安徽省六安第一中学2025-2026学年高一下学期周测数学试题（八）

六安一中2026年春学期高一年级周末作业 数学试卷（八) 时间：120分 两汀：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1.圆锥的高为1，其侧面积是底面积的2倍，则它的体积为( A哥 B.君 C. D. 2.已知一个长方体的铜块长、宽、高分别是3,4,5，将它熔化后铸成一个正方体形的铜块（不 计损耗)，则铸成后的铜块的棱长( A.小于4 B.等于4 C.大于4 D.无法判断 3.如图，在正方体ABCD-ABGD中，点E,F,G分别为DD,BD,BB的中点，则异 面直线CE与FG所成的角的余弦值为( D C A.5 3 B. 5 C. 3V5 5 D. 20 4.在AABC中，而-C,点E在D上，若花=i+C,则=( A号 B.3 c. D 5.如图，ABC-AB,C是一个正三棱台，而且下底面边长为4，上底 C 面边长和侧棱长都为2，则棱台的高为() A. 4v6 B. 3v6 3 2 C.6 D.26 6.瑞士数学家欧拉发现了公式：ei=cosx+isinx,其中i为虚数单位，xeR据此可知， 下列说法中错误的是( A.e为纯虚数. B.e的共轭复数为{5： 22 C. 3+;的模长等于到 e和 D.e对应的点位于第三象限 7.设平面向量回=1，=2,6在a方向上的投影向量为c,则() A.a.c=c.bB.ab>a.c c.a-d≤2 D.a.c=a-lc 8.如图，正方体ABCD-ABCD的棱长为1，任作平面a与对角线AC垂直，使平面a与正 方体的六条棱都有公共点.记截面PORSWE的面积为s,截面周长为L,则有() A.S为定值，L为定值 B.S为定值，L不为定值 C.s不为定值，L为定值 D.S不为定值，L不为定值 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分. 9.已知向量ā=(-6,3)，b=(2,),则下列说法不正确的是() A.当ā+b=(-4,4)时，t=-1 B.当ā1b时，t=4 C.ā与6夹角为钝角时，则t的取值范围为(-o,4)】 D.当t=2时，ā在6上的投影向量为(-32，-3W2) 10.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列说法中正确的是() A.c=acosB+bcosA B.若a2tanB=b'tanA,则a=b C.若a3+b3=c3,则△ABC为锐角三角形 D.若acosA=bcosB,则VABC为等腰三角形 11.将直角三角形ABC沿斜边上的高AD折成120的二面角，已知直角边AB=√5，AC=√6， 那么下面说法正确的是( A.平面ABD⊥平面BDC B.四面体D-ABC的体积是Y6 C.二面角4-BC-D的正切值是可 D.BC与平面ACD所成角的正弦值是 14 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知复数=m+(m-)i,2=2-2i,若+2为纯虚数，则实数m= 13.在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，E,F分别为棱A4,BB的中点，G为棱AB 上异于A,B的动点，则点G到平面DEF的距离为 14.已知圆柱OO,点P是上底面圆周上的一动点，点A,B,C在下底面的圆周上，且满足 AB=2,∠ACB=30°，三棱锥P-ABC外接球的表面积为52π，则三棱锥P-ABC体积 的最大值为 四、解答题：本题共3小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.本大 题所有立体几何题不能用空间向量解答，否则不给分。 15.(本小题满分13分) 已知在ABC中，内角么B,C所对的边分别为a,bc,且bsn4+ =asin AcosC+csin Acos A. (1)求A: (2)若△ABC的周长为2(5+√6)，面积为√5，求a. 16. (本小题满分15分) 如图，在多面体ABCDE中，AAEB为等边三角形，AD/IBC, BC⊥AB,CE=22,AB=BC=2AD=2.求证： (1)BC⊥平面ABE: (2)平面EBC⊥平面DCE. 17.(本小题满分15分) 如图，在四面体A-BCD中，BC⊥CD,BC=CD, ∠ACB=∠ACD,点E为BD的中点，点F为AC上一点，且DE=1, 四面体A-BCD的体积为 3 (1)求证：平面ACE⊥平面BDF: (2)若AE⊥CE,∠BFD恰为二面角B-AC-D的平面角，求△BDF 的面积。 18.(本小题满分17分) 已知多面体ABCDEF如图所示，其中四边形ABCD为矩形.EF∥平面ABCD,A,D,E,F四 点共面，AB=EF=AF=4,BC=8,点G是线段AC的中点 (1)求证：FG∥平面CDE: (2)若∠FAD=3∠FAB=90°，求点A到平面FBD的距离. 19。(本小题满分17分) 如图，三棱柱ABC-ABC中，AA=AB=AC=2,∠CAA=∠BAA=0,∠CAB=60°. 1)若05，H是线段4上一点，且h=要4，证明：mL4AC (2)若0=90°，M,N分别为线段BC,BC上的点，且B,C⊥平面MNA,求平面ABC与平面MNA 夹角的余弦值， 六安一中2026年春学期高一年级周末作业 数学试卷（八)参考答案 题号 2 3 6 8 9 10 11 答案 A A C B D D C ACD AC AD 8.C【详解】如图所示，连接BD,B,C,D,C,易知平面B,D,C与对角线AC垂直，又平面 a与对角线AC垂直，所以平面a/I平面B,DC;同理连接AB,AD,BD, 易知平面ABD与对角线AC垂直，又平面α与对角线AC垂直，所以平 面a/I平面ABD;又平面a∩平面ABBA=PQ,平面ABDn平面 ABB4=AB从而可得AB//PO,同理可得WS11CD,又AB/1CD,所以 WS//PO, 同理可得SR/IEP/IBD,QRI/EWI1B,C,将截面PORSWE各边展开如图： 由平行关系知，PORSWE的周长等于3√2为定值； 由平行关系知，PORSWE的形状为六边形，各边夹角为120°， 且相邻两边之和为√2，设PQ=x,则QR=√2-x,则PORSWE的面积 s-29小可e5-95+9 从而可知$是关于x的二次函数，不为定值， 11.AD【详解】由题意，沿AD折后，如图所示，因为直角三角形ABC沿斜边上的高AD折成120° 的二面角，可得AD⊥BD,AD⊥DC,且∠CDB是二面角C-AD-B的平面角，即∠CDB=120°， 在△BCD中，CD=2,BD=1,AD=√2，由余弦定理得BC2=CD2+BD2-2CD·BD cos120°=7， 所以BC=√7，对于A中，因为AD⊥BD,AD⊥DC,且BDI DC=D,BD,DCC平面BDC, 所以AD⊥平面BDC,又因为AD∈平面ABD,所以平面ABD⊥平面BDC, 所以A正确：对于B中，由于x=-m登nD-分行k2xsm120 所以B不正确：对于C中，过D作DF⊥BC交BC于F,连接AF,因为 BC⊥AD,且ADODE=D,AD,DFC平面ADF,所以BC⊥平面ADF, 又因为AFc平面ADF,所以AF⊥BC,所以∠AFD为二面角A-BC-D的 平面角， 由面积相等得2CD-BDsin20°=号DF,BC,可得DF= ，则 7 m∠AFD=P-厘，所以C不正确： DF 对于D中，由AD⊥平面BDC,且ADC平面ACD,所以平面BDC⊥平面ACD,可得BC与平面 ACD所成的角是∠BCD,则sin∠BCD-DF=V② ,所以D正确.故选：AD DC 14 12.-2 13.25 14.4+2V5【详解】设圆柱00的底面圆半径为r,则需满足2r= AB =4,可得r=2: sin∠ACB 易知三棱锥P-ABC的外接球与圆柱OO的外接球相同，其半径R满足4πR2=52π，解得R=√3： 设外接球球心为0，00=h,所以r2+ h =R2,解得h=6,即圆柱的高为6， 因为点P是上底面圆周上的一动点，即点P到底面ABC的距离为6， 取AB的中点为D,连接OD,OA,OB,因此OD⊥AB,如下图：因为 OA=OB=AB=2,所以OD=√3，当点C到AB的距离最大时，△ABC的面积 最大，此时三棱锥P-ABC的体积最大：因为点C在下底面的圆周上，所以点C 到4B的距离最大值为0C+0D=2+N5,因此(Sc)=×2×+同)=2+5，所以三棱锥 P-4BC体积的最大值为，×2+V5)x6=4+25 15.)4=号(2)a=25【详解】1)因为hsn4+写-asin4eosC+esincos4, 3分 又Be0.所以血80，则血4+s4=m小，得到am4=5。 又A∈(0，，所以A= 3 …6分 2)由①)知4-背所以5-c如4-c=5,得c=4,8分 又因为a2=b2+c2-2 bccos A=b2+c2-bc=(b+c2-3bc,又bc=4,得a2=(b+c2-12, 由aABc的周长为25+6)，所以a2=[2(5+6)-a-12, 整理得到241+√2)-4W31+√2a=0,解得a=25.…13分 16.(1)证明见解析(2)证明见解析 【详解】(1)由已知得BC2=4,BE2=4,CE2=8,所以BC2+BE2=CE2,.BC⊥BE.3分 又：BC⊥AB,BEIAB=B,AB,BEC平面ABE,∴BC⊥平面ABE..6分 (2)取BE的中点F,CE的中点M,连接FM,DM,FA,∴FM IIBC,MF=BC, :AD1/BC,AD=号BC,FMIAD,FM=AD,∴四边形ADMF是平行四边形， ∴.AF//DM, …9分 由(1)可得BC⊥平面ABE,,AFC平面ABE,,AF⊥BC,又，ABE为等边三角 形，F为边BE的中点，.AF⊥BE,.12分 .'BC∩BE=B,BC,BEC平面EBC,.AF⊥平面EBC,又AF//DM, ∴.DM⊥平面EBC,,'DMc平面DCE,.平面EBC⊥平面DCE …15分 17.(2)5 【详解】(1)证明：由题意可得△BCD为等腰直角三角形，斜边BD=2,所以BC=CD=√2， 2 又因为∠ACB=∠ACD,所以△ACB=△ACD(SAS),所以AB=AD,又因为点E为BD的中点，所以 AE⊥BD,CE⊥BD, …3分 又AE,CEC平面ACE,AE I CE=E,所以BDL平面ACE,又因为BDC平面BDF,所以平面ACE⊥ 平面BDF: …6分 (2)解：因为AE⊥CE,AE⊥BD,且BD,CEC平面BCD,BDOCE=E,所以AE⊥平面BCD, 所以AE为四面体的高， …8分 所以四面体的体积r-写m4E=写×5x反x= 2,解得AE=√5，又因为BE=DE=CE=1, 所以AB=AD=AC=2, …10分 又因为∠BFD恰为二面角B-AC-D的平面角，所以BF⊥AC,DF⊥AC, 所以5xp-= .12分 又因为5c-方4C-r=BF,解得-汽，所以DF=BF=,又因为BD=2,所以 15分 18.(1)证明见解析(2)8厅.【详解】1)证明：取CD中点H,连接GH, 17 EH,如图，因为EF∥平面ABCD,EFc平面ADEF,平面ADEF∩平面 ABCD=AD,所以EF∥AD, 3分 由题意，四边形ABCD为矩形，BC=8,EF=4,又G,H分别为CA,CD 的中点，所以GHAD,且GH=)AD=)BC=4,所以EFIGH且EF=GH, 则四边形EFGH为平行四边形， …5分 故FG/EH,又FGg平面CDE,EHc平面CDE,故FGI平面CDE;7分 （2油∠FAD=FA8=0,得∠FAD=90,∠FAB=12,所以D1,又AD LAB,AnB=A, AFC平面BAF,ABC平面BAF,所以AD⊥平面BAF,所以AD为三棱锥D-ABF的高，9分 且0-.所以5s-号8saw-寸款年46，所 6r号xSr8-32 1 ….11分 又由直角三角形ABD和直角三角形AFD得BD=DF=V4+82=4V5.又在等腰三角形△ABF中， AB=AF=4,∠FAB=120°，由余弦定理得BF2=AB2+AF2-2 AB.AF cos120°=48，得 BF=4V5..13分 所以在等腰三角形△BFD中，BD=DF=4V5,BF=4V5，,得底边BF上的高 N=√BD2-(5BF)2=27, 1 Spr=5×BF×H=4W5.l5分 2 设点A到平面FBD的距离为，则三棱锥A-DBF的体积ym-写X4W5Txh.由ym=,即 325 3 解得h=8 17 ,故点A到平面FBD的距离为8 17 …17分 19.(2).【i详解11)由圈设，14=AB=4C=2,∠C4=∠BA4=459∠C4B=60且AH=2 > AA 所以AH=√5，则BH2=AB2+AH2-2AB.AH cos45°=4+2-4=2，…2分 同理CH=2,所以AH+BH2=AB2、CH+BH=BC2,即AH⊥BH、 CH⊥BH,.4分 由AH⌒CH=H都在面ACH内， 故BH⊥面ACH,ACC面ACH,则BH⊥AC.6分 (2)由题设，易知直棱柱ABC-AB,C的底面为等边三角形且A4=AB=AC=2, 由BC⊥平面MNA,AN,MNc平面MNA,则B,C⊥AN,B,C⊥MN,8分 在等边△AB,C中，B,C⊥AN,则N为BC中点，在△BB,C中BB⊥BC,则MN∥BB,故M是BC 中点，又面ABC∩面MNA=MA,C∈面ABC,N∈面MNA,B,CO面MNA=N, 所以NC⊥面MNA,MAc面MNA,则NC⊥MA,…10分 过N作ND⊥MA1,连接CD,而NC⌒WND=N且都在面NCD内，所以MA⊥面NCD,DCc面NCD, 则M4⊥DC, 综上，∠NDC是平面ABC与平面MNA夹角的平面角或其补角，.12分 D 由上B4=BC=25,AG=2,则cos∠BC,4=5,而MC=2, 4 所以4M2=4C+MC-2AG:MGos∠BCA=4+2-2x2xN2x 2=4,14分 4, 在aMN4中MN=2BB=l,NM=V5, 则cos∠M4N=4M+N4-MN2-4+3-L-V5 2AM·NA 2x2xV52, 所以sm∠4N=: 则DN=Mm∠4N=5,而C=1,所以DG- *1 3 2 ,故cos∠NDC=DN=V2 2 DC 7 综上，平面ABC与平面MN4夹角的余弦值D .17分