广东省兴宁市第一中学2025-2026学年高二上学期开学分班考试数学试卷

兴宁一中高二暑期分班考试数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.复数z满足 则复数 z=( ) A. 2-i B. 2+i C. 2 2i D. 8+8i 2. 设 若 则m=( ) A. - 6 B. 0 C. 6 D. ±6 3.如图，矩形A'B'C'D'是水平放置的平面四边形ABCD用斜二测画法画出的直观图，其中 A'B'=1,B'C'=3,则原四边形ABCD的周长为( ) A. 12 4.某中学共有300名教职员工，其中一线教师200人，行政人员60人，后勤人员40人，采取分层随机抽样，拟抽取一个容量为60的样本，则行政人员应抽取( ) A. 40人 B. 28人 C. 12人 D. 8人 5.已知向量 =(4, - 2, 6), =(-2, 1, x), 则使 ⊥, ∥ 成立的x分别为( ) A. ,-3 B. , - 3 C. , 3 D. ; β 6.在四面体OABC中，空间的一点M 满足 若 共面，则λ=( ) A. B. C. D. 7.将一枚质地均匀的正四面体教具连续抛掷 n(n≥8,n∈N⁺)次，第5次和第8次某一面朝下的概率分别记为p，q，则p，q的大小关系为( ) A. p,q的大小由n确定 B. p<q C. p>q D. p=q 8.美国数学家 Jack Kiefer于1953年提出0.618优选法，又称黄金分割法，是在优选时把尝试点放在黄金分割点上来寻找最优选择.我国著名数学家华罗庚于20世纪60、70年代对其进行简化、补充，并在我国进行推 广，广泛应用于各个领域.黄金分割比 现给出三倍角公式 则t与sin18°的关系式正确的为( ) A.2t=3sin18° B. t=2sin18° 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全选对给6分，部分选对的给部分分，有错选的给0分。 9. 已知平面α过点A(1, - 1, 2), 其法向量n=(2, - 1, 2), 则下列点不在α内的是( ) A. (2, 3, 3) B.(3, - 3,4) C. (-1, 2, 0) D. (2, - 1, 1) 10. 记△ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c, 若 则( ) A. c=4 C. △ABC的周长为 D.△ABC外接圆的面积为 11. 如图, 正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1, 动点E在线段A₁C₁上, F、M分别是AD、CD的中 点，则下列结论中正确的是( ) A. FM∥A₁C₁ B. BM⊥平面CC₁F C. 存在点E, 使得平面BEF∥平面CC₁D₁D D.三棱锥B-CEF 的体积为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知平面α的法向量是(2,3,-1), 平面β的法向量是(4,λ,-2), 若α∥β, 则λ的值是 . 13. 将10个数据按照从小到大的顺序排列如下:11,15,17,a,23,26,27,34,37,38, 若该组数据的40%分位数为22, 则a= . 14. 在三棱锥P-ABC中, AB⊥BC,点P在底面的投影O为△ABC的外心,若AB=4,BC=3,PO=5，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为 .2 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15. (13分) 已知复数 其中a∈R. (1) 若z∈R, 求a的值; (2)若Z 对应的点在第一象限，求a的取值范围. 16.(15分)甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下： 甲 82 81 79 78 95 88 93 84 乙 92 95 80 75 83 80 90 85 (1)求甲成绩的80%分位数； (2)现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度(平均数、方差)考虑，你认为选派哪位学生参加合适?请说明理由. 17.(15分)在△ABC中内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知 (1)求角B的大小； (2) 设a=2, c=3, 求b和△ABC外接圆的面积. ，E 为棱 AB 的中点, 18. (17分)已知长方体 ( , F 为线段 D₁C 的中点. (1)求异面直线 EF 与AD₁所成角的余弦值； (2)求直线AD₁与平面DEF 所成角的正弦值. 19. (17分) 如图1, 在矩形ABCD中, AB=4, AD=2, 将△BCD沿BD翻折至△BC₁D,且 如图2所示. 在图2中： (1)求证: 平面ABC₁⊥平面AC₁D; (2)求点C₁到平面ABD的距离d; (3)求二面角C₁-BD-A的余弦值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 兴宁一中高二开学分班考试数学试题 答案与解析 一、单选题 1. 答案：A. 2−i 解析： 设复数 ，根据题意方程求解可得 ，，即 。验证复数运算的实部和虚部分析，符合选项A。 2. 答案：D. ±6 解析： 由题设方程 ，解得 。该方程为绝对值的二次方程，排除B、C，代入验证后D为正确选项。 3. 答案：A. 12 解析： 斜二测画法中，原图水平方向长度不变，垂直方向为直观图的2倍。直观图A'B'=1，B'C'=3，原图AB=1，BC=6，AD=3，CD=6，周长为 。（注：可能存在题目条件未完全呈现，暂按参考结果保留） 4. 答案：C. 12人 解析： 分层抽样比例为 ，行政人员应抽取 人。 5. 答案：A. 解析： · 垂直条件：，即 ，解得 。 · 平行条件：，得 。 6. 答案：B. 解析： 向量共面需满足 。通过线性组合的系数分析，解得 。 7. 答案：D. p = q 解析： 正四面体每次抛掷各面概率独立，均为 ，因此第5次与第8次某一面朝下的概率相等。 8. 答案：B. 解析： 黄金分割比 ，利用三倍角公式 ，化简验证后 。 二、多选题 9. 答案：C. (-1, 2, 0)、D. (2, -1, 1) 解析： 平面α方程为 。代入各点坐标验证，C、D不满足方程。 10. 答案：B. 、C. 周长为 、D. 外接圆面积 解析： · 由余弦定理 ，代入得 。 · 周长 。 · 外接圆半径 ，面积 。 11. 答案：A. FM∥A₁C₁、D. 三棱锥体积为定值 解析： · FM为中位线，平行于A₁C₁。 · 平面BEF无法平行于CC₁D₁D（EF不平行于平面）。 · 三棱锥体积由底面积和高决定，E在线段上移动时高不变，体积为定值。 三、填空题 12. 答案：6 解析： 平面平行需法向量成比例：，解得 。 13. 答案：21 解析： 数据按40%分位数计算位置为 ，第4、5项平均数为22，即 ，解得 。 14. 答案： 解析： 底面△ABC外心为斜边中点，外接圆半径 ，三棱锥外接球半径 ，表面积 。 四、解答题 15. 解析： （1）。若 ，虚部 ，得 。 （2）实部 ，虚部 ，解得 且 。 16. 解析： （1）甲成绩排序后，80%分位数位置 ，取第7项 。 （2）甲平均数 ，乙平均数 。 甲方差较小，稳定性更好，应选派甲。 17. 解析： （1）由正弦定理 ，得 ，即 或 ，结合条件得 。 （2）余弦定理 。外接圆面积 。 18. 解析： 建立坐标系，设长方体顶点坐标： （1）。 （2）平面DEF法向量与AD₁方向向量夹角正弦值为 。 19. 解析： （1）折叠后C₁D⊥平面ABC₁，平面ABC₁与AC₁D垂直。 （2）等体积法：。 （3）二面角余弦值由法向量计算得 。 学科网（北京）股份有限公司 $