13.2.1 三角形的边、三角形的稳定性导学案2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学导学案聚焦“三角形的边、三角形的稳定性”，通过蚂蚁路径问题导入，联系“两点之间线段最短”旧知，引导学生自主探究三边关系，形成“观察—归纳—应用”学习支架，衔接后续几何知识学习。 以探究式设计为特色，蚂蚁路径问题培养几何直观（数学眼光），归纳三边关系发展推理意识（数学思维），生活实例与分层习题提升应用能力（数学语言），助力学生自主构建知识，提升解决实际问题的能力。

13.2.1 三角形的边、三角形的稳定性班级： 姓名： 【学习目标】1.掌握三角形三边不等的关系。 2.懂得判断三条线段能否构成一个三角形的方法，并能用于解决有关的问题。 【学习重点】三角形的三边关系 【学习难点】运用三角形的三边关系解决实际问题 【自学探究】 探究点一 三角形三边之间的关系 探究：蚂蚁要从B点去C点觅食，请你帮忙选择最佳的路径. 问题：1.从B到C有几条路？（ ） 2.哪条路最近？为什么？（ ） AB+AC_____BC ； AB+ BC _____AC ； AC +BC _____ AB.（填>、<、=） 从中你可以得出结论：三角形两边的和 第三边. 3.把上式移项得： BC-AC_____AB ； AC-AB_____ BC ； AB -BC _____ AC.（填>、<、=） 从中你可以得出结论：三角形两边的差 第三边. 归纳总结：三角形三边关系： 两边之和 第三边 ，两边之差 第三边 。 即： ＜三角形的第三边＜ 。 【小试牛刀】 1、在△ABC中，若b =3，a=7，则第三边c 的取值范围是 .其周长 L的取值范围是 .　 2、下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？ （1）3，4，5；（2）5，6，11；（3）5，6，10． 运用技巧：能组成三角形的三条线段满足两条较短的线段的长之和 最长的线段的长. 【典例解析】例1：用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形. (1)如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？(2)能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗？为什么？ 探究点二 三角形的稳定性 1.如图，将三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它， 它的形状会改变吗? 可以发现， ， 这就是说， . 2. 在日常生活中，三角形的形状随处可见，并且工程建筑中经常采用三角形的结构，如屋顶钢架结构，起重机的起重臂，钢架桥结构等，你能再举一些例子吗? 【学以致用】1.盖房子时，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条， (如右图)为什么要这样做呢？答： 【达标测试】 1.以下列长度的三条线段为边，能组成三角形的是（ ） A. 3、3、3 　　B. 3、3、6　　 C. 3、2、5 　　D. 3、2、6 2.如图，为估计池塘两岸A，B间的距离，数学试验小组在池塘一侧选取了一点P，测得PA =16 m，PB =12 m，则A，B间的距离不可能是 ( ) A.5 m B．15 m C. 20 m D．28 m 3.如图，桥梁的斜拉钢索是三角形的结构，主要是为了( ) A.节省材料,节约成本 B.保持对称 C.利用三角形的稳定性 D.美观漂亮 4.已知等腰三角形的两边长分别为5cm和2cm，则该三角形的周长是（ ） A． 12cm 　　B. 9cm 　　C. 12cm或9cm　　　 D. 7cm 5．若三角形两边a、b的长分别为3和4，则第三边c的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6.已知三条线段的比是:①1:3:4;②1:2:3;③1:4:6;④3:3:6;⑤6:6:10;⑥3:4:5.其中可构成三角形的有( ) 毛 A.1个 B.2个 C.3个 C.4个 7.如图是折叠凳及其侧面示意图．若AC＝BC＝19cm， 则折叠凳的宽AB可能（　 　） A．27cm B．38cm C．55cm D．73cm 8．若实数a，b，c分别表示△ABC的三条边，且a，b满足，则△ABC的第三条边c的取值范围是（　 　） A．c＞4 B．c＜12 C．4＜c＜12 D．4≤c≤12 9．在日常生活中，我们通常采用如图的方法（斜钉上一块木条）来修理一张摇晃的椅子，请用数学知识说明这样做的依据是：　 　 ． 10．一个三角形的三边长分别为x、8、2，那么x的取值范围是__________. 11．一个三角形的两边长分别是3和7，且第三边长为奇数，这样的三角形的周长最大值是____，最小值是___． 12.若三角形的两边长分别是2和7,第三边长为奇数,求第三边的长 13.已知a,b,c是△ABC的三边长． （1）若a，b，c满足,(a-b)2+试判断△ABC的形状； （2）化简：+-. 14.一个三角形有两条边相等，周长为20 cm，三角形的一边长为6 cm，求其他两边的长. 15.已知一个三角形有两边相等，并且周长为56，两不等边之比为3∶2，求这个三角形各边的长. 【参考答案】 【自学探究】 探究点一 2 条 沿线段 BC 这条路最近；两点之间，线段最短；>；>；>；大于 <；<；<；小于 归纳总结：大于；小于；两边之差；两边之和 【小试牛刀】 4<c<10；14<L<20 (1) 能，∵3+4>5，满足三角形三边关系；(2) 不能，∵5+6=11，不满足两边之和大于第三边；(3) 能，∵5+6>10，满足三角形三边关系。 运用技巧：大于 【典例解析】 例 1 (1) 解：设底边长为 x cm，则腰长 2x cm。2x+2x+x=18，解得 x=3.6，2x=7.2。三边长：7.2cm，7.2cm，3.6cm。 (2) 分情况：①若 4cm 为底边，腰长 =(18−4)÷2=7cm，4+7>7，可以；②若 4cm 为腰，底边长 = 18−4−4=10cm，4+4<10，不能构成三角形。∴可以围成底是 4cm，腰是 7cm 的等腰三角形。 探究点二 三角形的稳定性 形状不会改变；三角形木架形状不会改变；三角形具有稳定性。 例子：自行车车架；篮球架支架（答案不唯一） 【学以致用】 答：利用三角形的稳定性，使窗框不变形 【达标测试】 1. A 2. D 3. C 4. A 5. 1<c<7 6. B 7. A 8. C 9. 三角形具有稳定性 10. 6<x<10 11. 17；15 12. 解：设第三边为 x，7−2<x<7+2，5<x<9，奇数则 x=7。答：第三边长为 7。 13. (1)∵(a−b)²+|b−c|=0，∴a−b=0,b−c=0，a=b=c，∴△ABC 是等边三角形。 (2) 解：原式 =(a+c−b)+(a−b+c)−(b+c−a)=3a−3b+c 14. 解：①当 6cm 为底边：腰 =(20−6)÷2=7cm，另两边：7cm，7cm；②当 6cm 为腰：底边 = 20−6−6=8cm，另两边：6cm，8cm。 15. 解：两种情况 ①腰∶底 = 3∶2，设腰 3k，底 2k，3k+3k+2k=56，k=7；三边 21、21、14； ②腰∶底 = 2∶3，设腰 2k，底 3k，2k+2k+3k=56，k=8；三边 16、16、24。 学科网（北京）股份有限公司 $