2.3 一元二次方程的根与系数的关系（教学课件）2026--2027学年苏科版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），通过温故知新回顾求根公式、判别式等旧知，情境导入引导观察两根表达式计算发现关系，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于注重过程与方法，通过观察猜想证明培养数学思维（推理能力），例题涵盖求根和积、参数求解、代数式变形发展数学眼光（抽象能力），课后测评结合实际问题体现数学语言（模型意识）。易错提醒强化严谨性，助力学生掌握知识，教师可提升教学效率。

第二章 一元二次方程 2.3 一元二次方程的根与系数的关系 学习目标 过程与方法 知识与技能 理解并掌握一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 能不解方程直接求出两根之和、两根之积 已知方程的一个根，会求另一个根及方程中的参数 能利用根与系数的关系求简单的对称式的值 经历观察、猜想、证明根与系数关系的过程，体会从特殊到一般的数学思想 02 01 课前自主·知识预习奠基 一元二次方程的求根公式： 一元二次方程有实数根的前提是 因式分解法解方程的核心依据是零乘积原理 思考：不解方程，能不能直接判断出方程两根的和、积与系数有什么关系？ 温故知新 比较一元二次方程 两个实数根的表达式： , 它们有何特征？你能发现根与系数之间有哪些联系？ 情境导入 一元二次方程，当 时，两个实数根由方程的各项系数 确定；反过来，根据两根表达式的特征，通过下面的计算可以发现，方程系数之间的关系也可以用两个实数根表示： 情境导入 新知讲解：根与系数的关系 由此可以得到如下一元二次方程的根与系数的关系： 若方程 有两个实数根 ，则 上述根与系数的关系也称为韦达定理 不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积： (1) (2) 例题 1 解： ， 方程有两个实数根 解： ， 方程有两个实数根： 已知关于 x 的方程的一个根是 2，求方程的另一个根和 p 的值。 例题 2 解：设方程的另一个根为 由根与系数的关系得： 解得 检验：，符合题意 答：方程的另一个根为 4，p 的值为 8。 新知讲解：常见对称式变形 利用根与系数的关系，不解方程求代数式的值，常用变形： 1.   ​2.   ​3.  ​4.   已知关于 x 的方程有两个实数根，求 k 的取值范围 例题 2 解： ∵ 方程有两个实数根∴ 即 ， ， ， 解得 使用韦达定理的前提是方程有两个实数根，求出参数后要检验 ​两根之和是，不要漏掉负号 ​必须先将方程化为一般形式，再确定的值 ​若题目没说明是一元二次方程，要先考虑二次项系数不为 的条件 易错提醒 课堂探究·能力合作提升 基础过关练 1. 方程的两根之和为（ ） A. − 5 B. 5 C. 6 D. − 6 2. 方程的两根之积为（ ） A. B. C. D. 3. 判断题：若方程的两根之和为 3，则.（ ） B D × 基础过关练 4. 已知方程的一个根为 1，则另一个根为 . 5. 若是方程的两根，则 = . 6. 若一元二次方程的两根为 和 ，则该方程可以是 . 2 12 （答案不唯一） 课后测评·学业效果巩固 1. 已知一元二次方程有一个根为2，则另一根是（ ） A.2 B.3 C.4 D.1 课后测评 C 【解析】设方程的另一根为a，则，解得。故选C。 2. 已知方程有两个不相等的实数根，则下列方程中，两个根分别是的是（ ） A. B. C. D. 课后测评 D 【解析】方程有两个不相等的实数根方程的两个根分别是。故选D。 3. 已知是关于x的方程的两个实数根，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 课后测评 B 【解析】是关于x的方程的两个实数根，，故A不符合题意； 是关于x的方程的两个实数根，，故B符合题意； 是关于x的方程的两个实数根，，故C，D不符合题意。故选B。 4. 若关于 x 的一元二次方程的两个根互为相反数，则 k 的值为 。 课后测评 2 【解析】关于x的一元二次方程的两个根互为相反数， ，解得的值为2。 5. 设与为一元二次方程的两根，则的值为 . 课后测评 20 【解析】由题意可知，故答案为20。 6. 若是方程的两个实数根，则的值为 . 课后测评 4 【解析】是方程的两个实数根， 故答案为4。 7. 已知实数满足且，则的值为 . 课后测评 【解析】方程可变形为且实数满足且是方程的两个根，，故答案为。 8. 若一元二次方程的两个实数根分别是，则关于 x 的一次函数的图象一定不经过第________象限。 课后测评 【解析】方程的两个实数根分别是，则一次函数的表达式为该一次函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故答案为二。 二 9. 全国家电“以旧换新”政策自实施以来，某市9月已投入约800万元用于首批家电“以旧换新”补贴，考虑年底换家电的数量可能会持续增长，现计划投入资金逐月增加，到11月底，计划累计投入约3200万元用于家电“以旧换新”补贴。 (1)设投入资金的月平均增长率为x，求到11月底，投入资金的月平均增长率（只需列出方程）； (2)设(1)中方程的两根分别为，且，求a的值。 课后测评 课后测评 【答案】 (1) (2)或 【解析】(1)由题意可得，。 (2)将(1)中的方程整理可得中方程的两根分别为， ，即，解得或。 10.解决下列问题： （1）已知 满足 的值。 （2）已知 和 是关于 的方程组 的两组不相等的实数解。 问：是否存在实数 k，使得 ？若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由。 课后测评 课后测评 【解析】 （1）【解】 满足 是一元二次方程 的两个实数根， 。 课后测评 （2）存在。 和 是关于 的方程组 的两组不相等的实数解， 。方程组 消去 y，得 ，则 是一元二次方程 的两个实数根，，。由，即，则 或 ，解得 或 。 课后测评 当 时，一元二次方程为 ，则 ，无实数解，舍去；当 时，一元二次方程为 ，则 ，有两个不相等的实数解，符合题意。 综上所述，。 课堂小结 第二章 一元二次方程 2.3 一元二次方程的根与系数的关系 $