精品解析：广东梅州市兴宁市第一中学2026-2027学年高二上学期暑期摸底测试数学试题

2028届高二年级开学前8月下旬 暑期摸底测试 数学试题 2026.08 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用中间量比较，运用中间量比较 【详解】则．故选B． 【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题． 2. 若构成空间的一个基底，则下列向量可作为基底的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】根据基底的定义，结合空间向量的共面条件，可得答案. 【详解】因为，所以，，共面； 因为，所以，，共面； 因为，所以，，共面； 因为不存在x，y，使得，所以，，不共面，所以可以作为基底． 故选：D. 3. ，，，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由得到，又，，则， 所以， 当且仅当，即时取等号. 4. 如图，空间四边形中，，，，点在上，且，点为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由空间向量的线性运算进行求解即可． 【详解】 ． 故选：B 5. 某高校举行科普知识竞赛，所有参赛的500名选手成绩的平均数为82，方差为0.82，则下列四个数据中不可能是参赛选手成绩的是（ ） A. 60 B. 70 C. 80 D. 100 【答案】A 【解析】 【分析】因为方差，平均数，利用数字特征，通过计算各个选项排除求解. 【详解】设所有参赛的500名选手成绩为：，，，； 则平均数； 方差，即； 对于A选项，若存在，则有，所以不可能是参赛选手成绩； 对于B选项，若存在，则有，所以有可能是参赛选手成绩； 对于C选项，若存在，则有，所以有可能是参赛选手成绩； 对于D选项，若存在，则有，所以有可能是参赛选手成绩； 综上所述，不可能是参赛选手成绩； 故选：A. 6. 如图，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态．图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态．根据所给图示作出判断，则下列结论正确的是（ ） A. 图（1）中平均数中位数众数 B. 图（2）中平均数众数中位数 C. 图（2）中众数平均数中位数 D. 图（3）中平均数中位数众数 【答案】D 【解析】 【分析】由频率分步直方图概念，结合中位数，平均数，众数定义结合图形可得答案. 【详解】对于图1，平均数中位数众数，故A错误； 对于图2，众数中位数平均数，故BC错误； 对于图3，平均数中位数众数，故D正确. 故选：D 7. 设函数，则不等式的解集是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出，再结合函数解析式分两段得到不等式组，解得即可. 【详解】因为，所以， 不等式等价于或， 解得或或， 所以不等式的解集为. 故选：B 8. 掷一枚质地均匀的骰子3次，则三个点数之和大于14的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用列举法结合古典概型求解即可. 【详解】由题，三个点数之和大于14可能为15，16，17，18四种情况， 又， 则包含的基本事件有， 共个， ， 则包含的基本事件有共个， ， 则包含的基本事件有共个， ，包含的基本事件有个， 所以所求概率. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若幂函数的图象经过点，则（ ） A. B. C. 为偶函数 D. 对任意， 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题设先求得，，进而结合幂函数的性质求解判断各选项即可. 【详解】设，则，解得，则，， 对于A，，故A正确； 对于B，函数在上单调递增，则，故B正确； 对于C，由，则为奇函数，故C错误； 对于D，由，， 则，故D正确. 故选：ABD 10. 满足，且，则（ ） A. 三个内角满足关系 B. 的周长为 C. 若的角平分线与交于，则的长为 D. 设为外接圆上任意一点，则的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】借助正弦定理将角的关系转化为边的关系，再结合余弦定理和面积即可求得三角形的边长，利用角平分线将三角形进行分割，利用面积建立方程，即可求出的长度，最后借助数量积的几何意义即可求出最大值. 【详解】因为，由正弦定理得， 因为，所以， 所以， 对于A：由余弦定理知，，因为，所以， 所以，即，故A正确； 对于B：因为， 所以的周长为，故B正确； 对于C：若的角平分线与交于，则， 因为， 所以， 即，解得，故C错误； 对于D：因为， 设外接圆的圆心为，半径为， 由正弦定理知，，所以， 过点作的垂线，垂足为，则， 当，且点在的延长线上时，取得最大值，如图所示， 此时， 所以的最大值为，故D正确. 11. 如图；正方体的棱长为2，是侧面上的一个动点（含边界）；点在棱上；则下列结论正确的有（ ） A. 若；沿正方体的表面从点到点的最短距离为 B. 若，三棱锥的外接球表面积为 C. 若；，则点的运动轨迹长度为 D. 若；平面被正方体截得截面面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，将正方体的下面和侧面展开，连接，计算即可判断； 对于B正弦定理知外接圆半径，又平面，设三棱锥的外接球半径为，求得即可判断； 对于C，由线面垂直和面面平行的判定定理，设平面交平面于，则的运动轨迹为线段，求得即可判断； 对于D，延长，交于点，连接交于，连接，则平面被正方体截得的截面为，利用三角形相似即可判断． 【详解】对于A，将正方体的下面和侧面展开可得如图图形，连接， 则，故A错误； 对于B，当，所以中，，则， 设外接圆半径为，则由正弦定理知：，则， 又平面，设三棱锥的外接球半径为，则， 所以三棱锥的外接球表面积，故B正确； 对于C，如图： 因为平面，平面，所以， 又，，，平面， 所以平面，平面，所以， 同理可得，，，平面．所以平面， 所以过点作交交于，过作交交于， 所以平面，同理可得平面， 平面，所以平面平面，所以平面, 取连接,则均在平面上， 则的运动轨迹为线段， 由于平面,平面,所以, 由点在棱上，且，可得， 所以，故C正确； 对于D，如图： 延长，交于点，连接交于，连接， 所以平面被正方体截得的截面为． ，所以， 所以， 所以，所以，且， 所以截面为梯形，，所以截面为等腰梯形， 设梯形的高为，则, 所以，故D正确． 故选：BCD． 【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下： （1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径； （2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的； （3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解. 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若复数z满足，其中是虚数单位，则z的共轭复数_________． 【答案】 【解析】 【分析】先通过复数代数形式的四则运算求出复数，再根据共轭复数的定义得到结果. 【详解】对已知等式变形可得 ，  所以的共轭复数. 13. 已知空间中三点，，，则以，为邻边的平行四边形的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出与，计算模长和夹角余弦值，进而求得夹角的正弦值，最后利用平行四边形面积公式，求面积即可. 【详解】因为，，，所以，， 则，， ， 所以， 则以，为邻边的平行四边形的面积. 故答案为： 14. 已知函数，若关于的方程有6个根，则的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】令 ，先确定方程 的根的个数，再把原方程转化为关于 的二次方程．要使关于 的原方程有 个根，关于 的二次方程必须有两个不同的根，且这两个根都在 内，再利用二次函数根的分布求 的取值范围． 【详解】作出函数的大致图象， 令 ． 当 或 时，方程 有 个根； 当 或 时，方程 有 个根； 当 时，方程 有 个根． 原方程可化为 要使原方程有 个根，关于 的方程必须有两个不同的根，且两个根都属于 ． 令 因为二次项系数为正，所以需满足， 由此得 故 的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 化简求值： （1）； （2）； （3）已知为第三象限角，且，若，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用分数指数幂、零指数幂、分母有理化、复合二次根式化简，合并同类根式求值； （2）运用对数运算性质、、换底公式逐项化简再计算； （3）借助三角函数诱导公式化简，求出，结合角所在象限符号，用同角平方关系求出． 【小问1详解】 因，，， ，， 则原式； 【小问2详解】 ，，， ， 原式； 【小问3详解】 ， 由，得， 又为第三象限角，所以． 16. 已知函数是定义在上的单调函数，且对任意正数，，都有.且. （1）求，的值； （2）判断函数的奇偶性并证明； （3）若不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）， （2）是奇函数，证明如下： 因为定义域为，关于原点对称， 设，代入可得， 所以，所以是奇函数. （3） 【解析】 【分析】（1）赋值法即可求值； （2）设，利用奇函数定义即可证明； （3）根据函数的性质把不等式恒成立转化为恒成立，然后利用一元二次型不等式解法，分类讨论求解即可. 【小问1详解】 设，得，则. 再设，有， 再设，有，所以，所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 函数是定义在上的单调函数，且， 所以是定义在上的单调增函数，又是奇函数， 所以， 所以即恒成立， 当时，，此时，不符合题意， 当时，有，即，解得， 所以的取值范围是 17. 在锐角中，角，，的对边为，，，为的面积，且， （1）求角的正弦值； （2）求的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用三角形面积公式和余弦定理，把已知等式化为关于的三角函数关系，求出； （2）利用正弦定理将所求式转化为关于角的三角函数，再结合锐角三角形对角的范围限制，利用辅助角公式求取值范围． 【小问1详解】 由三角形面积公式， 又由余弦定理，所以 由题意，即 因为为锐角，所以从而 因此 【小问2详解】 由正弦定理， 结合，得 又，所以，从而 因此 因为为锐角三角形，所以 由，得，故 又由且，可知 于是且 结合正弦函数在上单调递增、在上单调递减，且在上述区间内，可得 所以，即的取值范围为． 18. 如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点． （I）求证：平面； （II）求直线与平面所成角的正弦值． （III）求二面角的正弦值． 【答案】18. 证明如下： 以为原点，分别为轴，建立如图空间直角坐标系， 则,,,,,,， 因为E为棱BC的中点，F为棱CD的中点，所以，， 所以,,, 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 因为，所以， 因为平面，所以平面； 19. ； 20. . 【解析】 【分析】（I）建立空间直角坐标系，求出及平面的一个法向量，证明，即可得证； （II）求出，由运算即可得解； （III）求得平面的一个法向量，由结合同角三角函数的平方关系即可得解. 【18题详解】 略 【19题详解】 由（1）得，， 设直线与平面所成角为， 则； 【20题详解】 由正方体的特征可得，平面的一个法向量为， 则， 所以二面角的正弦值为. 19. 在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为．现有两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码（例如，若收到1，则译码为1，若收到0，则译码为0）；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到，则译码为1，若依次收到，则译码为1）． （1）已知． ①若采用单次传输方案，重复发送信号0两次，求至少收到一次0的概率； ②若采用单次传输方案，依次发送，证明：事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”相互独立． （2）若发送1，采用三次传输方案时译码为0的概率大于采用单次传输方案时译码为0的概率，求的取值范围． 【答案】（1）① ； ②证明：记事件为“第三次收到的信号为1”，则． 记事件为“三次收到的数字之和为2”， 则． 因为， 所以事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”相互独立． （2） 【解析】 【分析】（1）①记事件为“至少收到一次0”，利用相互独立事件、互斥事件的概率公式计算可得；②记事件为“第三次收到的信号为1”，事件为“三次收到的数字之和为2”，证明即可； （2）记事件为“采用三次传输方案时译码为0”，事件为“采用单次传输方案时译码为0”，根据题意可得，解不等式可解. 【小问1详解】 ①记事件为“至少收到一次0”，则． ②略 【小问2详解】 记事件为“采用三次传输方案时译码为0”，则． 记事件为“采用单次传输方案时译码为0”，则． 根据题意可得，即， 因为，所以， 解得，故的取值范围为． 【点睛】关键点点睛：利用相互独立事件、互斥事件的概率公式计算各事件的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2028届高二年级开学前8月下旬 暑期摸底测试 数学试题 2026.08 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则 A. B. C. D. 2. 若构成空间的一个基底，则下列向量可作为基底的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. ，，，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，空间四边形中，，，，点在上，且，点为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 某高校举行科普知识竞赛，所有参赛的500名选手成绩的平均数为82，方差为0.82，则下列四个数据中不可能是参赛选手成绩的是（ ） A. 60 B. 70 C. 80 D. 100 6. 如图，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态．图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态．根据所给图示作出判断，则下列结论正确的是（ ） A. 图（1）中平均数中位数众数 B. 图（2）中平均数众数中位数 C. 图（2）中众数平均数中位数 D. 图（3）中平均数中位数众数 7. 设函数，则不等式的解集是（   ） A. B. C. D. 8. 掷一枚质地均匀的骰子3次，则三个点数之和大于14的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若幂函数的图象经过点，则（ ） A. B. C. 为偶函数 D. 对任意， 10. 满足，且，则（ ） A. 三个内角满足关系 B. 的周长为 C. 若的角平分线与交于，则的长为 D. 设为外接圆上任意一点，则的最大值为 11. 如图；正方体的棱长为2，是侧面上的一个动点（含边界）；点在棱上；则下列结论正确的有（ ） A. 若；沿正方体的表面从点到点的最短距离为 B. 若，三棱锥的外接球表面积为 C. 若；，则点的运动轨迹长度为 D. 若；平面被正方体截得截面面积为 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若复数z满足，其中是虚数单位，则z的共轭复数_________． 13. 已知空间中三点，，，则以，为邻边的平行四边形的面积为__________. 14. 已知函数，若关于的方程有6个根，则的取值范围为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 化简求值： （1）； （2）； （3）已知为第三象限角，且，若，求的值． 16. 已知函数是定义在上的单调函数，且对任意正数，，都有.且. （1）求，的值； （2）判断函数的奇偶性并证明； （3）若不等式恒成立，求的取值范围. 17. 在锐角中，角，，的对边为，，，为的面积，且， （1）求角的正弦值； （2）求的取值范围． 18. 如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点． （I）求证：平面； （II）求直线与平面所成角的正弦值． （III）求二面角的正弦值． 19. 在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为．现有两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码（例如，若收到1，则译码为1，若收到0，则译码为0）；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到，则译码为1，若依次收到，则译码为1）． （1）已知． ①若采用单次传输方案，重复发送信号0两次，求至少收到一次0的概率； ②若采用单次传输方案，依次发送，证明：事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”相互独立． （2）若发送1，采用三次传输方案时译码为0的概率大于采用单次传输方案时译码为0的概率，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $