专题12圆的有关性质、暑假预习讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

专题12圆的有关性质、暑假预习讲义 ✺知识框架 1.基础性质板块：涵盖圆的定义、基本概念与固有对称性，明晰圆的几何特征与构成要素，为后续定理推导与应用打下基础。 2.核心定理与综合应用板块：整合垂径定理、圆心角弧弦关系、圆周角定理三大核心定理，搭配圆内接四边形拓展性质，构建圆中线段、弧、角度的完整推理与计算体系。 ✅本节以圆的对称性为核心主线，依托圆的固有几何性质，重点学习垂径定理、圆心角与圆周角三大核心定理，探究圆中弦、弧、角的位置与数量关系。本节是圆章节的基础核心内容，是后续切线性质、圆综合证明与计算的必备铺垫，在初中几何知识体系中占有重要地位。 ✺学习目标 1.掌握圆的定义及弦、直径、弧、圆心角、圆周角等基础概念，辨析易混知识点。 2.理解圆的两大对称性，熟练掌握垂径定理及推论，能解决圆中弦长、半径、弦心距的计算与证明问题。 3.掌握同圆或等圆中圆心角、弧、弦的等量关系，可灵活双向推导、完成几何推理证明。 4.熟记圆周角定理及各类推论，熟练掌握圆中角度计算、直角判定、等角转化等核心题型。 5.掌握圆内接四边形的核心性质，能利用其性质完成圆中角度转化与综合计算。 ✺题型归纳 题型1.利用垂径定理求值 题型2.利用垂径定理求平行弦问题 题型3.利用垂径定理求同心圆问题 题型4.利用垂径定理求解其他问题 题型5.垂径定理的推论 题型6.垂径定理的实际应用 题型7.圆心角概念辨析及简单运算 题型8.利用弧、弦、圆心角的关系求解 题型9.利用弧、弦、圆心角的关系求证 题型10.求圆弧的度数 题型11.圆周角的概念辨析及简单运算 题型12.圆周角定理 题型13.同弧或等弧所对的圆周角相等 题型14.半圆（直径）所对的圆周角是直角 题型15.90度的圆周角所对的弦是直径 题型16.已知圆内接四边形求角度 题型17.求四边形外接圆的直径 题型18.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、圆的定义、基本要素与对称性 1.圆的定义 动态定义：在平面内，将一条线段绕着它的一个固定端点旋转一周，另一个端点所形成的封闭曲线叫做圆。 静态定义：平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。其中定点为圆心，定长为半径；圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 2.基本概念：（1）连接圆上任意两点的线段叫做弦；经过圆心的弦叫做直径，直径是圆中最长的弦。 （2）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。其中小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧（优弧要用三个字母表示），直径所对的弧为半圆。图示如下： 3.两大固有对称性：（1）圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴，无数条对称轴，该性质是垂径定理的推导依据. (2)圆具有旋转不变性，绕圆心旋转任意角度都能与自身重合，是圆心角、弧、弦关系定理的重要推导基础。 知识点二、垂径定理及推论 定理内容：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧。如下图：CD是直径，CD⊥AB.则MA=MB, 垂径定理中的五个元素:①过圆心；②垂直弦；③平分弦；④平分弦所对优弧；⑤平分弦所对劣弧. 知二推三：五个元素中满足任意两个，可推出剩余三个。注意：当条件组合为 “过圆心 + 平分弦” 时，这条弦不能为直径，结论才成立。 常用推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧。 解题模型：解决弦类计算问题的通用方法：过圆心作弦的垂线，构造由半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，结合勾股定理，可实现半径、弦长、弦心距三类量的互求，是本节核心解题思路。 知识点三、圆心角、弧、弦的关系定理 1.圆心角的概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。 2.有关弧、弦、圆心角关系的定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 3.定理的推论 （1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等； （2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧或劣弧分别相等。 ★重点提示 ◆在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等； ◆在同圆或等圆中，两条弧（一般同为优弧或劣弧）、两条弦、两个圆心角中，只要有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等。 知识点四、圆周角定理及推论 1.圆周角定义：顶点在圆上，且两边都与圆相交的角，这样的角叫做圆周角。如下图，∠ACB是圆周角。 2.圆周角定理：一条弧所对的圆周角，等于它所对的圆心角的一半。 3.圆周角定理的推论：（1）同弧或等弧所对的圆周角相等；（2）半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；（3）同圆中，同一条弦所对的同侧圆周角相等，异侧圆周角互补。 ★重点提示：（1）在同圆或等圆中，若同为优弧或同为劣弧所对应的圆心角、弧、弦、圆周角，一组量相等，则其余各组对应量相等。（2）如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。(3)注意区分 “弦” 与 “弧”：一条弦对应两条弧，因此圆周角有两种情况；一条弧只对应一类圆周角。 知识点五、圆内接多边形 定义：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。如下图，四边形ABCD是的内接四边形，是四边形ABCD的外接圆。 圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形任意一个外角等于它的内对角。 ▲每一个圆有无数个内接四边形，但并不是所有的四边形都存在外接圆，只有对角互补的四边形才存在外接圆。 ✺题型精讲 题型1.利用垂径定理求值 1．如图，是的弦，半径于点D．若，．则的长是（     ） A．5 B．6 C．8 D．10 2．如图，是的直径，弦，那么________，________，的周长为________． 3．如图，是的直径，弦于点H，，，求的半径的长． 题型2.利用垂径定理求平行弦问题 1．⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（    ） A．2 B．14 C．2或14 D．7或1 2．⊙的半径为5cm，AB、CD是⊙的两条弦，，，．则和之间的距离为_______． 3．在中，弦，，的直径为20，则弦之间的距离为 ____________． 题型3.利用垂径定理求同心圆问题 1．如图，小高和小雪分别沿着环形跑道的内侧跑道和外侧跑道进行慢跑训练，两个人的速度相同，已知内圈跑道的半径为20米、外圈跑道的半径为25米，则慢跑过程中两人的距离不可能是（   ） A．5米 B．15米 C．40米 D．50米 2．如图，在⊙O中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则的度数为______． 3．如图，以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点，． (1)直接写出的长为___________； (2)若大圆的半径是5，求小圆的半径长． 题型4.利用垂径定理求解其他问题 1．如图，在正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，已知点A的坐标是，点C的坐标是，则那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是  （    ） A． B． C． D． 2．如图，为的弦，半径交于点，且为的中点，连接、、，若，则__________．    3．赵州桥始建于隋代，是世界上现存年代久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥（如图1）．现有一座仿赵州桥建造的圆拱桥（如图2），已知此圆拱桥的跨径（桥拱圆弧所对的弦的长）为，拱高（桥拱圆弧的中点到弦的距离）为．求此桥拱圆弧的半径（精确到．） 题型5.垂径定理的推论 1．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分.如果是中弦的中点，经过圆心交于点，并且．则的半径为（　　） A． B．3m C． D．4m 2．如图， 的直径，C是圆O上一点，点D平分，，则弦______________ 3．如图，是的直径，在上，，分别延长、相交于点，且，若，求的半径． 题型6.垂径定理的实际应用 1．如图，翠湖公园一座拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱高为8米，求圆弧所在圆的半径为（    ）米． A．5 B．12 C．13 D．26 2．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图，当筒车工作时，盛水桶的运行路径可以看作是以轴心为圆心的，且圆心在水面上方．在某一时刻，被水面截得的弦长为6米，过点作，交于点，交于点，水面下盛水桶的最大深度为1米（即米），则的半径为____________米． 3．文物修复师在修复破损文物时，经常通过几何推理还原其原貌．如图1，某修复师修复一件破碎的古代瓷器束口盆（盆口原貌为圆形）时，仅凭一块碎片便能推算出其原始口径尺寸．图2是修复师根据碎片切面绘制的几何示意图：碎片边缘为圆弧，设圆弧所在圆的圆心为O，半径于D，连接．已知，，求盆口半径的长度． 题型7.圆心角概念辨析及简单运算 1．下图中的是圆心角的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，且小量角器的中心O2，恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为P，且点P在小量角器对应的刻度为63°，那么点P在大量角器上对应的刻度为__________．（只考虑小于的角） 3．在半径为2的中，弦的长为2，则弦所对的圆心角的度数为______度． 题型8.利用弧、弦、圆心角的关系求解 1．如图，的弦、的延长线相交于点，，若，则的度数是（） A． B． C． D． 2．如图，是的直径，，是的弦，且，与交于点E，连接．若，则的度数是_____ 3．如图，已知在中，． (1)求证：； (2) 直径于点D，若，，求的半径． 题型9.利用弧、弦、圆心角的关系求证 1．如图中，A、B、C均为圆上的点，下列说法：①若，则； ② 若，则；③若，则；④若，则O点到弦的距离相等．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，在⊙O中， =，则下列结论中：①AB=CD；②AC=BD；③∠AOC=∠BOD；④=，正确的是______填序号． 3．如图，是的直径，是的弦，于点，是的中点，连接． (1)求证：． (2)若，，求的半径． 题型10.求圆弧的度数 1．如图，经过五边形的四个顶点，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，点A，B分别为半圆O上的三等分点，如果的半径为，那么弦______________． 3．如图，在中，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 题型11.圆周角的概念辨析及简单运算 1．下列图形中的角是圆周角的是（　　） A． B． C． D． 2．如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A=30°，OH=1，则⊙O的半径是______． 3．观察下图中角的顶点与两边有何特征？指出哪些角是圆周角？ 题型12.圆周角定理 1．如图，A、B、C是上的点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．点、、是上不同的三点，已知，则____度． 3．如图，是的直径，D是圆外一点，连接交于点E，过点D作于点C，与相交于点F，连接． (1)求证：； (2)若，，，求的半径及的长． 题型13.同弧或等弧所对的圆周角相等 1．如图，中，弦相交于点，若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 2．如图，，均在圆上，，则______． 3．内接于，，请用直尺和圆规在上找一点（不与点，重合），使．如下是小温、小州两位同学的作图过程． 请你选择其中一种做法，判断对错，并说明理由． 解：我选择__________（填“小温”或“小州”）的作法，该作法是__________的（填“正确”或“错误”），理由如下： 题型14.半圆（直径）所对的圆周角是直角 1．如图，是的直径，，是上的两点，连接，，，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 2．如图，点，，，在上，是的直径，，则的度数为________． 3．如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，且，，求：的度数． 题型15.90度的圆周角所对的弦是直径 1．如图，四边形中，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．《周髀算经》中总结了对几何工具“矩”（即直角形状的曲尺，如图1所示）的一种使用方法：如图2，在平面内固定两个钉子，，保持“矩”的两边始终紧靠两钉子的内侧，转动“矩”，则“矩”的顶点的运动路线将会是一个圆．依此描述，请用一个数学概念或定理解释这种方法的道理：___________________________． 3．如图，点在圆上，，连接． (1)判断的形状，并证明你的结论． (2)若，求圆的半径． 题型16.已知圆内接四边形求角度 1．如图，是半圆的直径，，则等于（     ） A． B． C． D． 2．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，________． 3．如图，是的内接四边形的一个外角，连接，已知． (1)求证：． (2)若，求的度数． 题型17.求四边形外接圆的直径 1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，∠C=120°．若AD=2，则AB的长为（　　） A． B．2 C．2 D．4 2．【回归教材】 （1）苏科版数学九年级教材第42页第4题：如图1，是的高，M是的中点．点B、C、D、E是否在以点M为圆心的同一个圆上？为什么？ 小明在完成此题解答后提出：如图2，若的交点为点O，则点A、D、O、E四点也在同一个圆上．请对教材原题或小明提出的问题进行解答．（选择一个解答即可） 【直接应用】 （2）如图3，锐角中，是高线，于G，于F，求证：． 【拓展延伸】 （3）如图4，等边三角形中，，P为边上一动点，，垂足分别为D、E．则的最小值为 ． （4）如图5，小明完成上面的问题后发现的两条高相交于点O，连接并延长交于点F．则为的边上的高．即三角形的三条高所在直线交于同一点．如图6，已知是的外接圆，是的高，相交于点P．若，请直接写出的面积 ．（结果请用m，n的代数式表示，并保留） 3．定义：只有一组对角都是直角且其中一个直角的两边相等的四边形叫准矩形．例如：四边形中，且，，则称四边形为准矩形． （1）如图1，四边形中，，，，．求证：四边形是准矩形： （2）如图2，四边形是准矩形，，，求外接圆的半径； （3）如图3，准矩形中，，，对角线、相交于点，设，请直接写出的取值范围． ✺巩固测试 一、单选题 1．如图，是的直径，点、在圆周上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．正方形的边长为2，则正方形外接圆的直径是（   ） A．2 B．4 C． D． 3．如图，为的直径，为的弦，C为优弧的中点，，垂足为D．若，，则的半径为（     ） A．6 B．5 C． D． 4．如图所示，为的弦，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，点，，，在上，四边形是菱形，则的度数是（     ） A． B． C． D． 6．如图，将绕点逆时针旋转得到，阴影部分为线段扫过的区域，已知，，则阴影部分面积为（     ） A． B． C． D．9 7．如图，中，，半径，若将扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．若圆锥的底面半径为，其侧面展开图的圆心角的度数为，则该圆锥的高为_____ ． 9．如图，是的直径，C为圆上一点是弧的中点，与交于点E，若E是的中点，则的长为______． 10．如图，等腰内接于，，点是的中点，连接，．若，，则的半径长为_______． 11．如图所示，四边形是菱形，经过点A，C，D，与相交于点E，连接，．若，则的度数为_____． 12．如图，    是的直径，弦，若，则的度数是__________． 13．如图，将半径为的圆形纸板，沿着边长分别为和的矩形的外侧滚动一周并回到开始的位置，圆心所经过的路线长度是______（）． 14．已知的直径为，，是的两条弦，，，，则与之间的距离为_______． 三、解答题 15．月洞门是中国古典园林建筑中的圆形过径门，形如满月，兼具通行与框景功能．如图是某园林中的一处月洞门，门洞的形状为圆弧形．如图是该月洞门的几何示意图，设该弧所在圆的圆心为，过点作，为垂足，与该弧交于点，测得弦，，求这个月洞门所在圆的半径． 16．综合与实践 问题情境：如图1，将一个圆心角为、半径为R 的扇形，可制作成圆锥（如图2），圆锥的底面半径为r，点A与点重合，工人在制作圆锥形物品时，通常要先确定扇形圆心角度数，再度量裁剪材料． (1)探索尝试：图1中，圆锥侧面扇形的弧长与圆锥底面周长_____（填“相等”或“不相等”）． (2)解决问题：为操作简便，工人希望能简洁求 n的值，请用含 r， R的式子表示 n； (3)拓展延伸： 图 3是一种纸质圆锥形生日帽，，C是中点，现要从点A到点 C再到点A之间拉一装饰彩带（如图4），求彩带长度的最小值． 17．如图，是的内接三角形，是的直径，连接，． (1)求的度数． (2)若，求图中阴影部分的面积． 18．如图，用一个半径为，面积为的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥不计损耗）．    (1)求扇形的圆心角的度数； (2)求圆锥的底面半径． 19．如图，是的直径，是一条弦，是弧的中点，于点，交于点，交于点，交于点． (1)求证：． (2)若，，求的长． 20．如图，以为斜边的内接于，点是弧的中点，过点作交延长线于点，连结，． (1)求证：； (2)判断线段，和之间的数量关系，并证明； (3)连结，当时，求的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12圆的有关性质、暑假预习讲义 ✺知识框架 1.基础性质板块：涵盖圆的定义、基本概念与固有对称性，明晰圆的几何特征与构成要素，为后续定理推导与应用打下基础。 2.核心定理与综合应用板块：整合垂径定理、圆心角弧弦关系、圆周角定理三大核心定理，搭配圆内接四边形拓展性质，构建圆中线段、弧、角度的完整推理与计算体系。 ✅本节以圆的对称性为核心主线，依托圆的固有几何性质，重点学习垂径定理、圆心角与圆周角三大核心定理，探究圆中弦、弧、角的位置与数量关系。本节是圆章节的基础核心内容，是后续切线性质、圆综合证明与计算的必备铺垫，在初中几何知识体系中占有重要地位。 ✺学习目标 1.掌握圆的定义及弦、直径、弧、圆心角、圆周角等基础概念，辨析易混知识点。 2.理解圆的两大对称性，熟练掌握垂径定理及推论，能解决圆中弦长、半径、弦心距的计算与证明问题。 3.掌握同圆或等圆中圆心角、弧、弦的等量关系，可灵活双向推导、完成几何推理证明。 4.熟记圆周角定理及各类推论，熟练掌握圆中角度计算、直角判定、等角转化等核心题型。 5.掌握圆内接四边形的核心性质，能利用其性质完成圆中角度转化与综合计算。 ✺题型归纳 题型1.利用垂径定理求值 题型2.利用垂径定理求平行弦问题 题型3.利用垂径定理求同心圆问题 题型4.利用垂径定理求解其他问题 题型5.垂径定理的推论 题型6.垂径定理的实际应用 题型7.圆心角概念辨析及简单运算 题型8.利用弧、弦、圆心角的关系求解 题型9.利用弧、弦、圆心角的关系求证 题型10.求圆弧的度数 题型11.圆周角的概念辨析及简单运算 题型12.圆周角定理 题型13.同弧或等弧所对的圆周角相等 题型14.半圆（直径）所对的圆周角是直角 题型15.90度的圆周角所对的弦是直径 题型16.已知圆内接四边形求角度 题型17.求四边形外接圆的直径 题型18.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、圆的定义、基本要素与对称性 1.圆的定义 动态定义：在平面内，将一条线段绕着它的一个固定端点旋转一周，另一个端点所形成的封闭曲线叫做圆。 静态定义：平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。其中定点为圆心，定长为半径；圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 2.基本概念：（1）连接圆上任意两点的线段叫做弦；经过圆心的弦叫做直径，直径是圆中最长的弦。 （2）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。其中小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧（优弧要用三个字母表示），直径所对的弧为半圆。图示如下： 3.两大固有对称性：（1）圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴，无数条对称轴，该性质是垂径定理的推导依据. (2)圆具有旋转不变性，绕圆心旋转任意角度都能与自身重合，是圆心角、弧、弦关系定理的重要推导基础。 知识点二、垂径定理及推论 定理内容：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧。如下图：CD是直径，CD⊥AB.则MA=MB, 垂径定理中的五个元素:①过圆心；②垂直弦；③平分弦；④平分弦所对优弧；⑤平分弦所对劣弧. 知二推三：五个元素中满足任意两个，可推出剩余三个。注意：当条件组合为 “过圆心 + 平分弦” 时，这条弦不能为直径，结论才成立。 常用推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧。 解题模型：解决弦类计算问题的通用方法：过圆心作弦的垂线，构造由半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，结合勾股定理，可实现半径、弦长、弦心距三类量的互求，是本节核心解题思路。 知识点三、圆心角、弧、弦的关系定理 1.圆心角的概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。 2.有关弧、弦、圆心角关系的定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 3.定理的推论 （1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等； （2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧或劣弧分别相等。 ★重点提示 ◆在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等； ◆在同圆或等圆中，两条弧（一般同为优弧或劣弧）、两条弦、两个圆心角中，只要有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等。 知识点四、圆周角定理及推论 1.圆周角定义：顶点在圆上，且两边都与圆相交的角，这样的角叫做圆周角。如下图，∠ACB是圆周角。 2.圆周角定理：一条弧所对的圆周角，等于它所对的圆心角的一半。 3.圆周角定理的推论：（1）同弧或等弧所对的圆周角相等；（2）半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；（3）同圆中，同一条弦所对的同侧圆周角相等，异侧圆周角互补。 ★重点提示：（1）在同圆或等圆中，若同为优弧或同为劣弧所对应的圆心角、弧、弦、圆周角，一组量相等，则其余各组对应量相等。（2）如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。(3)注意区分 “弦” 与 “弧”：一条弦对应两条弧，因此圆周角有两种情况；一条弧只对应一类圆周角。 知识点五、圆内接多边形 定义：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。如下图，四边形ABCD是⨀O的内接四边形，⨀O是四边形ABCD的外接圆。 圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形任意一个外角等于它的内对角。 ▲每一个圆有无数个内接四边形，但并不是所有的四边形都存在外接圆，只有对角互补的四边形才存在外接圆。 ✺题型精讲 题型1.利用垂径定理求值 1．如图，是的弦，半径于点D．若，．则的长是（     ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】通过垂直弦这一条件想到垂径定理得到，再利用勾股定理构造方程求解即可． 【详解】解： 连接， ∵，且， ∴， 设圆的半径为R， ∵， 则在中，有即， 解得，即， 故选项D符合题意． 2．如图，是的直径，弦，那么________，________，的周长为________． 【答案】 【分析】根据垂径定理得到，，即可求出的周长． 【详解】解：∵是的直径，弦， ∴，， ∴的周长为． 3．如图，是的直径，弦于点H，，，求的半径的长． 【答案】2 【分析】由垂径定理得到，求出，再解求出的长，即可得到的半径长． 【详解】解：连接， ∵直径， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的半径长是2． 题型2.利用垂径定理求平行弦问题 1．⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（    ） A．2 B．14 C．2或14 D．7或1 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理的应用．作于E，于F，由垂径定理得，由于，易得E、O、F三点共线，在和中，利用勾股定理分别计算出与，然后讨论：当圆心O在弦与之间时，与的距离；当圆心O在弦与的外部时，与的距离． 【详解】解：如图，作于E，于F，连， 则， ∵， ∴E、O、F三点共线， 在中，， 在中，， 当圆心O在弦与之间时，与的距离； 当圆心O在弦与的外部时，与的距离． 所以与的距离是14或2． 故选：C． 2．⊙的半径为5cm，AB、CD是⊙的两条弦，，，．则和之间的距离为_______． 【答案】1cm或7cm． 【分析】分两种情况：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；分别作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可． 【详解】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1 ∵AB＝8cm，CD＝6cm， ∴AE＝4cm，CF＝3cm， ∵OA＝OC＝5cm， ∴EO＝3cm，OF＝4cm， ∴EF＝4−3＝1cm； ②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2， ∵AB＝8cm，CD＝6cm， ∴AE＝4cm，CF＝3cm， ∵OA＝OC＝5cm， ∴EO＝3cm，OF＝4cm， ∴EF＝OF＋OE＝7cm． ∴AB与CD之间的距离为1cm或7cm． 故填1cm或7cm． 【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，正确作出辅助线、灵活运用垂径定理以及分类讨论思想和数形结合思想是解答本题的关键． 3．在中，弦，，的直径为20，则弦之间的距离为 ____________． 【答案】2或14 【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用．根据题意画出图形是解题的关键． 由于弦和平行，且它们与圆心的相对位置不确定，需分同侧和异侧两种情况，分别根据垂径定理和勾股定理求解即可． 【详解】解：①当在圆心的同侧，如图（一）所示时，过O作交于F，连接， 由垂径定理可知， 在中，； 在中，， 所以； ②当在圆心的异侧，如图（二）所示时，过O作交于F，连接， 同（一）可知：， 所以． 故答案为：2或14． 题型3.利用垂径定理求同心圆问题 1．如图，小高和小雪分别沿着环形跑道的内侧跑道和外侧跑道进行慢跑训练，两个人的速度相同，已知内圈跑道的半径为20米、外圈跑道的半径为25米，则慢跑过程中两人的距离不可能是（   ） A．5米 B．15米 C．40米 D．50米 【答案】D 【分析】根据同心圆上两点之间的最值问题进行解决． 【详解】解：根据同心圆的半径可知， 两圆上两点最远的距离为（米）， 两圆上两点最近的距离为（米）， ∴两人的距离不可能是50米． 2．如图，在⊙O中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则的度数为______． 【答案】 【分析】先根据垂径定理可得，再根据等腰直角三角形的判定与性质即可得． 【详解】解：由题意得：，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握垂径定理是解题关键． 3．如图，以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点，． (1)直接写出的长为___________； (2)若大圆的半径是5，求小圆的半径长． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题主要考查了圆的垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握以上性质． （1）过点作于点，连接，根据垂径定理求出线段的长度，最后利用线段的和差进行求解即可； （2）结合（1）得，根据勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，连接， 根据垂径定理得，点为线段和的中点， ∴， ∴， 故答案为：1； （2）解：如图所示，过点作于点，连接， 结合（1）得， 根据勾股定理得， ∴， ∴小圆的半径长为． 题型4.利用垂径定理求解其他问题 1．如图，在正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，已知点A的坐标是，点C的坐标是，则那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是  （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了垂径定理的应用，找到线段的垂直平分线和线段的垂直平分线的交点即可得到圆心坐标． 【详解】解：如图线段的垂直平分线和线段的垂直平分线的交点M，即为弧的圆心， ∴圆心的坐标是， 故选：B． 2．如图，为的弦，半径交于点，且为的中点，连接、、，若，则__________．    【答案】 【分析】连接，可求，可证，从而可求，即可求解． 【详解】解：如图，连接，   ， ， 为的中点， ， ， ， ． 故答案：． 【点睛】本题考查了圆的基本概念的理解，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握相关的性质是解题的关键． 3．赵州桥始建于隋代，是世界上现存年代久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥（如图1）．现有一座仿赵州桥建造的圆拱桥（如图2），已知此圆拱桥的跨径（桥拱圆弧所对的弦的长）为，拱高（桥拱圆弧的中点到弦的距离）为．求此桥拱圆弧的半径（精确到．） 【答案】此桥拱圆弧的半径约为 【分析】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．设弦所在圆的圆心为，弧的中点为，弦的中点为，连接，，，圆的半径为，由垂径定理得，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：如图2所示，设弦所在圆的圆心为，弧的中点为，弦的中点为，连接，，，圆的半径为， 由垂径定理可知，， ，，三点共线， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ， 解得， 此桥拱圆弧的半径约为． 题型5.垂径定理的推论 1．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分.如果是中弦的中点，经过圆心交于点，并且．则的半径为（　　） A． B．3m C． D．4m 【答案】C 【分析】先根据垂径定理的逆定理得出，再根据勾股定理得出答案即可． 【详解】解：∵点M是的中点，且经过点O，， ∴， ∴． 设半径为r，则，根据勾股定理，得 ， 解得， 所以半径为． 2．如图， 的直径，C是圆O上一点，点D平分，，则弦______________ 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理的推论，三角形中位线定理．由题意可知点D平分， 为的中位线，根据直径求出半径，进而求出的长度，再根据中位线原理即可解答． 【详解】解：∵点D平分， ∴平分， ∴为的中位线， ∴， 又∵ 的直径， ∴， ∵， ∴， ∴弦， 故答案为：． 3．如图，是的直径，在上，，分别延长、相交于点，且，若，求的半径． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理，相似三角形的性质与判定，灵活运用所学知识是解题的关键．连接交于，由，得到，根据垂径定理得到，根据三角形的中位线的性质得到，根据相似三角形的性质得到，于是得到结论． 【详解】解∶连接交于， ， ， ∵是半径， ， ， ， ∽， ， ， ， ． 的半径是． 题型6.垂径定理的实际应用 1．如图，翠湖公园一座拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱高为8米，求圆弧所在圆的半径为（    ）米． A．5 B．12 C．13 D．26 【答案】C 【分析】延长到，使得，利用勾股定理和垂径定理解答． 【详解】解：延长到，使得，则为圆心， 拱桥的跨度米，， ， ， 即， 解得． 圆弧所在圆的半径为． 2．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图，当筒车工作时，盛水桶的运行路径可以看作是以轴心为圆心的，且圆心在水面上方．在某一时刻，被水面截得的弦长为6米，过点作，交于点，交于点，水面下盛水桶的最大深度为1米（即米），则的半径为____________米． 【答案】 【分析】由垂径定理可得的长，设的半径为，则可用含的式子表示，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：， 米， （米） ． 设的半径为米，则，． 在中，由勾股定理得， 即． 解得． 3．文物修复师在修复破损文物时，经常通过几何推理还原其原貌．如图1，某修复师修复一件破碎的古代瓷器束口盆（盆口原貌为圆形）时，仅凭一块碎片便能推算出其原始口径尺寸．图2是修复师根据碎片切面绘制的几何示意图：碎片边缘为圆弧，设圆弧所在圆的圆心为O，半径于D，连接．已知，，求盆口半径的长度． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理以及勾股定理，由垂径定理得出，设这个盆口半径的长为，则，再利用勾股定理即可得出r． 【详解】解：由题意得：，， ∴， 设这个盆口的半径的长为，则， 在中， 由勾股定理得：， 解得：， 答：这个盆口半径的长为． 题型7.圆心角概念辨析及简单运算 1．下图中的是圆心角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角的概念，解决本题的关键是掌握顶点在圆心的角叫作圆心角. 根据圆心角的概念判断即可. 【详解】解：A、顶点C不在圆心，不符合圆心角的概念，不符合题意； B、顶点C在圆心，符合圆心角的概念，符合题意； C、顶点C在圆内，不符合圆心角的概念，不符合题意； D、顶点C在圆外，不符合圆心角的概念，不符合题意； 故选：B ． 2．如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，且小量角器的中心O2，恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为P，且点P在小量角器对应的刻度为63°，那么点P在大量角器上对应的刻度为__________．（只考虑小于的角） 【答案】 【分析】连接，由点P在小量角器对应的刻度，可知大小，再，可求得即为点P在大量角器上对应的刻度． 【详解】连接，如图所示： 点P在小量角器对应的刻度为， ， ， ， ， 点P在大量角器上对应的刻度为（只考虑小于的角）． 故答案为：． 【点睛】此题考查了圆心角、等腰三角形的性质和三角形内角和定理．熟练掌握用量角器上测量圆心角，并能根据相关性质求出各个角的度数是解此题的关键． 3．在半径为2的中，弦的长为2，则弦所对的圆心角的度数为______度． 【答案】60 【分析】画出图形，连接、，可证得是等边三角形，由此得解． 【详解】解：如图，连接、， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 题型8.利用弧、弦、圆心角的关系求解 1．如图，的弦、的延长线相交于点，，若，则的度数是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先作于，作于，利用“等弦对等弦心距”得出 ，进而判定 平分 并求出 的度数，随后在四边形 中利用内角和算出 ，最后通过证明 实现角度转化，从而求得 的度数． 【详解】如图，作于，作于， 平分 在与中 2．如图，是的直径，，是的弦，且，与交于点E，连接．若，则的度数是_____ 【答案】/度 【分析】连接，根据弦相等得出对应的圆心角相等，即，利用平角定义和角的和差关系建立方程求出的度数，最后利用等腰三角形的性质求出的度数即可. 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， 设，则， 是的直径， ， ， ， 由图可知， ， 解得， ， ， . 3．如图，已知在中，． (1)求证：； (2) 直径于点D，若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是垂径定理、全等三角形的判定和性质及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． （1）延长交于点F，连接，证明，，即可求解； （2）由垂径定理可知，根据全等三角形的判定定理得出，故可得出的长，根据勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）证明：如图，延长交于点F，连接， ∵， ∴，且， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 又， ∴； （2）解：设的半径为r， ∵，过圆心，， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， 解得， ∴的半径为． 题型9.利用弧、弦、圆心角的关系求证 1．如图中，A、B、C均为圆上的点，下列说法：①若，则； ② 若，则；③若，则；④若，则O点到弦的距离相等．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查圆心角、弧、弦心距的关系，根据“在同圆或等圆中，如果两个圆心角对应的两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们对应的其余各组量也相等”进行判断即可 ． 【详解】解：∵在同圆或等圆中，如果两个圆心角对应的两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们对应的其余各组量也相等． ∴①若，则，所以，此说法正确； ②若，则，所以，此说法正确； ③若，则，所以，此说法正确； ④若，则O点到弦的距离相等，所以，此说法正确； ∴说法正确的是①②③④，共4个， 故选：D． 2．如图，在⊙O中， =，则下列结论中：①AB=CD；②AC=BD；③∠AOC=∠BOD；④=，正确的是______填序号． 【答案】①②③④ 【分析】利用同圆或等圆中弧，弦以及所对的圆心角之间的关系逐项分析即可． 【详解】解：∵在⊙O中，=， ∴AB=CD，故①正确； ∵BC为公共弧， ∴=，故④正确； ∴AC=BD，故②正确； ∴∠AOC=∠BOD，故③正确． 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了弧，弦、圆心角之间的关系：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等以及推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 3．如图，是的直径，是的弦，于点，是的中点，连接． (1)求证：． (2)若，，求的半径． 【答案】(1) 证明：是的直径，于点， ， 是的中点， ， ，即， ； (2) 【分析】（1）根据垂径定理得，由是的中点即可得，进而得，根据圆心角定理，即可证明结论； （2）连接，根据垂径定理及勾股定理，即可列方程求解． 【详解】（1）略； （2） 解：如图，连接， 由（1）可知， 设的半径为，则， ， ， 于点， ， 在中，，即， 解得， 的半径为． 题型10.求圆弧的度数 1．如图，经过五边形的四个顶点，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系,掌握相关知识是解决问题的关键。连接、，如图，利用等腰三角形的性质得，，则根据三角形内角和定理得到，，则，于是得到的度数为． 【详解】解：连接、，如图， ，， ，， ，， ， ∴的度数为． 故选：B． 2．如图，点A，B分别为半圆O上的三等分点，如果的半径为，那么弦______________． 【答案】8 【分析】本题考查圆心角定理，等边三角形的判定． 连接，，则，由点A，B分别为半圆O上的三等分点，，从而是等边三角形，根据等边三角形的三边相等即可解答． 【详解】解：连接，， 则， ∵点A，B分别为半圆O上的三等分点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：8 3．如图，在中，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了垂径定理以及勾股定理，解题的关键是正确添加辅助线构造直角三角形． （1）先求出的度数，再求出所对的弧的度数，即可得出答案； （2）作，根据垂径定理得到，再利用勾股定理计算出，接着利用面积法计算出，然后利用勾股定理计算出，从而得到的长． 【详解】（1）解：连接， ，， ， ， ， ， ， 的度数为； （2）解：作，则， 在中，， ， ， 在中，， ． 题型11.圆周角的概念辨析及简单运算 1．下列图形中的角是圆周角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角的定义．根据圆周角的定义（角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角）判断即可． 【详解】解：A、图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； B、图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； C、图中的角的顶点在圆上，两边与圆相交，所以图中的角是圆周角，故本选项不符合题意； D、图中的角的顶点在圆上，但两边不与圆相交，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意． 故选：C． 2．如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A=30°，OH=1，则⊙O的半径是______． 【答案】2 【分析】连接OC，利用半径相等以及三角形的外角性质结合已知的垂直条件求得∠COH=60°，∠OCH=30°，利用30度角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：连接OC， ∵OA=OC，∠A=30°， ∴∠COH=2∠A=60°， ∵弦CD⊥AB于H， ∴∠OHC=90°， ∴∠OCH=30°， ∵OH=1， ∴OC=2OH=2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质和含30°角的直角三角形的性质．熟练掌握半径相等是解题的关键． 3．观察下图中角的顶点与两边有何特征？指出哪些角是圆周角？ 【答案】特征见解析，(c)图中∠3、∠4、∠BAD是圆周角 【详解】解： (a)∠1顶点在⊙O内，两边与圆相交，所以∠1不是圆周角； (b)∠2顶点在圆外，两边与圆相交，所以∠2不是圆周角； (c)图中∠3、∠4、∠BAD的顶点在圆周上，两边均与圆相交，所以∠3、∠4、∠BAD是圆周角． (d)∠5顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆不相交，所以∠5不是圆周角； (e)∠6顶点在圆上，两边与圆均不相交，由圆周角的定义知∠6不是圆周角. 【点睛】本题主要考查了圆周角的定义，熟练掌握顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角是解题的关键． 题型12.圆周角定理 1．如图，A、B、C是上的点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆周角定理得到，即可直接得出答案． 【详解】解：∵， ∴． 2．点、、是上不同的三点，已知，则____度． 【答案】140或60 【分析】分两种情况：当点在优弧上时，当点在劣弧上时，然后分别进行计算即可解答． 【详解】根据圆周角定理，可知一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，因此得 解：分两种情况： 如图，当点在优弧上时， ∵，， ∴ ， ∴； 如图，当点在劣弧上时， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述：的度数为或． 3．如图，是的直径，D是圆外一点，连接交于点E，过点D作于点C，与相交于点F，连接． (1)求证：； (2)若，，，求的半径及的长． 【答案】(1) 证明：连接， ∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 则， ∵， ∴ 即； (2)的半径为， 【分析】（1）根据得，结合是的直径以及角的等量代换得，又因为，得，即可作答． （2）运用勾股定理得，根据，得出，设则，故，运用等面积法得，再结合勾股定理得，，最后把数值代入计算，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：∵是的直径， ∴ ∵，， ∴， 由（1）得， ∵， ∴， 在中，， 设则， ∴， ∵， 即， ∴， ∴， ∴ 则 ∴， 即， ∴， 连接 ∴， 在中，， ∴， 则， ∴． 题型13.同弧或等弧所对的圆周角相等 1．如图，中，弦相交于点，若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆周角定理．根据同弧所对的圆周角相等即可求得． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：B． 2．如图，，均在圆上，，则______． 【答案】/30度 【分析】根据同弧所对的圆周角相等，即可得出结果. 【详解】解：∵和是同弧所对的圆周角，， ∴. 3．内接于，，请用直尺和圆规在上找一点（不与点，重合），使．如下是小温、小州两位同学的作图过程． 请你选择其中一种做法，判断对错，并说明理由． 解：我选择__________（填“小温”或“小州”）的作法，该作法是__________的（填“正确”或“错误”），理由如下： 【答案】 若选择小温的作法（图1），则该作法是正确的 理由如下：连结， ， ， ． 若选择小州的作法（图2），则该作法是错误的， 理由如下：连结， ， ∴， ， ． 【分析】本题主要考查了圆周角定理，小温的作法正确，连结，可证明，得到；小州的作法错误，连结，可证明，得到，则可求出． 【详解】略 题型14.半圆（直径）所对的圆周角是直角 1．如图，是的直径，，是上的两点，连接，，，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，利用圆周角定理得出，根据直径所对圆周角为直角得出，利用直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵与都是所对的圆周角， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴． 2．如图，点，，，在上，是的直径，，则的度数为________． 【答案】/70度 【详解】解：∵点，，，在上，是的直径，， ∴， ∴， ∴（同弧所对的圆周角相等）. 3．如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，且，，求：的度数． 【答案】 【分析】连接，由圆周角定理得到，然后求解，再由圆内接四边形的性质求解，再由圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接，如图， ∵是半圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是圆O的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型15.90度的圆周角所对的弦是直径 1．如图，四边形中，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角确定四点共圆，然后根据圆周角定理求解． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴四点共圆， ∵， ∴， ∵与所对的弧为， ∴． 2．《周髀算经》中总结了对几何工具“矩”（即直角形状的曲尺，如图1所示）的一种使用方法：如图2，在平面内固定两个钉子，，保持“矩”的两边始终紧靠两钉子的内侧，转动“矩”，则“矩”的顶点的运动路线将会是一个圆．依此描述，请用一个数学概念或定理解释这种方法的道理：___________________________． 【答案】圆是平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形 【分析】本题考查了直角三角形的特征，圆的定义，理解“圆是平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形”是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ， 点到中点的距离等于， “矩”的顶点的运动路线是以线段的中点为圆心，的长为半径的圆， 这种方法的道理：圆是平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形． 3．如图，点在圆上，，连接． (1)判断的形状，并证明你的结论． (2)若，求圆的半径． 【答案】(1) 是等边三角形． 证明：， ． 同理，， ， 是等边三角形． (2) 【分析】（1）根据圆周角定理的推论可得，进而可得出结论； （2）根据的圆周角所对的弦是直径，得出是直径，再结合第（1）问的结论，可得是含的直角三角形，列方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1），得． ， 线段为圆的直径． 在中，， ∴， 设，则， ∵， 即， 解得：， ∴圆的半径是． 【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理及其推论是解题关键． 题型16.已知圆内接四边形求角度 1．如图，是半圆的直径，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：四边形是圆的内接四边形， ， ， ． 2．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，________． 【答案】 14 【分析】根据圆内接四边形的性质求出，根据直径所对的圆周角是直角得出，然后根据计算即可. 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， 又， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴. 3．如图，是的内接四边形的一个外角，连接，已知． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1) 证明：根据题意得：， ∵， ， (2) 【分析】题目主要考查圆内接四边形的性质，等角对等边的性质，熟练掌握是解题关键． （1）根据圆内接四边形的性质得出，确定，再由等角对等边即可证明； （2）根据题意得出，再由圆内接四边形的性质即可求解． 【详解】（1）略 （2），， ， ∵四边形是圆内接四边形， ． 题型17.求四边形外接圆的直径 1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，∠C=120°．若AD=2，则AB的长为（　　） A． B．2 C．2 D．4 【答案】D 【分析】连接OD，根据圆内接四边形的性质求出∠A=60°，得出△AOD是等边三角形，根据等边三角形的性质得出OD=OA=AD=2，求出直径AB即可． 【详解】解：连接OD， ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠A+∠C=180°， ∵∠C=120°， ∴∠A=60°， ∵OD=OA， ∴△AOD是等边三角形， ∴AD=OD=OA， ∵AD=2， ∴OA=OD=OB=2， ∴AB=2+2=4， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质和等边三角形的性质和判定，能根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠C=180°是解此题的关键． 2．【回归教材】 （1）苏科版数学九年级教材第42页第4题：如图1，是的高，M是的中点．点B、C、D、E是否在以点M为圆心的同一个圆上？为什么？ 小明在完成此题解答后提出：如图2，若的交点为点O，则点A、D、O、E四点也在同一个圆上．请对教材原题或小明提出的问题进行解答．（选择一个解答即可） 【直接应用】 （2）如图3，锐角中，是高线，于G，于F，求证：． 【拓展延伸】 （3）如图4，等边三角形中，，P为边上一动点，，垂足分别为D、E．则的最小值为 ． （4）如图5，小明完成上面的问题后发现的两条高相交于点O，连接并延长交于点F．则为的边上的高．即三角形的三条高所在直线交于同一点．如图6，已知是的外接圆，是的高，相交于点P．若，请直接写出的面积 ．（结果请用m，n的代数式表示，并保留） 【答案】 （1）证明：点B、C、D、E四点也在同一个圆上，理由如下： 如图：连接， ∵M是的中点， ∴ ∵、是的高， ∴均为直角三角形 ∴ ∴ ∴点B、C、D、E四点也在同一个圆上； 点A、D、O、E四点在同一个圆上，理由如下： 如图，连接，取的中点N，连接， 则 ， ∵、是的高， ∴均为直角三角形 ∴， ∴， ∴点A、D、O、E四点在同一个圆上； （2）证明：由于与共斜边， ∴B、C、D、E四点共圆． ∴， 同理与共斜边， ∴D、E、F、G四点共圆． ∴， ∴． ∴． （3）； （4）． 【分析】本题主要考查了圆周角定理、四点共圆、勾股定理、平行四边形的判定与性质等知识点，正确画出图形、掌握并灵活运用四点共圆成为解题的关键． （1）做辅助线构造直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线的性质得到相等的线段，最后根据等量代换及圆的定义解答即可； （2）通过四点共圆及圆周角定理得到，然后根据同位角相等两直线平行即可证明结论； （3）如图，连接，设中点为O，连接，易得P，D，C，E四点共圆，为直径，O为圆心，再结合等腰三角形的性质可得；设圆O的半径为r， 如图：过O作，易得，要使最小，则的半径r最小，故直径最小，当时，，即；最后代入即可解答； （4）如图：连接并延长交于Q，连接，则；如图：连接并延长交于F，即，进而证明四边形是平行四边形可得，再运用勾股定理可得，即的半径为，最后根据圆的面积公式即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 （3）如图，连接，设中点为O，连接， ∵ ∴P，D，C，E四点共圆，为直径，O为圆心， ∴， ， ∴， 设圆O的半径为r， 如图：过O作， ∴， ∴，即， 要使最小，则的半径r最小，故直径最小． 当时，运用等边三角形的性质及勾股定理可得， ∴ ∴． （4）如图：连接并延长交于Q，连接， ∴， 如图：连接并延长交于F，即， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，即的半径为， ∴的面积为． 3．定义：只有一组对角都是直角且其中一个直角的两边相等的四边形叫准矩形．例如：四边形中，且，，则称四边形为准矩形． （1）如图1，四边形中，，，，．求证：四边形是准矩形： （2）如图2，四边形是准矩形，，，求外接圆的半径； （3）如图3，准矩形中，，，对角线、相交于点，设，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【分析】（1）连接AC，先利用勾股定理求出AC的长，然后利用勾股定理的逆定理判定三角形ACD是否是直角三角形即可求解； （2）根据，可以得到四边形ABCD为圆内接四边形，外接圆的直径为AC，利用勾股定理求出AC的长即可得到答案； （3）由（2）得四边形ABCD为圆内接四边形从而得到△APD∽△BPC，根据，即可求得当P在O点左边时n的取值范围，同理可以求得P在O点右边时n的取值范围，即可求解. 【详解】解：（1）如图所示，连接AC ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴△ACD是直角三角形 ∴∠D=∠BAC=90° ∴四边形ABCD是准矩形； （2）∵四边形是准矩形 ∴ ∴， ∴四边形ABCD为圆内接四边形 ∴AC即为此圆的直径 ∴外接圆的直径也为AC ∵， ∴ ∴外接圆的半径= （3）取AC中点O，连接OD 由（2）得四边形ABCD为圆内接四边形 ∴∠DAC=∠PBC，∠ADP=∠BCP，OD=OA ∴△APD∽△BPC ∴ ∵， ∴OD⊥AC 当P在O点左边时，此时 ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴即 ∴ 同理可以得到当P在O点左边时， 综上所述 【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，圆内接四边形的判定，圆周角定理，相似三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. ✺巩固测试 一、单选题 1．如图，是的直径，点、在圆周上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直径所对的圆周角是直角可得，在中利用内角和求出，再根据同弧所对的圆周角相等得出 【详解】解：是的直径 与所对的弧相同 ． 2．正方形的边长为2，则正方形外接圆的直径是（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】考查了正多边形和圆以及正多边形的性质，解决本题的关键是理解正方形外接圆直径为正方形的对角线长．明确正方形外接圆直径为正方形的对角线长，求出对角线长即可． 【详解】解：正方形外接圆直径为正方形的对角线长． 正方形的边长为2， 正方形的对角线长为， 外接圆直径为． 故选：D． 3．如图，为的直径，为的弦，C为优弧的中点，，垂足为D．若，，则的半径为（     ） A．6 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接，延长交于点T，设的半径为r，证明，推出，在中，根据，构建方程求解． 【详解】解：连接，延长交于点T，设的半径为r， ∵C为优弧的中点， ∴， 由垂径定理得， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，根据， ∴ 解得． 4．如图所示，为的弦，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握圆的半径相等（等腰三角形的判定）是解题的关键． 先根据圆的半径相等得出等腰三角形，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算的度数． 【详解】解：∵、是的半径， ∴， ∴（等腰三角形两底角相等）， ∵在中，， ∴， 故选：． 5．如图，点，，，在上，四边形是菱形，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，利用菱形性质得到，结合半径相等推导出、为等边三角形，求出圆心角，再依据圆周角定理求出． 【详解】解：连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 同理可得， ∴， ∴． 6．如图，将绕点逆时针旋转得到，阴影部分为线段扫过的区域，已知，，则阴影部分面积为（     ） A． B． C． D．9 【答案】B 【分析】利用勾股定理求出，根据旋转的性质得出，，根据，利用扇形面积公式即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴ ． 7．如图，中，，半径，若将扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，先得到，然后求出的度数，再由圆周角定理求出的度数，最后根据扇形的弧长即为圆锥的底面圆的周长求解即可． 【详解】解：连接， ∵ ∴， ∴， ∴ ∴ 设圆锥的底面圆的半径为，则， 解得． 二、填空题 8．若圆锥的底面半径为，其侧面展开图的圆心角的度数为，则该圆锥的高为_____ ． 【答案】4 【分析】本题主要考查圆锥侧面展开图的知识，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．求得圆锥的底面周长，利用弧长公式即可求得圆锥的母线长，然后再利用勾股定理求圆锥的高即可． 【详解】解：圆锥的底面周长为：； ∴圆锥侧面展开图的弧长为, 设圆锥的母线长为, ∴， 解得． 由勾股定理得圆锥的高为（）. 故答案为：4． 9．如图，是的直径，C为圆上一点是弧的中点，与交于点E，若E是的中点，则的长为______． 【答案】2 【分析】本题主要考查垂径定理的推论、勾股定理、全等三角形的性质与判定及圆周角的性质，熟练掌握垂径定理的推论、勾股定理、全等三角形的性质与判定及圆周角的性质是解题的关键；连接，交于点F，由题意易得，则有，然后可得，则有，进而根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：连接，交于点F，如图所示： ∵点D是弧的中点，是的半径， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得：， 解得：，负值舍去， ∴． 故答案为：2． 10．如图，等腰内接于，，点是的中点，连接，．若，，则的半径长为_______． 【答案】 【分析】连接，连接并延长交于点，交于点，设，设的半径长为，分别在中，中，中，利用勾股定理进行求解即可. 【详解】解：连接，连接并延长交于点，交于点，则：， ∵，点是的中点， ∴，垂直平分， ∴， ∴垂直平分， ∵， ∴设，则，， ∴， 设的半径长为，则， 在中，由勾股定理，得， 解得（舍去）或， 在中，， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∴， 解得（负值舍去）； ∴. 11．如图所示，四边形是菱形，经过点A，C，D，与相交于点E，连接，．若，则的度数为_____． 【答案】/12度 【分析】首先根据菱形的性质得到，，然后求出，然后利用圆内接四边形的性质求出，然后结合三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形 ∴， ∴ ∵四边形内接于 ∴ ∴ ∴． 12．如图，    是的直径，弦，若，则的度数是__________． 【答案】/30度 【分析】连接，根据平行线的性质可得，由可得，再根据三角形内角和定理可求得的度数，即的度数． 【详解】 连接， ， ． ， ， ， ∴的度数是． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了弧的度数：圆中，弧的度数即弧所对的圆心角的度数，掌握这一点知识是解题的关键． 13．如图，将半径为的圆形纸板，沿着边长分别为和的矩形的外侧滚动一周并回到开始的位置，圆心所经过的路线长度是______（）． 【答案】68.56 【分析】通过观察可以发现圆转动时四个角上各转动了个圆，利用弧长公式即可计算，然后再加上矩形的周长即可． 【详解】解： 答：圆心所经过的路线长度是． 14．已知的直径为，，是的两条弦，，，，则与之间的距离为_______． 【答案】 或 【分析】分圆心在弦与的同侧和异侧两种情况，结合垂径定理和勾股定理分别求出圆心到两条弦的距离，再根据线段的和差计算弦之间的距离即可. 【详解】解：的直径为， 的半径为， 当圆心在弦和的同侧时， 连接，，过点作于点，延长交于点， ， ， 由垂径定理得，，， 在中，由勾股定理得：； 在中，由勾股定理得：； ； 当圆心在弦和的异侧时， 同理可得，， . 综上：与之间的距离为或. 三、解答题 15．月洞门是中国古典园林建筑中的圆形过径门，形如满月，兼具通行与框景功能．如图是某园林中的一处月洞门，门洞的形状为圆弧形．如图是该月洞门的几何示意图，设该弧所在圆的圆心为，过点作，为垂足，与该弧交于点，测得弦，，求这个月洞门所在圆的半径． 【答案】这个月洞门所在圆的半径为 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键． 连接，设的半径为，则，，根据垂径定理可得，在中利用勾股定理列出方程，求出的值即可解答． 【详解】解：如图2，连接， 设的半径为，则，， ， ，， 在中，由勾股定理得：， ， 解得． 答：这个月洞门所在圆的半径为． 16．综合与实践 问题情境：如图1，将一个圆心角为、半径为R 的扇形，可制作成圆锥（如图2），圆锥的底面半径为r，点A与点重合，工人在制作圆锥形物品时，通常要先确定扇形圆心角度数，再度量裁剪材料． (1)探索尝试：图1中，圆锥侧面扇形的弧长与圆锥底面周长_____（填“相等”或“不相等”）． (2)解决问题：为操作简便，工人希望能简洁求 n的值，请用含 r， R的式子表示 n； (3)拓展延伸： 图 3是一种纸质圆锥形生日帽，，C是中点，现要从点A到点 C再到点A之间拉一装饰彩带（如图4），求彩带长度的最小值． 【答案】(1)相等； (2)； (3) 【分析】本题主要考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数、勾股定理求最值等知识点，掌握圆锥的相关计算是解题的关键． （1）根据圆锥底面周长与其侧面展开图的弧长相等即可求解； （2）根据求解即可； （3）根据条件得出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为，进而根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：由于圆锥的侧面的扇形的弧和底面圆的圆周重合，即圆锥侧面扇形的弧长与圆锥底面周长相等． 故答案为：相等． （2）解：由圆锥的底面周长等于侧面扇形的弧长，可得： 则：，即：． （3）解：如图： ∵， ∴， ∴， ∴圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为， ∴， ∵，C是中点， ∴， ∴在中，， ∴彩带长度的最小值为． 17．如图，是的内接三角形，是的直径，连接，． (1)求的度数． (2)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了圆周角定理、含直角三角形的性质、勾股定理、弧长公式等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）由直径所对的圆周角为可知，根据同弧所对的圆周角相等可得，再根据角的和差即可解答； （2）如图：连接，由含直角三角形的性质以及勾股定理可得，，如图：过O作于E，易得，由三角形的面积公式可得，再说明，利用扇形的面积公式可得，最后根据求解即可． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：如图：连接， 在中，，， ∴，，， 如图：过O作于E， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 18．如图，用一个半径为，面积为的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥不计损耗）．    (1)求扇形的圆心角的度数； (2)求圆锥的底面半径． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆锥的相关计算，扇形的面积公式，圆锥的侧面积，熟练掌握相关公式是解题的关键． （1）设扇形的圆心角的度数为，根据扇形的面积公式列方程求解即可； （2）根据圆锥的侧面积等底面周长的一半乘母线长，列式计算即可． 【详解】（1）解：设扇形的圆心角的度数为， 则， 解得， 答：扇形圆心角的度数为； （2）解：侧面积为，母线长为， ， ， 答：圆锥的底面半径为． 19．如图，是的直径，是一条弦，是弧的中点，于点，交于点，交于点，交于点． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：是弧的中点， ， ，且是的直径， ， ， ， ． (2) 【分析】本题考查了圆的相关性质的应用，解直角三角形、勾股定理的计算是解题关键． （1）由是弧的中点，得出，再由垂径定理得出，根据等弧所对圆周角相等得出，即可证明出结论． （2）证明出，由，设，根据勾股定理求出，再求出直径即可． 【详解】（1）略 （2）解：是的直径， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， 即, 或（舍去）， ， ， ． 20．如图，以为斜边的内接于，点是弧的中点，过点作交延长线于点，连结，． (1)求证：； (2)判断线段，和之间的数量关系，并证明； (3)连结，当时，求的面积． 【答案】(1) 证明：∵是直径， ∴， ∵点是弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴； (2) ， 证明：如图所示，连接， ∵， ∴， 又∵是直径， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴； 过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， ∴即； (3) 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，可得，根据点是弧的中点，得出，得出，进而根据同弧所对的圆周角相等即可得证． （2）连接，可得为等腰直角三角形，勾股定理得出，过点作于点，证明，得出，，两式相加得出，进而得出； （3）连接，由（2）得出，在，中，勾股定理得出，，根据可得，进而根据，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图所示，连接， ∵，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $