专题03认识实数 (知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026年北师大版数学七升八暑假预习讲义

专题03认识实数暑假预习讲义 · 理解无理数的概念，能区分有理数与无理数，识别常见无理数类型； · 掌握实数的定义，清楚实数包含有理数和无理数，能对实数正确分类； · 知道实数与数轴上的点一一对应，会在数轴上表示简单无理数； · 理解实数范围内相反数、绝对值、倒数的意义，能进行相关简单计算； · 了解有理数的运算法则、运算律同样适用于实数，能进行简单实数运算； · 建立数系扩充的认知，体会数形结合思想，提升数感与分类归纳能力。 预习必备 知识梳理 1.无理数 2.实数的概念与分类 3.实数与数轴的关系 4.实数的相关概念 5.实数的大小比较 6.实数的运算 7.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.无理数 2.无理数大小估算 3.实数概念理解 4.实数的分类 5.实数的性质 6.实数与数轴 7.实数的大小比较 8.勾股定理与无理数 强化题型 解答题6题 知识点01.无理数 1.定义：无限不循环小数叫做无理数。 2.常见类型： 开方开不尽的数：如、、等（注意：=2是有理数）。 含π的数：如π、2π、π-1等。 特定结构的无限不循环小数：如0.1010010001…（相邻两个 1 之间依次多 1 个 0）。 3.与有理数区别： 有理数：有限小数或无限循环小数，能化为分数。 无理数：无限不循环小数，不能化为分数。 知识点02.实数的概念与分类 定义：有理数和无理数统称为实数。 关键提醒 0 是有理数，既不是正数也不是负数。 知识点03：实数与数轴的关系 1.一一对应：每一个实数都可以用数轴上唯一的一个点表示；数轴上每一个点都对应唯一的实数。 2.有理数不能填满数轴，加入无理数后，数轴上所有点全部对应实数。 3.大小规律：数轴上右边的点表示的实数总比左边的大。 4.作图：可利用正方形对角线在数轴上画出等无理数对应的点。 知识点04:实数的相关概念 知识点05:实数的大小比较 1.数轴法：右边 > 左边。 2.正负数法：正数 > 0 > 负数；两个负数比较，绝对值大的反而小。 3.作差法：a−b>0⇒a>b；a−b<0⇒a<b；a−b=0⇒a=b。 知识点06:实数的运算 1. 运算种类 加、减、乘、除、乘方、开方（开平方、开立方）。 2. 运算顺序 先乘方、开方 → 再乘除 → 最后加减；有括号先算括号里；同级运算从左到右。 3. 运算律（同样适用） 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：(ab)c=a(bc) 分配律：a(b+c)=ab+ac 知识点07：易错点汇总表 易错类型 错误说法 正确结论 无理数概念混淆 无限小数是无理数 无限不循环小数才是无理数；无限循环小数属于有理数 带根号数判断误区 带根号的数都是无理数 开方能开尽的根号数是有理数，开不尽的才是无理数 π 相关判断误区 凡是含 π 的数都是无理数 π 本身是无理数，π 与非 0 有理数的四则运算结果仍为无理数；0 与 π 的乘积为 0，属于有理数 实数与数轴对应关系误区 有理数和数轴上的点一一对应 只有全体实数与数轴上的点一一对应，有理数无法铺满整个数轴 0 的分类错误 0 是正数 / 0 是负数 0 是有理数，单独为一类，既不是正数也不是负数 绝对值去符号规则误区 去含根号的绝对值时，直接去掉根号和绝对值符号 需先比较根号内式子与常数的大小，负数的绝对值等于它的相反数 倒数概念误区 0 的倒数是 0 0 没有倒数；只有非零实数才有倒数 负实数大小比较误区 两个负实数，绝对值大的数更大 两个负实数，绝对值越大，数值越小 开方取值范围误区 任意实数都有算术平方根 只有非负数（a≥0）才有算术平方根；全体实数都可以开立方 非负数和为 0 的规则误区 几个非负数的和为 0 时，只需部分项为 0 即可 绝对值、算术平方根、平方数均为非负数；若几个非负数的和为 0，则每一项都等于 0 实数运算化简误区 实数运算结果的分母可以保留根号 实数运算的最终结果，分母不能含有根号，需进行分母有理化化简 无理数运算结果误区 无理数的加减乘除运算结果一定是无理数 无理数的运算结果可能为有理数 题型1.无理数 【典例】下列实数中，是无理数的是（     ） A．3.14 B． C． D． 【跟踪专练1】写一个大于2而小于5的无理数________________． 【跟踪专练2】下列各数、、、、、0.1010010001…（每两个1之间依次增加一个0）中，是无理数的有__________个． 【跟踪专练3】下列各数：，，，，……（每两个之间零的个数逐次加）中，无理数的个数为（   ） A． B． C． D． 题型2.无理数大小估算 【典例】比较大小：2________．（填“>”、“<”或“=”） 【跟踪专练1】估计的值在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【跟踪专练2】一个无理数x满足条件，请任意写出一个x为________． 【跟踪专练3】“调日法”是一种程序化寻找近似分数以表示天文数据或数学常数的方法．具体步骤为：若正实数x的不足近似分数和过剩近似分数分别为和（a，b，c，d均为正整数），即，则新分数是x的更精确的不足近似分数或过剩近似分数．重复这个过程，就会得到越来越逼近x的分数． 小明用“调日法”寻找（约）的近似分数，因为，所以调试前选取不足近似分数为，过剩近似分数为，调试的部分过程如下表： 不足近似分数 过剩近似分数 新分数 新分数的小数形式 更新范围 第1次 第2次 第3次 第4次 A B 则表格中的A处应填______，B处应填______． 题型3.实数概念理解 【典例】下列实数中是无理数的是（   ） A．2 B． C． D． 【跟踪专练1】下列说法正确的是（   ） A．有理数是有限小数 B．无理数是无限小数 C．无限小数是无理数 D．是分数 【跟踪专练2】将一个直角三角形绕其一边所在直线旋转一周，所形成的几何体可能是（   ） A．圆柱 B．三棱柱 C．圆锥 D．三棱锥 题型4.实数的分类 【典例】下列实数中，是无理数的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】在，，，，，中，无理数有________个． 【跟踪专练2】以下各数0，，，，，，，，，0.1010010001…（相邻两个1之间依次增加1个零）．有理数的个数是 _____． 【跟踪专练3】若用表示有理数，表示无理数，表示正整数，则下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（   ） A． B． C． D． 题型5.实数的性质 【典例】实数的相反数是_____． 【跟踪专练1】的相反数是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知，为实数，下列说法：①若，且，互为相反数，则；②若，，则；③若，则是正数；④若，则；其中正确的是____________． 【跟踪专练3】如图，数轴上点 A 表示的数是（    ） A．3 B．3的相反数 C．3的绝对值 D．3的倒数 题型6.实数与数轴 【典例】如图，在数轴上点A表示的实数是________ 【跟踪专练1】如图，在数轴上表示实数的点可能是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【跟踪专练2】如图所示，在数轴上点所表示的数为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，面积为2的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若以为原点，为半径画弧交数轴于点，点在点的右边，则数轴上点所表示的数为_____． 题型7.实数的大小比较 【典例】下列实数中，最小的数是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】比较大小：_______1（填“”“”或“”）． 【跟踪专练2】比较大小：______．（填“”、“”或“”）． 【跟踪专练3】在实数中，最大的数是（   ） A． B． C． D．3 题型8.勾股定理与无理数 【典例】如图，在数轴上点A表示的实数是______． 【跟踪专练1】如图，有一个含有角的直角三角板，其直角边在数轴上，若点C与数轴上与表示1的点重合，点B与原点重合，三角板绕点B旋转后，与数轴相交于点D（点D在点B右侧），则点D表示的数为（   ） A． B．1 C． D． 【跟踪专练2】如图，数轴上点A，B表示的数分别为，2，过点B作，且，以点A为圆心，的长为半径作弧，弧与数轴的交点D表示的数为_______． 【跟踪专练3】如图，已知，，于点C，则数轴上点A所表示的数为（   ） A． B． C． D． 解答题 1．判断下列说法正确与否．如果不正确，请举反例说明． (1)无限小数都是无理数． (2)无限小数都是实数． (3)带根号的数都是无理数． (4)实数都是有理数． (5)实数都是无理数． 2．把下列各数填入相应的数集内． 正数集合：｛                                                           …｝ 无理数集合：｛                                                         …｝ 分数集合：｛                                                           …｝ 非负整数集合：｛                                                       …｝ 3．已知实数a，b，c，d，e，且a，b互为倒数，c，d互为相反数，e的绝对值为2，求的值． 4．比较下列各组中两个数的大小： (1)和3； (2)和； (3)和； (4)和． 5．阅读与思考 下面是莉莉同学的学习笔记．请仔细阅读，并完成相应的任务． 在数轴上确定表示无理数的点今天我们借助勾股定理，在数轴上找到了一些特殊的无理数对应的点，认识了“数轴上的点与实数一一对应”这一事实． 要在数轴上分别找到表示和的点，关键是在数轴上构造线段． 如图1，点与数轴的原点重合，点表示的数为1，过点作的垂线段，使得，连接，则（依据）． 以原点为圆心，斜边的长为半径画弧，与数轴分别交于点，则，点对应的数为，点对应的数为． …… 任务： (1)学习笔记中的“依据”是指____________． (2)如图2，利用尺规在数轴上分别画出表示的点和表示的点．（保留作图痕迹，标明字母，不写作法） (3)拓展：在材料的基础上，莉莉同学经过探索，知道了如何在数轴上画出表示数的点，请你在图3的数轴上，利用尺规作图帮助莉莉同学画出点．（保留作图痕迹，标明字母，不写作法） 6．在数学课上“说不完的”探究活动中，根据各探究小组的汇报，完成下列问题． (1)到底有多大？下面是龙龙探索的近似值的过程，请补充完整： 我们知道面积是2的正方形边长是，且，设，画出如图1的示意图： 由图形面积可得． 因为x值很小，所以更小，略去，得方程 ，解得 （保留到0.001），即 ． (2)请仿照上述探究过程探究的大小． 已知：，在图2中画出示意图，并标出相关数据，求出的近似值（保留到0.001）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03认识实数暑假预习讲义 · 理解无理数的概念，能区分有理数与无理数，识别常见无理数类型； · 掌握实数的定义，清楚实数包含有理数和无理数，能对实数正确分类； · 知道实数与数轴上的点一一对应，会在数轴上表示简单无理数； · 理解实数范围内相反数、绝对值、倒数的意义，能进行相关简单计算； · 了解有理数的运算法则、运算律同样适用于实数，能进行简单实数运算； · 建立数系扩充的认知，体会数形结合思想，提升数感与分类归纳能力。 预习必备 知识梳理 1.无理数 2.实数的概念与分类 3.实数与数轴的关系 4.实数的相关概念 5.实数的大小比较 6.实数的运算 7.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.无理数 2.无理数大小估算 3.实数概念理解 4.实数的分类 5.实数的性质 6.实数与数轴 7.实数的大小比较 8.勾股定理与无理数 强化题型 解答题6题 知识点01.无理数 1.定义：无限不循环小数叫做无理数。 2.常见类型： 开方开不尽的数：如、、等（注意：=2是有理数）。 含π的数：如π、2π、π-1等。 特定结构的无限不循环小数：如0.1010010001…（相邻两个 1 之间依次多 1 个 0）。 3.与有理数区别： 有理数：有限小数或无限循环小数，能化为分数。 无理数：无限不循环小数，不能化为分数。 知识点02.实数的概念与分类 定义：有理数和无理数统称为实数。 关键提醒 0 是有理数，既不是正数也不是负数。 知识点03：实数与数轴的关系 1.一一对应：每一个实数都可以用数轴上唯一的一个点表示；数轴上每一个点都对应唯一的实数。 2.有理数不能填满数轴，加入无理数后，数轴上所有点全部对应实数。 3.大小规律：数轴上右边的点表示的实数总比左边的大。 4.作图：可利用正方形对角线在数轴上画出等无理数对应的点。 知识点04:实数的相关概念 知识点05:实数的大小比较 1.数轴法：右边 > 左边。 2.正负数法：正数 > 0 > 负数；两个负数比较，绝对值大的反而小。 3.作差法：a−b>0⇒a>b；a−b<0⇒a<b；a−b=0⇒a=b。 知识点06:实数的运算 1. 运算种类 加、减、乘、除、乘方、开方（开平方、开立方）。 2. 运算顺序 先乘方、开方 → 再乘除 → 最后加减；有括号先算括号里；同级运算从左到右。 3. 运算律（同样适用） 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：(ab)c=a(bc) 分配律：a(b+c)=ab+ac 知识点07：易错点汇总表 易错类型 错误说法 正确结论 无理数概念混淆 无限小数是无理数 无限不循环小数才是无理数；无限循环小数属于有理数 带根号数判断误区 带根号的数都是无理数 开方能开尽的根号数是有理数，开不尽的才是无理数 π 相关判断误区 凡是含 π 的数都是无理数 π 本身是无理数，π 与非 0 有理数的四则运算结果仍为无理数；0 与 π 的乘积为 0，属于有理数 实数与数轴对应关系误区 有理数和数轴上的点一一对应 只有全体实数与数轴上的点一一对应，有理数无法铺满整个数轴 0 的分类错误 0 是正数 / 0 是负数 0 是有理数，单独为一类，既不是正数也不是负数 绝对值去符号规则误区 去含根号的绝对值时，直接去掉根号和绝对值符号 需先比较根号内式子与常数的大小，负数的绝对值等于它的相反数 倒数概念误区 0 的倒数是 0 0 没有倒数；只有非零实数才有倒数 负实数大小比较误区 两个负实数，绝对值大的数更大 两个负实数，绝对值越大，数值越小 开方取值范围误区 任意实数都有算术平方根 只有非负数（a≥0）才有算术平方根；全体实数都可以开立方 非负数和为 0 的规则误区 几个非负数的和为 0 时，只需部分项为 0 即可 绝对值、算术平方根、平方数均为非负数；若几个非负数的和为 0，则每一项都等于 0 实数运算化简误区 实数运算结果的分母可以保留根号 实数运算的最终结果，分母不能含有根号，需进行分母有理化化简 无理数运算结果误区 无理数的加减乘除运算结果一定是无理数 无理数的运算结果可能为有理数 题型1.无理数 【典例】下列实数中，是无理数的是（     ） A．3.14 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据定义判断各选项即可，无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称，有限小数、无限循环小数都属于有理数． 【详解】解：选项A．是有限小数，属于有理数， 选项B．是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数， 选项C．是分数，属于有理数， 选项D．是整数，属于有理数． 【跟踪专练1】写一个大于2而小于5的无理数________________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】由于一个大于2而小于5的无理数，可以先把这两个数都平方得到4和25，那么就可以从4和25之间找一个数开平方，而且是无理数即可． 【详解】解：大于2而小于5的无理数可以是． 【跟踪专练2】下列各数、、、、、0.1010010001…（每两个1之间依次增加一个0）中，是无理数的有__________个． 【答案】3 【分析】本题考查了无理数，根据无理数的定义，无限不循环小数是无理数，逐一判断各数即可． 【详解】解：是无理数；是有限小数，是有理数；是分数，是有理数；是循环小数，是有理数；是无理数；是无限不循环小数，是无理数． 因此无理数有3个． 故答案为：3． 【跟踪专练3】下列各数：，，，，……（每两个之间零的个数逐次加）中，无理数的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题需依据无理数的定义（无限不循环小数），无理数常见的表示方法有：开方开不尽的数，例如：；用特殊字母表示的数，例如：；有特殊规律的数，例如：……（每两个之间零的个数逐次加）． 【详解】解：是开方开不尽的无限不循环小数，属于无理数， 是无限循环小数，属于有理数， 是开方开不尽的无限不循环小数，属于无理数， 中是无理数，故为无限不循环小数，属于无理数， （每两个1之间零的个数逐次加1）是无限不循环小数，属于无理数， 无理数的个数为个． 故选：D． 题型2.无理数大小估算 【典例】比较大小：2________．（填“>”、“<”或“=”） 【答案】> 【分析】本题可利用无理数的大小估算，根据，从而比较实数的大小． 【详解】解：∵，， ∴． 【跟踪专练1】估计的值在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】D 【详解】解：， ， 则估计的值在4和5之间． 【跟踪专练2】一个无理数x满足条件，请任意写出一个x为________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】估算无理数的大小即可得出答案． 【详解】解：， ， ， 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练3】“调日法”是一种程序化寻找近似分数以表示天文数据或数学常数的方法．具体步骤为：若正实数x的不足近似分数和过剩近似分数分别为和（a，b，c，d均为正整数），即，则新分数是x的更精确的不足近似分数或过剩近似分数．重复这个过程，就会得到越来越逼近x的分数． 小明用“调日法”寻找（约）的近似分数，因为，所以调试前选取不足近似分数为，过剩近似分数为，调试的部分过程如下表： 不足近似分数 过剩近似分数 新分数 新分数的小数形式 更新范围 第1次 第2次 第3次 第4次 A B 则表格中的A处应填______，B处应填______． 【答案】 【分析】本题考查无理数的估算，理解题中“调日法”的算法是解题的关键 根据调日法规则，新分数由不足近似分数和过剩近似分数的分子之和与分母之和的比得到，再比较新分数与的大小以确定更新方向． 【详解】解：第4次调试时，不足近似分数为，过剩近似分数为，新分数A的计算为，其小数形式为3.625． ∵，且，即新分数大于， ∴新分数为过剩近似分数．更新后，不足近似分数保持不变，过剩近似分数更新为， ∴更新范围B为． 故答案为：，． 题型3.实数概念理解 【典例】下列实数中是无理数的是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查无理数，熟练掌握无理数的定义是解题的关键；根据无理数的定义，无限不循环的小数是无理数，逐一判断各选项即可． 【详解】解：A.2是整数，属于有理数； B.是分数，属于有理数； C.是无理数； D.是整数，属于有理数； 故选C． 【跟踪专练1】下列说法正确的是（   ） A．有理数是有限小数 B．无理数是无限小数 C．无限小数是无理数 D．是分数 【答案】B 【分析】本题考查了实数的相关概念． 无理数就是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．． 【详解】A．有理数也包括无限循环小数（如），原说法错误，本选项不符合题意； B．无理数是无限不循环小数，原说法正确，本选项符合题意； C．无限小数也包括无限循环小数，而无限循环小数是有理数，故原说法错误，本选项不符合题意； D．是无理数，分数属于有理数，原说法错误，本选项不符合题意； 故选：B． 【跟踪专练2】将一个直角三角形绕其一边所在直线旋转一周，所形成的几何体可能是（   ） A．圆柱 B．三棱柱 C．圆锥 D．三棱锥 【答案】C 【分析】本题考查了面动成体的几何变换，解题的关键是理解直角三角形绕不同边旋转后形成的几何体形状． 当直角三角形绕一条直角边所在直线旋转一周时，形成的几何体是圆锥；当绕斜边所在直线旋转一周时，形成的是两个同底圆锥的组合体，据此判断选项． 【详解】解：A、圆柱是由矩形绕其一边旋转而成，此选项不符合题意； B、三棱柱是由平面图形平移形成，不是旋转体，此选项不符合题意； C、直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转一周，可形成圆锥，此选项符合题意； D、三棱锥是由平面图形拼接而成，不是旋转体，此选项不符合题意． 故选：． 题型4.实数的分类 【典例】下列实数中，是无理数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据无理数是无限不循环小数，有理数包括整数和分数，对各选项逐一判断即可． 【详解】、是整数、是分数，都属于有理数；开方开不尽，属于无理数． 【跟踪专练1】在，，，，，中，无理数有________个． 【答案】2 【分析】先将题目中可化简的数进行化简，再根据无理数的定义逐一判断各数即可． 【详解】解：∵是整数，属于有理数， 是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数， 是分数，属于有理数， 是整数，属于有理数， 是无限不循环小数，属于无理数， 是整数，属于有理数， ∴无理数共有个． 【跟踪专练2】以下各数0，，，，，，，，，0.1010010001…（相邻两个1之间依次增加1个零）．有理数的个数是 _____． 【答案】5 【分析】本题考查了实数的分类，熟知整数和分数统称为有理数是解题的关键．先化简每个数，然后根据有理数的定义判断即可． 【详解】解：，， ，， 有理数有：0，，，，，共5个， 故答案为：5． 【跟踪专练3】若用表示有理数，表示无理数，表示正整数，则下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据实数的分类即可求解． 【详解】解：若用A表示有理数，B表示无理数，C表示正整数，则能正确表示它们之间关系的是 题型5.实数的性质 【典例】实数的相反数是_____． 【答案】 【详解】解：实数的相反数是． 【跟踪专练1】的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相反数，只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案． 【详解】解：的相反数是． 故选：A． 【跟踪专练2】已知，为实数，下列说法：①若，且，互为相反数，则；②若，，则；③若，则是正数；④若，则；其中正确的是____________． 【答案】①②③ 【分析】此题考查了相反数，绝对值和实数的混合运算，熟练掌握各种运算法则是解本题的关键． ①除0外，互为相反数的商为，可作判断； ②由两数之和小于0，两数之积大于0，得到与都为负数，即小于0，利用负数的绝对值等于它的相反数化简得到结果，即可作出判断； ③分类讨论，，，，以及分别处理即可； ④由的绝对值等于它的相反数，得到为非正数，得到与的大小，即可作出判断． 【详解】解：①∵，且，互为相反数， ∴，故本选项正确； ②∵， ∴与同号， ∵， ∴，， ∴， ∴，故本选项正确； ③若，当，则是正数， 当时，是正数， 当时，是正数， 当时，是正数，本选项正确； ④∵，即， ，即，本选项错误； 综上分析可知：其中正确的是①②③． 故答案为：①②③． 【跟踪专练3】如图，数轴上点 A 表示的数是（    ） A．3 B．3的相反数 C．3的绝对值 D．3的倒数 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴，相反数的意义，绝对值的定义以及倒的定义，数轴上点 A 表示的数是，根据相反数的定义即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题可知，数轴上点 A 表示的数是，即3的相反数， 故选：B． 题型6.实数与数轴 【典例】如图，在数轴上点A表示的实数是________ 【答案】 【分析】先由勾股定理求解，再由实数与数轴的对应关系即可得到点A表示的实数． 【详解】解：由勾股定理可得， ∴ ∴在数轴上点A表示的实数是． 【跟踪专练1】如图，在数轴上表示实数的点可能是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【分析】根据无理数的取值范围判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 在数轴上表示实数的点可能是点B． 【跟踪专练2】如图所示，在数轴上点所表示的数为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理求出的长，则可得到的长，再用点C表示的数减去的长即可得到a的值． 【详解】解：如图所示，由勾股定理得 ∴， ∴． 【跟踪专练3】如图，面积为2的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若以为原点，为半径画弧交数轴于点，点在点的右边，则数轴上点所表示的数为_____． 【答案】/ 【分析】本题考查实数与数轴，根据正方形的面积，求出的长，进而得到的长，根据数轴上两点间的距离，求解即可． 【详解】解：∵正方形的面积为2， ∴， ∴ 又∵点在点的右边， ∴点所表示的数为， 故答案为：． 题型7.实数的大小比较 【典例】下列实数中，最小的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数的大小比较，根据实数的大小比较法则比较即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵正数大于，负数小于，正数大于一切负数， ∴最小的数在和中， ∵，， ∴， 又∵两个负数比较大小，绝对值大的反而小， ∴， ∴最小的数是， 故选：． 【跟踪专练1】比较大小：_______1（填“”“”或“”）． 【答案】 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴． 【跟踪专练2】比较大小：______．（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】通过比较两个负数的绝对值，绝对值小的数更大． 本题考查了实数的大小比较，掌握无理数的近似值是解题关键． 【详解】∵ ∴， 由于 和 均为负数， 且 ， ∴ ． 故答案为： 【跟踪专练3】在实数中，最大的数是（   ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查了实数的大小比较，根据实数的大小比较方法即可得出答案，掌握实数的大小比较方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴最大的数是， 故选：A． 题型8.勾股定理与无理数 【典例】如图，在数轴上点A表示的实数是______． 【答案】 【详解】解：由勾股定理得，斜边长， 则点A对应的数为． 【跟踪专练1】如图，有一个含有角的直角三角板，其直角边在数轴上，若点C与数轴上与表示1的点重合，点B与原点重合，三角板绕点B旋转后，与数轴相交于点D（点D在点B右侧），则点D表示的数为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理与无理数，由题意得：，求出直角三角板的斜边，即可求解； 【详解】解：由题意得：， ∴直角三角板的斜边， 则， ∴点D表示的数为， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，数轴上点A，B表示的数分别为，2，过点B作，且，以点A为圆心，的长为半径作弧，弧与数轴的交点D表示的数为_______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了数轴和勾股定理，解题的关键是掌握数形结合的思想． 先求出的长度，由垂直得出直角，再根据勾股定理求出的长度，最后根据两点之间的距离求出点的坐标即可． 【详解】解：根据题意得，， ∵， ∴， ∴由勾股定理得， ∴， ∴点D表示的数为， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，已知，，于点C，则数轴上点A所表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了用数轴上的点表示实数、勾股定理，根据勾股定理求出的长，再根据可知点表示的数． 【详解】解：由数轴可知，， ， ， 又点在原点的左侧， 点表示的数是． 故选：D． 解答题 1．判断下列说法正确与否．如果不正确，请举反例说明． (1)无限小数都是无理数． (2)无限小数都是实数． (3)带根号的数都是无理数． (4)实数都是有理数． (5)实数都是无理数． 【答案】(1)不正确，反例：（无限循环小数） (2)正确 (3)不正确，反例： (4)不正确，反例： (5)不正确，反例：1 【分析】本题考查了实数、有理数、无理数和无限小数的概念．有理数包括整数和分数（无限循环小数），无理数是无限不循环小数，实数包括有理数和无理数．无限小数包括无限循环小数（有理数）和无限不循环小数（无理数）．带根号的数不一定都是无理数，有些是有理数．实数包括有理数和无理数，因此不都是有理数或不都是无理数． （1）根据无限小数和无理数的概念判断即可； （2）根据无限小数和实数的概念判断即可； （3）根据无理数的概念判断即可； （4）根据实数的概念判断即可； （5）根据实数的概念判断即可． 【详解】（1）解：∵无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数，无限循环小数是有理数，不是无理数，例如是有理数， ∴说法不正确． （2）解：∵所有无限小数都是实数，因为实数包括有理数和无理数，而无限小数要么是有理数（循环），要么是无理数（不循环）， ∴说法正确． （3）解：∵带根号的数不一定都是无理数，例如，2是有理数， ∴说法不正确． （4）解：∵实数包括有理数和无理数，例如π是无理数，也是实数，但π不是有理数， ∴说法不正确． （5）解：∵实数包括有理数和无理数，例如1是有理数，也是实数，但1不是无理数， ∴说法不正确． 2．把下列各数填入相应的数集内． 正数集合：｛                                                           …｝ 无理数集合：｛                                                         …｝ 分数集合：｛                                                           …｝ 非负整数集合：｛                                                       …｝ 【答案】；；；； 【分析】有理数与无理数统称实数，实数分为正实数，0，负实数，整数与分数统称有理数，0与正整数是非负整数，根据概念逐一填入即可． 【详解】解：∵，，， 正数集合： 无理数集合： 分数集合： 非负整数集合：． 【点睛】本题考查的是实数的分类与概念，熟记实数的分类是解本题的关键． 3．已知实数a，b，c，d，e，且a，b互为倒数，c，d互为相反数，e的绝对值为2，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值，倒数的定义，相反数的定义和绝对值的定义，互为倒数的两个数的乘积为1，互为相反数的两个数的和为0，正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此可求出，再代值计算即可． 【详解】解：∵a，b互为倒数，c，d互为相反数，e的绝对值为2， ∴， ∴， ∴． 4．比较下列各组中两个数的大小： (1)和3； (2)和； (3)和； (4)和． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，解题的关键是掌握实数大小比较的法则． 利用平方法逐项比较实数的大小即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴； （3）解：∵，， ∴； （4）解：∵，，且， ∴． 5．阅读与思考 下面是莉莉同学的学习笔记．请仔细阅读，并完成相应的任务． 在数轴上确定表示无理数的点今天我们借助勾股定理，在数轴上找到了一些特殊的无理数对应的点，认识了“数轴上的点与实数一一对应”这一事实． 要在数轴上分别找到表示和的点，关键是在数轴上构造线段． 如图1，点与数轴的原点重合，点表示的数为1，过点作的垂线段，使得，连接，则（依据）． 以原点为圆心，斜边的长为半径画弧，与数轴分别交于点，则，点对应的数为，点对应的数为． …… 任务： (1)学习笔记中的“依据”是指____________． (2)如图2，利用尺规在数轴上分别画出表示的点和表示的点．（保留作图痕迹，标明字母，不写作法） (3)拓展：在材料的基础上，莉莉同学经过探索，知道了如何在数轴上画出表示数的点，请你在图3的数轴上，利用尺规作图帮助莉莉同学画出点．（保留作图痕迹，标明字母，不写作法） 【答案】(1)勾股定理 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查的是实数与数轴，勾股定理的应用． （1）根据勾股定理可得答案． （2）利用数轴作一个直角边长为，的直角三角形，再进一步画图即可． （3）利用数轴作一个直角边长为，的直角三角形，再进一步画图即可． 【详解】（1）解：学习笔记中的“依据”是：勾股定理． （2）解：如图，点P，Q即为所求． （3）解：如图，点即为所求， 6．在数学课上“说不完的”探究活动中，根据各探究小组的汇报，完成下列问题． (1)到底有多大？下面是龙龙探索的近似值的过程，请补充完整： 我们知道面积是2的正方形边长是，且，设，画出如图1的示意图： 由图形面积可得． 因为x值很小，所以更小，略去，得方程 ，解得 （保留到0.001），即 ． (2)请仿照上述探究过程探究的大小． 已知：，在图2中画出示意图，并标出相关数据，求出的近似值（保留到0.001）． 【答案】(1)，， (2)见解析， 【分析】本题考查无理数的估算，掌握数形结合的思想，是解题的关键． （1）根据图形中大正方形的面积列方程求解即可； （2）画一个面积为的正方形，类比（1），根据图形中大正方形的面积列方程求解即可． 【详解】（1）解：设，由图形面积可得， ． 因为x值很小， 所以更小，略去， 得方程， 解得，即． 故答案为：，，； （2）解：如图，设， 由图形面积可得，． 因为y值很小， 所以更小，略去， 得方程， 解得，即． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $