13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 暑期预习导学案 -2026-2027学年人教版数学八年级上册

13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 一、学习目标 1、理解三角形的高、中线、角平分线的概念，分清三者都是线段；熟练用几何符号语言表达三条特殊线段；能够画出锐角、直角、钝角三角形的三条高；掌握三角形重心的概念，记住中线平分三角形面积的特点。 2、通过动手画图、对比辨析，区分垂线、角平分线、三角形的高线三者的区别；学会利用中线做面积计算，利用角平分线进行角度推算；总结不同三角形高线的位置规律。 3、建立几何作图能力，规范几何书写格式，克服钝角三角形高线画法的易错点，培养严谨的数形结合思想。 二、学习重难点 重点：高、中线、角平分线的定义、几何语言写法；三角形中线的性质（等分面积） 难点：钝角三角形两条外部高线的画法；区分 “角的平分线（射线）” 和 “三角形的角平分线（线段）”；直角三角形高线的辨认 三、学法指导 1、预习时准备直尺、三角板，亲手画图，不要只看文字； 2、牢记：高、中线、角平分线全部都是线段，不是直线、射线； 3、画钝角三角形的高，要先延长三角形的边，再作垂线； 4、所有结论尽量转化成几何符号语言，方便做题使用。 第一部分：课前自主预习 （一）旧知识回顾 1、垂线定义：两条直线相交成 角，这两条直线互相垂直。 2、线段中点：把一条线段分成两条相等线段的点。 3、角平分线：把一个角平均分成两个相等角的一条 。 （二）新知自学填空 知识点 1：三角形的高 定义：从三角形的一个顶点，向它的对边（或对边所在的直线）作垂线，顶点和垂足之间的线段，叫做三角形这条边上的高，简称高线。 几何语言： ∵ AD 是△ABC 中 BC 边上的高 ∴ AD⊥BC，∠ADB = ∠ADC = 90° 三角形高的位置规律： 1、锐角三角形：三条高全部在三角形内部，三条高相交于形内一点（垂心）； 2、直角三角形：两条直角边互为高，斜边的高在三角形内部，三条高的交点就是直角顶点； 3、钝角三角形：钝角对着的高在三角形内部，另外两条高落在三角形外部（需要延长边绘制），三条高所在的直线交于三角形外面一点。 知识点 2：三角形的中线 定义：连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段，叫做三角形这条边上的中线。 几何语言： ∵ AD 是△ABC 的 BC 边上的中线 ∴ BD = DC = BC 重要性质： 1、三角形一共有三条中线，全部在三角形内部，相交于同一点，这个交点叫做重心； 2、三角形的任意一条中线，都会把原三角形分成两个面积完全相等的小三角形。 知识点 3：三角形的角平分线 定义：三角形一个内角的平分线与它的对边相交，顶点与交点之间的线段，叫做三角形的角平分线。 几何语言： ∵ AD 平分∠BAC，是△ABC 的角平分线 ∴ ∠BAD = ∠CAD = ∠BAC 特点： 三角形三条角平分线都在图形内部，相交于一点（内心）； 区别：普通角平分线是射线，三角形的角平分线是线段。 第二部分：课堂合作探究（对学 + 小组探究，20 分钟） 探究活动 1：概念辨析（判断对错，写出理由） 1、三角形的高是一条垂线，属于直线。（ ） 理由： 2、三角形的中线可以把三角形分成周长相等的两部分。（ ） 理由： 3、钝角三角形只有一条高。（ ） 理由： 4、三角形的角平分线就是角的平分线，是一条射线。（ ） 理由： 探究活动 2：作图实操 1、画出锐角△ABC 的三条高、三条中线、三条角平分线； 2、画出钝角三角形钝角两条邻边上的高（必须延长边线）； 小组总结作图口诀： 画高遇钝角，先把边线延；顶点作垂线，垂足在线延。 探究活动 3：例题精讲 例题：已知 AD 是△ABC 的中线，△ABD 的面积为 15cm²，求△ABC 的总面积。 解析：中线等分面积，总面积 = 15×2=30cm² 变式例题：在△ABC 中，CE 平分∠ACB，∠ACB=70°，求∠ACE 的度数。 小组归纳总结 1、三高、三中、三角分，统统都是线段； 2、中线只等分面积，不平分周长； 3、直角三角形直角边本身就是高； 4、钝角三角形两条高在形外，只能延长边来画。 第三部分：分层当堂练习题 【基础必做题】 1、三角形的高、中线、角平分线都是（） A. 直线 B. 射线 C. 线段 D. 曲线 2、在直角三角形中，直角边上的高就是\\\\\\\\。 3、三角形三条中线的交点叫做（） A. 内心 B. 重心 C. 垂心 D. 中点 4、AD 是△ABC 的中线，若 BD=4，则 BC=\\\\\\\\。 【中档选做题】 1、已知 AD 为△ABC 的高，∠B=35°，∠ADB= °。 2、三角形的一条中线将三角形分成两个小三角形，这两个小三角形一定相等的是（） A. 边长 B. 周长 C. 面积 D. 内角 【拔高拓展题】 1、如图，BD、CE 分别是△ABC 的中线，若△ABC 面积是 24，求△ADE 的面积。 2、△ABC 中，CD 平分∠ACB，DE∥AC，∠EDC=28°，求∠ACB 的度数。 第四部分：课堂小结、易错点归纳 本节课知识框架 三种特殊线段（高、中线、角平分线，全部为线段） → 定义 + 标准几何写法 → 分类画图：锐角、直角、钝角三角形高线的位置区别 → 核心性质：中线平分面积，角平分线平分角度，高线构造直角 高频易错点（牢记） 1、最容易出错：把三角形的高说成垂线（直线），实际是垂线段； 2、钝角三角形容易漏画外侧两条高，一定要延长对边再作垂线； 3、中线只能平分面积，不能平分周长，做题切勿混用； 4、直角三角形不要额外画直角边的高，直角边本身就是高线。 课后作业布置 1、教材课后习题，规范书写几何步骤； 2、在草稿纸上分别画出锐角、直角、钝角三角形的全部三条高； 3、预习下一节：三角形的稳定性。 同步作业 一．选择题 1．如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（　　） A．AB＝2BF B．∠ACE∠ACB C．AE＝BE D．CD⊥BE 3．下列说法中，正确的个数是（　　） ①三角形的中线、角平分线、高都是线段；②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部；③直角三角形只有一条高；④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高分别交于一点． A．1 B．2 C．3 D．4 4．用三角板作△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，已知BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，△ABD和△BCD的周长的差是（　　） A．2 B．3 C．6 D．不能确定 6．下列说法不正确的是（　　） A．三角形的中线在三角形的内部 B．三角形的角平分线在三角形的内部 C．三角形的高在三角形的内部 D．三角形必有一高线在三角形的内部 7．如图，已知△ABC中，点D、E分别是边BC、AB的中点．若△ABC的面积等于8，则△BDE的面积等于（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AD，垂足为点D，有下列说法： ①点A与点B的距离是线段AB的长； ②点A到直线CD的距离是线段AD的长； ③线段CD是△ABC边AB上的高； ④线段CD是△BCD边BD上的高． 上述说法中，正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如图，AD⊥BC，GC⊥BC，CF⊥AB，垂足分别是D、C、F，下列说法中，错误的是（　　） A．△ABC中，AD是边BC上的高 B．△ABC中，GC是边BC上的高 C．△GBC中，GC是边BC上的高 D．△GBC中，CF是边BG上的高 10．如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定 二．填空题 1．已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为 　 　 cm2． 2．如图，已知AE是△ABC的边BC上的中线，若AB＝8cm，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm，则AC＝　 　 cm． 3．如图，AD⊥BC于D，那么图中以AD为高的三角形有　 　 个． 4．在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC中线，若△ABD周长与△ADC的周长相差2cm，则BA＝　 　 cm． 5．如图，△ABC中，∠ACB＞90°，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为D、E、F，则线段 　 　 是△ABC中AC边上的高． 三．解答题 1．在△ABC中，CD⊥AB于D，CE是∠ACB的平分线，∠A＝20°，∠B＝60°．求∠BCD和∠ECD的度数． 2．如图，在△ABC中（AC＞AB），AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，求AC和AB的长． 3．已知△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD、AC于点F、E，求证：∠CFE＝∠CEF． 4．如图，D是△ABC中BC上的一点，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，且∠ADE＝∠ADF，AD是△ABC的角平分线吗？说明理由． 参考答案与试题解析 一．选择题 1．【解答】解：为△ABC中BC边上的高的是A选项． 故选：A． 2．【解答】解：∵CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线， ∴CD⊥BE，∠ACE∠ACB，AB＝2BF，无法确定AE＝BE． 故选：C． 3．【解答】解：①三角形的中线、角平分线、高都是线段，故正确； ②钝角三角形的高有两条在三角形外部，故错误； ③直角三角形有两条直角边和直角到对边的垂线段共三条高，故错误； ④三角形的三条角平分线、三条中线分别交于一点是正确的，三条高线所在的直线一定交于一点，高线指的是线段，故错误． 所以正确的有1个． 故选：A． 4．【解答】解：B，C，D都不是△ABC的边BC上的高， 故选：A． 5．【解答】解：∵BD是△ABC的中线， ∴AD＝CD， ∴△ABD和△BCD的周长的差是：（AB+BD+AD）﹣（BC+BD+CD）＝AB﹣BC＝5﹣3＝2． 故选：A． 6．【解答】解：A、三角形的中线在三角形的内部正确，故本选项错误； B、三角形的角平分线在三角形的内部正确，故本选项错误； C、只有锐角三角形的三条高在三角形的内部，故本选项正确； D、三角形必有一高线在三角形的内部正确，故本选项错误． 故选：C． 7．【解答】解：∵点D是边BC的中点，△ABC的面积等于8， ∴S△ABDS△ABC＝4， ∵E是AB的中点， ∴S△BDES△ABD4＝2， 故选：A． 8．【解答】解：①、根据两点间的距离的定义得出：点A与点B的距离是线段AB的长，∴①正确； ②、点A到直线CD的距离是线段AD的长，∴②正确； ③、根据三角形的高的定义，△ABC边AB上的高是线段CD，∴③正确； ④、根据三角形的高的定义，△DBC边BD上的高是线段CD，∴④正确． 综上所述，正确的是①②③④共4个． 故选：D． 9．【解答】解：A、∵AD⊥BC， ∴△ABC中，AD是边BC上的高正确，故本选项错误； B、AD是△ABC的边BC上的高，GC不是，故本选项正确； C、∵GC⊥BC， ∴△GBC中，GC是边BC上的高正确，故本选项错误； D、∵CF⊥AB， ∴△GBC中，CF是边BG上的高正确，故本选项错误． 故选：B． 10．【解答】解：A、锐角三角形，三条高线交点在三角形内，故错误； B、钝角三角形，三条高线不会交于一个顶点，故错误； C、直角三角形的直角所在的顶点正好是三条高线的交点，可以得出这个三角形是直角三角形，故正确； D、能确定C正确，故错误． 故选：C． 二．填空题 1．【解答】解：∵D为BC中点，根据同底等高的三角形面积相等， ∴S△ABD＝S△ACDS△ABC4＝2（cm2）， 同理S△BDE＝S△CDES△BCE2＝1（cm2）， ∴S△BCE＝2（cm2）， ∵F为EC中点， ∴S△BEFS△BCE2＝1（cm2）． 故答案为1． 2．【解答】解：∵AE是△ABC的边BC上的中线， ∴CE＝BE， 又∵AE＝AE，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm， ∴AC﹣AB＝2cm， 即AC﹣8＝2cm， ∴AC＝10cm， 故答案为：10； 3．【解答】解：∵AD⊥BC于D， 而图中有一边在直线CB上，且以A为顶点的三角形有6个， ∴以AD为高的三角形有6个． 故答案为：6 4．【解答】解：如图，∵AD是△ABC中线， ∴BD＝CD， ∴△ABD周长﹣△ADC的周长＝（BA+BD+AD）﹣（AC+AD+CD）＝BA﹣AC， ∵△ABD周长与△ADC的周长相差2cm， ∴|BA﹣5|＝2， ∴解得BA＝7或3． 故答案为：3或7． 5．【解答】解：∵BE⊥AC， ∴△ABC中AC边上的高是BE． 故答案为：BE 三．解答题 1．【解答】解：∵CD⊥AB， ∴∠CDB＝90°， ∵∠B＝60°， ∴∠BCD＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°； ∵∠A＝20°，∠B＝60°，∠A+∠B+∠ACB＝180°， ∴∠ACB＝100°， ∵CE是∠ACB的平分线， ∴∠ACE∠ACB＝50°， ∴∠CEB＝∠A+∠ACE＝20°+50°＝70°， ∠ECD＝90°﹣70°＝20°． 或∠ECD＝∠ECB﹣∠BCD＝50°﹣30°＝20°． 2．【解答】解：设BD＝CD＝x，AB＝y，则AC＝2BC＝4x， ∵BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，AC＞AB， ∴AC+CD＝60，AB+BD＝40， 即4x+x＝60，x+y＝40， 解得：x＝12，y＝28， 当AB＝28，BC＝24，AC＝48时，符合三角形三边关系定理，能组成三角形， 所以AC＝48，AB＝28． 3．【解答】证明： ∵∠ACB＝90°， ∴∠1+∠3＝90°， ∵CD⊥AB， ∴∠2+∠4＝90°， 又∵BE平分∠ABC， ∴∠1＝∠2， ∴∠3＝∠4， ∵∠4＝∠5， ∴∠3＝∠5， 即∠CFE＝∠CEF． 4．【解答】解：AD是△ABC的角平分线． 理由：∵DE∥AC，DF∥AB， ∴∠ADE＝∠DAF，∠ADF＝∠EAD， 又∵∠ADE＝∠ADF， ∴∠DAF＝∠EAD， 又∵∠DAF+∠EAD＝∠BAC， ∴AD是∠BAC的角平分线． 学科网（北京）股份有限公司 $