13.3.1三角形的内角（第1课时）导学案 2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学导学案聚焦三角形内角和定理，通过测量、剪拼、折叠等实验操作引导学生直观感知内角和，再过渡到添加辅助线将内角转化为平角的严谨证明，最后应用定理解决角度计算问题，搭建从直观到抽象的学习支架。 资料亮点在于实验探究与动态动画结合，培养学生几何直观与创新意识，规范证明过程提升推理能力，变式习题和分层设计强化应用意识，助力学生自主学习与教师课堂教学，有效落实数学核心素养。

13.3.1.1 三角形的内角（导学练） 【学习重、难点】 1.探索并证明三角形的内角和定理 2.添加辅助线并证明三角形内角和定理（如何通过平行线将 三个内角转化为一个平角)，规范表述推理论证的过程 3.运用三角形内角和定理，解决简单的角度计算问题. 【自主预习】阅读教材P11-P13,完成以下问题： 1.三角形内角和等于 2.获得三角形内角和为180°的方法有 2.为了证明三个角相加等于180°，我们利用了学过的 的性质，通过添加辅助线把角“平移到一起”，构 造了一个 角 【课堂探究】阅读教材P11-P13,完成以下问题： 引导语：与边一样，三角形的角也是构成三角形的元素.本 节我们学习三角形的三个内角之间的关系，并进一步学习其 他与三角形有关的角， 问题：在小学，我们已经知道“三角形的内角和等于180°”， 你还记得是怎么得到这个结论的吗？请大家利用手中的三 角形纸片进行探究， 自主探究一、三角形内角和（准备学具：量角器、铅笔、 白纸)小组合作1：测量法 每组学生提前发放实验记录单，操作步骤： (1)画一个任意三角形ABC: (2)用量角器分别测量∠A、∠B、∠C的度数； (3)计算三个角的和，记录在表格中： (4)换不同形状的三角形重复实验 追问1：运用度量的方法，得出的三角形的三个内角的和都 是180°吗？为什么？ 小组合作2：剪拼法 每组学生提前发放彩色硬卡纸，操作步骤： (1)画三角形ABC,标出三个内角： (2)沿边剪下三个角： (3)将三个角的顶点重合拼在一起，观察形成的图形 播放：剪拼法动态动画 B B 追问2：三个角拼成了一个什么角？ 小组合作3：折叠法 (1)将三角形的三个角向内折叠 (2)使三个角的顶点重合于一点 (3)观察折叠后的形状 追问3：折叠后三个角组成了什么角？和剪拼法的结果一致 吗？ 追问4：通过度量、剪拼图或折叠的方法验证了手中的三角 形纸片的三个内角和等于180°，但我们手中的三角形只是 所有三角形中有限的几个，而形状不同的三角形有无数个， 180°”这个结论呢？ 追问5：我们通过实验发现三个角能拼成一个平角，那能不 能把这个过程翻译”成几何证明呢？回想一下，我们学过的 哪些知识和平角、和180°有关？（平行线性质：两直线平 行，同旁内角互补) 【思路引导】要证明三个角的和是180°，我们可以想办法 把这三个角“移到同一个顶点，组成一个平角。怎么“移？ 利用平行线的性质，让另外两个角和第一个角形成内错 角或同位角。（具体证明过程见P12) 强调：为了证明需要添加的线叫 ,我们用表示 【归纳】三角形内角和定理： 其他证法：过点C作直线l,使1∥BC ,I∥AB E, ∴∠B=∠1.( ) (两直线平行，内错角相等) D ,∠BCA+∠2+=180°（平角的定义） .∠BCA+∠A+∠B=180°( ) 【教材P12例1变式】如图，在△ABC中，∠A=72°，CD 平分∠ACB,交AB于点D,∠BCD=31° (1)∠B的度数为 (2)求∠ADC的度数 B 【思路引导】(I)因为CD平分∠ACB,所以∠ACB=」 ∠BCD= (2)在△ABC中，根据内角和定理，∠B=180°-∠A- ∠ACB= 【基础复习巩固】 知识点1：三角形的内角和定理 1.在证明“三角形的内角和等于180°”时，综合实践小组 的同学作了如图13-3-1所示的四种辅助线，其中不能证明 “三角形的内角和等于180°”的是( B.C- A.如D,过头作丽7 B B.如图②，延长AC到点F,过点C作CE//AB C.如图③，过AB上一点D作DEBC,DE交AC于点E, DF//AC,DF交BC于点F D.如图④，过AB上一点D作DE/BC,DE交AC于点E 2.在△ABC中，若∠A=45°，∠B=65°，则∠C= 3.在△ABC中，∠B=40°，∠C-80°，则∠A= 4.在△ABC中，∠A=80°，∠B=∠C,则∠B= 知识点2：三角形的内角和定理的应用 5.(教材习题13.3T1变式)如图，△ABC的三个内角的大小 分别为x,x,(3x)则x的值为() A.24 B.30 C.36 D.40 (3x) 6.一个缺角的三角形ABC残片如图，量得∠A=60°，∠B= 75°，则这个三角形残片残缺前的∠C的度数为( A.75° B.60 C.459 D.40° 7.如图，以下描述错误的是() A.点A位于点B北偏西20°方向 40° B.点A位于点C北偏东40°方向 C67 209 C.点C位于点B北偏西63°方向 B D.∠ABC=53° 8.在△ABC中，∠A:∠B:∠C=2:3:4,求这三个角的度 数。 【思路引导】（设元方程思想）设∠A=2x,∠B=3x,∠C=4x, 建立方程：2x+3x+4x=180° 9.(教材习题13.3T3变式)在△ABC中，∠B是∠A的3倍， ∠C比∠A大30°，则∠A的度数是() A.30° B.50° C.709 D.90 【课堂总结】 1.三角形内角和定理由实验猜想到严谨证明（辅助线：作 )得来。 2.计算三角形角度时，要注意隐含的 角（如垂直关 系)、 (如角平分线)。 【课后反思】 这节课我学会了利用“三角形内角和= ”解决角度计 算问题 我还不熟练的地方是：13.3.1.1 三角形的内角（导学练） 【学习重、难点】 1.探索并证明三角形的内角和定理 2.添加辅助线并证明三角形内角和定理（如何通过平行线将 三个内角转化为一个平角)，规范表述推理论证的过程 3.运用三角形内角和定理，解决简单的角度计算问题. 【自主预习】阅读教材P11-P13,完成以下问题： 1.三角形内角和等于 2.获得三角形内角和为180°的方法有 2.为了证明三个角相加等于180°，我们利用了学过的 的性质，通过添加辅助线把角“平移到一起”，构 造了一个 角 【课堂探究】阅读教材P11-P13,完成以下问题： 引导语：与边一样，三角形的角也是构成三角形的元素.本 节我们学习三角形的三个内角之间的关系，并进一步学习其 他与三角形有关的角， 问题：在小学，我们已经知道“三角形的内角和等于180°”， 你还记得是怎么得到这个结论的吗？请大家利用手中的三 角形纸片进行探究， 自主探究一、三角形内角和（准备学具：量角器、铅笔、 白纸)小组合作1：测量法 每组学生提前发放实验记录单，操作步骤： (1)画一个任意三角形ABC: (2)用量角器分别测量∠A、∠B、∠C的度数； (3)计算三个角的和，记录在表格中： (4)换不同形状的三角形重复实验 追问1：运用度量的方法，得出的三角形的三个内角的和都 是180°吗？为什么？ 小组合作2：剪拼法 每组学生提前发放彩色硬卡纸，操作步骤： (1)画三角形ABC,标出三个内角： (2)沿边剪下三个角： (3)将三个角的顶点重合拼在一起，观察形成的图形 播放：剪拼法动态动画 B B 追问2：三个角拼成了一个什么角？ 小组合作3：折叠法 (1)将三角形的三个角向内折叠 (2)使三个角的顶点重合于一点 (3)观察折叠后的形状 追问3：折叠后三个角组成了什么角？和剪拼法的结果一致 吗？ 追问4：通过度量、剪拼图或折叠的方法验证了手中的三角 形纸片的三个内角和等于180°，但我们手中的三角形只是 所有三角形中有限的几个，而形状不同的三角形有无数个， 180°”这个结论呢？ 追问5：我们通过实验发现三个角能拼成一个平角，那能不 能把这个过程翻译”成几何证明呢？回想一下，我们学过的 哪些知识和平角、和180°有关？（平行线性质：两直线平 行，同旁内角互补) 【思路引导】要证明三个角的和是180°，我们可以想办法 把这三个角“移”到同一个顶点，组成一个平角。怎么“移？ 利用平行线的性质，让另外两个角和第一个角形成内错 角或同位角。（具体证明过程见P12) 强调：为了证明需要添加的线叫 ,我们用表示 【归纳】三角形内角和定理： 其他证法：过点C作直线l,使1∥BC ,I∥AB E ∴.∠B=∠1.( ) (两直线平行，内错角相等) ,∠BCA+∠2+=180°（平角的定义） .∠BCA+∠A+∠B=180°( ) 【教材P12例1变式】如图，在△ABC中，∠A=72°，CD 平分∠ACB,交AB于点D,∠BCD=31° (1)∠B的度数为 (2)求∠ADC的度数 【思路引导】(I)因为CD平分∠ACB,所以∠ACB=」 ∠BCD= (2)在△ABC中，根据内角和定理，∠B=180°-∠A ∠ACB= (3)计算∠ADC:在△BDC中，利用外角关系（或内角和） 计算。∠ADC=∠B+∠BCD= (温馨提示：三角 形外角等于不相邻两内角和，这个结论暂可作为工具使用， 后续会系统学习) 【基础复习巩固】 知识点1：三角形的内角和定理 1.在证明“三角形的内角和等于180°”时，综合实践小组 的同学作了如图13-3-1所示的四种辅助线，其中不能证明 “三角形的内角和等于180°”的是( A.如图①，过点C作EF//AB B.如图②，延长AC到点F,过点C作CE/AB C.如图③，过AB上一点D作DE/BC,DE交AC于点E, DF/IAC,DF交BC于点F D.如图④，过AB上一点D作DE/BC,DE交AC于点E 2.在△ABC中，若∠A=45°，∠B=65°，则∠C= 3.在△ABC中，∠B=40°，∠C-80°，则∠A= 4.在△ABC中，∠A=80°，∠B=∠C,则∠B= 知识点2：三角形的内角和定理的应用 5.(教材习题13.3T1变式)如图，△ABC的三个内角的大小 分别为x,x,(3x)则x的值为() A.24 B.30 C.36 D.40 3x) x9 6.一个缺角的三角形ABC残片如图，量得∠A=60°，∠B= 75°，则这个三角形残片残缺前的∠C的度数为( A.75 B.60° C.45 D.40° 7.如图，以下描述错误的是() A.点A位于点B北偏西20°方向 40° B.点A位于点C北偏东40°方向 C467° 20 C.点C位于点B北偏西63°方向 B D.∠ABC=53 8.在△ABC中，∠A:∠B:∠C=2:3:4,求这三个角的度 数。 【思路引导】（设元方程思想）设∠A=2x,∠B=3x,∠C=4x, 建立方程：2x+3x+4x=180° 9.(教材习题13.3T3变式)在△ABC中，∠B是∠A的3倍， ∠C比∠A大30°，则∠A的度数是() A.30° B.50° C.709 D.90° 10.如图，点E,D分别在AB,AC上.若∠B=30°，∠C-55°， 则∠1+∠2的度数为() A.85° B.80 C.75° D.70° 11.如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线BE、CD 相交于点F,已知∠ABC=52°，∠A=60°，求∠BFC的度数 变式训练 12.如图，在△ABC中，∠A=46°，CE是∠ACB的平分线， B、C、D在同一条直线上，D∥EC,∠D=42°，求∠B 的度数 E 13.如图，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A,BD平分∠ABC, 求∠BDC的度数 B 14.轮船从B处沿南偏东30°方向航行，在B处观测灯塔A 位于南偏东75°方向上，轮船航行一段路程到达点C处，在 C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，求∠A的度数 北 B 75 30 D 609 C 15.如图是A,'B,C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东 50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北 偏东30°方向，求从C岛看A,B两岛的视角∠ACB的度 数 【课堂总结】 1.三角形内角和定理由实验猜想到严谨证明（辅助线：作 )得来。 2.计算三角形角度时，要注意隐含的 角（如垂直关 系)、 (如角平分线)。 3.为什么要使用推理的方法证明“三角形的内角和等于 180°”？ 4.怎么证明三角形的内角和定理？ 5.我们从哪些方面研究了三角形的性质？你从中获得了哪 些启示 【课后反思】 这节课我学会了利用“三角形内角和=”解决角度计 算问题 我还不熟练的地方是： 13.3.1.1 三角形的内角（导学练） 【学习重、难点】 1.探索并证明三角形的内角和定理 2.添加辅助线并证明三角形内角和定理（如何通过平行线将三个内角转化为一个平角），规范表述推理论证的过程 3.运用三角形内角和定理，解决简单的角度计算问题. 【自主预习】阅读教材P11-P13，完成以下问题： 1.三角形内角和等于_180___° 2.获得三角形内角和为180°的方法有测量法、折叠法、剪拼法、几何证明法 2. 为了证明三个角相加等于180°，我们利用了学过的_平行线的性质，通过添加辅助线把角“平移到一起”，构造了一个平角 【课堂探究】阅读教材P11-P13，完成以下问题： 引导语：与边一样，三角形的角也是构成三角形的元素．本节我们学习三角形的三个内角之间的关系，并进一步学习其他与三角形有关的角． 问题：在小学，我们已经知道“三角形的内角和等于 180°”，你还记得是怎么得到这个结论的吗？请大家利用手中的三角形纸片进行探究． 自主探究一、三角形内角和（准备学具：量角器、铅笔、白纸）小组合作1：测量法 每组学生提前发放实验记录单，操作步骤： （1）画一个任意三角形ABC； （2）用量角器分别测量∠A、∠B、∠C的度数； （3）计算三个角的和，记录在表格中； （4）换不同形状的三角形重复实验 追问1：运用度量的方法，得出的三角形的三个内角的和都是 180°吗？为什么？ 【结论】无论三角形的形状如何，三个内角度数之和为180° 注：测量法操作简单、数据直观，但由于测量存在误差，结果都接近180°，但不一定精确等于180° 小组合作2：剪拼法 每组学生提前发放彩色硬卡纸，操作步骤： （1）画三角形ABC，标出三个内角； （2）沿边剪下三个角； （3）将三个角的顶点重合拼在一起，观察形成的图形 播放：剪拼法动态动画 追问2：三个角拼成了一个什么角？ 【结论】无论三角形的形状如何，三个内角度数之和为180° 注：剪拼法直观展示了三个角可以拼成一个平角，但操作过程会破坏纸片，且拼接时的微小偏差可能影响判断 小组合作3：折叠法 （1）将三角形的三个角向内折叠 （2）使三个角的顶点重合于一点 （3）观察折叠后的形状 追问3：折叠后三个角组成了什么角？和剪拼法的结果一致吗？ 【结论】无论三角形的形状如何，三个内角度数之和为180° 注：折叠法，不破坏纸片，可重复，但折叠需较精准： 三种方法都验证了我们的猜想：三角形的内角和等于180°，且和三角形的形状、大小无关。但这都是实验得出的结果，要说明“所有三角形的内角和都是180°”，还需要严格的数学证明 追问4：通过度量、剪拼图或折叠的方法验证了手中的三角形纸片的三个内角和等于 180°，但我们手中的三角形只是所有三角形中有限的几个，而形状不同的三角形有无数个，180°”这个结论呢？ 需要通过推理的方法去证明 追问5：我们通过实验发现三个角能拼成一个平角，那能不能把这个过程“翻译”成几何证明呢？回想一下，我们学过的哪些知识和平角、和180°有关？（平行线性质：两直线平行，同旁内角互补） 【思路引导】要证明三个角的和是180°，我们可以想办法把这三个角“移”到同一个顶点，组成一个平角。怎么“移”？——利用平行线的性质，让另外两个角和第一个角形成内错角或同位角。（具体证明过程见P12） 强调：为了证明需要添加的线叫“辅助线”，我们用虚线表示 【归纳】三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180° 其他证法：过点作直线，使 ∵ ∴.(两直线平行,同位角相等) .(两直线平行,内错角相等) ∵（平角的定义） ∴（等量代换） 【教材P12例1变式】如图，在△ABC中，∠A=72°，CD 平分∠ACB, 交AB于点D,∠BCD=31° （1）∠B的度数为 _46° （2）求∠ADC的度数 【思路引导】(1) 因为CD平分∠ACB，所以∠ACB = _2__ × ∠BCD = __62° (2) 在△ABC中，根据内角和定理，∠B = 180°∠A ∠ACB = ___46° (3) 计算∠ADC：在△BDC中，利用外角关系（或内角和）计算。 ∠ADC = ∠B + ∠BCD = __77° （温馨提示：三角形外角等于不相邻两内角和，这个结论暂可作为工具使用，后续会系统学习） 【基础复习巩固】 知识点1：三角形的内角和定理 1.在证明“三角形的内角和等于180°”时，综合实践小组的同学作了如图13-3-1所示的四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于 180°”的是( D ) A. 如图①,过点C作EF//AB B. 如图② , 延长AC到点F,过点 C作CE//AB C. 如图③,过AB上一点D作DE//BC,DE交AC于点E，DF//AC,DF交BC于点F D. 如图④,过AB上一点D作DE//BC,DE交AC于点E 2.在△ABC中，若∠A=45°，∠B=65°，则∠C = __70___ 3.在△ABC中，∠B=40°，∠C=80°，则∠A= _60__ 4.在△ABC中，∠A=80°，∠B=∠C，则∠B= 50° 知识点2：三角形的内角和定理的应用 5. (教材习题13.3T1变式)如图，△ABC的三个内角的大小分别为，，则的值为( C ) A. 24 B. 30 C. 36 D. 40 6.一个缺角的三角形ABC残片如图，量得∠A=60°,∠B= 75°,则这个三角形残片残缺前的∠C的度数为( C ) A. 75° B. 60° C. 45° D. 40° 7. 如图，以下描述错误的是( C ) A. 点A 位于点B北偏西20°方向 B. 点 A位于点C北偏东40°方向 C. 点 C 位于点B北偏西63°方向 D. ∠ABC=53° 8.在△ABC中，∠A : ∠B : ∠C = 2 : 3 : 4，求这三个角的度数。 【思路引导】（设元方程思想）设∠A=2，∠B=3，∠C=4，建立方程：2+3+4=180° 解：设∠A=2x，∠B=3x，∠C=4x， 则2x+3x+4x=180 ⇒ 9x=180 ⇒ x=20， 所以三个角分别为40°、60°、80° 9.(教材习题13.3T3变式)在△ABC中，∠B是∠A的3倍，∠C比∠A大30°,则∠A的度数是( A ) A. 30° B. 50° C. 70° D. 90° 10.如图,点E, D分别在AB,AC上.若∠B=30°,∠C=55°, 则∠1+∠2的度数为( A ) A. 85° B.80° C. 75° D. 70° 11.如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线BE、CD相交于点F，已知∠ABC=52°，∠A=60°，求∠BFC的度数 解：∵， ∴. ∵的平分线相交于点， ∴，. ∴. 变式训练 12.如图，在△ABC中，∠A=46°，CE是∠ACB的平分线，B、C、D在同一条直线上，FD∥EC，∠D=42°，求∠B的度数 解：∵FD//EC, ∠D=42° ∴∠BCE=∠D=42° ∵CE是∠ACB的平分线， ∴∠ACB=2∠BCE=84° ∵∠B=180°−∠ACB−∠A=50° ,∠A=46° ∴∠B=180°−84°−46°=50° 13.如图，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD平分∠ABC，求∠BDC的度数 解：∵∠C＝∠ABC=2∠A， ∴设∠A=x°，则∠C＝∠ABC= 2x° ∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C =180°， ∴x+2x+2x=180， 解得x=36.即∠ABC＝∠C＝72°. ∵BD平分∠ABC， ∴∠DBC＝12∠ABC＝12×72°＝36° ∴∠BDC=180°－∠DBC－∠C=180°－36°－72°=72° 14. 轮船从B处沿南偏东30°方向航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行一段路程到达点C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，求∠A的度数 解：根据题意画出图形，得 ∠1＝∠2＝30° ∵∠ACD＝60°， ∴∠ACB＝30°＋60°＝90° ∵∠CBA＝75°－30°＝45°， ∴∠A＝180°－∠ACB－∠CBA＝180°－90°－45°＝45°. 15.如图是三岛的平面图，岛在A岛的北偏东方向，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏东方向，求从岛看， 两岛的视角的度数. 解：由题意，得 ∴ ∵，∴ ∴ 又∵， ∴ 由三角形内角和定理，得 【课堂总结】 1.三角形内角和定理由实验猜想到严谨证明（辅助线：作_平行线（或辅助平行线）__）得来。 2.计算三角形角度时，要注意隐含的_直__角（如垂直关系）、__平分角_（如角平分线）。 3.为什么要使用推理的方法证明“三角形的内角和等于 180°”?因为实验只能验证有限个三角形，推理才能证明所有三角形具有一般性 4.怎么证明三角形的内角和定理?利用平行线性质将三个内角转化为一个平角 5.我们从哪些方面研究了三角形的性质？你从中获得了哪些启示 从实验和推理两方面研究；启示：转化思想、严谨推理 【课后反思】 这节课我学会了利用“三角形内角和=__180_° ”解决角度计算问题 我还不熟练的地方是： 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 13.3.1.1 三角形的内角（导学练） 【学习重、难点】 1.探索并证明三角形的内角和定理 2.添加辅助线并证明三角形内角和定理（如何通过平行线将三个内角转化为一个平角），规范表述推理论证的过程 3.运用三角形内角和定理，解决简单的角度计算问题. 【自主预习】阅读教材P11-P13，完成以下问题： 1.三角形内角和等于________° 2.获得三角形内角和为180°的方法有________、________、________、________ 2. 为了证明三个角相加等于180°，我们利用了学过的________的性质，通过添加辅助线把角“平移到一起”，构造了一个________角 【课堂探究】阅读教材P11-P13，完成以下问题： 引导语：与边一样，三角形的角也是构成三角形的元素．本节我们学习三角形的三个内角之间的关系，并进一步学习其他与三角形有关的角． 问题：在小学，我们已经知道“三角形的内角和等于 180°”，你还记得是怎么得到这个结论的吗？请大家利用手中的三角形纸片进行探究． 自主探究一、三角形内角和（准备学具：量角器、铅笔、白纸）小组合作1：测量法 每组学生提前发放实验记录单，操作步骤： （1）画一个任意三角形ABC； （2）用量角器分别测量∠A、∠B、∠C的度数； （3）计算三个角的和，记录在表格中； （4）换不同形状的三角形重复实验 追问1：运用度量的方法，得出的三角形的三个内角的和都是 180°吗？为什么？ 小组合作2：剪拼法 每组学生提前发放彩色硬卡纸，操作步骤： （1）画三角形ABC，标出三个内角； （2）沿边剪下三个角； （3）将三个角的顶点重合拼在一起，观察形成的图形 播放：剪拼法动态动画 追问2：三个角拼成了一个什么角？ 小组合作3：折叠法 （1）将三角形的三个角向内折叠 （2）使三个角的顶点重合于一点 （3）观察折叠后的形状 追问3：折叠后三个角组成了什么角？和剪拼法的结果一致吗？ 追问4：通过度量、剪拼图或折叠的方法验证了手中的三角形纸片的三个内角和等于 180°，但我们手中的三角形只是所有三角形中有限的几个，而形状不同的三角形有无数个，180°”这个结论呢？ 追问5：我们通过实验发现三个角能拼成一个平角，那能不能把这个过程“翻译”成几何证明呢？回想一下，我们学过的哪些知识和平角、和180°有关？（平行线性质：两直线平行，同旁内角互补） 【思路引导】要证明三个角的和是180°，我们可以想办法把这三个角“移”到同一个顶点，组成一个平角。怎么“移”？——利用平行线的性质，让另外两个角和第一个角形成内错角或同位角。（具体证明过程见P12） 强调：为了证明需要添加的线叫_______，我们用_____表示 【归纳】三角形内角和定理：_________________________ 其他证法：过点作直线，使 ∵ ∴.( ) .(两直线平行,内错角相等) ∵（平角的定义） ∴（ ） 【教材P12例1变式】如图，在△ABC中，∠A=72°，CD 平分∠ACB, 交AB于点D,∠BCD=31° （1）∠B的度数为 _ （2）求∠ADC的度数 【思路引导】(1) 因为CD平分∠ACB，所以∠ACB = ___ × ∠BCD = __ (2) 在△ABC中，根据内角和定理，∠B = 180°∠A ∠ACB = ___ (3) 计算∠ADC：在△BDC中，利用外角关系（或内角和）计算。 ∠ADC = ∠B + ∠BCD = __ （温馨提示：三角形外角等于不相邻两内角和，这个结论暂可作为工具使用，后续会系统学习） 【基础复习巩固】 知识点1：三角形的内角和定理 1.在证明“三角形的内角和等于180°”时，综合实践小组的同学作了如图13-3-1所示的四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于 180°”的是( ) A. 如图①,过点C作EF//AB B. 如图② , 延长AC到点F,过点 C作CE//AB C. 如图③,过AB上一点D作DE//BC,DE交AC于点E，DF//AC,DF交BC于点F D. 如图④,过AB上一点D作DE//BC,DE交AC于点E 2.在△ABC中，若∠A=45°，∠B=65°，则∠C = _____ 3.在△ABC中，∠B=40°，∠C=80°，则∠A=_ __ 4.在△ABC中，∠A=80°，∠B=∠C，则∠B= 知识点2：三角形的内角和定理的应用 5. (教材习题13.3T1变式)如图，△ABC的三个内角的大小分别为，，则的值为( ) A. 24 B. 30 C. 36 D. 40 6.一个缺角的三角形ABC残片如图，量得∠A=60°,∠B= 75°,则这个三角形残片残缺前的∠C的度数为( ) A. 75° B. 60° C. 45° D. 40° 7. 如图，以下描述错误的是( ) A. 点A 位于点B北偏西20°方向 B. 点 A位于点C北偏东40°方向 C. 点 C 位于点B北偏西63°方向 D. ∠ABC=53° 8.在△ABC中，∠A : ∠B : ∠C = 2 : 3 : 4，求这三个角的度数。 【思路引导】（设元方程思想）设∠A=2，∠B=3，∠C=4，建立方程：2+3+4=180° 9.(教材习题13.3T3变式)在△ABC中，∠B是∠A的3倍，∠C比∠A大30°,则∠A的度数是( ) A. 30° B. 50° C. 70° D. 90° 10.如图,点E, D分别在AB,AC上.若∠B=30°,∠C=55°, 则∠1+∠2的度数为( ) A. 85° B.80° C. 75° D. 70° 11.如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线BE、CD相交于点F，已知∠ABC=52°，∠A=60°，求∠BFC的度数 变式训练 12.如图，在△ABC中，∠A=46°，CE是∠ACB的平分线，B、C、D在同一条直线上，FD∥EC，∠D=42°，求∠B的度数 13.如图，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD平分∠ABC，求∠BDC的度数 14. 轮船从B处沿南偏东30°方向航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行一段路程到达点C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，求∠A的度数 15.如图是三岛的平面图，岛在A岛的北偏东方向，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏东方向，求从岛看， 两岛的视角的度数. 【课堂总结】 1.三角形内角和定理由实验猜想到严谨证明（辅助线：作_________________________）得来。 2.计算三角形角度时，要注意隐含的_______角（如垂直关系）、________（如角平分线）。 3.为什么要使用推理的方法证明“三角形的内角和等于 180°”? 4.怎么证明三角形的内角和定理? 5.我们从哪些方面研究了三角形的性质？你从中获得了哪些启示 【课后反思】 这节课我学会了利用“三角形内角和=_______ ”解决角度计算问题 我还不熟练的地方是： 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $13.3.1.1 三角形的内角（导学练） 【学习重、难点】 1.探索并证明三角形的内角和定理 2.添加辅助线并证明三角形内角和定理（如何通过平行线将 三个内角转化为一个平角)，规范表述推理论证的过程 3.运用三角形内角和定理，解决简单的角度计算问题. 【自主预习】阅读教材P11-P13,完成以下问题： 1.三角形内角和等于180 2.获得三角形内角和为180的方法有测量法、折叠法、剪拼 法、几何证明法 2.为了证明三个角相加等于180°，我们利用了学过的平 行线的性质，通过添加辅助线把角“平移到一起”，构造了 一个平角 【课堂探究】阅读教材P11-P13,完成以下问题： 引导语：与边一样，三角形的角也是构成三角形的元素.本 节我们学习三角形的三个内角之间的关系，并进一步学习其 他与三角形有关的角， 问题：在小学，我们已经知道“三角形的内角和等于180°”， 你还记得是怎么得到这个结论的吗？请大家利用手中的三 角形纸片进行探究， 自主探究一、三角形内角和（准备学具：量角器、铅笔、 白纸)小组合作1：测量法 每组学生提前发放实验记录单，操作步骤： (1)画一个任意三角形ABC: (2)用量角器分别测量∠A、∠B、∠C的度数； (3)计算三个角的和，记录在表格中： (4)换不同形状的三角形重复实验 追问1：运用度量的方法，得出的三角形的三个内角的和都 是180吗？为什么？ 【结论】无论三角形的形状如何，三个内角度数之和为180° 注：测量法操作简单、数据直观，但由于测量存在误差，结 果都接近180°，但不一定精确等于180° 小组合作2：剪拼法 每组学生提前发放彩色硬卡纸，操作步骤： (1)画三角形ABC,标出三个内角： (2)沿边剪下三个角： (3)将三个角的顶点重合拼在一起，观察形成的图形 播放：剪拼法动态动画 BA C B 追问2：三个角拼成了一个什么角？ 【结论】无论三角形的形状如何，三个内角度数之和为180° 注：剪拼法直观展示了三个角可以拼成一个平角，但操作过 程会破坏纸片，且拼接时的微小偏差可能影响判断 小组合作3：折叠法 (1)将三角形的三个角向内折叠 (2)使三个角的顶点重合于一点 (3)观察折叠后的形状 追问3：折叠后三个角组成了什么角？和剪拼法的结果一致 吗？ 【结论】无论三角形的形状如何，三个内角度数之和为180° 注：折叠法，不破坏纸片，可重复，但折叠需较精准： 三种方法都验证了我们的猜想：三角形的内角和等于180°， 且和三角形的形状、大小无关。但这都是实验得出的结果， 要说明“所有三角形的内角和都是180”，还需要严格的数 学证明 追问4：通过度量、剪拼图或折叠的方法验证了手中的三角 形纸片的三个内角和等于180°，但我们手中的三角形只是 所有三角形中有限的几个，而形状不同的三角形有无数个， 180°”这个结论呢？ 需要通过推理的方法去证明 追问5：我们通过实验发现三个角能拼成一个平角，那能不 能把这个过程“翻译”成几何证明呢？回想一下，我们学过的 哪些知识和平角、和180°有关？（平行线性质：两直线平 行，同旁内角互补) 【思路引导】要证明三个角的和是180°，我们可以想办法 把这三个角“移”到同一个顶点，组成一个平角。怎么“移”？ 利用平行线的性质，让另外两个角和第一个角形成内错 角或同位角。（具体证明过程见P12) 强调：为了证明需要添加的线叫“辅助线”，我们用虚线表示 【归纳】三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180° 其他证法：过点C作直线l,使1∥BC ,1∥AB E ∴.∠B=∠1.（两直线平行，同位角相等） ∠A=∠2.（两直线平行，内错角相等） B D ,∠BCA+∠2+∠1=180°（平角的定义） .∠BCA+∠A+∠B=180°（等量代换） 【教材P12例1变式】如图，在△ABC中，∠A=72°，CD 平分∠ACB,交AB于点D,∠BCD=31° (1)∠B的度数为46° (2)求∠ADC的度数 【思路引导】(I)因为CD平分∠ACB,所以∠ACB=2 ×∠BCD=629 (2)在△ABC中，根据内角和定理，∠B=180°-∠A ∠ACB=46° (3)计算∠ADC:在△BDC中，利用外角关系（或内角和） 计算。∠ADC=∠B+∠BCD=77°（温馨提示：三角 形外角等于不相邻两内角和，这个结论暂可作为工具使用， 后续会系统学习) 【基础复习巩固】 知识点1：三角形的内角和定理 1.在证明“三角形的内角和等于180°”时，综合实践小组 的同学作了如图13-3-1所示的四种辅助线，其中不能证明 “三角形的内角和等于180°”的是(D) ① ② A.如图①，过点C作EF/AB B.如图②，延长AC到点F,过点C作CE/AB C.如图③，过AB上一点D作DE/BC,DE交AC于点E, DF/AC,DF交BC于点F D.如图④，过AB上一点D作DE/BC,DE交AC于点E 2.在△ABC中，若∠A=45°，∠B=65°，则∠C=70 3.在△ABC中，∠B=40°，∠C-80°，则∠A=_60 4.在△ABC中，∠A=80°，∠B=∠C,则∠B=50° 知识点2：三角形的内角和定理的应用 5.(教材习题13.3T1变式)如图，△ABC的三个内角的大小 分别为x,x,(3x)则x的值为(C) A.24 B.30 C.36 D.40 （3x)° 6.一个缺角的三角形ABC残片如图，量得∠A=60°，∠B= 75°，则这个三角形残片残缺前的∠C的度数为(C) A.75 B.609 C.45 D.409 7.如图，以下描述错误的是(C) A.点A位于点B北偏西20°方向 ◆东 40 B.点A位于点C北偏东40°方向 209 C.点C位于点B北偏西63°方向 C67 D.∠ABC-53° 8.在△ABC中，∠A:∠B:∠C=2:3:4,求这三个角的度 数。 【思路引导】（设元方程思想）设∠A=2x,∠B=3x,∠C=4x, 建立方程：2x+3x+4x-180 解：设∠A=2x,∠B-3x,∠C-4x, 则2x+3x+4x=180→9x=180→x=20, 所以三个角分别为40°、60°、80° 9.(教材习题13.3T3变式)在△ABC中，∠B是∠A的3倍， ∠C比∠A大30°，则∠A的度数是(A) A.30° B.50° C.70° D.90° 10.如图，点E,D分别在AB,AC上.若∠B=30°，∠C=55°， 则∠1+∠2的度数为(A) A.85° B.809 C.75 D.70° 11.如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线BE、CD 相交于点F,已知∠ABC=52°，∠A=60°，求∠BFC的度数 解：，∠ABC=52°，∠A=60°， ∴.∠ACB=68 :∠ABC,∠ACB的平分线相交于点F, ·∠FBC=∠ABC=26°，∠FCB=;∠ACB=34e ∴.∠BFC=180°-（∠FBC+∠FCB)=120° 变式训练 12.如图，在△ABC中，∠A=46°，CE是∠ACB的平分线， B、C、D在同一条直线上，FD∥EC,∠D=42°，求∠B 的度数 解：.'FD/EC,∠D=42 ∴.∠BCE=∠D=42 ,CE是∠ACB的平分线， ∴∠ACB=2∠BCE=84° ,∠B=180°-∠ACB-∠A=50°，∠A=46 .∠B=180°-84°-46°=509 13.如图，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A,BD平分∠ABC, 求∠BDC的度数 解：，∠C=∠ABC-2∠A, .设∠Ax°，则∠C=∠ABC=2x ,在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°， .x+2x+2x=180, 解得x=36.即∠ABC=∠C=72° ,BD平分∠ABC, ∴.∠DBC=12∠ABC=12×72°=36° .∠BDC=180°-∠DBC-∠C-180°-36°-72°=72° 14.轮船从B处沿南偏东30°方向航行，在B处观测灯塔A 位于南偏东75°方向上，轮船航行一段路程到达点C处，在 C处观测灯塔A位于北偏东60方向上，求∠A的度数 解：根据题意画出图形，得 B ∠1=∠2=30° ,∠ACD=60°， D 60° ∴.∠ACB=30°+60°=90° .∠CBA=75°-30°=45°， .'.∠A=180°-∠ACB-∠CBA=180°-90°-45°=45 15.如图是A,B,C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东 50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北 偏东30方向，求从C岛看A,B两岛的视角∠ACB的度 数 解：由题意，得∠DAC=50°.∠DAB=80° .'.∠CAB=∠DAB-∠DAC=30° ,ADIIBE,,∠DAB+∠ABE=180°. ..∠ABE=180°-∠DAB=100° 又，∠CBE=30°， ∴，∠ABC=∠ABE+∠CBE=130° 由三角形内角和定理，得 ∠ACB=180°-∠CAB-∠ABC=20°. 【课堂总结】 1.三角形内角和定理由实验猜想到严谨证明（辅助线：作_ 平行线（或辅助平行线）)得来。 2.计算三角形角度时，要注意隐含的直角（如垂直关系）、 平分鱼（如角平分线）。 3.为什么要使用推理的方法证明“三角形的内角和等于 180°”？因为实验只能验证有限个三角形，推理才能证明所 有三角形具有一般性 4.怎么证明三角形的内角和定理？利用平行线性质将三个内 角转化为一个平角 5.我们从哪些方面研究了三角形的性质？你从中获得了哪 些启示 从实验和推理两方面研究：启示：转化思想、严谨推理 【课后反思】 这节课我学会了利用“三角形内角和=180°”解决角度计 算问题 我还不熟练的地方是： 13.3.1.1 三角形的内角（导学练） 【学习重、难点】 1.探索并证明三角形的内角和定理 2.添加辅助线并证明三角形内角和定理（如何通过平行线将三个内角转化为一个平角），规范表述推理论证的过程 3.运用三角形内角和定理，解决简单的角度计算问题. 【自主预习】阅读教材P11-P13，完成以下问题： 1.三角形内角和等于________° 2.获得三角形内角和为180°的方法有________、________、________、________ 2. 为了证明三个角相加等于180°，我们利用了学过的________的性质，通过添加辅助线把角“平移到一起”，构造了一个________角 【课堂探究】阅读教材P11-P13，完成以下问题： 引导语：与边一样，三角形的角也是构成三角形的元素．本节我们学习三角形的三个内角之间的关系，并进一步学习其他与三角形有关的角． 问题：在小学，我们已经知道“三角形的内角和等于 180°”，你还记得是怎么得到这个结论的吗？请大家利用手中的三角形纸片进行探究． 自主探究一、三角形内角和（准备学具：量角器、铅笔、白纸）小组合作1：测量法 每组学生提前发放实验记录单，操作步骤： （1）画一个任意三角形ABC； （2）用量角器分别测量∠A、∠B、∠C的度数； （3）计算三个角的和，记录在表格中； （4）换不同形状的三角形重复实验 追问1：运用度量的方法，得出的三角形的三个内角的和都是 180°吗？为什么？ 小组合作2：剪拼法 每组学生提前发放彩色硬卡纸，操作步骤： （1）画三角形ABC，标出三个内角； （2）沿边剪下三个角； （3）将三个角的顶点重合拼在一起，观察形成的图形 播放：剪拼法动态动画 追问2：三个角拼成了一个什么角？ 小组合作3：折叠法 （1）将三角形的三个角向内折叠 （2）使三个角的顶点重合于一点 （3）观察折叠后的形状 追问3：折叠后三个角组成了什么角？和剪拼法的结果一致吗？ 追问4：通过度量、剪拼图或折叠的方法验证了手中的三角形纸片的三个内角和等于 180°，但我们手中的三角形只是所有三角形中有限的几个，而形状不同的三角形有无数个，180°”这个结论呢？ 追问5：我们通过实验发现三个角能拼成一个平角，那能不能把这个过程“翻译”成几何证明呢？回想一下，我们学过的哪些知识和平角、和180°有关？（平行线性质：两直线平行，同旁内角互补） 【思路引导】要证明三个角的和是180°，我们可以想办法把这三个角“移”到同一个顶点，组成一个平角。怎么“移”？——利用平行线的性质，让另外两个角和第一个角形成内错角或同位角。（具体证明过程见P12） 强调：为了证明需要添加的线叫_______，我们用_____表示 【归纳】三角形内角和定理：_________________________ 其他证法：过点作直线，使 ∵ ∴.( ) .(两直线平行,内错角相等) ∵（平角的定义） ∴（ ） 【教材P12例1变式】如图，在△ABC中，∠A=72°，CD 平分∠ACB, 交AB于点D,∠BCD=31° （1）∠B的度数为 _ （2）求∠ADC的度数 【思路引导】(1) 因为CD平分∠ACB，所以∠ACB = ___ × ∠BCD = __ (2) 在△ABC中，根据内角和定理，∠B = 180°∠A ∠ACB = ___ 【基础复习巩固】 知识点1：三角形的内角和定理 1.在证明“三角形的内角和等于180°”时，综合实践小组的同学作了如图13-3-1所示的四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于 180°”的是( ) A. 如图①,过点C作EF//AB B. 如图② , 延长AC到点F,过点 C作CE//AB C. 如图③,过AB上一点D作DE//BC,DE交AC于点E，DF//AC,DF交BC于点F D. 如图④,过AB上一点D作DE//BC,DE交AC于点E 2.在△ABC中，若∠A=45°，∠B=65°，则∠C = _____ 3.在△ABC中，∠B=40°，∠C=80°，则∠A=_ __ 4.在△ABC中，∠A=80°，∠B=∠C，则∠B= 知识点2：三角形的内角和定理的应用 5. (教材习题13.3T1变式)如图，△ABC的三个内角的大小分别为，，则的值为( ) A. 24 B. 30 C. 36 D. 40 6.一个缺角的三角形ABC残片如图，量得∠A=60°,∠B= 75°,则这个三角形残片残缺前的∠C的度数为( ) A. 75° B. 60° C. 45° D. 40° 7. 如图，以下描述错误的是( ) A. 点A 位于点B北偏西20°方向 B. 点 A位于点C北偏东40°方向 C. 点 C 位于点B北偏西63°方向 D. ∠ABC=53° 8.在△ABC中，∠A : ∠B : ∠C = 2 : 3 : 4，求这三个角的度数。 【思路引导】（设元方程思想）设∠A=2，∠B=3，∠C=4，建立方程：2+3+4=180° 9.(教材习题13.3T3变式)在△ABC中，∠B是∠A的3倍，∠C比∠A大30°,则∠A的度数是( ) A. 30° B. 50° C. 70° D. 90° 【课堂总结】 1.三角形内角和定理由实验猜想到严谨证明（辅助线：作_________________________）得来。 2.计算三角形角度时，要注意隐含的_______角（如垂直关系）、________（如角平分线）。 【课后反思】 这节课我学会了利用“三角形内角和=_______ ”解决角度计算问题 我还不熟练的地方是： 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $