13.2.1 三角形的边 学案 2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学学案聚焦三角形的边这一核心知识点，通过屋顶钢架结构等生活实例导入三角形稳定性，系统梳理三边关系定理及判断三条线段能否组成三角形的方法，为后续几何学习搭建基础支架。 资料亮点在于练习分层设计，从基础第三边取值范围到等腰三角形分类讨论、绝对值化简及不等式证明，培养学生推理意识与几何直观，结合现实应用强化数学眼光，参考答案规范详细，助力学生用数学语言表达关系，提升应用能力。

13.2.1 三角形的边 人教版八年级上册 第十三章 三角形 班级：__________ 姓名：__________ 日期：__________ 教材：人教版八年级上册 一、学习目标 1. 理解三角形的三边关系，能证明三角形的任意两边之和大于第三边，掌握任意两边之差小于第三边的推论。 2. 会利用三边关系判断三条线段能否组成三角形，能根据已知两边长求出第三边的取值范围，了解三角形的稳定性。 二、知识梳理 知识点 内容 三边关系定理 三角形任意两边之和大于第三边：，， 三角形任意两边之差小于第三边：，即两边之差 < 第三边 < 两边之和。 判断能否组成三角形 若三条线段中，两条较短边的长度之和大于最长边，则可以组成三角形；否则不能。简便方法：只需比较一次即可。 三角形的稳定性 三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性。在工程建筑和日常生活中广泛应用，通过增加木条构造三角形可以增加稳固性。 屋顶钢架结构应用了三角形稳定性 三、课堂练习 练习1（针对训练——第三边取值范围） 已知三角形的三边长分别为3，8，x，则x的取值范围是______________。         练习2（针对训练——判断能否组成三角形） 判断下列长度的三条线段能否拼成三角形？为什么？ （1）3cm、9cm、5cm； （2）6cm、8cm、10cm。             练习3（教材P6 例题——等腰三角形） 用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形。 （1）如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？ （2）能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗？为什么？                         练习4（针对训练——稳定性应用） 如图，工人师傅砌门时，常用木条EF、EG固定门框ABCD，使其不变形，这种做法的根据是什么？         练习5（随堂演练1——判断能否组成三角形） 下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？ （1）3，4，8； （2）5，6，11； （3）5，6，10。             练习6（随堂演练2——等腰三角形判断） 一根4dm长的木条和两根1dm长的木条，能否组成一个等腰三角形？两根4dm长的木条和一根1dm长的木条呢？             练习7（随堂演练3——第三边奇偶性讨论） 如果三角形的两边长分别是2和4，且第三边是奇数，那么第三边长为______。若第三边为偶数，那么三角形的周长为______。             练习8（随堂演练4——绝对值化简） 已知a，b，c分别是三角形三边的长，化简： |a - b + c| + |b - a - c| - |a + b + c| =             练习9（随堂演练5——不等式证明） 如图，P是△ABC内一点，连结BP并延长，交AC于点D，连结CP。 （1）试探究AB + BC + AC与2BD的大小关系； （2）试探究AB + AC与PB + PC的大小关系。           四、参考答案 练习1 答案 解：根据三角形三边关系：任意两边之差小于第三边，且任意两边之和大于第三边，可得 8 - 3 < x < 8 + 3 即 5 < x < 11 所以x的取值范围是5 < x < 11。 练习2 答案 解： （1）不能拼成三角形。因为3 cm + 5 cm = 8 cm < 9 cm，不满足两边之和大于第三边。 （2）能拼成三角形。因为6 cm + 8 cm = 14 cm > 10 cm，满足较小两边之和大于最大边。 简便判断方法：只需计算两条较短边的和，若大于最长边即可组成三角形。 练习3 答案 解： （1）设底边长为x cm，则腰长为2x cm，由周长公式可得： x + 2x + 2x = 18 解得x = 3.6。 所以三角形三边的长分别为3.6 cm，7.2 cm，7.2 cm。验证：7.2 + 3.6 > 7.2，满足三边关系。 （2）因为长为4 cm的边可能是腰，也可能是底边，所以需要分情况讨论。 ① 如果4 cm长的边为底边，设腰长为x cm，则： 4 + 2x = 18 解得x = 7。此时三边长为4 cm，7 cm，7 cm，4 + 7 > 7，满足三边关系。 ② 如果4 cm长的边为腰，设底边长为y cm，则： 解得y = 10。此时三边长为4 cm，4 cm，10 cm。 因为4 + 4 = 8 < 10，不符合三角形两边之和大于第三边，所以不能围成腰长是4 cm的等腰三角形。 由以上讨论可知，可以围成底边长是4 cm的等腰三角形。 练习4 答案 解：这种做法的根据是三角形的稳定性。 四边形原本不具有稳定性，增加木条EF、EG后，门框被分割成多个三角形，利用三角形的稳定性使门框保持形状不变形。 练习5 答案 解： （1）不能组成三角形。因为3 + 4 = 7 < 8，不满足两边之和大于第三边。 （2）不能组成三角形。因为5 + 6 = 11，两边的和等于第三边，也不能组成三角形。 （3）能组成三角形。因为5 + 6 = 11 > 10，满足较小两边之和大于最大边。 练习6 答案 解： （1）一根4 dm长的木条和两根1 dm长的木条：不能组成等腰三角形。因为1 + 1 = 2 < 4，不满足三角形三边关系。 （2）两根4 dm长的木条和一根1 dm长的木条：能组成等腰三角形。因为1 + 4 = 5 > 4，满足三角形三边关系。 练习7 答案 解： 设第三边长为x，由三边关系得： 4 - 2 < x < 4 + 2 即 2 < x < 6 若x为奇数，则x = 3或5，所以第三边长为3或5。 若x为偶数，则x = 4，周长为2 + 4 + 4 = 10，所以周长为10。 答案：第三边长为3或5；周长为10。 练习8 答案 解：因为a，b，c是三角形三边的长，所以根据三边关系可得： a + c > b，所以a - b + c > 0； a + c > b，所以b - a - c < 0； a + b + c > 0。 去绝对值： |a - b + c| + |b - a - c| - |a + b + c| = (a - b + c) - (b - a - c) - (a + b + c) = a - b + c - b + a + c - a - b - c = a - 3b + c 所以答案为 a - 3b + c 练习9 答案 解： （1）根据三角形的三边关系，在△ABD中， AB + AD > BD 在△BCD中， BC + CD > BD 两式相加得： AB + AD + BC + CD > 2BD 因为AD + CD = AC，所以 AB + BC + AC > 2BD （2）根据三角形的三边关系，在△ABD中， AB + AD > BD = PB + PD 在△PDC中， PD + DC > PC 两式相加得： AB + AD + PD + DC > PB + PD + PC 整理得： AB + (AD + DC) > PB + PC 即 AB + AC > PB + PC 学科网（北京）股份有限公司 $