 【分析】本题考查垂径定理，切线长定理，掌握知识点是解题的关键． 连接、，根据切线长定理，得到，，，再由垂径定理，得到，，则，即可解答． 【详解】略 题型13.直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 1．中，，，，则内切圆的半径等于（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形内切圆及勾股定理，熟练掌握三角形的内切圆及勾股定理是解题的关键；由题意易得，然后根据“三角形的内切圆的半径即为三角形的内心到三角形三条边的距离”，进而根据等积法可进行求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 设内切圆的半径为r，则有：， ∴； 故选：A． 2．如图，在中，，，，则的内切圆半径___________． 【答案】2 【分析】由勾股定理可得，如图：连接，再根据三角形面积列方程求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 如图：连接， ∵， ∴， 即， 解得：． 3．如图，已知，． (1)在图中，用尺规作出的内切圆的圆心（保留痕迹，不必写作法）； (2)画出与边，，的切点、、，连接，，若则___________； (3)若，则所作内切圆半径___________． 【答案】(1) 如图，点O即为的内切圆圆心， (2) (3)2 【分析】本题主要考查了三角形的内切圆与内心，作图-复杂作图，关键是掌握三角形的内心是三角形角平分线的交点． （1）分别作和的平分线，它们相交于点O，则点O为内切圆圆心； （2）过点O作于F，然后以点O为圆心，为半径作圆；连接、，根据切线长定理得出，，从而可求出； （3）由三角形的面积等于其内切圆的半径与周长积的一半，即可求得的内切圆的半径． 【详解】（1）略 （2）解：连接，， 由切线长定理得，， ∵, ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：； （3）解：设内切圆的半径为r， ∵在中，， ∴， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：2． 题型14.圆外切四边形模型 1．如图，在四边形中，，，与四边形各边都相切，连接，若的半径为2，，则的值是（　　）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设切点依次为点E、F、G、H，连接，，，，，，，，分别过点A、D作的垂线，垂足为M、N，由切线长定理可以推出，．根据内切圆半径与多边形面积和周长之间关系可以算出，梯形的高为4，使用勾股定理和矩形的性质算出下底，，最后使用勾股定理算出的值． 【详解】解：如图，设切点依次为点E、F、G、H，连接，，，，，，，，分别过点A、D作的垂线，垂足为M、N，设半径为， 与四边形各边都相切，由切线长定理可知，，，，， ∴， ， ， ∵， ∴， 由切线的性质可知，，，，， ∴， ， ， ， ， ∵在四边形中，，， ∴四边形是等腰梯形， 设梯形的高为h， 则，即， 解得，， ∵，， ∴， 在直角中，， 同理，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴ ， ∵， ∴，解得，， ∴， 在直角中，． 故选：B． 【点睛】本题考查切线的性质，切线长定理，矩形的判定与性质，梯形的性质和勾股定理，熟练掌握切线相关的定理是解题关键． 2．如图，的外切四边形中相邻的三条边，周长为32，则__________． 【答案】8 【分析】本题主要考查了四边形的内切圆的性质、比例的应用等知识点，掌握圆的外切四边形的对边之和相等是解题的关键． 利用圆的外切四边形的性质得到，设、、，则，即，接着利用四边形的周长为32列方程求解即可． 【详解】解：如图， ∵的外切四边形， ∴， ∴， ∵， ∴设、、，则，即， ∵四边形的周长为32， ∴，解得：， ∴． 故答案为：8． 3．如图，⊙O与四边形ABCD的各边依次切于M，N，G，H． （1）猜想AB+CD与AD+BC有何数量关系，并证明你的猜想； （2）若四边形ABCD增加条件AD∥BC而成为梯形，梯形的中位线长为m，其他条件不变，试用m表示梯形的周长． 【答案】 （1）AB+CD=AD+BC 证明：由切线长定理，得：AM=AH，BN=BM，CN=CG，DG=DH， 所以AB+CD=AM+BM+CG+DG=AH+BN+CN+DH=AD+BC， 即AB+CD=AD+BC （2）4m. 【分析】(1)由切线长定理，得：AM=AH，BN=BM，CN=CG，DG=DH，所以AB+CD=AD+BC， (2)AD∥BC，在梯形ABCD中，由梯形的中位线定理得，AD+BC=2m，梯形的周长=AB+CD+AD+BC=2(AD+BC)=2×2m=4m 【详解】(1)略 (2)AD∥BC，在梯形ABCD中，由梯形的中位线定理得， AD+BC=2m， 梯形的周长=AB+CD+AD+BC=2(AD+BC)=2×2m=4m 【点睛】考查了圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边和相等；也考查了梯形的中位线定理，梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 . 题型15.过圆外一点作圆的切线(尺规作图) 1．已知是外一点，用直尺和圆规过点作的切线．以下是甲、乙两人的作法： 下列判断正确的是（    ） 甲：①如图1，连接，以为直径作圆，交于，两点． ②连接，，，就是的切线． 乙：①如图2，连接，交于点．以点为圆心，为半径画弧，交于点． ②连接，就是的切线． A．甲、乙的作法都正确 B．甲、乙的作法都错误 C．甲的作法错误，乙的作法正确 D．甲的作法正确，乙的作法错误 【答案】D 【分析】本题考查了切线的作法，切线的判定．甲：连接、，利用圆周角定理求得，即可证明是的切线；乙：连接，不能证明是的切线． 【详解】解：甲：连接、， 由作图知，是直径， ∴， 又∵、是的半径， ∴是的切线； ∴甲的作法正确； 乙：连接， 由作图知，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 若是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵不一定等于， ∴不一定是的切线， ∴乙的作法不正确； 故选：D． 2．以下是“用尺规过圆外一点作圆的切线”的作图过程： 已知：如图，及外一点． 作法：连结，作线段的垂直平分线交于点； 以点为圆心，的长为半径作圆，交于点、点； 作直线，． 说明：连结． ∵以点为圆心，的长为半径作圆，∴为的直径，∴_____°． ∵为半径，∴为的_____，且_____（填“”、“”或“”）．    【答案】 ； 切线； ． 【分析】本题考查了作图-复杂作图，线段垂直平分线的性质、圆周角定理和切线的判定与性质，先根据圆周角定理的推论得到，，然后根据切线的判定定理得到直线为切线，同理可证，直线也是的切线，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键． 【详解】连接，    ∵为的直径， ∴， ∵为半径， ∴为的切线， 同理为的切线， ∴， 故答案为：；切线；． 3．如图，点P在上．请用尺规作图法，过点P作的切线l．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 解：如图，直线即为所求． 【详解】略 题型16.切线的应用 1．如图，为等边三角形的高，点O 在的延长线上，且，的半径为1，若将绕点 C 按顺时针方向旋转，在旋转的过程中，与等边三角形的边只有一个公共点的情况一共出现（　　） A．3 次 B．4 次 C．5 次 D．6 次 【答案】C 【分析】本题考查直线与圆的位置关系．延长交于点，根据线段的和差关系求出，根据等边三角形的性质，得到，再根据直线和圆的位置关系进行判断即可． 【详解】解：如图，延长交于点， ， ； ； 是等边三角形，为等边三角形的高， ， 又∵的 半径为1， ∴在旋转过程中，与边只有一个公共点的情况有 2次，与边有2次，与边有1次，即交点为点，共5次．如图： 故选 C． 2．如图，点的坐标为，点的坐标为，⊙A与轴相切，点是⊙A上的动点，射线与轴交于点，则长的最大值等于_______． 【答案】 【分析】当射线与相切于点时，有最大值，的值最大，判断， ，进而可得长的最大值． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴当最大时，的值最大， 如图，当射线与相切于点时，有最大值，的值最大， 中， 由勾股定理得， ∴∠ ∵，且 ∴∠ ∴∠ ∴中， 故答案为： 【点睛】此题主要考查了圆的切线的性质，正确作出辅助线是解答此题的关键． 3．尺规作图，如图，过点P作弦使得． 【答案】 法一：①过点O作的垂线； ②以垂线段画圆O； ③过点P作圆O的两条切线，这两条切线截得的弦、即为所求； 法二：①以O为圆心，为半径作圆，交于点G； ②作，得弦，即为所求； ③作，得弦，即为所求． 过点O作， 由题意得，，， ∴ ∴ ∴ 同理可证得，． 【分析】此题考查了切线的性质，掌握等弦所对的弦心距相等是解题的关键． 法一：根据题意作出以点O到距离为半径的圆，然后作出圆O的两条切线即可； 法二：根据题意做出，，进而求解即可． 【详解】略 题型17.圆内知识综合 1．平面上一点P与⊙O的点的距离的最小值是2，最大值是8，则⊙O的直径是（　　） A．6或10 B．3或5 C．6 D．5 【答案】A 【分析】点P应分为位于圆的内部位于外部两种情况讨论．当点P在圆内时，点到圆的最大距离与最小距离的和是直径；当点P在圆外时，点到圆的最大距离与最小距离的差是直径，由此得出答案． 【详解】解：当点P在圆内时，因为点P与⊙O的点的距离的最小值是2，最大值是8，所以圆的直径为10， 当点P在圆外时，因为点P与⊙O的点的距离的最小值是2，最大值是8，所以圆的直径为6． 故选：A． 【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，根据点到圆上各点的最大距离和最小距离，可以得到圆的直径． 2．已知点A，B是半径为2的⊙O上两点，且∠BOA＝120°，点M是⊙O上一个动点，点P是AM的中点，连接BP，则BP的最小值是______． 【答案】 【分析】根据垂径定理即可判断点在以为直径的圆上，设为，连接，与的交点即为点，此时有最小值，最小值为，利用等腰三角形的性质和解直角三角形即可求得，，然后根据勾股定理求得，进而求得的最小值为． 【详解】解：连接， 点是的中点， ， 点在以为直径的圆上，设为， ， 连接，与的交点即为点，此时有最小值，最小值为， 作于，与， ， 是的中点， ， ， ，，， ， ， ， 的最小值为， 故答案为． 【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，圆周角定理关系，等腰三角形的性质，以及解直角三角形等，确定点在以为直径的圆上是解题的关键． 3．如图，是的直径，点D在的延长线上，点C在上，． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为6，求点A到所在直线的距离． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】（1）已知点C在上，先连接，由已知，，得，，所以得到，根据三角形内角和定理得，即能判断直线与的位置关系． （2）要求点A到所在直线的距离，先作，垂足为E，由，得，在中，半径，所以，，从而求出． 【详解】（1）∵是等腰三角形，， ∴． 连接， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， 在中，又∵， ∴ ∴是的切线，即直线与相切． （2）过点A作，垂足为E． 在中，∵， ∴， ， 在中， ∵， ∴点A到边的距离为：． 【点睛】此题考查的知识点是切线的判定与性质，解题的关键是运用直角三角形的性质及30°角所对直角边的性质． 题型18.圆与三角形的综合 1．如图，中，，，，点、分别是、的中点，以为直径的交于点、，则的长度为（　） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理、三角形中位线定理、垂径定理及相似三角形的性质，解题思路是先求斜边和中位线的长度，再求点到的距离，最后利用勾股定理和垂径定理求；考查的知识点有勾股定理、三角形中位线定理、垂径定理，用到的思想是转化思想，方法是几何图形中的长度计算方法，技巧是利用垂径定理将的长度转化为，解题关键是求出点到的距离，易错点是忽略垂径定理的应用导致无法将与建立联系． 【详解】解：∵中，，，， ∴， ∵点、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴的直径为5，半径， 过点作于，连接， ∵， ∴， ∵是的中位线， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， 故选D． 2．如图，在中，，于点，，是的中位线，则线段的最小值为______． 【答案】 【分析】作的外接圆，连接、、，过点作、的垂线，垂足分别为、，设，由圆周角定理可得，在中，求出，，则，再结合三角形中位线定理，得到，即当取最小值时，有最小值．当点与点重合时，有最小值，此时，利用的长求出为最小值，即可得解． 【详解】解：如图，作的外接圆，连接、、，过点作、的垂线，垂足分别为、， 设， ， ， ，， ，， 在中，，， ， 是的中位线， ， 当取最小值时，有最小值． ， 四边形是矩形， ， 当点与点重合时，有最小值，此时， ， 为最小值， 的最小值为． 3．如图，点、、是半径为2的上的三点，．求弦的长． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，用勾股定理解三角形，圆与三角形的综合(圆的综合问题)等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 先连接，，由圆周角定理即可求得，又由，利用勾股定理即可求得弦的长． 【详解】解：连接，， ∵， ∴， ∵， ∴． 题型19.圆与四边形的综合 1．如图，表示足球门边框（不考虑球门的高度）的两个端点，点C表示射门点，连接，则就是射门角．在不考虑其它因素的情况下，一般射门角越大，射门进球的可能性就越大．球员甲带球线路与球门线垂直，D为垂足，点C在上，当最大时就是带球线路上的最佳射门角．若，则球员甲在此次带球中获得最佳射门角时，的长度为（   ） A．4 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角度的最值问题，矩形的判定，圆的基本性质，通过角度构造圆是解决问题的关键． 构造的外接圆，当为圆的切线时，的角度最大，易证为矩形，通过勾股定理求得的长度，从而得到结果． 【详解】解：如图所示，为的外接圆， 延长交于点，连接，则， ，当的半径最小时，最大， ∵点C在上， ∴当为的切线时，最大． 连接，过点O作于点F，则， ， ， ∴四边形为矩形， ， ， ． 故选择：C． 2．如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则的周长的最小值是________． 【答案】6 【分析】本题考查了圆的性质、点的对称性、平行四边形的性质等，确定点M、N的位置是本题解题的关键． 由正方形的性质，知点C是点A关于的对称点，过点C作，且使，连接交于点N，取，连接，则点M、N为所求点，进而求解． 【详解】解：连接， 的面积为，则圆的半径为，则， 由正方形的性质，知点C是点A关于的对称点，， 过点C作，且使， ∴， 连接交于点N，取，连接，则点M、N为所求点， ∵，且，则四边形为平行四边形， 则， 故的周长为最小， 则， 则的周长的最小值为5+1＝6， 故答案为：6． 3．如图，在矩形中，，直线交直线于点E，交直线于点F，． (1)若点P是边上的一个动点（不与点A，D重合），于点H，设为x，四边形的面积为y，试求y与x的函数解析式． (2)若， ①求圆心在直线上，且与直线，都相切的的半径长． ②圆心在直线上，且与直线及矩形的某一边所在直线都相切的圆共有多少个？（直接写出满足条件的圆的个数即可） 【答案】(1) (2)①满足条件的的半径长为或6；②6个 【分析】（1）根据题意，过点P作于点H．进而得出，即可求出，利用求出即可； （2）①分别利用若与直线，都相切，且圆心在的左侧，过点作于点，则可设，根据即可得出答案，若与直线，都相切，且圆心在的右侧，过点作于点，则可设，根据求出即可；②利用图形分析得出所有的可能即可 【详解】（1）解：如图，过点P作于点H． 在中，， ， ，， ， ， ， ， ． （2）解：①， ， ， ， 如下图，若与直线，都相切，且圆心在AB的左侧，过点作于点， 则可设． ， ， 解得； 若与直线，都相切，且圆心在的右侧，过点作于点，如下图： 则可设， ， ， 解得．综上，满足条件的的半径长为或6 ②如图2，符合题意的圆共有6个． 【点睛】此题主要考查了圆的综合应用以及切线的性质以及相似三角形的判定与性质等知识，利用分类讨论得出是解题关键． 题型20.圆与函数的综合 1．在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，1为半径作圆，点P（m， m＋2），过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知点P在直线上，再结合题意，画出图形．设该直线与y轴交于点B，与x轴交于点C，并作于点H．根据坐标轴上点的坐标特点，由一次函数解析式，求得B、C两点的坐标，即得出OB、OC、BC的长．再根据面积法即可求出OH的长．根据切线的性质可知，即由勾股定理可推出．由OA为圆O半径，是定值，故可知当OP最小时，PA最小，此时OP最小值即为OH的长，由此即可求出PA的最小值． 【详解】解：根据题意可知点P在直线上，设该直线与y轴交于点B，与x轴交于点C，并作于点H，如图．    令，则， 解得：； 令，则． 故B点坐标为(0，)，C点坐标为(-2，0)． ∴，，． ∵， ∴，即． ∵为圆O的切线， ∴， ∴在中，． ∵OA为圆O半径，是定值， ∴当OP最小时，PA最小． ∵OP最小时即为OH的长， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，切线的性质，勾股定理．根据题意作出图形，并理解当OP最小时，PA最小，且OP最小值为OH的长是解答本题的关键． 2．如图．我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”，已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为为半圆的直径，M为圆心，则这个“果圆”被y轴截得的弦的长为___________． 【答案】 【分析】连接CM，根据抛物线解析式求出OD=5，AO=1，BO=5，AB=6，M（2，0），利用勾股定理求出OC，即可得到CD的长度． 【详解】解：连接CM， ∵抛物线的解析式为，点D是抛物线与y轴的交点 ∴点D的坐标为（0，-5）， ∴OD=5． 设y=0，则0=x2-4x-5，解得：x=-1或5， ∴A（-1，0），B（5，0）． ∴AO=1，BO=5， ∴AB=8，M（2，0）， ∴MC=MB=3，OM=2， 在Rt△COM中，OC=， ∴CD=OD+OC=， 即这个“果圆”被y轴截得的线段CD的长， 故答案为：． 【点睛】此题考查二次函数的性质，图象与坐标轴的交点坐标，数轴上两点之间的距离，圆的半径相等的性质，勾股定理，正确掌握基础知识点是解题的关键． 3．在平面直角坐标系中，已知的半径为2，对于点P，直线和，给出如下定义： 若点P关于直线对称的点在上或的内部，则称点P为关于的反射点． 　 (1)已知直线为， ①在点，，中，是关于的反射点有_______________________； ②若点P为x轴上的动点，且点P为⊙O关于的反射点，则点P的横坐标的最大值为________________． (2)已知直线的解析式为， ①当时，若点P为直线上的动点，且点P为关于的反射点，则点P的纵坐标t的取值范围是___________________； ②点，，若线段的任意一点都为关于的反射点，则k的取值范围是_____________． 【答案】(1)①，，②8 (2)①≤t-≤，② 【分析】（1）①根据题目中的定义，画出图形，进行判断即可；②根据圆的半径，求出圆与x轴的负半轴交点坐标，并求出这个点过于直线x=3的对称点的坐标，即可解答； （2）①求出直线l和直线的交点N坐标，过点N作直线的垂线，交于两个点，分别求出点N到这两个点的距离，即可进行求解；②先求出直线l经过点C时的k值，再求出当点B的对称点在圆上时，经过点和（0，2）的直线的表达式，根据两直线互相垂直时，k值互为负倒数，即可进行求解． 【详解】（1）①如图所示，点，，关于直线x=3的对称点分别为，，， ∵点在圆上，点在园内， ∴关于的反射点有，， 故答案为：，． ②如图： ∵的半径为2， ∴M（-2，0），N（2，0）， 作点M关于直线x=3的对称点， ∵点M到直线x=3的距离为5， ∴点到直线x=3的距离为5， ∴（8，0）， ∴点P横坐标最大值为8， 故答案为：8． （2）①∵， ∴直线l的函数表达式为：y=-x+2， 当时，y=， ∴点N（）， 过点N作直线的垂线，交于点G和点H，连接OG， ∵OQ=，OG=2， ∴GQ=， ∴GQ=HQ=， ∴GN=，HN=， ∵点P和点关于直线对称， ∴PN=， ∴≤NP≤， ∵点N的纵坐标为， ∴≤t-≤，解得：≤t-≤， 故答案为：≤t-≤． ②如下图，当直线l经过点C时， 将点代入y=kx+2得：，解得：， 以点P为圆心，PB长为半径画弧，交于点，过点作⊥x轴于点Q， ∵P（0，2），B（2，2）， ∴PB=2，OP=2， ∴=2， =2， ∴△为等边三角形，则∠， ∵=2， ∴=1，OQ=，即， 将点代入y=kx+2得：，解得：， ∵点B和点关于直线l对称， ∴直线l⊥， ∴此时直线l的表达式中， 综上：k的取值范围为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数、轴对称和圆的相关知识，仔细理解题意，明白“反射点”的定义，熟练掌握圆的相关内容和一次函数的图像和性质是解题的关键． 题型21.其他问题 1．如图，由5个边长为1的小正方形组成的“L”形，圆O经过其顶点A、B、C，则圆O的半径为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】取AB的中点E，作，取圆心O，连接OB、OC，根据圆的性质，再结合勾股定理即可求解； 【详解】解：取AB的中点E，作，取圆心O，连接OB、OC， 则 ∵ 设 解得： ∴ 故选：D 【点睛】本题主要考查圆的性质、勾股定理，掌握相关知识并正确作出辅助线是解题的关键． 2．如图，矩形中，，，为边上一点（不与重合），连接，过点作，垂足为点，点为的中点，则的最小值是________.            【答案】 【分析】本题考查的是矩形的性质，勾股定理的应用以及圆的确定，取中点，再取中点，点的轨迹是以为圆心，半径为的圆弧，连接，可知，所以点的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆弧，当点共线时，值最小，再进一步可得答案． 【详解】解：∵矩形， ∴，， 如图，取中点，再取中点，连接，， ∴，， ∵，， ∴点的轨迹是以为圆心，半径为2的圆弧， ∵点为的中点， ∴， ∴点的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆弧， 当点共线时，值最小， 连接， ∴， ∴最小为． 故答案为：． 3．作图探究：如图，点P是直角坐标系xOy第三象限内一点． （1）尺规作图：请在图中作出经过O、P两点且圆心在x轴的⊙M；（不写作法，保留作图痕迹） （2）若点P的坐标为（﹣4，﹣2）． ①请求出⊙M的半径； ②填空：若Q是⊙M上的点，且∠PMQ＝90°，则点Q的坐标为 ． 【答案】 （1）⊙M如图所示； （2）①；②或 【详解】思路引领：（1）连接OP，作OP的垂直平分线交x轴于M点，以MO我半径作⊙M，即为所求； （2）①连接PM，作PH⊥x轴，垂足为H，设⊙O的半径为r，则PM＝MO＝r，MH＝4﹣r，PH＝2，在Rt△PHM中，由勾股定理求r即可； ②过M点作PM的垂线，交⊙M于Q1，Q2，再过Q1，Q2，作x轴的垂线，利用三角形全等求Q点坐标． 答案详解：（1） 略 （2）①连接PM，作PH⊥x轴，垂足为H，设⊙O的半径为r，则PM＝MO＝r，MH＝4﹣r，PH＝2， 在Rt△PHM中，PH2+MH2＝PM2， 即22+（4﹣r）2＝r2， 解得r； ②如图，过M点作PM的垂线，交⊙M于Q1，Q2，再过Q1，Q2，作x轴的垂线，垂足为N1，N2， 利用互余关系，PM＝Q1M＝Q2M， 可证Rt△PMH≌Rt△Q1MN1≌Rt△Q2MN2， ∴PH＝MN1＝MN2＝2，MH＝Q1N1＝Q2N2＝4﹣r， ∴Q（，）或（，）． 故答案为：（，）或（，）． 题型22.圆和圆的位置关系 1.如果外切的两圆和的半径分别为和，那么半径为，与和都相切的圆有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【详解】解：如图所示： 和和都外切的圆，可以画两个； 和内切，外切的圆可以画一个； 和内切，外切的圆可以画一个； 和，都内切的圆可以画一个，共个． 2．半径分别为和的两圆相交，公共弦长为，则这两个圆的圆心距等于______． 【答案】或 【分析】需分两圆圆心位于公共弦同侧和异侧两种情况讨论，利用相交两圆的性质，连心线垂直平分公共弦，再结合勾股定理即可求解． 【详解】设两圆的圆心分别为，，公共弦，交于点C， ∵两圆半径分别为，， 根据相交两圆的性质，连心线垂直平分公共弦， ∴，， ①如图，当两圆圆心位于公共弦的两侧时： 在中，， 在中，， ∴； ②如图，当两圆圆心位于公共弦的同侧时： 同理可得，， ∴， 综上，两个圆的圆心距为或． 3．如图，与是半径为的两个等圆，是的中点，过点的直线交于、两点，交于、两点． (1)求证：； (2)若圆心、间的距离为10，，求的长． 【答案】(1) 证明：分别过作垂足分别为， 是的中点， ， 在和中 ， ， ， 根据题意可得 ， ∴， ∵， ∴． ∴． (2)2 【分析】（1）分别过作垂足分别为，由已知条件证，所以，进而可证明． （2）根据，得出，根据垂径定理得出，则，设，则，根据题意，在和中，根据勾股定理得，列方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设， 则， 根据题意， 在中，， 在中，， ∴，即， 解得：， 则． 【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，题目的综合性较强，难度不大，是中考常见题型． ✺巩固测试 一、单选题 1．已知的半径为，圆心到直线的距离为，则直线与的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【分析】设的半径为，圆心到直线的距离为，直线与圆的位置关系：①当时，直线与相交；②当时，直线与相切；③当时，直线与相离；据此解答即可． 【详解】解：∵的半径为，圆心到直线的距离为，且， ∴直线与的位置关系是相交． 2．如图，两圆与直线相切，定圆的半径是，动圆的半径是．动圆在直线上移动，当两圆相切时，，两点的距离等于（     ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两圆相切的性质，分两圆外切和两圆内切两种情况讨论，利用圆心距等于两半径之和或之差求解． 【详解】解：设圆 的半径为 ，圆 的半径为 ，则 ，． 两圆相切， 分两圆外切和两圆内切两种情况： 当两圆外切时，如图1，圆心距 ； 当两圆内切时，如图2，圆心距 ． 综上所述，， 两点的距离等于或． 3．已知的半径是5，直线与相交，则圆心到直线的距离可能是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，根据直线和相交即，即可判断． 【详解】解：∵直线与相交， ∴圆心到直线的距离小于， 符合要求的为4， 故选：A． 4．如图，在中，为边上一点，以点为圆心，长为半径画圆，与射线相交于点．下列说法正确的有（   ） ①若为的中点，则与相切； ②若点与点重合，则经过的中点； ③若，则平分； ④若被平分，则． A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的判定与性质，切线的判定，作出合适的辅助线是解本题的关键；设，求解，如图，过作于，可得当为的中点时，半径为，则①正确．当点与点重合时，如图，可得，②正确．当点在线段上时，，不存在；当点在射线上时，过点作，证明，证明，可得③正确．若被平分，即，此时点必在射线上，过点作，如图2，同理可得，可得④错误． 【详解】解：设，， ∴， 如图，过作于， ∴点到的距离， 当为的中点时，半径为， 与相切，①正确． 当点与点重合时，如图， ∴ ∴经过的中点，②正确． 当点在线段上时，， ， ∴不存在； 当点在射线上时，过点作， 如图1，∵，， ∴，为等腰直角三角形， ． 又， ∴，， ∴， ∴， 即平分，③正确． 若被平分，即，此时点必在射线上，过点作， 如图2，同理可得， ， ∴， 即，④错误． 故选：B． 5．如图所示，P是外一点，分别和切于两点，C是上任意一点，过C作的切线分别交于．若的周长为12，则的长为（     ） A．12 B．6 C．8 D．4 【答案】B 【分析】根据切线长定理得到，，再根据的周长为12得到，即可求出的长． 【详解】解；∵分别和切于两点， ∴， ∵过C作的切线分别交于． ∴， ∴， ∴的周长为12， ∴， ∴ 二、填空题 6．如图，已知点为⊙O外一点．尺规作图： （1）连接，作线段的中点； （2）以点为圆心，以线段的长为半径作⊙C，与⊙O交于，两点； （3）作射线，． 不再另外添加辅助线和字母，请根据以上信息写出一个正确结论：_____． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查圆周角定理、切线的判定及切线长定理，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．连接，则可得，根据切线的判定可得直线，与相切，即可得结论． 【详解】解：连接，∵为的直径， ∴， ∵为的半径， ∴直线与相切， 同理，直线与相切， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 7．如图，切于点B，交于点C，过点B作交于点D，连接．若，则______． 【答案】/度 【分析】连接，由切线的性质得，由，得，，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接， ∵切于点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 8．如图，在中，直径与弦相交于点，若，，，则的半径是________． 【答案】4 【分析】利用相交弦定理，可以求出CE的长，从而知道CD的长，就可求出⊙O的半径． 【详解】根据相交弦定理，AE•BE=CE•DE， 又∵BE=3，AE=4，DE=2， ∴CE=6 ∴CD=CE+DE=8 那么圆的半径等于4． 故答案为4． 【点睛】此题考查了相交弦定理，先求出直径，再得出半径． 9．如图，为的内切圆，与三边的切点分别为D、E、F，则的面积为__________（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内切圆，切线的性质，勾股定理等知识，根据面积法求出半径r是解题的关键． 连接，，，，，，设，先由勾股定理求出的长，然后由面积法可求出半径r，从而根据圆的面积公式可计算出圆的面积． 【详解】解：如图，连接，，，，，． 设， 由勾股定理得． ， ， 解得， 的面积为． 故答案为：． 10．如图，正方形内接于．点E为上一点，连接、，若，，则的长为___． 【答案】 【分析】连接、、，由圆内接正方形的性质可得到，，，进而证得是等边三角形，得到，根据勾股定理求出，即可得到． 【详解】解：如图，连接、、， ∵正方形内接于， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，正方形的性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，证得是等边三角形是解决问题的关键． 三、解答题 11．尺规作图： (1)如图，点在直线上，点C在直线外，作经过，两点且与相切． (2)已知⊙O．求作一点，过点作出的两条切线分别为，点为，．且使． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查尺规作图，解题的关键在于掌握垂直平分线和角平分线的作法，结合题意作图； （1）所求圆经过点和，且与直线相切于，关键在于意识到：圆心必须在的垂直平分线上；同时，圆心必须在过点且垂直于的直线上（因为切点与圆心的连线垂直于切线）因此圆心是这两条直线的交点． （2）圆心与切点的连线垂直切线，所以与圆心角互补，已知，则，利用垂直构造，利用角平分线构造，即可构造，再作过点的切线相交于点即可． 【详解】（1）解：作图步骤如下： ①以点为圆心任意画圆，与直线相交于，分别以点，点为圆心，大于为半径画弧，交于点，点，连接，则垂直平分，所在直线为直线（圆心在此线上）； ②连接，分别以点，点为圆心，大于为半径画弧，交于点，点，连接，所在直线为直线； ③直线与的交点即为所求圆心； ④以为圆心，为半径作圆． 故圆为符合题意的圆． （2）解：作图步骤如下： ①先作直径，分别以点，点为圆心，大于画弧，交点分别为点，，连接与圆相交于，则垂直平分； ②以点，为圆心，大于为为半径画弧，交于点，连接与圆交于点，则平分，使得； ③以点为圆心，为半径作圆，延长，与圆交于点，以点，点为圆心，大于为半径画弧，交于点，点，连接，所在的直线即为圆切线，切点为；以点为圆心，为半径作圆，延长，与圆交于点，以点，点为圆心，大于为半径画弧，交于点，点，连接，所在直线即为圆切线，切点为；两切线交于点，则，． 故所作切线，所成． 12．如图，为的直径，射线交于点F，点C为劣弧的中点，过点C作，垂足为E，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明：连接，， ∵是的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∵点C为劣弧的中点， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． (2) 【分析】（1）连接，证明，连接，证明即可得到结论； （2）连接，求出扇形的面积即可得到阴影部分的面积． 【详解】（1）略 （2）解：连接，， ∵，， ∴， ∴， ∵点C为劣弧的中点， ∴ ， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即阴影部分的面积为． 【点睛】本题主要考查了切线的判定以及扇形面积的求法，熟练掌握切线的判定定理以及扇形面积的求法是解答此题的关键． 13．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，经过圆心O，且与小圆相交于A，与大圆相交于点B，小圆的切线与大圆相交于D，平分． (1)证明：直线是小圆的切线； (2)试证明：； (3)若，，求大圆与小圆形成的圆环的面积． 【答案】(1) 证明：连接，过O作，垂足为E， 是小圆的切线，经过圆心O， ， 平分，， ，，， ， ， 是小圆的半径， 是小圆的切线； (2) 证明：切小圆于点A，切小圆于点E， ，，， ， ， ∵， ∴， ， ； (3)． 【分析】本题考查了切线的判定，全等三角形的判定等知识点，熟练掌握切线的判定、全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）只要证明垂直即可得出是小圆的切线； （2）利用全等三角形的判定得出，从而得出，从而得到，从而证明； （3）根据大圆的面积减去小圆的面积即可得到圆环的面积． 【详解】（1）略 （2）略 （3）， ，， ， ， ， 又， 圆环的面积为：． 14．如图，是正方形中一动点，连接，，． (1)如图，若，，求的度数； (2)如图，若时，（）点是否在“半径为的”上？（）请你证明：； (3)如图，在（）的条件下，若正方形的边长为，为上一点，，连接，，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 解：（）点在“半径为的”上，理由如下： ，， 以为圆心，为半径作圆， 如图所示， 优弧所对的圆心角度数为， 优弧所对的圆周角度数为， ， 点在“半径为的”上； （）证明：点在上； ， 四边形是正方形， ， ； (3) 【分析】（1）先求出，从而易证是等边三角形，即可得到 ， 再根据三角形内角和定理和等边对等角求出，最后根据求解即可； （2）（）以为圆心，为半径作圆，根据优弧所对的圆周角是，从而得证点在“半径为的”上；（）根据点在上，可得，结合， 等量代换从而得证； （3）以为圆心，为半径作圆， 则点在上，设与的交点为，当时，面积有最大值， 先求出， 在中，由勾股定理求解的长，再用等积法求出的长，从而得到的长，最后根据三角形面积公式求解面积即可． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ； （2）略 （3）解：如图所示，以为圆心，为半径作圆， 则点在上，设与的交点为， 当时，面积有最大值， ，， ， ， ， 即， ， ， ， 面积的最大值为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，圆周角与圆心角的关系，三角形内角和定理，等边三角形的性质与判定，构造圆求三角形面积最大值， 勾股定理，解决本题的关键是能够想到利用圆的构造求三角形面积的最大值，掌握圆周角与圆心角的关系． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14 直线与圆 暑假预习讲义 ✺知识框架 1.线圆基础位置关系：通过圆心到直线的距离与半径的大小对比，精准区分相交、相切、相离三类位置，掌握定义特征与双向判定法则。 2.切线核心重难点：吃透切线判定定理、性质定理，熟练掌握两类切线证明的标准解题模型。 3.切线长定理：掌握圆外一点引圆双切线的核心性质，熟练解决线段、角度类几何基础题型。 4.圆与圆位置关系：依托圆心距与两圆半径和、差的数量关系，精准判定五种圆与圆的位置关系。 ✅本章全程贯穿数形结合核心思想，以“数量关系判定图形位置”为核心逻辑，先夯实直线与圆的基础位置判定，再聚焦切线相关核心定理与必考解题模型，最后拓展圆与圆的位置关系。是初中圆的几何推理、计算的核心重点，也是中考基础与中档题型的高频考点。 ✺学习目标 1.熟记直线与圆的三种位置关系及判定依据；精准掌握切线判定、切线性质、切线长三大核心定理；掌握两圆五种位置关系的定义及圆心距、半径的数量判定公式，构建完整的圆位置关系知识体系。 2.可独立完成线圆位置关系的快速判定；规范书写切线证明的几何推理过程；能灵活运用切线长定理进行线段、角度计算；精准判定两圆位置关系，夯实几何解题基础。 3.树立数形结合、分类讨论的核心数学思想，培养几何直观能力、逻辑推理能力和规范答题素养，适配中考基础题型与中档题型解题要求。 ✺题型归纳 题型1.判断直线和圆的位置关系 题型2.已知直线和圆的位置关系求半径的取值 题型3.已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 题型4.求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 题型5.求直线平移到与圆相切时运动的距离 题型6.有关切线的概念辨析 题型7.判断或补全使直线为切线的条件 题型8.证明某直线是圆的切线 题型9.切线的性质定理 题型10.切线的性质和判定的综合应用 题型11.应用切线长定理求解 题型12.应用切线长定理求证 题型13.直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 题型14.圆外切四边形模型 题型15.过圆外一点作圆的切线(尺规作图) 题型16.切线的应用 题型17.圆内知识综合 题型18.圆与三角形的综合 题型19.圆与四边形的综合 题型20.圆与函数的综合 题型21.其他问题 题型22.圆和圆的位置关系 题型23.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、直线与圆的三种位置关系 设定：⊙O半径为r，圆心O到直线l的垂线段距离为d。直线和圆的位置关系由d与r的大小关系唯一确定。 1.相交：直线与圆有两个公共点，该直线为圆的割线。判定关系：d < r。 2.相切：直线与圆有唯一公共点，该直线为圆的切线，公共点为切点。判定关系：d = r。 3.相离：直线与圆无公共点，直线与圆相互分离。判定关系：d > r。 知识点二、切线的判定定理 定理内容：经过半径外端，且垂直于该半径的直线，是圆的切线。如下图. 必备双条件（缺一不可）：①直线过半径外端点；②直线与对应半径互相垂直。 知识点三、切线的性质定理 定理内容：圆的任意一条切线，垂直于过切点的半径。如下图 几何语言：若直线l切⊙O于点A，则OA⊥l。 知识点四、切线长定理 切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。如下图. 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等；这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 几何语言：若PA、PB分别切⊙O于A、B，则PA=PB，∠APO=∠BPO。 知识点五、圆与圆的位置关系 设定：两圆半径分别为R、r（默认R≥r），两圆圆心间距为圆心距d，共五种位置关系，判定规则清晰唯一。 1.外离：无公共点，两圆相互独立。判定：d > R+r。 2.外切：有唯一公共点，两圆外相接。判定：d = R+r。 3.相交：有两个不同公共点。判定：R-r < d < R+r。 4.内切：有唯一公共点，小圆内切于大圆。判定：d = R-r。 5.内含：无公共点，小圆完全在大圆内部；同心圆（d=0）为内含的特殊情况。判定：d < R-r。 核心总结：圆与圆的位置关系由圆心距、半径和、半径差三者共同决定，数量关系与位置关系双向互推。 ✺题型精讲 题型1.判断直线和圆的位置关系 1．圆的半径为，圆心与直线上某一点距离为，则直线与圆的位置关系不可能是（     ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 2．的半径为，圆心到直线的距离为，则直线与的位置关系是__________． 3．已知圆的直径为，根据下列圆心到直线l的距离，分别判断直线l与圆有几个公共点，并说明理由： (1)； (2)； (3)． 题型2.已知直线和圆的位置关系求半径的取值 1．如图，在中，，，．以点C为圆心，r为半径作圆．若与斜边所在直线有且只有一个公共点，则r的值为（     ） A． B．3 C．4 D．5 2．如图，中，以点为圆心作，与，有交点（不经过点，两点），，．若，则的半径的取值范围是________． 3．如图，，点M在上，且，以点M为圆心，r为半径画圆，试讨论r的大小与所画的圆和射线的公共点个数之间的对应关系． 题型3.已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 1．若直线l与半径为5的相离，则圆心O与直线l的距离d为（     ） A． B． C． D． 2．设的半径为4，点O到直线a的距离为d，若与直线a至多只有一个公共点，则d的取值范围是________． 3．已知圆与直线相切，求m的值． 题型4.求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 1．如图，在平面直角坐标系xOy中，的半径为2，点P的坐标为，若将沿y轴向下平移，使得与x轴相切，则向下平移的距离为（    ） A．1 B．5 C．3 D．1或5 2．如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴上一动点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作，当与直线AB相切时，点P的坐标是（） A． B．或 C． D．或 3．在平面直角坐标系中，的半径为1． 给出如下定义：记线段的中点为，当点不在上时，平移线段，使点落在上，得到线段（分别为点的对应点）线段长度的最小值称为线段到的“平移距离”． （1）已知点的坐标为，点在轴上． ①若点与原点重合，则线段到的“平移距离”为________； ②若线段到的“平移距离”为2，则点的坐标为________； （2）若点都在直线上，且，记线段到的“平移距离”为，求的最小值； （3）若点的坐标为，且，记线段到的“平移距离”为，直接写出的取值范围． 题型5.求直线平移到与圆相切时运动的距离 1．已知：的半径为，圆心到直线l的距离为，将直线l沿垂直于l的方向平移，使l与相切，则平移的距离是（　　） A． B． C． D．或 2．如图，⊙O的半径OC=10cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A，B两点，AB=16cm，则l沿OC所在直线向下平移_________cm时与⊙O相切． 3．在平面直角坐标系中，A、B为平面内不重合的两个点，若Q到A、B两点的距离相等，则称点Q是线段的“似中点”． (1)已知，，在点、、、中，线段的“似中点”是点___________： (2)直线与x轴交于点M，与y轴交于点N． ①求在坐标轴上的线段的“似中点”； ②若的半径为2，圆心P为，上存在线段的“似中点”，请直接写出t的取值范围． 题型6.有关切线的概念辨析 1．下列说法：①三点确定一个圆；②垂直于弦的直径平分弦；③三角形的内心到三角形三条边的距离相等；④垂直于半径的直线是圆的切线．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，以边为直径作交于点，恰好是的切线，为切点，连接．若，则的度数为_______． 3．如图，在矩形中，是对角线，． (1)求作，使得与相切于点E；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)射线交于F，若，求的值． 题型7.判断或补全使直线为切线的条件 1．如图，点在上，点在外，以下条件不能判定是切线的是（    ） A． B． C． D．与的交点是中点 2．如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB=120°，那么当∠CAB的度数等于________度时，AC才能成为⊙O的切线． 3．下面是小石设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图的过程． 已知：如图1，⊙及⊙上一点． 求作：直线PN，使得PN与⊙相切． 作法：如图2， ①作射线OP； ②在⊙外取一点Q（点Q不在射线OP上），以Q为圆心，QP为半径作圆，⊙Q与射线OP交于另一点M； ③连接MQ并延长交⊙Q于点N； ④作直线PN． 所以直线PN即为所求作直线． 根据小石设计的尺规作图的过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：∵是⊙的直径， ∴＝ （        ）（填推理的依据）． ∴． 又∵是⊙的半径， ∴是⊙的切线（        ）（填推理的依据）． 题型8.证明某直线是圆的切线 1．如图，已知的半径为5，直线经过上一点P，下列条件不能判定直线与相切的是（    ） A． B． C．点O到直线的距离是5 D． 2．如图，为的直径，、为上的点，连接、、、，为延长线上一点，连接，且，．若的半径为，则点到的距离为________． 3．下面是“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程． 已知：和上一点． 求作：的切线，使经过点． 作法：如图， ①作射线； ②以点为圆心，小于的长为半径作弧交射线于，两点； ③分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于，两点； ④作直线．则就是所求作的的切线． (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：∵，， ∴垂直平分（________）， ∴， ∵点在圆上， ∴就是所求作的的切线（________）． 题型9.切线的性质定理 1．如图，为的切线，交于点，为上一点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，圆心在上的半圆与斜边相切于点，则的度数是_____度． 3．如图，是直径，点是上一点，过点作的切线，过点作的垂线，垂足为点，交于点，连接． (1)求证：平分； (2)若，，求长． 题型10.切线的性质和判定的综合应用 1．过点作圆的切线只有一条，那么点与圆的位置关系是（  ） A．点在圆外B．点在圆上C．点在圆内 D．以上都有可能 2．如图，为外一点，与相切于点，若，则 ______ 3．如图，为的直径，是的切线，切点为点B，点D为上一点，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径长． 题型11.应用切线长定理求解 1．如图，，是的切线，，是切点，点在上，且，则（     ） A． B． C． D． 2．如图，，是的两条切线，A，B是切点，C是上一点，过点C画的切线，分别交，于点D，E，，则的周长是________． 3．已知，如图，是的直径，直线，分别切于点，点，连接，． (1)求证：； (2)若，，求出的长． 题型12.应用切线长定理求证 1．如图，是的两条切线，切点分别为交于点．下列结论中，错误的是（    ）    A． B． C． D． 2．如图，是的直径，切于点A，切于点B，且，则点O到弦的距离为______． 3．如图，在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦分别与小圆相切于点、．与相等吗？为什么？ 题型13.直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 1．中，，，，则内切圆的半径等于（   ） A．1 B． C． D． 2．如图，在中，，，，则的内切圆半径___________． 3．如图，已知，． (1)在图中，用尺规作出的内切圆的圆心（保留痕迹，不必写作法）； (2)画出与边，，的切点、、，连接，，若则___________； (3)若，则所作内切圆半径___________． 题型14.圆外切四边形模型 1．如图，在四边形中，，，与四边形各边都相切，连接，若的半径为2，，则的值是（　　）． A． B． C． D． 2．如图，的外切四边形中相邻的三条边，周长为32，则__________． 3．如图，⊙O与四边形ABCD的各边依次切于M，N，G，H． （1）猜想AB+CD与AD+BC有何数量关系，并证明你的猜想； （2）若四边形ABCD增加条件AD∥BC而成为梯形，梯形的中位线长为m，其他条件不变，试用m表示梯形的周长． 题型15.过圆外一点作圆的切线(尺规作图) 1．已知是外一点，用直尺和圆规过点作的切线．以下是甲、乙两人的作法： 下列判断正确的是（    ） 甲：①如图1，连接，以为直径作圆，交于，两点． ②连接，，，就是的切线． 乙：①如图2，连接，交于点．以点为圆心，为半径画弧，交于点． ②连接，就是的切线． A．甲、乙的作法都正确 B．甲、乙的作法都错误 C．甲的作法错误，乙的作法正确 D．甲的作法正确，乙的作法错误 2．以下是“用尺规过圆外一点作圆的切线”的作图过程： 已知：如图，及外一点． 作法：连结，作线段的垂直平分线交于点； 以点为圆心，的长为半径作圆，交于点、点； 作直线，． 说明：连结． ∵以点为圆心，的长为半径作圆，∴为的直径，∴_____°． ∵为半径，∴为的_____，且_____（填“”、“”或“”）．    3．如图，点P在上．请用尺规作图法，过点P作的切线l．（保留作图痕迹，不写作法） 题型16.切线的应用 1．如图，为等边三角形的高，点O 在的延长线上，且，的半径为1，若将绕点 C 按顺时针方向旋转，在旋转的过程中，与等边三角形的边只有一个公共点的情况一共出现（　　） A．3 次 B．4 次 C．5 次 D．6 次 2．如图，点的坐标为，点的坐标为，⊙A与轴相切，点是⊙A上的动点，射线与轴交于点，则长的最大值等于_______． 3．尺规作图，如图，过点P作弦使得． 题型17.圆内知识综合 1．平面上一点P与⊙O的点的距离的最小值是2，最大值是8，则⊙O的直径是（　　） A．6或10 B．3或5 C．6 D．5 2．已知点A，B是半径为2的⊙O上两点，且∠BOA＝120°，点M是⊙O上一个动点，点P是AM的中点，连接BP，则BP的最小值是______． 3．如图，是的直径，点D在的延长线上，点C在上，． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为6，求点A到所在直线的距离． 题型18.圆与三角形的综合 1．如图，中，，，，点、分别是、的中点，以为直径的交于点、，则的长度为（　） A． B．1 C． D． 2．如图，在中，，于点，，是的中位线，则线段的最小值为______． 3．如图，点、、是半径为2的上的三点，．求弦的长． 题型19.圆与四边形的综合 1．如图，表示足球门边框（不考虑球门的高度）的两个端点，点C表示射门点，连接，则就是射门角．在不考虑其它因素的情况下，一般射门角越大，射门进球的可能性就越大．球员甲带球线路与球门线垂直，D为垂足，点C在上，当最大时就是带球线路上的最佳射门角．若，则球员甲在此次带球中获得最佳射门角时，的长度为（   ） A．4 B．6 C． D． 2．如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则的周长的最小值是________． 3．如图，在矩形中，，直线交直线于点E，交直线于点F，． (1)若点P是边上的一个动点（不与点A，D重合），于点H，设为x，四边形的面积为y，试求y与x的函数解析式． (2)若， ①求圆心在直线上，且与直线，都相切的的半径长． ②圆心在直线上，且与直线及矩形的某一边所在直线都相切的圆共有多少个？（直接写出满足条件的圆的个数即可） 题型20.圆与函数的综合 1．在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，1为半径作圆，点P（m， m＋2），过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为（    ） A．3 B．2 C． D． 2．如图．我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”，已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为为半圆的直径，M为圆心，则这个“果圆”被y轴截得的弦的长为___________． 3．在平面直角坐标系中，已知的半径为2，对于点P，直线和，给出如下定义： 若点P关于直线对称的点在上或的内部，则称点P为关于的反射点． 　 (1)已知直线为， ①在点，，中，是关于的反射点有_______________________； ②若点P为x轴上的动点，且点P为⊙O关于的反射点，则点P的横坐标的最大值为________________． (2)已知直线的解析式为， ①当时，若点P为直线上的动点，且点P为关于的反射点，则点P的纵坐标t的取值范围是___________________； ②点，，若线段的任意一点都为关于的反射点，则k的取值范围是_____________． 题型21.其他问题 1．如图，由5个边长为1的小正方形组成的“L”形，圆O经过其顶点A、B、C，则圆O的半径为（    ） A．5 B． C． D． 2．如图，矩形中，，，为边上一点（不与重合），连接，过点作，垂足为点，点为的中点，则的最小值是________.            3．作图探究：如图，点P是直角坐标系xOy第三象限内一点． （1）尺规作图：请在图中作出经过O、P两点且圆心在x轴的⊙M；（不写作法，保留作图痕迹） （2）若点P的坐标为（﹣4，﹣2）． ①请求出⊙M的半径； ②填空：若Q是⊙M上的点，且∠PMQ＝90°，则点Q的坐标为 ． 题型22.圆和圆的位置关系 1.如果外切的两圆和的半径分别为和，那么半径为，与和都相切的圆有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．半径分别为和的两圆相交，公共弦长为，则这两个圆的圆心距等于______． 3．如图，与是半径为的两个等圆，是的中点，过点的直线交于、两点，交于、两点． (1)求证：； (2)若圆心、间的距离为10，，求的长． ✺巩固测试 一、单选题 1．已知的半径为，圆心到直线的距离为，则直线与的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 2．如图，两圆与直线相切，定圆的半径是，动圆的半径是．动圆在直线上移动，当两圆相切时，，两点的距离等于（     ） A．或 B． C． D． 3．已知的半径是5，直线与相交，则圆心到直线的距离可能是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．如图，在中，为边上一点，以点为圆心，长为半径画圆，与射线相交于点．下列说法正确的有（   ） ①若为的中点，则与相切； ②若点与点重合，则经过的中点； ③若，则平分； ④若被平分，则． A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 5．如图所示，P是外一点，分别和切于两点，C是上任意一点，过C作的切线分别交于．若的周长为12，则的长为（     ） A．12 B．6 C．8 D．4 二、填空题 6．如图，已知点为⊙O外一点．尺规作图： （1）连接，作线段的中点； （2）以点为圆心，以线段的长为半径作⊙C，与⊙O交于，两点； （3）作射线，． 不再另外添加辅助线和字母，请根据以上信息写出一个正确结论：_____． 7．如图，切于点B，交于点C，过点B作交于点D，连接．若，则______． 8．如图，在中，直径与弦相交于点，若，，，则的半径是________． 9．如图，为的内切圆，与三边的切点分别为D、E、F，则的面积为__________（结果保留） 10．如图，正方形内接于．点E为上一点，连接、，若，，则的长为___． 三、解答题 11．尺规作图： (1)如图，点在直线上，点C在直线外，作经过，两点且与相切． (2)已知⊙O．求作一点，过点作出的两条切线分别为，点为，．且使． 12．如图，为的直径，射线交于点F，点C为劣弧的中点，过点C作，垂足为E，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 13．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，经过圆心O，且与小圆相交于A，与大圆相交于点B，小圆的切线与大圆相交于D，平分． (1)证明：直线是小圆的切线； (2)试证明：； (3)若，，求大圆与小圆形成的圆环的面积． 14．如图，是正方形中一动点，连接，，． (1)如图，若，，求的度数； (2)如图，若时，（）点是否在“半径为的”上？（）请你证明：； (3)如图，在（）的条件下，若正方形的边长为，为上一点，，连接，，求面积的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $