2.4 用一元二次方程解决问题(2) 课件2026-2027学年苏科版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“用一元二次方程解决实际问题”，核心涵盖连续增长率/降低率模型与动态运动问题。通过服装降价销售情景导入，先引导学生用代数式表示销售量和盈利，再过渡到列方程求解盈利问题，搭建从旧知（方程解法）到新知（实际应用）的学习支架。 其亮点在于融合多类型实例，如矩形镶边面积、药品连续降价、动态点运动等问题，注重根的判别式与实际意义检验。通过画图标注、化动为静等方法培养几何直观（数学眼光），构建方程模型发展推理能力（数学思维），帮助学生形成用数学语言解决实际问题的意识，教师可借助结构化流程提升教学效率。

2.4 用一元二次方程解决问题(2) 第二章 一元二次方程 （2026春•招远市期末）一款服装每件进价为70元，销售价为120元时，每天可售出20件．经市场调查发现，如果每件服装每降价1元，那么平均每天可多售出2件．设每件服装降价x元． (1)每天销售量增加 　 件，每件服装盈利　 　 元（用含x的代数式表示）； (2)在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1600元？ 情景创设 2x (120－70－ x) 解：（2）根据题意得：(50－x)(20+2x)＝1600， 整理得：x2﹣40x+300＝0， 解得：x1＝10，x2＝30， 又∵要让利于顾客， ∴x＝30． 答：每件服装降价30元时，商家平均每天能盈利1600元． 学 习 目 标 1 2 能根据矩形面积类实际问题，找出等量关系，列一元二次方程求解． 掌握一元二次方程解实际应用题的一般步骤：审题→设元→列方程→解方程→检验根的实际意义→作答． 3 会利用根的判别式判断实际问题是否存在符合条件的解． （书本第49页例1）要在一幅长80 cm，宽50 cm的矩形风景画的四周镶一条等宽的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积为5400 cm2，金色纸边的宽应为多少厘米？ 例题讲解 ①问题中的等量关系是：                                                 . ②如果设纸边的宽应为x厘米，则矩形挂图的长是           cm，宽是          cm. ③请你继续解完本题： 挂图的长×宽=挂图的面积 (80+2x) (50+2x) 设纸边的宽为xcm，则挂图的长为(80+2x)cm,宽为(50+2x)cm，根据题意，得 (80+2x)(50+2x)=5400， 化简，得， x2+65x350=0 解这个方程，得，x1=5，x2=70(不合题意，舍去). 答：金色纸边的宽应为5cm. 1、讲解例2(书本第50页例2)某种药品原价125元/盒，经过连续两次降价，现价格为80元/盒，这种药品平均每次降价的百分率是多少？ 例题讲解 原价 第一次降价后的售价 第二次降价后的售价 125元/盒   125(1x)2 分析：设这种药品平均每次降价的百分率是x，可以列表分析如下： 125(1x) 原价 第一次降价后的售价 第二次降价后的售价 例题讲解 例2 某种药品原价 125 元/盒，经过连续两次降价，现价格为 80 元/盒，这种药品平均每次降价的百分率是多少？ 设这种药品平均每次降价的百分率是 x ，可以列表分析如下： 125 元/盒 125 (1－x) 元/盒 125 (1－x)2 元/盒 等量关系：两次降价后价格＝现价 例题讲解 例2 某种药品原价 125 元/盒，经过连续两次降价，现价格为 80 元/盒，这种药品平均每次降价的百分率是多少？ 解：设这种药品平均每次降价的百分率是 x． 根据题意，得 125(1－x)²＝80． 解这个方程，得 x1＝0.2＝20%， x2＝1.8 (不合题意，舍去)． 答：这种药品平均每次降价的百分率是2 0%． 注意：变化率 0＜x＜1，大于1的根无实际意义，必须舍去． 💡 连续两次下降模型： 原量×(1一变化率)2＝现量． 尝试练习 (1)(书本第51页练习1)某种帆布鞋原价每双160元，经过两次降价，现售价每双102.4元.求该种帆布鞋平均每次降价的百分率. 解：设该种帆布鞋平均每次降价的百分率是x，根据题意得， 160(1x)2=102.4 解这个方程，得 x1=0.2 x2=1.8(不合题意，舍去) 答：该种帆布鞋平均每次降价的百分率是20％. 尝试练习 (2)（2026春•如皋市期末）某商场响应国家消费品“以旧换新”的号召，开展了家电惠民补贴活动，4月份投入资金20万元，6月份投入资金24.2万元． ①求该商场投入资金的月平均增长率； ②按照这个增长率，预计该商场7月份投入资金将达到多少万元？ 解：①设该商场投入资金的月平均增长率为x，由题意得： 20×(1+x)2＝24.2， 整理得，20x2+40x4.2＝0， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝2.1（不符合题意，舍去）， ∴该商场投入资金的月平均增长率10%； ②依题意，24.2×(1+10%)＝24.2×1.1＝26.62（万元）， ∴预计该商场七月份投入资金将达到26.62万元． （2025•浦东新区校级模拟）如图，把一张长10cm，宽8cm的长方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）． ①要使无盖长方体盒子的底面积为48cm2，那么剪去的正方形的边长为多少？ 例题讲解 ①设剪去的正方形边长为xcm，由题意，得： (102x)(82x)＝48， 即x29x+8＝0， 解得：x1＝8（不合题意，舍去），x2＝1 答：剪去的正方形的边长为1cm． （2025•浦东新区校级模拟）如图，把一张长10cm，宽8cm的长方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）． ②你认为折合而成的无盖长方体盒子的侧面积有可能等于52cm2吗？请说明理由. 例题讲解 ②盒子的侧面积不可能等于52cm2，理由如下： 设剪去的正方形边长为xcm，由题意： 2[x(102x)+x(82x)]＝52， 整理得：2x29x+13＝0， Δ＝b24ac＝814×2×13＜0， 答：盒子的侧面积不可能等于52cm2． (3)（2025秋•单元）某工厂在第一季度的生产中，一月份的产值为250万元，二、三月份的产值的月增长率相同，已知第一季度的总产值是843.6万元，求二、三月份的月增长率． 尝试练习 解：设二、三月份的月增长率是x，依题意有 250+250(1+x)+250(1+x)2＝843.6， 250+250+250x+250+500x+250x2＝843.6， 250x2+750x93.6＝0， (5x+15.6)(50x6)＝0， 解得x1＝3.12（负值不合题意，舍去），x2＝0.12＝12%． 答：二、三月份的月增长率是12%． 3、补讲例题：(2025春•长丰县校级期中)某市一楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售． (1)求平均每次下调的百分率； 例题讲解 解：(1)设平均每次降价的百分率是x，根据题意，得 5000(1x)2＝4050， 解得x1＝10％，x2＝（不合题意，舍去）， 答：平均每次降价的百分率为10%； 讨论交流 解决动态运动问题的基本步骤是什么？ (1) 画图标注：画出运动过程中的关键状态图，标注所有已知量和含未知数的代数式； (2) 化动为静：分析运动过程中的不变量，将动态问题转化为静态几何关系； (3) 寻找定理：根据图形特征选择几何定理（如勾股定理），建立方程； (4) 双重检验：既要检验方程解是否为实数且为正，还要检验是否满足几何条件． 新知巩固 1．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝7，BC＝2，点 P 从点 A 出发沿 AB 以每秒 1 个单位长度的速度向点 B 移动．点 P 出发几秒后，点 P，A 的距离是点 P，C 的距离的 2 倍？ A B C D P 解：设点P出发 x s后，点 P、A 的距离是点 P、C 的距离的 2 倍． 根据题意，得 x2＝4[(7－x)2＋(2)2] 解这个方程，得x1＝6，x2＝≈12.67＞7 (超出范围，舍去)． 答：点P出发 6s 后，点P、A的距离是点P、C的距离的2倍． 7 2 1 个单位长度/s 3、补讲例题：(2025春•长丰县校级期中)某市一楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售． (2)某人准备以开盘均价购买一套200平方米的房子．开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.5折销售；②不打折，送2年物业管理费，物业管理费为每平方米每月5元，请问哪种方案更优惠？ 例题讲解 方案①的房款是4050×200×0.95＝769500（元）， 方案②的房款是：4050×200200×2×12×5＝786000（元）， ∵769500＜786000， 答：选方案①更优惠． 新知巩固 2．《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲行几何．”大意是说：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直往东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲走了多远？ 解：设经 x 秒二人在 B 处相遇，这时 乙共行走：AB＝3x，甲共行走：AC＋BC＝7x， ∵ AC＝10，∴ BC＝7x－10， 又∵ ∠A＝90°，∴ BC2＝AC2＋AB2， ∴ (7x－10)2＝102＋(3x)2， 解得：x＝0（舍去）或 x＝3.5， ∴ AB＝3x＝10.5，AC＋BC＝7x＝24.5. 答：相遇时甲走了24.5步. 尝试练习 (1)（2026春•单元）某厂有甲、乙两个车间，一月份的产值分别为70万元和80万元，到三月份甲车间比乙车间的产值多4万元，已知甲车间这两个月的平均增长率是乙车间这两个月的平均增长率的2倍，求甲、乙两车间这两个月的平均增长率各是多少． 解：设乙车间这两个月的平均增长率为x%，则甲车间这两个月的平均增长率为2x%， 由已知得：70(1+2x%)280(1+x%)2＝4， 解得：x1＝10，x2＝70（舍去）． 10×2＝20． 答：甲车间这两个月的平均增长率为20%，乙车间这两个月的平均增长率为10%． (2)（2023秋•同步）某药品两次降价，零售价为原来的一半，已知第一次降价的百分率是第二次降价的百分率多10%，求第一次降价的百分率． 解：设第二次降价的百分率为x，则第一次降价的百分率为x+10%，根据题意得 (1x)(1x10%)＝0.5， 整理，得10x219x+4＝0， 解得x1=，x2=（不合题意舍去）， 所以第一次降价的百分率为x+10%=． 答：第一次降价的百分率为． 尝试练习 思维提升 如图所示，四边形ABCD为矩形，AB＝6cm，AD＝4cm，若点Q从A点出发沿AD以1cm/s的速度向D运动，P从B点出发沿BA以2cm/s的速度向A运动，如果P、Q分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止．设运动的时间为t（s）． (1) 当 t 为何值时，△PAQ为等腰三角形？ 6cm 4cm 1cm/s 2cm/s 解：(1) 根据题意，得AQ＝t cm，BP＝2t cm，AP＝(6－2t)cm， ∵ △PAQ为等腰三角形，∠A＝90°， ∴ AQ＝AP，即 t＝6－2t， 解得：t＝2， 答：当t＝2时，△PAQ为等腰三角形． 思维提升 如图所示，四边形ABCD为矩形，AB＝6cm，AD＝4cm，若点Q从A点出发沿AD以1cm/s的速度向D运动，P从B点出发沿BA以2cm/s的速度向A运动，如果P、Q分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止．设运动的时间为t（s）． (2) 当 t 为何值时，△APD的面积为 6 cm2？ 解：(2) ∵ S△APD＝ AD·AP＝×4×(6－2t)＝(12－4t) (cm2)， ∴ 12－4t＝6，解得：t＝， 答：当 t＝ 时，△APD的面积为6 cm2． 6cm 4cm 1cm/s 2cm/s (3)(书本第56页第10题)某农场去年种植白菜10亩，总产量为20000kg. 今年该农场扩大了种植面积，并引进新品种，使总产量增长到60000kg. 已知种植面积的增长率是平均每亩产量增长率的2倍，求平均每亩产量的增长率. 尝试练习 解：设今年平均亩产量的增长率为x，根据题意得： 20000(1+2x)(1+x)＝60000， 解得：x1＝0.5，x2＝2（舍去）． 答：平均亩产量的增长率为50%． 讨论交流 用一元二次方程解决实际问题的一般步骤是什么？ (3) 列：根据题目中的等量关系，列出方程； (4) 解：化成一元二次方程的一般形式并求解(先用根的判别式分析方程是否有实数根)； (2) 设：设未知数（直接设或间接设），注意写好单位名称； (5) 验：既要检验根是否满足原方程，又要检验根是否符合实际意义； (6) 答：写出完整规范的答语（注意单位）． (1) 审：审清题意，找出已（未）知量，明确等量关系； 如：根是否为正、是否符合图形尺寸范围、 思维提升 如图所示，四边形ABCD为矩形，AB＝6cm，AD＝4cm，若点Q从A点出发沿AD以1cm/s的速度向D运动，P从B点出发沿BA以2cm/s的速度向A运动，如果P、Q分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止．设运动的时间为t（s）． (3) 五边形PBCDQ的面积能否达到20cm2？若能， 请求出 t 的值；若不能，请说明理由． 解：(3) ∵S五边形PBCDQ＝S矩形ABCD－S△APQ＝6×4－ t (6－2t) ＝(24－3t＋t2)（cm2）， ∴ 24－3t＋t2＝20，整理得：t2－3t＋4＝0， ∵ Δ＝(－3)2－4×1×4＝－7＜0，∴该方程没有实数根， 答： 五边形PBCDQ的面积不能达到20cm2． 6cm 4cm 1cm/s 2cm/s 思维提升 如图所示，四边形ABCD为矩形，AB＝6cm，AD＝4cm，若点Q从A点出发沿AD以1cm/s的速度向D运动，P从B点出发沿BA以2cm/s的速度向A运动，如果P、Q分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止．设运动的时间为t（s）． (4) 当 t 为何值时，P、Q两点之间的距离为cm？ 6cm 4cm 1cm/s 2cm/s 解：(4) 在Rt△APQ中，， 根据题意，得 ， 化简，得：5t2－24t＋16＝0，解得：t1＝4，t2＝， ∵ 6÷2＝3，4÷1＝4，∴ 0≤t≤3，∴ t＝． 答：当 t 为h，P、Q两点之间的距离为cm． 课堂小结 这节课，你的收获是--- 课堂小结 2.4 用一元二次方程解决问题（2） 一般步骤：审题→设元→列方程→解方程→检验根的实际意义→作答 两类模型：① 连续两次平均增长率(降低率)：a (1±x) 2＝b； ②动态运动问题：画图标注 → 化动为静 → 寻找定理 → 双重检验 易错提醒：负根、超范围根、百分率大于 1 舍去 谢谢大家聆听 $