广东省佛山市2026-2027学年高二上学期数学开学考模拟卷

**基本信息** 本试卷涵盖复数、三角函数、概率统计、立体几何等高二核心知识，解答题结合乒乓球比赛概率、四棱锥夹角等真实情境，通过分层设计考查数学思维与应用能力，适配开学学情检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|单选含复数运算、三角函数定义，多选涉及统计量计算、三角函数图像性质|基础题与综合题结合，如概率事件关系题考查逻辑推理| |填空题|3题/15分|向量数量积、立体几何最短路径、逻辑推理概率|空间观念与创新意识并重，如正三棱锥小虫爬行路径题| |解答题|5题/77分|解三角形、空间向量、统计案例、立体几何证明与夹角、概率应用|综合题层次分明，乒乓球比赛概率题体现数据意识与数学语言表达，适配高考命题趋势|

广东省佛山市2026-2027学年高二数学上学期开学模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在复平面内，复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复数模的运算性质及共轭复数的模与原复数模相等的关系求解，也可先化简得到z再计算其共轭的模. 【详解】 已知，对等式两边同时取模，可得： 分别计算两个已知复数的模： ，， 代入上式解得， 由，因此. 2．已知角的终边经过点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据任意角三角函数的定义以及诱导公式计算即可. 【详解】. 3．已知，为两个随机事件，，，则下列结论错误的是（   ） A．若，则 B．若A，B独立，则 C．若A，B独立，则 D．若A，B互斥，则 【答案】C 【分析】分别根据相互独立事件的概率，互斥事件的概率，包含事件的概率的定义及公式计算可得. 【详解】对于A，若，则，故A正确； 对于B，若，独立，则，故B正确； 对于C，若，独立，则，故C错误； 对于D，若，互斥，则，故D正确． 4．在四面体中，点满足，在上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的线性运算及空间向量基本定理，将分别用基底表示，通过对应系数相等建立方程组求解的值即可. 【详解】由题意，在四面体 中，， 所以 ， 因为点在上，设，其中，则， 又因为， 由于不共面，根据空间向量基本定理，对应系数相等， 可得，解得，，所以 ， 则，故C正确. 5．从三个白球和一个黑球中分别采用有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样的方式抽取两个球，抽到的两球都是白球的概率分别是，，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若采用有放回简单随机抽样，则； 若采用不放回简单随机抽样，则； 可知，，故A正确，BCD错误. 6．已知向量，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由夹角相等转化为余弦值相等直接求解即可. 【详解】，，所以， 因为，所以，且， 即，得 ，，，， 代入得，解得. 7．如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，为的中点，在上，平面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出辅助线，由线面平行的性质得到线线平行，结合边长之间的比例关系得到答案 【详解】连接，与相交于点， 因为四棱锥的底面是平行四边形，所以， 所以， 因为为的中点，所以，故， 因为平面，平面，平面平面， 所以， 所以. 8．已知非零向量与满足，且，点是的边上的动点，则的最小值为（ ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】分析出为等腰直角三角形，建立平面直角坐标系，表达出，求出最小值. 【详解】分别表示与同方向的单位向量， 故为的平分线所在直线， 又，故的平分线所在直线与垂直， 由三线合一可得， 取的中点，则，， ，故， 所以为等腰直角三角形， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系， 则，设，， 则， 故当时，取得最小值，最小值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知某地区某周7天每天的最高气温分别为23，25，13，10，13，12，19（单位℃）．则（    ） A．该组数据的平均数为 B．该组数据的中位数为13 C．该组数据的第70百分位数为16 D．该组数据的极差为15 【答案】ABD 【分析】根据平均数、中位数、百分位数和极差的定义判断即可． 【详解】将23，25，13，10，13，12，19从小到大排列为10，12，13，13，19，23，25， 对于A，该组数据的中位数为，故A正确； 对于B，该组数据的中位数为13，故B正确； 对于C，由，则该组数据的第70百分位数为从小到大排列的第5个数，是19，故C错误； 对于D，该组数据的极差为，故D 正确． 故选：ABD． 10．如图是函数的部分图象，则下列结论正确的是（   ） A． B．的图象关于中心对称 C．在上单调递增 D．的图象向左平移个单位长度后为奇函数 【答案】AC 【分析】根据、结合周期可判断A；根据余弦函数的单调性及对称性可判断BC；根据函数图象平移得到函数解析式，结合余弦函数的奇偶性可判断D. 【详解】对于A，由得，由得， 由得，故， 化简得，     由图可知该函数的周期，故，解得， 所以，故A正确；     对于B，由，得不是函数的对称中心，故B错误； 对于C，由，可得， 由，得函数在上单调递增，故C正确； 对于D，的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，此时为偶函数，故D错误. 故选：AC. 11．正三棱柱中，棱长均为3，在棱上，且（在上面），则（    ） A．五面体的体积是定值 B．与可能垂直 C． D．当时，称五面体为刍甍，该刍甍体积为 【答案】ACD 【分析】根据割补法计算体积分析ACD，建立空间直角坐标系分析B. 【详解】 对于AD，, 正三棱柱中，棱长均为3,所以, 设，则, , 故,AD正确； 对于B，以为原点，建立空间直角坐标系如图， 则，,, 所以,, 当时，，此时不在棱上，故错误； 对于C，因为平行于平面, 所以到平面的距离为的高， , 故, , 故正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．如图，，，，均在单位格点上，则__________．    【答案】 【详解】   以点为坐标原点，网格线所在直线分别为 轴、 轴建立平面直角坐标系， 设小正方形的边长为 1, 由图可知,，，，, 所以，。 则 . 13．如图，正三棱锥的底边长为2，. 一只小虫从点出发，沿三个侧面爬行一周，回到点. 则爬行的路径最短为________. 【答案】 【分析】根据正三棱锥的侧面展开图求得正确答案. 【详解】正三棱锥的侧面展开图如下图所示， 因为为正三棱锥，所以， 依题意可知，所以三角形是等腰直角三角形， 在中，由余弦定理可得：， 所以，解得：， 所以. 所以最短路程为. 14．已知袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球．甲、乙、丙三人依次各摸出1个球（不放回）．三人只能看见别人手中的球，无法看到自己的球．此时，甲说：“我不知道我手里是什么颜色的球．”乙听到后说：“我也不知道我手里是什么颜色的球．”若甲、乙均绝对理性且不说谎，则在此条件下，甲手中是红球的概率为________． 【答案】/ 【分析】分析甲、乙两人看到的可能情形，可确定丙手中的球的颜色，从而得到甲手中是红球的概率. 【详解】由“甲不知道自己手里是什么颜色的球”知，乙、丙两人手里的小球肯定不是两个白球； 若乙看到丙拿的是白球，甲不论拿的是什么颜色的球，则由“甲不知道自己手里是什么颜色的球”知，乙自己肯定拿的是红球； 但乙不知道自己拿的是什么颜色的球，所以丙拿到的肯定是红球. 则此时甲手中是红球的概率为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知在中，角，，的对边分别为，，，，． (1)求的值； (2)若线段上的一点满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先通过正弦定理将边的比例参数化，结合余弦定理求出边后再计算； （2）第二问由向量垂直的性质将所求角的余弦转化为计算即可． 【详解】（1）根据正弦定理，可得， 设， 由余弦定理， 化简得，解得（边长为正，舍去负根）， 由余弦定理得． （2）由得，即，为直角三角形， 所以， 因此， 由余弦定理得， 因为，所以， 所以． 16．（15分） 在平行六面体中，，，，M为的中点，N为的三等分点且靠近点C．记，，． (1)用，，表示向量，并求的长度； (2)求平面的法向量（用，，表示）． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据向量的线性运算，利用空间向量的数量积和模长公式计算即可求解； （2）设平面的法向量，根据法向量的定义结合向量数量积的运算性质即可求解. 【详解】（1）由题意知：， ，； （2），，设平面的法向量，， 由，得 ①； 由，得 ②； 令，由①②得，，． 17．（15分） 某校举办了校园诗词大赛，学生的比赛成绩均在内（单位：分），随机抽取了名学生的成绩，整理后按照，，，，分成五组，并绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)求的值，并基于频率分布直方图估计这名学生成绩的中位数． (2)现从样本成绩在与两个分数段内，按分层随机抽样的方法选取人，再从这5人中随机选取人．写出该试验的样本空间，并用古典概型的概率计算公式求这人中恰有人的成绩落在内的概率． 【答案】(1)（或），（分） (2)样本空间， 【分析】（1）根据条件，利用频率分布直方图的性质，即可求出值，再由中位数的定义，即可求解； （2）根据条件，先求出两分数段内的人数，利用列举法列出样本空间，再由古典概率的计算公式，即可求解. 【详解】（1）由频率分布直方图的性质，，解得， 设名学生成绩中位数的估计结果为．记第组的频率为（按分数从低到高，）， 则由频率分布直方图可得：，，，， 因为，，所以． 由比例关系，，解得（分）. （2）由（1）得，．由分层抽样定义，在分数段内抽取人，在分数段内抽取人． 记中选取的四人为，，，，中选取的一人为， 则样本空间， 设事件“这2人中恰有1人的成绩落在内”，则， 所以． 18．（17分） 如图，在四棱锥中，平面，，，，直线与平面所成角为，为线段的中点. (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明：取中点,连接, 则,, 又因为,, 所以,, 所以四边形是平行四边形， 所以, 又因为平面,平面, 所以平面； (2). 【分析】（1）取中点,连接,由题意可得四边形是平行四边形，从而得,由线面平行的判定定理即可得证； （2）以为坐标原点，分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系,利用空间向量求解即可. 【详解】（1）略； （2）因为平面，， 所以以为坐标原点，分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系： 又直线与平面所成角为， 即, 又因为， 所以，， 所以， 易知平面的法向量为， 因为, 设平面的法向量为， 则， 则有， 取， 设平面与平面的夹角为， 所以. 19．（17分） 乒乓球运动是常见的大众运动项目之一.已知11分制乒乓球比赛中，每一局比赛的规则如下：参加比赛双方的起始比分为0∶0，任何一方每赢得一球该方增加1分，对方不增加分；若双方比分未出现10∶10，参赛双方每打完两球交换一次发球权，直至某一方先得11分且至少领先对方2分时，该方获胜，该局比赛结束；若双方比分出现10∶10，立即交换发球权，且接下来每打完一球交换一次发球权，直至某一方领先对方2分，该方获胜，该局比赛结束.现甲、乙双方进行乒乓球比赛，设甲发球并赢得该球的概率为，乙发球并赢得该球的概率为，且双方打每个球的结果相互独立. (1)已知甲、乙在某局比赛中目前的比分为10∶10，接下来由甲发球，双方又打了个球后该局比赛结束. （i）求事件“”的概率； （ii）求事件“且甲获胜”的概率； (2)已知甲、乙在某局比赛中目前的比分为8∶8，接下来由甲发球，求“该局比赛结束时甲得11分”的概率. 【答案】(1)（i）；（ii） (2) 【分析】（1）一小问讨论甲乙分别获胜的概率再相加；二小问分类讨论前两球甲先得分还是乙先得分的概率再相加； （2）讨论乙的最终得分，计算需要再打几场并讨论每场的得分情况，分别求概率再相加 【详解】（1）（ⅰ）比分平后，两人又打了2个球后比赛结束，则这两个球均由甲得分，或均由乙得分，且两者互斥，所以. （ⅱ）若，则最终比分为，且这4个球中前两个球甲、乙各胜1球，第3，4个球均由甲胜.设双方平后的第个球甲获胜为事件，则事件“且甲获胜”，且与互斥. ， ， 所以事件“且甲获胜”的概率为. （2）甲、乙的比分暂时为，若甲得11分时比赛结束，则共有3种情形：①甲以胜，即甲接下来连赢3球，设为事件；②甲以胜，即双方接下来共打4个球，且甲前3球赢2球，且赢第4个球，设为事件；③甲以负，即双方接下来共打8个球，且前4球甲乙各赢2球，第5，6球各赢1球，第7，8球乙赢，设为事件， 因为双方打每个球的结果相互独立，且，，互斥，所以 ， ， ， 则. 所以甲得11分时比赛结束的概率为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省佛山市2026-2027学年高二数学上学期开学模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在复平面内，复数满足，则（    ） A． B． C． D． 2．已知角的终边经过点，则（     ） A． B． C． D． 3．已知，为两个随机事件，，，则下列结论错误的是（   ） A．若，则 B．若A，B独立，则 C．若A，B独立，则 D．若A，B互斥，则 4．在四面体中，点满足，在上，若，则（    ） A． B． C． D． 5．从三个白球和一个黑球中分别采用有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样的方式抽取两个球，抽到的两球都是白球的概率分别是，，则有（    ） A． B． C． D． 6．已知向量，，，若，则（    ） A． B． C． D． 7．如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，为的中点，在上，平面，则（    ） A． B． C． D． 8．已知非零向量与满足，且，点是的边上的动点，则的最小值为（ ） A． B．2 C． D．1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知某地区某周7天每天的最高气温分别为23，25，13，10，13，12，19（单位℃）．则（    ） A．该组数据的平均数为 B．该组数据的中位数为13 C．该组数据的第70百分位数为16 D．该组数据的极差为15 10．如图是函数的部分图象，则下列结论正确的是（   ） A． B．的图象关于中心对称 C．在上单调递增 D．的图象向左平移个单位长度后为奇函数 11．正三棱柱中，棱长均为3，在棱上，且（在上面），则（    ） A．五面体的体积是定值 B．与可能垂直 C． D．当时，称五面体为刍甍，该刍甍体积为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．如图，，，，均在单位格点上，则__________． 13．如图，正三棱锥的底边长为2，. 一只小虫从点出发，沿三个侧面爬行一周，回到点. 则爬行的路径最短为________. 14．已知袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球．甲、乙、丙三人依次各摸出1个球（不放回）．三人只能看见别人手中的球，无法看到自己的球．此时，甲说：“我不知道我手里是什么颜色的球．”乙听到后说：“我也不知道我手里是什么颜色的球．”若甲、乙均绝对理性且不说谎，则在此条件下，甲手中是红球的概率为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知在中，角，，的对边分别为，，，，． (1)求的值； (2)若线段上的一点满足，求的值． 16．（15分） 在平行六面体中，，，，M为的中点，N为的三等分点且靠近点C．记，，． (1)用，，表示向量，并求的长度； (2)求平面的法向量（用，，表示）． 17．（15分） 某校举办了校园诗词大赛，学生的比赛成绩均在内（单位：分），随机抽取了名学生的成绩，整理后按照，，，，分成五组，并绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)求的值，并基于频率分布直方图估计这名学生成绩的中位数． (2)现从样本成绩在与两个分数段内，按分层随机抽样的方法选取人，再从这5人中随机选取人．写出该试验的样本空间，并用古典概型的概率计算公式求这人中恰有人的成绩落在内的概率． 18．（17分） 如图，在四棱锥中，平面，，，，直线与平面所成角为，为线段的中点. (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 19．（17分） 乒乓球运动是常见的大众运动项目之一.已知11分制乒乓球比赛中，每一局比赛的规则如下：参加比赛双方的起始比分为0∶0，任何一方每赢得一球该方增加1分，对方不增加分；若双方比分未出现10∶10，参赛双方每打完两球交换一次发球权，直至某一方先得11分且至少领先对方2分时，该方获胜，该局比赛结束；若双方比分出现10∶10，立即交换发球权，且接下来每打完一球交换一次发球权，直至某一方领先对方2分，该方获胜，该局比赛结束.现甲、乙双方进行乒乓球比赛，设甲发球并赢得该球的概率为，乙发球并赢得该球的概率为，且双方打每个球的结果相互独立. (1)已知甲、乙在某局比赛中目前的比分为10∶10，接下来由甲发球，双方又打了个球后该局比赛结束. （i）求事件“”的概率； （ii）求事件“且甲获胜”的概率； (2)已知甲、乙在某局比赛中目前的比分为8∶8，接下来由甲发球，求“该局比赛结束时甲得11分”的概率. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $