13.3.2 三角形的外角&章末总结-【随堂笔记】2026-2027学年八年级上册数学（人教版·新教材）

13.3.2三角形的外角 课前·预习笔记 预 习 ·1.理解三角形外角的概念，掌握三角形外角的性质 目2.会运用三角形的内角和定理及其外角性质进行相关计算和证明！ 标 第步明确考情 1.考频：5年2考 2.分值：3分 3.题型：选择题、填空题 第烂步梳理知识 :1,三角形的外角 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角. 2.三角形的内角和定理的推论（三角形外角的性质） 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. !3.三角形的外角和 三角形的外角和为360°. 预 习 第鱼预习检测 B 任1，如图，点B,C分别在∠EAF的边AE,AF上，点D在线段AC 务 上，则下列是△ABD的外角的是() A.∠BCE B.∠CBE C.∠DBC D.∠BDF :2.若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是( A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 B 3.如图，∠A=40°，∠CBD是△ABC的外角，∠CBD=120°，则 ∠C的大小是() A.90° B.80° C.60° D.40° 4.如图，在△ABC中，∠A=50°，∠C=70°，则外角∠ABD 509 的度数是() A.110° B.120° C.130° D.140° 70° C 30 随堂笔记8年级数学RJ上册 课堂·听课笔记 新知解读 知识点》 三角形的外角的性质 举一反三●》>参考答案见答案册P3 1.三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角， 叫作三角形的外角.如图，∠ACD是△ABC的一个外角： ·它与相郎内角是邱补角 1-1如图，已知直线11,2， B 13两两相交，且1上l3,若 注意事项：三角形的外角是相对于一个三角形来说的，一个角对 ∠a=50°，则∠B的度数 一个三角形来说是外角，而对另一个三角形来说可能是内角 为() 2.三角形的内角和定理的推论（三角形外角的性质） 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 例[教材P15例题]如图，∠BAE,∠CBF,∠ACD是△ABC 的三个外角，它们的和是多少？ E A.120° B.130° C.140° D.150° C 1-2如图，FE∥0N,0E平 内 分∠MON,∠FE0=28°，则 【答案】解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角 ∠MFE= 的和，得 、三角形外角的性质 M ∠BAE=∠2+∠3， ∠CBF=∠1+∠3， ∠ACD=∠1+∠2. 所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=2(∠1+∠2+∠3). 由∠1+∠2+∠3=180°，得 ∠BAE+∠CBF+∠ACD=2×180°=360°. ?思考：三角形的外角和 三角形的每一个顶点处有两个外角，它 10A 们互为对顶角，一个三角形共有六个外 角.在每个顶点处各取一个外角，则三角 3 形的外角的和为360°.如图，∠1+∠2+ 2 C ∠3=360°. 第十三章三角形 31 课本练习[教材P16练习] 说出下列各图形中∠1和∠2的度数： 答案 (1)∠2=140°，∠1=40°. 809 2 (2)∠2=70°，∠1=110°. 40 人60° 2 30 240° (3)∠1=50°，∠2=140°. (4)∠2=70°，∠1=55. (1) (2) (3) (5)∠1=80°，∠2=40°. A 60° (6)∠1=60°，∠2=30°. 70° 0 21 60° 20 30°日 D CE平分∠ACD (4) (5) (6) 课后·提升笔记 题型训练 题型1●》三角尺的组合问题 变式训练》参考答案见答案册P4 例1将一副三角尺按如图方式摆放，点E A E 在AC上，点D在BC的延长线上，EF∥ 1-1如果将一副三角尺按如 BC,∠B=∠EDF=90°，LA=45°，∠F= 图方式叠放，那么∠1的度 60°，则∠CED的度数是（) B C D 数是() A.15° B.20° C.25° D.30° 60° 【解析】∠B=90°，∠A=45°，∴.∠ACB=45°.：∠EDF= 90°，∠F=60°，∴.∠DEF=30.:EFBC,·.∠EDC=∠DEF= 145° 30°，∴.∠CED=∠ACB-∠EDC=45°-30°=15°. A.90° B.100° 【答案】A C.105° D.135° 题型2○》三角形的外角性质在实际问题中的应用 变式训练参考答案见答案册P4 例2一个零件的形状如图所示，按要求 ∠A应等于90°，∠B,∠C应分别等于 24°，35°.检验工人测得∠BDC=146°，就可 判定这个零件不合格.请你说说这是为什么. B 32随堂笔记8年级数学RJ上册 【答案】解：如图，连接AD并延长至点E 2-1一个零件的形状如图所 .∠BDE和∠CDE分别是△ABD和△ACD的外角， 示，按规定，∠A应等于 .∠BDE=∠BAE+∠B,∠CDE=∠CAE+∠C, 90°，∠B与∠C应分别为 ∴.∠CAB+∠B+∠C=∠BDC. 32°和21°.检测工人只测出 根据零件要求，∠CAB+∠B+∠C=90°+24°+35°=149°， ∠BDC=148°，就断定这个零 而实际测得∠BDC=146°， 件不合格.请你说明他的判断 故这个零件不合格. 是否正确，并说明理由. E D B 链接中考 考点三角形外角性质的应用 ∠EFD=110°，则图中∠D应 (填 “增加”或“减少”) 题型 难度 分值 选择题、解答题 ★☆☆ 3分 E 30 20°← 典例1[辽宁中考]一副三角尺如图摆放，若 ∠1=80°，则∠2的度数是( C 60 459 1 【解析】如图，延长EF交CD于点G 30° 2 D E 30 20°AF A.80° B.95°C.100° D.110° C 50° 【解析】如图，∠5=90°-30°=60°，∠3=∠1- 0 45°=35°，∴.∠4=L3-35°，∴.∠2=L4+L5=95°. .∠ACB=180°-50°-60°=70°， .∠ECD=∠ACB=70. 45°3 4 .∠DGF=∠DCE+∠E,∴.∠DGF=70°+30°=100°. 30° ,∠EFD=110°，∠EFD=∠DGF+∠D, ∴.∠D=10° .图中∠D=20°， 【答案】B .∠D应减少10. 典例2[河北中考]如图是可调躺椅示意图， 【答案】减少10 AE与BD的交点为C,且∠CAB,∠CBA,∠E 保持不变.为了舒适，需调整∠D的大小，使 第十三章三角形 33 章末总结。体系构建 由不在同一条直线上的三条线 定义 段首尾顺次相接所组成的图形 三角形 三角形的边一组成三角形的线段 三角形的顶点一 相邻两边的公共端点 三角形的角一相邻两边所组成的角 三角形 的概念 三边都不相等的三角形 按边的相等关系分 等腰三角形 分类 直角三角形 按最大内角分 锐角三角形 钝角三角形 三角形两边的和大于第三边 三角形的三边关系 三角形两边的差小于第三边 三角形的边 组成三角形的条件 三角形的稳定性 三角形 与三角 形有关 分得的两个三角形面积相等 的线段 中线 三条中线相交于三角形内部一 点，该点叫作三角形的重心 三角形的中线、 三角形的内角被分成的两个角相等 角平分线、高 角平分线 三条角平分线交于三角形内部一点 高 三角形的内角和定理一三角形的内角和等于180° 三角形 直角三角形一 性质一直角三角形的两个锐角互余 的内角 和外角 判定 有两个角互余的三 角形是直角三角形 外角 一三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 34随堂笔记8年级数学RJ上册2-1B【解析】在△ABC中.，∠A=60° ∠C=76°，∴.∠ABC=180°-∠A-∠C=44° BD是LABC的平分线，.LCBD=2∠ABC= 22°..DEBC,∴.∠EDB=∠DBC=22° 2-240°【解析】：B0,C0分别平分 LABC,LACB,.LOBC=ZABC,LOCB 5∠ACB.又：∠B0C+L0BC+∠0CB 180°，.∠B0C=180°-（∠OBC+∠0CB)= 180-2(∠ABC+LAC8).∠A+∠ABC+ ∠ACB=180°，∴.∠ABC+∠ACB=180°-∠A, ∠80c=180-子180°-∠4)=90+号∠A LB0C=I0°，心90°+2∠A=110°，∠AE 40° 3-1解：（解法一）.△A'DE是△ADE翻折变 换而成， .∠AED=∠A'ED,∠ADE=∠A'DE,∠A= ∠A'=75° ∴.∠AED+∠ADE=∠A'ED+∠A'DE=180°- 75°=105° ∴.∠1+∠2=360°-2×105°=150°. (解法二)如图，连接AA' C A D :∠1=∠EAA'+∠EA'A,∠2=∠DAA'+ ∠DA'A,∠EAD=∠EA'D, ∴.∠1+∠2=2∠CAB=150° 第2课时直角三角形的两个锐角互余 预习检测 1.A2.A3.C 举三反三 1-152°【解析】.∠B0D=38°，∴.∠A0C=38°. .AC⊥CD,.∠A=90°-∠AOC=90°-38°= 52°. 1-225°【解析】，∠ACB=90°，∠ABC= 25°，CD⊥AB,∴.∠ABC+∠A=90°，∠A+ ∠ACD=90°，.∠ACD=∠ABC=25. 2-1C【解析】①因为∠A+∠B=∠C,所以 2∠C=180°，解得∠C=90°，所以△ABC是直角 三角形；②设∠A=x,则x+2x+3x=180°，解得 x=30°，所以∠C=30°×3=90°，所以△ABC是直 角三角形；③因为∠A=90°-∠B,所以∠A+∠B= 90°，则∠C=180°-90°=90°，所以△ABC是直 角三角形，④因为∠A=∠B=?∠C,所以 ∠A+∠B+∠C=。∠C+1LC+LC=180°， 2 则LC=90°，所以△ABC是直角三角形；⑤因为 3∠C=2∠B=∠A,所以∠A+∠B+∠C=∠A+ 日∠A+∠A=180°，∠A=10809 3 11,所以△ABC 为钝角三角形.所以能确定△ABC是直角三角 形的条件有4个. 变式训练 1-1解：'AD是BC边上的高， ∴.∠ADC=90°，∴.∠DAC+∠C=90. …∠C=60°， ∴.∠DAC=90°-∠C=90°-60°=30°. .AE是∠BAC的平分线，∠BAC=44°， ∠BM0=7LBMC=×4=2 2 .·∠C=60°，∠BAC=44°， .∴.∠ABC=180°-（∠C+∠BAC)=180°-(60°+ 44°)=76°. ·BF是∠ABC的平分线， 1 1 ·LABF=2∠ABC=2×76=38°， ∴.∠BOA=180°-（∠BA0+∠ABF)=180°- (22°+38°)=120°. 2-1证明：：ED⊥BD ∴.∠EDC=90°，∴.∠CED+∠DCE=90°. ·∠ACB=∠CED,∴.∠ACB+∠DCE=90°， ∴.∠ACE=180°-（∠ACB+∠DCE)=180°- 90°=90°， ·.△ACE是直角三角形 13.3.2三角形的外角 预习检测 1.D2.C3.B4.B 举三反写 1-1C【解析】如图，根据对顶角相等得 ∠1=∠α=50°.1⊥l3,∴.∠2=90°.∠B是 三角形的外角，∴.∠B=∠1+∠2=50°+90°= 140°. 1-256【解析】.FE∥0N,∠FE0=28°， ∴.∠NOE=∠FE0=28°..OE平分∠MON, ∴.∠NOE=∠EOF=28°.·∠MFE是△EOF的 外角，∴.∠MFE=∠FE0+∠E0F=28°+28°= 56°. 变式训练 1-1C【解析】如图，∠C=60°，∠CAB= 90°，∠DAB=45°， D 60° 4个459 .∠DAC=∠CAB-∠DAB=45°， .∴.∠1=∠DAC+∠C=105° 第十四章 14.1全等三角形及其性质 预习检测 1.C2.D3.5 举一反三 1-1C【解析】A.两个图形不能够完全重 合，故此选项不符合题意；B.两个图形不能够完 全重合，故此选项不符合题意；C.两个图形能够 完全重合，故此选项符合题意；D.两个图形不能 够完全重合，故此选项不符合题意. 2-1△ABC≌△ADE点DBC ∠DAE 【解析】.把△ABC绕点A旋转一定角度得到 △ADE,∴.△ABC≌△ADE,∴.点B的对应顶点为 点D,边DE的对应边为BC,∠BAC的对应角为 ∠DAE. 2-2△C0D CO OD DC ∠COD ∠ODC∠DCO 3-1B【解析】：△ABC≌△ADE,.AC= AE,AB=AD,∠ABC=∠ADE,∠BAC=∠DAE ∴.∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD= ∠CAE.故A,C,D选项错误，B选项正确. 3-2B【解析】，△ACB≌△A'CB', ∴.∠ACB=∠A'CB',即∠ACA'+∠A'CB= ∠B'CB+∠A'CB,∴.∠ACA'=∠B'CB.又 ∠B'CB=30°，∴.∠ACA'=30°. 3-3A【解析】.△ABC≌△DEF,∴.DE=AB. BE=4,AE=1,.'.DE=AB=BE+AE=4+1=5. 变式训练 1-1C【解析】：△ABC≌△AB,C, ∠A1B1C=45°，∴.∠ABC=∠A1B1C=45° .·∠A=50°，∴.∠ACB=180°-∠ABC-∠A=85° 2-1解：他的判断正确.理由如下： 如图，延长CD交AB于点E. E B :∠BDC=∠B+∠DEB, ∴.∠DEB=∠BDC-∠B=148°-32°=116°. .∠A+∠C=∠DEB=116°， ∴.∠A=∠DEB-∠C=116°-21°=95°≠90°， .这个零件不合格. 全等三角形 .∠ACB1=65°，∴.∠a=∠ACB-∠ACB1= 85°-65°=20°. 1-2解：.△ABC≌△ADE, ∠DMB=∠BMc=2(LBMB-∠MD 2× (120°-10°)=55°， .∴∠DFB=∠FAB+∠B=∠FAC+∠CAB+∠B= 10°+55°+25°=90°， ∠DGB=∠DFB-∠D=90°-25°=65°. 综上所述，∠DFB=90°，∠DGB=65°. 2-1B【解析】AB=2,AC=4,.4-2<BC< 4+2,∴.2<BC<6.△ABC≌△DEF,∴.BC=EF. 若△DEF的周长为偶数，则BC的长也要取偶 数，故BC的长为4.∴.EF的长是4. 2-25或4【解析】.两个三角形全等， .3a-2b=5,a+2b=7或3a-2b=7,a+2b=5, .a=3,b=2或a=3,b=1,∴.a+b=5或4. 3-1解：AD∥BC.理由如下： .△ADF≌△CBE, ∴.∠1=∠2，∠F=∠E. 又点E,B,D,F在同一条直线上， .∴.∠3=∠1+∠F,∠4=∠2+∠E, ∴.∠3=∠4， .AD//BC. 4-1解：(1).△ABD≌△EBC, .BD=BC=3 cm,BE=AB=2 cm, .DE=BD-BE=3-2=1(cm). (2)AC⊥BD.理由如下： .·△ABD≌△EBC, .∠ABD=∠EBC. 又A,B,C在同一条直线上， ∴.∠EBC=90°， .AC⊥BD.