13.3.1 三角形的内角（1）导学案 2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学导学案聚焦“三角形的内角和定理”，引导学生探索证明过程并运用定理解决问题。课堂导入通过回忆小学三角形纸片操作，衔接初中推理证明，搭建从直观感知到逻辑论证的学习支架。 资料以“自学探究-典例解析-达标测试”为主线，引导学生经历“操作感知-推理证明-应用拓展”过程。通过作辅助线证明定理培养推理能力，结合岛屿视角等生活情境习题，提升用数学语言表达现实世界的能力，助力发展几何直观与应用意识。

13.3.1 三角形的内角（1）班级： 姓名： 【学习目标】1.探索并证明三角形内角和定理. 2.能运用三角形内角和定理解决简单问题. 【学习重点】探索并证明三角形内角和定理，体会证明的必要性. 【学习难点】如何添加辅助线证明三角形内角和定理. 【自学探究】 一、新课引入 在小学我们已经知道任意一个三角形三个内角的和等于180°，你还记得是怎么发现这个结论的吗？请大家借助三角形纸片，回忆小学时的学习经历. 二、新知探究 如何通过推理的方法证明：任意一个三角形的内角和一定等于180°？ 直线l与△ABC的边BC有什么关系？ 由此，你能想出证明方法吗？请写出证明过程。 已知：△ABC . 求证：∠A+∠B+∠C=180°. 归纳： 三角形内角和定理： 三角形的内角和等于 ， 几何语言： 在△ABC 中，∠A+∠B+∠C= 【典例解析】 例1.如图，△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数. 例2.如图，是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向. 从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A、B两岛的视角∠ACB呢？ 【针对训练】 1.已知：如图，在中，，分别是的高线和角平分线．若，，求的度数． 2.如图是，，三岛的平面图，岛在岛的南偏西方向，岛在岛的北偏西方向，岛在岛的南偏东方向从岛看，两岛的视角是多少度 【达标测试】 1.如图，三角形的两个内角分别为55°和75°，则它的第三个内角的度数是(　　) A.70° B.60° C.50° D.40° 2.如图，该图形中的x的值为(　　) A.60　 B.65 C.70　 D.75 第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 3.(2024长沙)如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠B=50°，AD∥BC，则∠1的度数为(　　) A.50° B.60° C.70° D.80° 4.(跨学科融合)如图，甲船在A处测得灯塔B的方向是北偏东54°，再沿正东方向行驶到C处，在C处测得灯塔B的方向是北偏东18°，则∠B的度数是　　　　.  5.如图，在△ABC中，∠B=55°，∠C=63°，DE∥AB，则∠DEC等于(　　) A.63° B.113° C.55° D.62° 6.在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶4，则∠A的度数为(　　)第7题 A.35° B.40° C.70° D.110° 7.如图，在△ABC中，若DE∥BC，FG∥AC，∠BDE=120°，∠DFG=115°，则∠C=　　　　°.  8．如图是A、B、C三岛屿的平面图，B岛在A岛的南偏西45°方向，C岛在A岛的南偏东15°方向，C岛在B岛的北偏东80°方向，求从C岛看A、B两岛的视角∠ACB的度数， 9.如图，BD∥EF ,AE与BD交于C,∠B=36°,∠A=72°,∠DEF = ∠CEF, 判断AB与DE是否平行，并说明理由． 10.如图，在△ABC中，AD，BE分别平分∠BAC，∠ABC. (1)若∠C=70°，∠BAC=60°，则∠BED的度数是　　　　；  (2)探究∠BED与∠C的数量关系，并证明你的结论. 11.(思维能力)(1)如图1，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB. ①当∠A=60°时，∠D的度数是　　　　；  ②猜想∠A与∠D有什么数量关系？证明你的结论； (2)如图2，BD平分∠CBP，CD平分∠BCQ，(1)中②的猜想还正确吗？如果不正确，请你证明出正确的结论(写出证明过程). 【参考答案】 【自学探究】直线 l∥BC。证明：过点 A 作直线 l∥BC，∵l∥BC，∴∠4=∠2，∠5=∠3（两直线平行，内错角相等），又∵∠4+∠1+∠5=180°（平角定义），∴∠2+∠1+∠3=180°，即∠BAC+∠B+∠C=180°。归纳：三角形的内角和等于 180°；几何语言：在△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180°。 【典例解析】例 1：解：∵AD 平分∠BAC，∠BAC=40°，∴∠BAD=1/2∠BAC=20°。在△ABD 中，∠ADB=180°−∠BAD−∠B=180°−20°−75°=85°。例 2：解：由题意得∠DAB=80°，∠DAC=50°，∴∠CAB=80°−50°=30°。∵AD∥BE，∴∠ABE=180°−∠DAB=100°，∠EBC=40°，∴∠ABC=∠ABE−∠EBC=100°−40°=60°。在△ABC 中，∠ACB=180°−∠CAB−∠ABC=180°−30°−60°=90°。答：∠ABC=60°，∠ACB=90°。 【针对训练】 1.解：在△ABC中，∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−30°−50°=100°， ∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=1/2∠BAC=50°， ∵AD是△ABC的高，∴∠ADB=90°， 在Rt△ABD中，∠BAD=90°−∠B=90°−30°=60°， ∴∠DAE=∠BAD−∠BAE=60°−50°=10°。 2.解：由题意得：∠BAS=55°，∠CAS=30°，∠BCN=60°，AS∥CN， ∴∠BAC=55°+30°=85°，∠ACN=∠CAS=30°， ∠ACB=∠BCN−∠ACN=60°−30°=30°， 在△ABC中，∠ABC=180°−∠BAC−∠ACB=180°−85°−30°=65°。 答：从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是65°。 【达标测试】1.A 2.C 3.C 4.36° 5.D 6.B 7.55 8. 解：由题意：∠BAC=45°+15°=60°，AD∥BE，∠ABE=45°，∠EBC=80°，∴∠ABC=80°−45°=35°。∠ACB=180°−∠BAC−∠ABC=180°−60°−35°=85°。 9. 解：AB∥DE，理由：在△ABC 中，∠ACB=180°−∠B−∠A=180°−36°−72°=72°，∴∠DCE=∠ACB=72°。设∠DEF=x，则∠CEF=3x，x+3x=180°，x=45°。∵BD∥EF，∴∠BDE=180°−∠DEF=135°，∠CDE=∠BDE−∠DCE 的补角推导得∠CED=∠A=72°，同位角相等，两直线平行，∴AB∥DE。 10.(1) 55° (2) 解：∠BED=90°−1/2∠C，证明：∵AD、BE 分别平分∠BAC、∠ABC，∴∠ABE=1/2∠ABC，∠BAD=1/2∠BAC，∠BED=∠ABE+∠BAD=1/2 (∠ABC+∠BAC)，∵∠ABC+∠BAC=180°−∠C，∴∠BED=1/2 (180°−∠C)=90°−1/2∠C。 11.(1)①120° ②猜想：∠D=90°+1/2∠A；证明：∵BD、CD 分别平分∠ABC，∠ACB，∴∠DBC=1/2∠ABC，∠DCB=1/2∠ACB，∠D=180°−(∠DBC+∠DCB)=180°−1/2 (∠ABC+∠ACB)=180°−1/2 (180°−∠A)=90°+1/2∠A。(2) 不正确，结论：∠D=90°−1/2∠A；证明：∵BD 平分∠CBP，CD 平分∠BCQ，∠PBC=180°−∠ABC，∠QCB=180°−∠ACB，∠DBC=1/2∠PBC，∠DCB=1/2∠QCB，∠DBC+∠DCB=1/2 [(180°−∠ABC)+(180°−∠ACB)]=180°−1/2 (∠ABC+∠ACB)=180°−1/2 (180°−∠A)=90°+1/2∠A，∠D=180°−(∠DBC+∠DCB)=180°−(90°+1/2∠A)=90°−1/2∠A。 学科网（北京）股份有限公司 $