暑假几何提升专题讲义 第八讲 勾股定理方程思想2026-2027学年北师大版八年级数学上册

暑 假 提 升 专 题 2026年升初二暑期课程讲义 提升专题 第八讲 勾股定理 —— 方程思想 第8讲 讲 方程思想 一、知识讲解 1、勾股定理方程思想解题步骤 ①设未知数：把要求或者关键线段设为 x； ②利用折叠、角平分线、公共边等几何性质，用 x 表示直角三角形另外两条边； ③在直角三角形内列勾股等式 a²+b²=c²； ④解方程，舍去不符合实际的负数解，得到线段长。 2、三大常见题型 （1）折叠问题：折叠前后对应线段相等，对应角相等，产生相等线段，用来代换设元； （2）公边问题：两个直角三角形共用一条边，以公共边为桥梁列方程； （3）实际应用问题：芦苇、折竹、开门、滑梯等，把现实场景抽象成直角三角形模型，设未知数列勾股方程。 二、例题精析 【题型一 几何图形中的方程思想—折叠问题（利用等边建立方程）】 【例1】 已知直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将按如图所示的方式折叠，使点A与点B重合，则的长是（    ）    A． B． C． D． 【题型二 几何图形中的方程思想—公边问题（利用公边建立方程）】 【例2】 已知：如图，在中，是的角平分线，，则____．    【题型三 实际问题中的方程思想】 【例3】.如图，有一个水池，水面是一个边长为16米的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面2米，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则水池里水的深度与这根芦苇的长度分别是多少米？ 三、变式训练 1、如图，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为． (1)求证：． (2)若，求的面积． 2、如图，在和中，，，，延长，交于点．    (1)求证：点A在的平分线上； (2)若，，，求的长． 3、已知中，，，点在边上．请从，两题中任选一题作答． A．如图1，若； B．如图2，若； 我选择 题，则的长为 ； 我选择 题，则的长为 ． 4、如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（　　） A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸 5、在一条东西走向的河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得千米，千米，千米． (1)问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明． (2)求原来的路线AC的长． 课后作业 1．如图，在中，，，，将它的锐角翻折，使得点落在边的中点处，折痕交边于点，交边于点，则的长为（    ） A．3 B．4 C． D． 2．在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何?它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根4尺，试问折断处离地面 尺． 3、大丰施耐庵公园是许多青少年喜爱的场所．如图是公园内一个滑梯的示意图，左边是楼梯，中间是过道，右边是滑道，已知滑道与的长度一样，滑梯的高度，．    (1)要想求的长度，我们可以设为，则______； (2)请求出滑梯的长度． 4．如图是一张直角三角形纸片，，，． (1)在图1中，将直角边沿折叠，使点落在斜边上的点处，求的长； (2)在图2中，将沿折叠，使点与点重合，求的长． 5、如图，在中，，把沿直线折叠，点与点重合．    (1)若，则的度数为 ； (2)若，，求的长； (3)当的周长为，，求的面积用含、的代数式表示 6 学科网（北京）股份有限公司 $暑 假 提 升 专 题 2026年升初二暑期课程讲义 提升专题 第八讲 勾股定理 —— 方程思想 第8讲 讲 方程思想 一、知识讲解 1、勾股定理方程思想解题步骤 ①设未知数：把要求或者关键线段设为 x； ②利用折叠、角平分线、公共边等几何性质，用 x 表示直角三角形另外两条边； ③在直角三角形内列勾股等式 a²+b²=c²； ④解方程，舍去不符合实际的负数解，得到线段长。 2、三大常见题型 （1）折叠问题：折叠前后对应线段相等，对应角相等，产生相等线段，用来代换设元； （2）公边问题：两个直角三角形共用一条边，以公共边为桥梁列方程； （3）实际应用问题：芦苇、折竹、开门、滑梯等，把现实场景抽象成直角三角形模型，设未知数列勾股方程。 二、例题精析 【题型一 几何图形中的方程思想—折叠问题（利用等边建立方程）】 【例1】 已知直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将按如图所示的方式折叠，使点A与点B重合，则的长是（    ）    A． B． C． D． 解析： ∵∠C=90°，AC=6，BC=8， 由勾股定理 AB²=6²+8²=100，∴AB=10。 折叠使 A、B 重合，折痕 DE 是 AB 垂直平分线， ∴AE=BE=AB=5。 设 CE=x，则 BE=AE=8−x。 在 Rt△BCE 中，BC²+CE²=BE² 6² + x² = (8−x)² 36 + x² = 64 −16x + x² 16x = 28 x = ，即 CE= 答案：B。 【题型二 几何图形中的方程思想—公边问题（利用公边建立方程）】 【例2】 已知：如图，在中，是的角平分线，，则____．    解析： 1. 作辅助线，利用角平分线性质 过点 D 作 DE⊥AB 于 E。 ∵ AD 平分 ∠CAB，∠C=90∘，DE⊥AB ∴ DE=CD=3，AC=AE（角平分线上的点到角两边距离相等） E 2. 在Rt△BDE求BE 在 Rt△BDE 中，BD=5，DE=3 由勾股定理： BE=BD2−DE2​=52−32​=16​=4 3. 设未知数，列勾股方程 设 AC=AE=x，则 AB=AE+BE=x+4，BC=CD+BD=3+5=8。 Rt△ABC 中，∠C=90∘： AC2+BC2=AB2 x2+82=(x+4)2 x2+64=x2+8x+16 8x=48 x=6 答案：AC=6 【题型三 实际问题中的方程思想】 【例3】.如图，有一个水池，水面是一个边长为16米的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面2米，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则水池里水的深度与这根芦苇的长度分别是多少米？ 解析： 水池正方形边长 16 米，正中央到一边中点水平距离 = 8 米。 设水深为 x 米，则芦苇总长为 (x+2) 米。 芦苇拉到池边，构成直角三角形：直角边分别为水深 x，水平距离 8，斜边芦苇长 (x+2)。 由勾股定理： x² + 8² = (x+2)² x² + 64 = x² +4x +4 4x = 60 x=15。 芦苇长度 x+2 =17。 答：水池水深 15 米，芦苇长 17 米。 三、变式训练 1、如图，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为． (1)求证：． (2)若，求的面积． (1) 证明： ∵四边形 ABCD 是长方形 ∴AD∥BC， ∴∠DEF = ∠EFB。 由折叠可知：∠DEF =∠BEF，DE=BE。 ∴∠BEF =∠EFB。 ∴ BE = BF。 (2) 解： 四边形 ABCD 为长方形，AD=BC=8，AB=CD=4，∠A=90°。 设 AE=x，则 DE = BE = 8−x。 在 Rt△ABE 中，AB² + AE² = BE²。 4² + x² = (8−x)² 16 + x² = 64 −16x +x² 16x = 48 x=3。 BE=BF=8−3=5。 S△BEF =× BF × AB = × 5 ×4 =10。 答案：(1) 证明如上；(2) 10。 2、如图，在和中，，，，延长，交于点．    (1)求证：点A在的平分线上； (2)若，，，求的长． (1) 证明： 连接 AM。 在 Rt△ABM 和 Rt△ADM 中 AB=AD AM=AM ∴ Rt△ABM ≌ Rt△ADM（HL）。 ∴ ∠AMB = ∠AMD。 ∴ AM 平分∠BMD，即点 A 在∠BMD 的平分线上。 (2) 解： 由 Rt△ABM ≌ Rt△ADM，可得 BM = DM。 已知 DM=7，所以 BM=7。 又 BM = BC + CM，CM=3。 ∴ BC = BM − CM = 7 − 3 = 4。 答案：(1) 证明如上；(2) BC=4。 3、已知中，，，点在边上．请从，两题中任选一题作答． A．如图1，若； B．如图2，若； 我选择 题，则的长为 ； 我选择 题，则的长为 ． 解： 选 A 题： 过点 A 作 AH⊥BC 于 H。 ∵∠BAC=90°，AB=AC=8， ∴△ABC 为等腰直角三角形。 BC==8。 AH⊥BC，∴BH=CH=4，AH=4。 HD = BH − BD = 4 −2。 在 Rt△AHD 中 AD² = AH² + HD² AD² = (4)² + (4 −2)² AD² = 32 + 32 −16 +4 AD² = 68 −16 AD=。 选 B 题： 过 A 作 AH⊥BC 于 H。 ∵AB=AC=5，AH⊥BC， ∴BH = HC = BC =3。 BD=2，∴DH = BH − BD = 3−2 =1。 在 Rt△ABH 中 AH² = AB² − BH² = 25−9 =16，AH=4。 在 Rt△AHD 中 AD² = AH² + DH² = 16+1 =17 AD=√17。 4、如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（　　） A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸 解析： 设 OA=OB=x 寸，则 OD=OC=x。 CD=2 寸，故 D 到中轴线距离为 1 寸，D 到 AB 的垂直距离为 10 寸。 由勾股定理 (x−1)² +10² = x² x²−2x+1+100 =x² 2x=101。 AB=2x=101 寸。 答案：C。 5、在一条东西走向的河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得千米，千米，千米． (1)问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明． (2)求原来的路线AC的长． (1) 解： 在△CHB 中，CH=12，HB=5，CB=13。 5²+12²=25+144=169=13²。 ∴CH²+HB²=CB²，△CHB 是直角三角形，∠CHB=90°。 ∴CH⊥AB，依据垂线段最短，CH 是村庄 C 到河边的最近路。 (2) 解： 设 AC=x。 ∵AB⊥AC，∴∠CAH=90°。 AH = AB − BH，AH = x−5。 在 Rt△ACH 中，AC² = AH² + CH²。 x² = (x−5)² + 12² x² = x² −10x +25 +144 10x =169 x=。 答：原来路线 AC 长 千米。 课后作业 1．如图，在中，，，，将它的锐角翻折，使得点落在边的中点处，折痕交边于点，交边于点，则的长为（    ） A．3 B．4 C． D． 解析： D 是 BC 中点，BC=8，∴CD=4。 折叠，AE=DE。 设 CE=x，则 AE=DE=6−x。 在 Rt△CDE 中：CE²+CD²=DE² x² + 4² = (6−x)² x²+16 = 36−12x+x² 12x=20 x=。 答案：。 2．在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何?它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根4尺，试问折断处离地面 尺． 解析： 设折断处离地高 x 尺，则折断斜向地面部分长 (10−x) 尺。 由勾股定理 x² + 4² = (10−x)² x²+16 =100−20x+x² 20x=84 x=。 答案：。 3、大丰施耐庵公园是许多青少年喜爱的场所．如图是公园内一个滑梯的示意图，左边是楼梯，中间是过道，右边是滑道，已知滑道与的长度一样，滑梯的高度，．    (1)要想求的长度，我们可以设为，则______； (2)请求出滑梯的长度． (1) 解析：AD=AC=x，AE=x−3。 答案：x−3。 (2) 解： 在 Rt△ACE 中，∠CEA=90°。 CE² + AE² = AC²。 4² + (x−3)² = x² 16 + x² −6x +9 =x² 6x=25 x=。 答：AC=。 4．如图是一张直角三角形纸片，，，． (1)在图1中，将直角边沿折叠，使点落在斜边上的点处，求的长； (2)在图2中，将沿折叠，使点与点重合，求的长． (1) 解： AB===10。 折叠，AE=AC=6，CD=DE，∠AED=∠C=90°。 BE=ABAE=106=4。 设 CD=x，则 DE=x，BD=8x。 Rt△DEB：DE²+BE²=BD² x² + 4² = (8−x)² x²+16 = 6416x+x² 16x=48 x=3。 CD=3。 (2) 解： 折叠，A、B 两点重合，则 CF 为 AB 边上的高。 S△ABC = ×AC×BC = ×6×8 =24。 S△ABC = × AB × CF。 24 =×10 ×CF CF=。 答案：(1) CD=3；(2) CF=。 5、如图，在中，，把沿直线折叠，点与点重合．    (1)若，则的度数为 ； (2)若，，求的长； (3)当的周长为，，求的面积用含、的代数式表示 (1) 解析： ∠C=90°，∠A=30°，∴∠ABC=60°。 由折叠，△BCE≌△BDE，BE 平分∠ABC。 ∠CBE=∠ABC =30°。 Rt△BCE，∠CEB=90°30°=60°。 答案：60°。 (2) 解： AB===5。 折叠，BC=BD=3，CE=DE，∠BDE=∠C=90°。 AD=ABBD = 53 =2。 设 CE=x，则 DE=x，AE=4x。 Rt△ADE：AD²+DE²=AE² 2² +x² = (4x)² 4+x² =168x+x² 8x=12 x=。 答案：CE=。 (3) 解析： 由折叠性质：CE=DE，BC=BD。 C△ADE = AD+DE+AE = AD+CE+AE = m。 C△ABC = AC+BC+AB =n。 AC=AE+CE，AB=AD+BD=AD+BC。 n = (AE+CE)+BC+(AD+BC) = (AE+CE+AD)+2BC = m+2BC。 BC=。 S△BCE = 。 答案：S△BCE=。 6 学科网（北京）股份有限公司 $