专题12二元一次方程组的应用、二元一次方程与一次函数、三元一次方程组暑假预习讲义 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

专题12二元一次方程组的应用、二元一次方程与一次函数、三元一次方程组暑假预习讲义 ✺知识框架 二元一次方程组实际应用：依托生活实际场景，通过提炼双重等量关系，建立方程组模型求解，实现代数知识的实际运用。 二元一次方程与一次函数：搭建代数方程与几何图像的关联桥梁，以形助数、以数释形，完成方程与函数的双向转化。 三元一次方程组：延续消元核心思想，将三元方程逐步降维转化为二元、一元一次方程，实现多元方程的规范化求解。 ✅本节整体遵循“运算求解→数形结合→实际建模→进阶拓维”的学习脉络，以消元思想贯穿多元方程求解，以数形结合打通代数与几何，最终应用于数学建模解决实际问题，是初中方程体系的重要拓展与综合提升。 ✺学习目标 知识掌握 1.掌握二元一次方程组解应用题的规范步骤，教材五大核心应用模型，能独立完成基础题型建模与求解。 2.理解二元一次方程与一次函数的等价关系，明晰方程组的解与函数图像交点的对应规律，掌握图像法解方程的基础方法。 3.掌握三元一次方程组的定义与判定标准，熟练运用两类消元法，规范完成三元方程组的求解全过程。 核心能力 1.能精准提取实际问题中的等量关系，规避建模误区，规范完成设元、列方程、求解、检验全流程。 2.能结合函数图像分析方程组解的存在情况，实现代数问题几何化、几何问题代数化。 3.掌握多元方程“降维消元”的通用思路，能灵活选择消元方法，规范求解多元方程组。 学科素养 培育逻辑推理、数学建模、直观想象三大核心数学素养，养成严谨规范的解题习惯，夯实多元方程知识体系，为后续函数综合学习奠定基础。 ✺题型归纳 题型1.方案问题(二元一次方程组的应用) 题型2.行程问题(二元一次方程组的应用) 题型3.工程问题(二元一次方程组的应用) 题型4.数字问题(二元一次方程组的应用) 题型5.年龄问题(二元一次方程组的应用) 题型6.分配问题(二元一次方程组的应用) 题型7.销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 题型8.和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 题型9.几何问题(二元一次方程组的应用) 题型10.图表信息题(二元一次方程组的应用) 题型11.古代问题(二元一次方程组的应用) 题型12.其他问题(二元一次方程组的应用) 题型13.求一次函数解析式 题型14.两直线的交点与二元一次方程组的解 题型15.图象法解二元一次方程组 题型16.求直线围成的图形面积 题型17.三元一次方程组的定义及解 题型18.三元一次方程组的应用 题型19.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、 二元一次方程组的应用 1.二元一次方程组的应用解题步骤 审：通读题干，梳理已知条件与未知量，挖掘题目中两组相互独立的等量关系，明确解题核心依据。 设：合理设取未知数，优先直接设元，复杂题型可间接设元，设元时统一标注对应单位。 列：依据提炼出的两组等量关系，规范列写二元一次方程组。 解：运用代入消元法或加减消元法求解方程组，得出未知数数值。 验：双重检验，一是检验数值是否满足方程组等式，二是检验结果是否符合实际应用。 答：简洁规范作答，完整解决题干问题。 2.常考五大核心应用模型 （1）配套配比问题 根据物品固定配套比例，建立两类物品数量的倍数等量关系，求解生产分配、零件配套等问题。 （2）行程运动问题 相遇问题依托路程和建立等量，追及问题依托路程差建立等量；航行问题依托顺水、逆水速度公式推导等量关系。 （3）增收节支与利润问题 利润=售价-进价、总利润=单件利润×销售数量、变化后量=原量×(1±增长率)，依托公式建立收支、利润、增长率等量关系。 （4）数位数字问题 设数位上的数字为未知数，根据数位计数规则、数字和差、数值变换关系建立方程组求解。 （5）和差倍比问题 依托题干中“和、差、倍、比”核心关键词，直接提炼两组独立等量关系完成建模。 3.易错提示 （1）实际问题结果必须贴合现实意义，人数、物品数量、长度等需为正整数，不合理解需舍去。 （2）解题格式规范：设元、作答需带单位，方程组列式过程无需标注单位。 （3）二元方程组应用题必备两组独立等量关系，不可仅凭单一关系建模解题。 知识点二、二元一次方程与一次函数的关系 1.二者形式上可以相互转化:任意一个二元一次方程，均可通过恒等变形转化为y=kx+b(k≠0)的一次函数解析式。二元一次方程与对应的一次函数，是两个变量间同一数量关系的两种不同表达形式，二者可以相互转化。 2. 解与点的对应关系：二元一次方程的任意一组解(x,y)，对应其对应一次函数图像上一个点的坐标；反之，一次函数图像上任意一点的坐标，都是该二元一次方程的一组解。一次函数的直线图像，是该二元一次方程所有解的几何直观体现。 3.二元一次方程组与一次函数图像的关系 核心定理：若两个一次函数的图像相交，则两条直线的交点坐标，是由这两个函数解析式联立所组成的二元一次方程组的唯一解。 适用说明：交点坐标与方程组的解等价的前提是两直线相交。当两直线平行或重合时，不存在唯一公共点，方程组无唯一解，该对应关系不成立。 知识点三、图像法解二元一次方程组 1.二元一次方程组的图象解法的含义： 用一次函数的图象求二元一次方程组的解的方法称为二元一次方程组的图象解法。 2.用图象法求二元一次方程组的解的一般步骤： （1）把方程组中的两个二元一次方程化为一次函数的形式： =k1x+b1 ,和=k2x+b2; (2)建立平面直角坐标系，画出这两个一次函数的图象。 （3）求出这两条直线交点的横、纵坐标，这两个数值就是二元一次方程组的解中的两个数值，横坐标是x的值，纵坐标是y的值。 知识点四、一次函数图像位置与方程组解的对应规律 1.设两个一次函数分别为+，x+,直线位置关系与方程组解的情况一一对应： （1）≠，则两直线相交，有唯一公共点，方程组有唯一解； （2）k1=，，则两直线平行，无公共点，方程组无解； （3） k1=，，则两直线重合，有无数个公共点，方程组有无数组解。 2.待定系数法求一次函数解析式 已知一次函数图像上两个点的坐标求解析式，本质是通过建立二元一次方程组求解参数，步骤如下： 设式：设一次函数解析式为y=kx+b(k≠0)； 代值：将两个已知点的坐标分别代入解析式，列出二元一次方程组； 求解：解方程组，求出参数k、b的值； 写式：将参数代入原式，写出完整的一次函数解析式。 知识点五、三元一次方程组 1.定义与判定标准 由三个整式方程联立组成，方程组整体含有三个不同未知数，且所有含未知数的项的次数均为1，该方程组即为三元一次方程组。 判定四要素：整式方程、三元未知、次数为1、三式联立。 2.解题思想 消元降维思想：将陌生的三元一次方程问题逐步转化为熟知的一元一次方程问题。 转化流程：三元一次方程组消元转化为二元一次方程组， 二元一次方程组消元转化为一元一次方程， 求解回代，得出最终解。 3.解题步骤 （1）观式定元：观察方程组特征，优先选择系数简单、可快速消去的未知数作为消元对象； （2）一次消元：通过代入或加减消元法消去选定未知数，得到二元一次方程组； （3）二次消元：求解二元一次方程组，得出两个未知数的具体数值； （4）回代求值：将已得数值代入原三元方程，求出第三个未知数； （5）验解作答：联立三个未知数的值，回代原方程组检验，确认无误后规范写解。 4.解题技巧 （1）若某未知数仅出现在单个方程中，优先采用代入消元法简化运算； （2）若同一未知数系数相同或互为相反数，优先采用加减消元法快速消元； （3）全程固定消去同一个未知数，保证降维逻辑连贯，避免解题混乱。 ✺题型精讲 题型1.方案问题(二元一次方程组的应用) 1．小乐要用20元钱买A，B两种饮料，两种饮料必须都买，20元全部用完．若A种饮料每瓶3元，B种饮料每瓶2元，则小乐最多购买A，B两种饮料共（    ） A．7瓶 B．8瓶 C．9瓶 D．10瓶 2．第一小组分练习本若干本，每人各得本，还剩本；若有一人只拿本，则其余每人可各得本，则第一小组有________人． 3．某学校为丰富学生课余生活，计划购买一批羽毛球拍和乒乓球拍．已知购买2副羽毛球拍和3副乒乓球拍共需260元，购买3副羽毛球拍和2副乒乓球拍共需290元．求每副羽毛球拍和每副乒乓球拍的价格． 题型2.行程问题(二元一次方程组的应用) 1．已知甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路，一辆汽车上坡时速度为，下坡时速度为，车从甲地开往乙地需12小时，若从乙地返回甲地上下坡的速度不变，时间为13小时，那么甲乙两地的公路长（     ） A． B． C． D． 2．甲、乙二人同时同地出发，都以不变的速度在环形路上奔跑．若反向而行，每隔相遇一次，若同向而行，则每隔相遇一次，已知甲比乙跑得快，设甲每分钟跑圈，乙每分钟跑圈，则可列方程组为_______________________． 3．从甲地到乙地的路程为9千米，其中一段为平路，另一段为山路．小刚骑自行车从甲地出发，以的速度通过平路，再以的速度通过山路到达乙地，共用了，求平路和山路的长各为多少千米． 题型3.工程问题(二元一次方程组的应用) 1．某家具厂设计的餐桌椅套装，1张桌子配4把椅子．该厂一天能生产桌子12张或椅子32把，决定用20天时间生产一批这样的餐桌椅．如果要使生产的桌子和椅子正好配套，设安排x天生产桌子，y天生产椅子，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 2．某市在落实国家“精准扶贫”政策的过程中，为某村修建一条长为400米的公路，由甲、乙两个工程队负责施工．甲工程队独立施工2天后，乙工程队加入，两工程队联合施工3天后，还剩50米的工程．已知甲工程队每天比乙工程队多施工2米，则甲工程队每天施工________米，乙工程队每天施工________米． 3．骑自行车出行是一种健康环保的出行方式．某自行车制造厂计划月份生产安装辆新款自行车，已知名熟练工和名新工人每日可安装辆新款自行车；名熟练工和名新工人每日可安装辆新款自行车．求一名熟练工和一名新工人每日分别可以安装多少辆新款自行车？ 题型4.数字问题(二元一次方程组的应用) 1．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等．例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则的值是（     ） A． B． C． D． 2．已知一个两位数的个位和十位上的数字之和为，个位上的数字与十位上的数字交换位置后，所得的新两位数比原两位数小，则原来的两位数是________． 3．一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和是11，如果把十位上的数字与个位上的数字对调，那么所得的两位数比原两位数大63，求原来两位数．（列方程组解答） 题型5.年龄问题(二元一次方程组的应用) 1．甲是乙现在的年龄时，乙8岁；乙是甲现在年龄时，甲20岁，则（    ） A．甲比乙大6岁 B．乙比甲大6岁 C．甲比乙大4岁 D．乙比甲大4岁 2．一名34岁的男子带着他的两个孩子一同接受采访，下面是两个孩子与记者的对话： 根据对话内容，哥哥和妹妹的年龄分别是________． 3．小明和小亮比年龄．小明说：“再过年，我就和你现在一样大．”小亮说：“再过年，我的年龄就是你现在年龄的倍．”根据小明和小亮的对话，求他们现在的年龄．（列二元一次方程组解应用题） 题型6.分配问题(二元一次方程组的应用) 1．用铁皮做水桶，每张铁皮能做1个桶身或6个桶底，而1个桶身与1个桶底正好配套成1个水桶．现在有56张这样的铁皮，设用x张铁皮做桶身，y张铁皮做桶底，生产的桶身和桶底正好配套，则下列方程组中符合题意的是（     ） A．B． C． D． 2．如图，某数学兴趣小组准备用如图①的长方形和正方形木板，做如图②的竖式和横式两种无盖木箱，现在共有100块正方形木板和200块长方形木板，则做竖式和横式木箱共_______个恰好把这些木板用完． 3．七年级有400名学生到厦门参加研学活动，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人，用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人． (1)每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？ (2)若计划租小客车m辆，大客车n辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满；已知小客车每辆租金150元，大客车每辆租金250元，请设计出最省钱的租车方案，并求出最少租金． 题型7.销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 1．某商场甲、乙两个柜台去年十二月份的总营业额为64万元．今年一月份甲柜台的营业额增长了，乙柜台的营业额降低了，且两个柜台的总营业额达到75万元，则甲柜台去年十二月份的营业额为（     ）万元． A．40 B．25 C．26 D．34 2．某县是全国知名的汉服生产基地，某汉服店铺购进基础款汉服和刺绣款马面裙两种服饰．已知购进2件基础款汉服和3件刺绣马面裙一共花费650元；购进3件基础款汉服比购进5件刺绣马面裙少450元，则每件刺绣马面裙的进价为__________元． 3．某玩具店购进2022年冬奥会吉祥物冰墩墩与冬残奥会吉祥物雪容融共120个，花去3950元，其中冰墩墩、雪容融的进价分别为35元/个、30元/个，求冰墩墩、雪容融各购进多少个？ 题型8.和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 1．某企业计划投入资金用于技术升级与植树造林以实现碳中和目标．已知技术升级每投入1万元可减少碳排放3吨；植树造林每投入1万元可吸收碳排放2吨．若投入10万元，共实现碳排放净减少量28吨，则技术升级和植树造林分别投入（     ） A．8万元，2万元 B．2万元，8万元 C．6万元，4万元 D．5万元，5万元 2．有甲、乙两堆煤，如果从甲堆运吨给乙堆，那么两堆煤就一样多．如果从乙堆运吨给甲堆，那么甲堆煤就是乙堆煤的倍．这两堆煤共重______________吨． 3．手工陶艺坊制作陶杯和陶碗，陶土用量（单位：）及成品率（成品率）如下表所示： 类别 原材料 成品率 陶杯 陶土E 陶碗 陶土F 第一次制作，共得到陶杯和陶碗成品80件；第二次制作，陶杯陶土E用量是第一次的2倍，陶碗陶土F用量是第一次的3倍，共得到成品190件．第一次制作时，陶土E和陶土F的用量分别是多少？ 题型9.几何问题(二元一次方程组的应用) 1．如图，长方形是由6个正方形组成，其中，则图中长方形的周长是（     ） A．44 B．46 C．48 D．50 2．如图，长方形被分成若干个正方形，已知，则长方形的另一边____________． 3．某包装生产企业承接了一批礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图所示，（单位：） (1)列出方程（组），求出图1中与的值． (2)在生产阶段，若将150张标准板材用裁法一裁剪，将得到的A型与B型板材做侧面和底面，请问能做成图2的竖式与横式两种无盖礼品盒各多少个？ 题型10.图表信息题(二元一次方程组的应用) 1．在“幻方拓展课程”探索中，小明在如图所示的方格内填入了一些数和代数式，若图中每行、每列及每条对角线上的三个数（代数式）之和都相等，则的值为（     ） A．10 B．8 C．6 D．4 2．根据如图给出的信息，则每件T恤价格和每瓶矿泉水的价格分别为________元． 3．如图，的格子内填写了一些数和代数式，各行上的三个数之和相等，各列上的三个数之和相等． 3 2 (1)求和的值（用含，的代数式表示）； (2)试用等式表示，之间的数量关系． 题型11.古代问题(二元一次方程组的应用) 1．《张丘建算经》中有这样一首古诗：甲乙隔溪牧羊，二人互相商量；甲得乙羊九只，多乙一倍正当；乙说得甲九只，两人羊数一样；问甲乙各几羊，让你算个半晌． 如果设甲有羊只，乙有羊只，那么可列方程组（     ） A．B．C．D． 2．《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有二人共车，九人步；三人共车，二车空．问：人与车各几何？译文：若每辆车都坐人，则人需要步行；若每辆车都坐人，则两辆车是空的．问：车与人各多少？设有辆车、人，根据题意，列方程组得________________． 3．列方程组求解古算题： 今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？(选自《九章算术》)题目大意：5头牛、2只羊共值10两“金”；2头牛、5只羊共值8两“金”．每头牛、每只羊各值多少“金”？ 题型12.其他问题(二元一次方程组的应用) 1．费县为了改善全县中、小学办学条件，计划集中采购一批电子白板和投影机，已知购买2块电子白板比购买3台投影机多4000元，购买4块电子白板和3台投影机共需44000元，则购买一块电子白板和一台投影机分别需要（     ） A．4000元，8000元 B．8000元，4000元 C．14000元，8000元 D．10000元，12000元 2．某商店将巧克力包装成甲、乙两种礼盒出售．晓雨原先想购买2盒甲种礼盒和5盒乙种礼盒，但他身上的钱还差3元；如果改成购买5盒甲种礼盒和2盒乙种礼盒，他身上的钱会剩下3元．每盒乙种礼盒比甲种礼盒贵________元． 3．长沙市某公园的门票价格如表所示： 购票人数 人 人 100人以上 票价 10元/人 8元/人 5元/人 某校九年级甲、乙两个班共100多人去该公园举行毕业联欢活动，其中甲班有50多人不到60人，乙班不足50人，如果以班为单位分别买门票，两个班一共应付920元；如果两个班联合起来作为一个团体购票，一共要付515元，问甲，乙两班分别有多少人？ 题型13.求一次函数解析式 1．已知点在正比例函数的图象上，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．已知正比例函数，当自变量x的值为时，函数值，则比例系数______． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于、两点，过点的另一条直线交轴正半轴于点，且点为线段的中点． (1)求出直线的函数解析式； (2)若点是直线上的动点，连接，且，求点的坐标． 题型14.两直线的交点与二元一次方程组的解 1．若一次函数（、为常数，且）与一次函数的图象交点的横坐标为2，则关于、的方程组的解是（     ） A． B． C． D． 2．直线与交点的横坐标为1，则关于的二元一次方程组的解为______． 3．已知直线与直线相交于点． (1)求和的值； (2)求方程组的解． 题型15.图象法解二元一次方程组 1．如图直线与直线都经过点，则方程组，的解是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数和的图象交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是_______________； 3．利用一次函数的图象，求二元一次方程组的解． 题型16.求直线围成的图形面积 1．已知直线与x轴交于点A，与直线交于点B．则的面积为（     ） A．2 B．3 C．4 D．8 2．如图，直线是一次函数的图象，与两坐标轴所围成的三角形的面积为___________． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点B、C，与直线交于点A．已知点A的坐标为，． (1)求出直线的解析式； (2)求的面积． 题型17.三元一次方程组的定义及解 1．用“※”定义一种新运算：对于任意有理数，规定，其中为常数．已知，则：的值为（     ） A． B．3 C． D．1 2．已知 ，则 ________． 3．数学课上，老师布置了这样一道题目：已知方程组，求的值．针对此问题，乐乐同学认为可以用“整体思想”和“消元、转化”方法求解．因为问题是求解整体的值，因此可以在原方程组中“分离”出即可，即，接下来把和分别看作一个整体，采用“代入消元法”或者“加减消元法”均可解决该问题了． (1)请你替乐乐同学完成接下来的步骤，求出的值； (2)请你用上述思想方法求解问题：已知，求的值． 题型18.三元一次方程组的应用 1．甲、乙、丙三种商品，若购买甲5件、乙7件、丙2件，共需33元钱，购甲9件、乙13件、丙3件共需60元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需（   ）元钱 A．12 B．8 C．6 D．4 2．小明所带的钱只能购买如图三件物品中的两件．已知毛笔与砚台的价格之和为118元，毛笔与笔洗的价格之和为108元，砚台与笔洗的价格之和为96元．那么毛笔的单价为( )元／支，砚台的单价为( )元／块，笔洗的单价为( )元／只． 3．某车间每天能生产甲种零件120个，或者乙种零件100个，或者丙种零件200个．甲、乙、丙三种零件分别取3个、2个、1个才能配成一套，车间计划30天内生产的零件正好成套．请问甲、乙、丙三种零件各应生产几天才能完成计划？ ✺巩固测试 一、单选题 1．我国清代康熙年间编撰的数学典籍《御制数理精蕴》中，记载了诸多“盈题”（即有余、不足类应用题），其解题思路与现代方程思想一脉相承．结合内蒙古草原牧区生活实际，可衍生如下问题：牧民合伙分配一批驮银，若每人分8锭，还剩余5锭；若每人分10锭，则缺少7锭．若设参与分配的牧民有人，驮银有锭，可列方程组为（     ） A． B． C． D． 2．2026年是“十五五”的开局之年，某企业年初提出目标：2026年总产值比2025年增加，总支出比2025年减少，实现利润比2025年翻一番．已知该企业2025年的利润（总产值—总支出）为2亿元，则2026年的总产值将达到（     ） A．4亿元 B．亿元 C．6亿元 D．亿元 3．在大禹治水的时代，有一种神龟背负着一张神秘的图（如图1）浮出洛水，吉祥献瑞，后世称之为“洛书”，当后人将“洛书”上的数填在图2的表中时发现：每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相等，像这样的数字方阵，称为“幻方”，如果图3也是一个“幻方”，则的值为（     ） A．11 B．15 C．9 D．13 4．小芳用50元购买单价5元的笔记本和单价2元的圆珠笔（两种都要买），钱刚好用完，则她购买方案共有（     ）． A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 5．甲、乙两人分别在A、B两地，以各自的速度同时出发．如果相向而行，两人后相遇；如果同向而行，两人后相遇；问甲从A地到B地需要（     ）． A．或 B．或 C．或 D．或 6．已知一次函数的图象经过点和，则 k、b 的值分别为（     ） A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系内，一次函数与的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 8．已知三元一次方程组，则（  ） A．2 B．4 C．6 D．8 二、填空题 9．如果与互余，且的度数比的度数小，则___________． 10．现有甲、乙两种型号的帐篷共2000顶，其中甲种帐篷每顶安置6人，乙种帐篷每顶安置4人，共有9000人需要安置，设甲种帐篷顶、乙种帐篷顶，那么依题意列出的方程组是________． 11．如图，的格子内填写了一些数和代数式，已知格子的各行、各列及对角线上的三个数之和均相等． （1）各行、各列及对角线上的三个数之和为__________； （2）的值为__________． 12．我们知道，定期交换汽车前后轮胎，可降低汽车维护成本．某种汽车前轮胎行驶4万公里时报废，后轮胎行驶6万公里时报废．我们可以将轮胎报废的时候磨损程度看为1，如果在轮胎的使用寿命内只交换一次前、后轮轮胎，设该种汽车行驶x万公里之后，将前轮胎交换到了后轮的位置，然后继续行驶了y万公里后，前后轮胎同时报废．根据以上信息，可求得汽车行驶_________万公里，需要进行换胎． 13．甲加工一种零件，乙加工另一种零件．甲用型机器需要6小时才能完成任务，用型机器效率降低；乙用型机器需要10小时才能完成任务，用型机器效率提高．如果甲用型机器，乙用型机器同时开始工作，中途某一时刻交换使用机器，甲和乙同时完成任务．则甲完成任务所用的时间是__________小时． 14．直线与y轴交于点M，且点M到x轴的距离为5，则直线的解析式为_____． 15．足球联赛中，每队胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分，某队在10场比赛中得到18分．且胜的场数等于平和负的场数之和，若设该队胜的场数为，平的场数为，负的场数为，则可列方程组为_____． 3、 解答题 16．如图，直线交x轴于点A，交直线于点P． (1)求点P的坐标． (2)求的面积． 17．如图，直线与直线交于点A，且直线与x轴，y轴分别交于B，C两点，且两点的坐标分别为． (1)求直线的函数解析式； (2)求 的面积． 18．水是万物生命之源，但随着人口急剧增长，水资源透支令人担忧，节约用水迫在眉睫．某城市为了避免居民用水浪费现象，制定了居民每月每户用水标准，收费为正常标准，如果超标用水，超过部分加价收费，下表是小明家2025年两个月的收费表： 时间项目 用水量 费用（元） 1月 11 28 2月 15 44 (1)请问该城市居民标准内用水及超标部分用水的价格各是多少元？ (2)小明家三月份用水量是，他有50元钱，请问他的钱够交水费吗？如果不够，还差多少？ 19．某商场计划花9万元从厂家购进50台电视机．已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元． (1)若商场想同时购进其中两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你帮助该商场设计进货方案． (2)若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元．在（1）的条件下，为使销售时获利最多，应选择哪种进货方案？ 20．某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走．在接力测试中发现：A型机器人走3步，接着B型机器人走4步，共需要秒；A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要秒． (1)求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？ (2)已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？ 21．为打造“塞上湖城”生态名片，银川市对典农河的一段河道进行清淤美化．现有一段长为180米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治8米，乙工程队每天整治12米，共用时20天．求整治任务完成后，甲、乙两个工程队分别整治河道的长度． (1)小明、小华两位同学提出的解题思路如下： 小明同学：设整治任务完成后，甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米． 根据题意，得 小华同学：设整治任务完成后，m表示___________，n表示___________． 根据题意，得 请你补全小明、小华两位同学的解题思路； (2)求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？请从（1）中任选一个方程组求解．（写出完整的解答过程） 22．某学校准备购买两种造型花卉来装扮校园，已知购买株种花卉和株种花卉共需元；购买株种花卉和株种花卉共需元． (1)求这两种花卉的单价； (2)在“五一”前夕，某花卉市场开展了促销活动，具体办法如下：种花卉按原价的七折销售，购买种花卉株以上，超出部分按原价的五折销售．设购买株种花卉需要元，购买株种花卉需要元，分别求出，关于的函数解析式． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12二元一次方程组的应用、二元一次方程与一次函数、三元一次方程组暑假预习讲义 ✺知识框架 二元一次方程组实际应用：依托生活实际场景，通过提炼双重等量关系，建立方程组模型求解，实现代数知识的实际运用。 二元一次方程与一次函数：搭建代数方程与几何图像的关联桥梁，以形助数、以数释形，完成方程与函数的双向转化。 三元一次方程组：延续消元核心思想，将三元方程逐步降维转化为二元、一元一次方程，实现多元方程的规范化求解。 ✅本节整体遵循“运算求解→数形结合→实际建模→进阶拓维”的学习脉络，以消元思想贯穿多元方程求解，以数形结合打通代数与几何，最终应用于数学建模解决实际问题，是初中方程体系的重要拓展与综合提升。 ✺学习目标 知识掌握 1.掌握二元一次方程组解应用题的规范步骤，教材五大核心应用模型，能独立完成基础题型建模与求解。 2.理解二元一次方程与一次函数的等价关系，明晰方程组的解与函数图像交点的对应规律，掌握图像法解方程的基础方法。 3.掌握三元一次方程组的定义与判定标准，熟练运用两类消元法，规范完成三元方程组的求解全过程。 核心能力 1.能精准提取实际问题中的等量关系，规避建模误区，规范完成设元、列方程、求解、检验全流程。 2.能结合函数图像分析方程组解的存在情况，实现代数问题几何化、几何问题代数化。 3.掌握多元方程“降维消元”的通用思路，能灵活选择消元方法，规范求解多元方程组。 学科素养 培育逻辑推理、数学建模、直观想象三大核心数学素养，养成严谨规范的解题习惯，夯实多元方程知识体系，为后续函数综合学习奠定基础。 ✺题型归纳 题型1.方案问题(二元一次方程组的应用) 题型2.行程问题(二元一次方程组的应用) 题型3.工程问题(二元一次方程组的应用) 题型4.数字问题(二元一次方程组的应用) 题型5.年龄问题(二元一次方程组的应用) 题型6.分配问题(二元一次方程组的应用) 题型7.销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 题型8.和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 题型9.几何问题(二元一次方程组的应用) 题型10.图表信息题(二元一次方程组的应用) 题型11.古代问题(二元一次方程组的应用) 题型12.其他问题(二元一次方程组的应用) 题型13.求一次函数解析式 题型14.两直线的交点与二元一次方程组的解 题型15.图象法解二元一次方程组 题型16.求直线围成的图形面积 题型17.三元一次方程组的定义及解 题型18.三元一次方程组的应用 题型19.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、 二元一次方程组的应用 1.二元一次方程组的应用解题步骤 审：通读题干，梳理已知条件与未知量，挖掘题目中两组相互独立的等量关系，明确解题核心依据。 设：合理设取未知数，优先直接设元，复杂题型可间接设元，设元时统一标注对应单位。 列：依据提炼出的两组等量关系，规范列写二元一次方程组。 解：运用代入消元法或加减消元法求解方程组，得出未知数数值。 验：双重检验，一是检验数值是否满足方程组等式，二是检验结果是否符合实际应用。 答：简洁规范作答，完整解决题干问题。 2.常考五大核心应用模型 （1）配套配比问题 根据物品固定配套比例，建立两类物品数量的倍数等量关系，求解生产分配、零件配套等问题。 （2）行程运动问题 相遇问题依托路程和建立等量，追及问题依托路程差建立等量；航行问题依托顺水、逆水速度公式推导等量关系。 （3）增收节支与利润问题 利润=售价-进价、总利润=单件利润×销售数量、变化后量=原量×(1±增长率)，依托公式建立收支、利润、增长率等量关系。 （4）数位数字问题 设数位上的数字为未知数，根据数位计数规则、数字和差、数值变换关系建立方程组求解。 （5）和差倍比问题 依托题干中“和、差、倍、比”核心关键词，直接提炼两组独立等量关系完成建模。 3.易错提示 （1）实际问题结果必须贴合现实意义，人数、物品数量、长度等需为正整数，不合理解需舍去。 （2）解题格式规范：设元、作答需带单位，方程组列式过程无需标注单位。 （3）二元方程组应用题必备两组独立等量关系，不可仅凭单一关系建模解题。 知识点二、二元一次方程与一次函数的关系 1.二者形式上可以相互转化:任意一个二元一次方程，均可通过恒等变形转化为y=kx+b(k≠0)的一次函数解析式。二元一次方程与对应的一次函数，是两个变量间同一数量关系的两种不同表达形式，二者可以相互转化。 2. 解与点的对应关系：二元一次方程的任意一组解(x,y)，对应其对应一次函数图像上一个点的坐标；反之，一次函数图像上任意一点的坐标，都是该二元一次方程的一组解。一次函数的直线图像，是该二元一次方程所有解的几何直观体现。 3.二元一次方程组与一次函数图像的关系 核心定理：若两个一次函数的图像相交，则两条直线的交点坐标，是由这两个函数解析式联立所组成的二元一次方程组的唯一解。 适用说明：交点坐标与方程组的解等价的前提是两直线相交。当两直线平行或重合时，不存在唯一公共点，方程组无唯一解，该对应关系不成立。 知识点三、图像法解二元一次方程组 1.二元一次方程组的图象解法的含义： 用一次函数的图象求二元一次方程组的解的方法称为二元一次方程组的图象解法。 2.用图象法求二元一次方程组的解的一般步骤： （1）把方程组中的两个二元一次方程化为一次函数的形式： =k1x+b1 ,和=k2x+b2; (2)建立平面直角坐标系，画出这两个一次函数的图象。 （3）求出这两条直线交点的横、纵坐标，这两个数值就是二元一次方程组的解中的两个数值，横坐标是x的值，纵坐标是y的值。 知识点四、一次函数图像位置与方程组解的对应规律 1.设两个一次函数分别为+，x+,直线位置关系与方程组解的情况一一对应： （1）≠，则两直线相交，有唯一公共点，方程组有唯一解； （2） k1=，，则两直线平行，无公共点，方程组无解； （3）k1=，，则两直线重合，有无数个公共点，方程组有无数组解。 2.待定系数法求一次函数解析式 已知一次函数图像上两个点的坐标求解析式，本质是通过建立二元一次方程组求解参数，步骤如下： 设式：设一次函数解析式为y=kx+b(k≠0)； 代值：将两个已知点的坐标分别代入解析式，列出二元一次方程组； 求解：解方程组，求出参数k、b的值； 写式：将参数代入原式，写出完整的一次函数解析式。 知识点五、三元一次方程组 1.定义与判定标准 由三个整式方程联立组成，方程组整体含有三个不同未知数，且所有含未知数的项的次数均为1，该方程组即为三元一次方程组。 判定四要素：整式方程、三元未知、次数为1、三式联立。 2.解题思想 消元降维思想：将陌生的三元一次方程问题逐步转化为熟知的一元一次方程问题。 转化流程：三元一次方程组消元转化为二元一次方程组， 二元一次方程组消元转化为一元一次方程， 求解回代，得出最终解。 3.解题步骤 （1）观式定元：观察方程组特征，优先选择系数简单、可快速消去的未知数作为消元对象； （2）一次消元：通过代入或加减消元法消去选定未知数，得到二元一次方程组； （3）二次消元：求解二元一次方程组，得出两个未知数的具体数值； （4）回代求值：将已得数值代入原三元方程，求出第三个未知数； （5）验解作答：联立三个未知数的值，回代原方程组检验，确认无误后规范写解。 4. 解题技巧 （1）若某未知数仅出现在单个方程中，优先采用代入消元法简化运算； （2）若同一未知数系数相同或互为相反数，优先采用加减消元法快速消元； （3）全程固定消去同一个未知数，保证降维逻辑连贯，避免解题混乱。 ✺题型精讲 题型1.方案问题(二元一次方程组的应用) 1．小乐要用20元钱买A，B两种饮料，两种饮料必须都买，20元全部用完．若A种饮料每瓶3元，B种饮料每瓶2元，则小乐最多购买A，B两种饮料共（    ） A．7瓶 B．8瓶 C．9瓶 D．10瓶 【答案】C 【分析】设未知数构造方程，求整数解即可． 【详解】解：设小乐购买A种饮料瓶，B种饮料瓶， 则， 得， ∵是正整数，是偶数， 则是偶数， 则时，，， 则时，，， 则时，，， ∴则小乐最多购买A，B两种饮料共瓶． 2．第一小组分练习本若干本，每人各得本，还剩本；若有一人只拿本，则其余每人可各得本，则第一小组有________人． 【答案】10 【分析】首先设第一小组同学有x人，练习本有y本，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】解：设第一小组同学有x人，练习本有y本，根据题意得 ， 解得． 答：第一小组同学有10人，练习本有83本． 3．某学校为丰富学生课余生活，计划购买一批羽毛球拍和乒乓球拍．已知购买2副羽毛球拍和3副乒乓球拍共需260元，购买3副羽毛球拍和2副乒乓球拍共需290元．求每副羽毛球拍和每副乒乓球拍的价格． 【答案】羽毛球拍每副70元，乒乓球拍每副40元 【分析】设羽毛球拍每副x元，乒乓球拍每副y元，根据题意列出二元一次方程组并求解，即可获得答案． 【详解】解：设羽毛球拍每副x元，乒乓球拍每副y元， 根据题意，可得，解得， 答：羽毛球拍每副70元，乒乓球拍每副40元． 题型2.行程问题(二元一次方程组的应用) 1．已知甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路，一辆汽车上坡时速度为，下坡时速度为，车从甲地开往乙地需12小时，若从乙地返回甲地上下坡的速度不变，时间为13小时，那么甲乙两地的公路长（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设从甲到乙的上坡路长为，下坡路长为，根据题意，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设从甲到乙的上坡路长为，下坡路长为， 由题意得， 两式相加，得，解得， 故甲乙两地公路长为． 2．甲、乙二人同时同地出发，都以不变的速度在环形路上奔跑．若反向而行，每隔相遇一次，若同向而行，则每隔相遇一次，已知甲比乙跑得快，设甲每分钟跑圈，乙每分钟跑圈，则可列方程组为_______________________． 【答案】 【详解】解：设甲每分钟跑圈，乙每分钟跑圈， 若同时同地反向出发，相遇时两人跑的路程和刚好是1整圈，甲跑圈，乙跑圈，则列方程为：， 若同向而行：甲比乙快，同时同地同向出发，相遇时甲比乙多跑了1整圈，甲跑圈，乙跑圈，则列方程为：， 联立两个方程得：． 3．从甲地到乙地的路程为9千米，其中一段为平路，另一段为山路．小刚骑自行车从甲地出发，以的速度通过平路，再以的速度通过山路到达乙地，共用了，求平路和山路的长各为多少千米． 【答案】平路的长为，山路的长为 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． 设平路的长为，山路的长为，根据题意列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设平路的长为，山路的长为． 由题意，得， 解得， 答：平路的长为，山路的长为． 题型3.工程问题(二元一次方程组的应用) 1．某家具厂设计的餐桌椅套装，1张桌子配4把椅子．该厂一天能生产桌子12张或椅子32把，决定用20天时间生产一批这样的餐桌椅．如果要使生产的桌子和椅子正好配套，设安排x天生产桌子，y天生产椅子，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列出二元一次方程组的配套问题，由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设安排x天生产桌子，y天生产椅子，根据1张桌子配4把椅子即生产椅子数量是生产桌子数量的4倍可列方程组． 【详解】解：设安排x天生产桌子，y天生产椅子， 根据题意可列方程组为：． 故选：A． 2．某市在落实国家“精准扶贫”政策的过程中，为某村修建一条长为400米的公路，由甲、乙两个工程队负责施工．甲工程队独立施工2天后，乙工程队加入，两工程队联合施工3天后，还剩50米的工程．已知甲工程队每天比乙工程队多施工2米，则甲工程队每天施工________米，乙工程队每天施工________米． 【答案】 44.5 42.5 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设甲工程队每天施工米，乙工程队每天施工米，根据题意，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设甲工程队每天施工米，乙工程队每天施工米，由题意，得： ，解得：， 答：甲工程队每天施工米，乙工程队每天施工米； 故答案为：，． 3．骑自行车出行是一种健康环保的出行方式．某自行车制造厂计划月份生产安装辆新款自行车，已知名熟练工和名新工人每日可安装辆新款自行车；名熟练工和名新工人每日可安装辆新款自行车．求一名熟练工和一名新工人每日分别可以安装多少辆新款自行车？ 【答案】一名熟练工每日可以安装辆新款自行车，一名新工人每日可以安装辆新款自行车 【分析】设一名熟练工每日可以安装辆新款自行车，一名新工人每日可以安装辆新款自行车．已知名熟练工和名新工人每日可安装辆新款自行车；名熟练工和名新工人每日可安装辆新款自行车．据此列出方程组并解方程组即可． 【详解】解：设一名熟练工每日可以安装辆新款自行车，一名新工人每日可以安装辆新款自行车． 由题意得． 解得． 一名熟练工每日可以安装辆新款自行车，一名新工人每日可以安装辆新款自行车． 题型4.数字问题(二元一次方程组的应用) 1．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等．例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用幻方的性质，即每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等进行分析即可． 【详解】解；如图： 则有，解得， 则有，解得， 则有，解得， 则有，解得， 所以． 2．已知一个两位数的个位和十位上的数字之和为，个位上的数字与十位上的数字交换位置后，所得的新两位数比原两位数小，则原来的两位数是________． 【答案】62 【分析】设原两位数的个位数字为，十位数字为，根据数位数字之和、新数与原数的数量关系列方程组求解. 【详解】解：设原两位数的个位数字为，十位数字为， 根据题意列方程组： ， 整理第二个方程得 ， 解得 ， 因此原来的两位数为 . 3．一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和是11，如果把十位上的数字与个位上的数字对调，那么所得的两位数比原两位数大63，求原来两位数．（列方程组解答） 【答案】原来两位数为29． 【分析】设个位上的数字为x，十位上的数字为y，根据题意列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设原来两位数个位上的数字为x，十位上的数字为y， 依题意有， 解得， 答：原来两位数为29． 题型5.年龄问题(二元一次方程组的应用) 1．甲是乙现在的年龄时，乙8岁；乙是甲现在年龄时，甲20岁，则（    ） A．甲比乙大6岁 B．乙比甲大6岁 C．甲比乙大4岁 D．乙比甲大4岁 【答案】C 【分析】根据题中已知量和未知量之间的等量关系，设未知数，列二元一次方程组即可解决． 【详解】解：设甲现在x岁，乙现在y岁． 根据题意，得， 解得， ∴ 故选：C 【点睛】本题考查了列方程组解应用题的知识点，找出题中已知量和未知之间的等量关系是解题的关键． 2．一名34岁的男子带着他的两个孩子一同接受采访，下面是两个孩子与记者的对话： 根据对话内容，哥哥和妹妹的年龄分别是________． 【答案】10岁和6岁 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设妹妹的年龄是x岁，哥哥的年龄是y岁，根据对话中的信息，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设妹妹的年龄是x岁，哥哥的年龄是y岁， 依题意，得， 解得； 所以妹妹的年龄是6岁，哥哥的年龄是10岁． 故答案为：10岁和6岁． 3．小明和小亮比年龄．小明说：“再过年，我就和你现在一样大．”小亮说：“再过年，我的年龄就是你现在年龄的倍．”根据小明和小亮的对话，求他们现在的年龄．（列二元一次方程组解应用题） 【答案】小明现在岁，小亮现在岁． 【分析】设小明现在岁，小亮现在岁，根据题意得，然后解方程组即可． 【详解】解：设小明现在岁，小亮现在岁， 根据题意得， 解得：， 答：小明现在岁，小亮现在岁． 题型6.分配问题(二元一次方程组的应用) 1．用铁皮做水桶，每张铁皮能做1个桶身或6个桶底，而1个桶身与1个桶底正好配套成1个水桶．现在有56张这样的铁皮，设用x张铁皮做桶身，y张铁皮做桶底，生产的桶身和桶底正好配套，则下列方程组中符合题意的是（     ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题根据两个等量关系列方程组，一是铁皮总张数为56，二是桶身数量与桶底数量相等正好配套，据此即可得到符合题意的方程组． 【详解】解：设用张铁皮做桶身，张铁皮做桶底，根据题意得 ． 2．如图，某数学兴趣小组准备用如图①的长方形和正方形木板，做如图②的竖式和横式两种无盖木箱，现在共有100块正方形木板和200块长方形木板，则做竖式和横式木箱共_______个恰好把这些木板用完． 【答案】60 【分析】设做竖式木箱x个，横式木箱y个，恰好把这些木板用完，根据竖式和横式两种无盖木箱与木板的数量关系列出方程组，求解即可． 【详解】解：设做竖式木箱x个，横式木箱y个，恰好把这些木板用完， 根据题意，得， 解得， 故， 故做竖式和横式木箱共60个恰好把这些木板用完． 3．七年级有400名学生到厦门参加研学活动，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人，用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人． (1)每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？ (2)若计划租小客车m辆，大客车n辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满；已知小客车每辆租金150元，大客车每辆租金250元，请设计出最省钱的租车方案，并求出最少租金． 【答案】(1) 每辆小客车能坐20名学生，每辆大客车能坐45名学生. (2) 最省钱的租车方案为租小客车2辆，大客车8辆，最少租金是2300元. 【分析】先根据题干给出的两种运送人数的条件，设未知数列出方程组求解得到每辆车的载客量，再根据总人数和每辆车坐满的条件列出等式，求出所有符合要求的非负整数租车方案，分别计算各方案租金后比较，得到最省钱的方案． 【详解】（1）解：设每辆小客车能坐名学生，每辆大客车能坐名学生 根据题意得 解得 答：每辆小客车能坐20名学生，每辆大客车能坐45名学生； （2）解：由题意得，租车满足 ，其中，为非负整数 整理等式得 ， 变形得 因为为非负整数， 所以必须是4的倍数， 分情况计算租金： 当，时，租金为 (元)； 当，时，租金为 (元)； 当，时，租金为 (元)； 当时，，不符合要求， 因为 ， 所以最省钱的方案是租小客车2辆，大客车8辆，最少租金为2300元 答：最省钱的租车方案是租小客车2辆，大客车8辆，最少租金为2300元． 题型7.销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 1．某商场甲、乙两个柜台去年十二月份的总营业额为64万元．今年一月份甲柜台的营业额增长了，乙柜台的营业额降低了，且两个柜台的总营业额达到75万元，则甲柜台去年十二月份的营业额为（     ）万元． A．40 B．25 C．26 D．34 【答案】D 【分析】设甲柜台去年十二月份的营业额为万元，乙柜台去年十二月份的营业额为万元，根据去年十二月总营业额和今年一月变化后总营业额的条件，列出方程组即可求解． 【详解】解：设甲柜台去年十二月份的营业额为万元，乙柜台去年十二月份的营业额为万元， 由题意得，， 解得， ∴甲柜台去年十二月份的营业额为34万元． 2．某县是全国知名的汉服生产基地，某汉服店铺购进基础款汉服和刺绣款马面裙两种服饰．已知购进2件基础款汉服和3件刺绣马面裙一共花费650元；购进3件基础款汉服比购进5件刺绣马面裙少450元，则每件刺绣马面裙的进价为__________元． 【答案】150 【分析】设每件基础款汉服的进价为x元，每件刺绣马面裙的进价为y元，根据“2件基础款汉服和3件刺绣马面裙一共花费650元；购进3件基础款汉服比购进5件刺绣马面裙少450元”列出方程组，求解即可． 【详解】解：设每件基础款汉服的进价为x元，每件刺绣马面裙的进价为y元，根据题意，得 ， 解得， 答：每件基础款汉服的进价为100元，每件刺绣马面裙的进价为150元． 3．某玩具店购进2022年冬奥会吉祥物冰墩墩与冬残奥会吉祥物雪容融共120个，花去3950元，其中冰墩墩、雪容融的进价分别为35元/个、30元/个，求冰墩墩、雪容融各购进多少个？ 【答案】购进冰墩墩70个，雪容融50个 【分析】设购进冰墩墩x个，雪容融y个，根据题意列出关于、的二元一次方程组，解方程组即可得出结果． 【详解】解：设购进冰墩墩x个，雪容融y个， 依题意得， 解得， 故购进冰墩墩70个，雪容融50个． 题型8.和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 1．某企业计划投入资金用于技术升级与植树造林以实现碳中和目标．已知技术升级每投入1万元可减少碳排放3吨；植树造林每投入1万元可吸收碳排放2吨．若投入10万元，共实现碳排放净减少量28吨，则技术升级和植树造林分别投入（     ） A．8万元，2万元 B．2万元，8万元 C．6万元，4万元 D．5万元，5万元 【答案】A 【分析】设技术升级投入万元，植树造林投入万元，根据总投入资金和总碳排放净减少量列方程组，求解即可得到结果． 【详解】解：设技术升级投入万元，植树造林投入万元， ∵总投入为万元，总碳排放净减少量为吨， ∴可得方程组， 解得， ∴技术升级投入万元，植树造林投入万元． 2．有甲、乙两堆煤，如果从甲堆运吨给乙堆，那么两堆煤就一样多．如果从乙堆运吨给甲堆，那么甲堆煤就是乙堆煤的倍．这两堆煤共重______________吨． 【答案】 【分析】设甲堆原有煤吨，乙堆原有煤吨，由题意给出的甲、乙两堆煤的数量关系，列方程组求解即可得到总重量． 【详解】解：设甲堆原有煤吨，乙堆原有煤吨， 由题意得， 得，解得， 将代入①得， 故原方程组的解为， 两堆煤总重量为（吨）． 3．手工陶艺坊制作陶杯和陶碗，陶土用量（单位：）及成品率（成品率）如下表所示： 类别 原材料 成品率 陶杯 陶土E 陶碗 陶土F 第一次制作，共得到陶杯和陶碗成品80件；第二次制作，陶杯陶土E用量是第一次的2倍，陶碗陶土F用量是第一次的3倍，共得到成品190件．第一次制作时，陶土E和陶土F的用量分别是多少？ 【答案】第一次制作时，陶土E的用量为，陶土F的用量为 【分析】设第一次两种陶土的用量分别为未知数，根据两次成品总数量的条件列出方程组，求解即可得到结果． 【详解】解：设第一次制作时，陶土E的用量为，陶土F的用量为． 根据题意可得， 整理方程组得， 将，得， ，得， 解得， 将代入①，得， 解得， 即方程组的解为， 答：第一次制作时，陶土E的用量是，陶土F的用量是． 题型9.几何问题(二元一次方程组的应用) 1．如图，长方形是由6个正方形组成，其中，则图中长方形的周长是（     ） A．44 B．46 C．48 D．50 【答案】C 【分析】设，，根据，结合图形可列出二元一次方程组，即可求解． 【详解】解：如图，标注字母， 由题意设，，则，，， 由题意可得， 解得， ∴， ∴长方形的周长是． 2．如图，长方形被分成若干个正方形，已知，则长方形的另一边____________． 【答案】 24 【分析】设最小正方形的边长为，次小正方形的边长为，根据长方形对边相等即，列出关于、的方程，结合已知，求出、的值，进而求出的长. 【详解】解：设最小正方形的边长为，次小正方形的边长为， 根据图形可知，长方形的长由两个边长为的正方形和三个边长为的正方形组成， ； 长方形的长由两个边长为的正方形和一个边长为的正方形组成， 四边形是长方形， ， ，整理得，即 ， ， ，将代入上式得 ，解得， ， 长方形的宽由一个边长为的正方形和一个边长为的正方形组成， ， 当，时，. 3．某包装生产企业承接了一批礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图所示，（单位：） (1)列出方程（组），求出图1中与的值． (2)在生产阶段，若将150张标准板材用裁法一裁剪，将得到的A型与B型板材做侧面和底面，请问能做成图2的竖式与横式两种无盖礼品盒各多少个？ 【答案】(1)， (2)做成竖式无盖礼品盒个，横式无盖礼品盒个 【分析】（1）根据图1的两种裁法，可得到关于、的二元一次方程组，解方程组即可得出结果； （2）设做成竖式无盖礼品盒个，横式无盖礼品盒个，根据将150张标准板材用裁法一裁剪，得到A型板材个，B型板材个，竖式无盖礼品盒需要个A型板材和个B型板材；横式无盖礼品盒需要个A型板材和个B型板材；列出关于、的二元一次方程组，解方程组即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得， 解得：； （2）解：设做成竖式无盖礼品盒个，横式无盖礼品盒个， 将150张标准板材用裁法一裁剪，得到A型板材（个），B型板材（个）， ∵竖式无盖礼品盒需要个A型板材和个B型板材；横式无盖礼品盒需要个A型板材和个B型板材； ∴， 解得， ∴做成竖式无盖礼品盒个，横式无盖礼品盒个． 题型10.图表信息题(二元一次方程组的应用) 1．在“幻方拓展课程”探索中，小明在如图所示的方格内填入了一些数和代数式，若图中每行、每列及每条对角线上的三个数（代数式）之和都相等，则的值为（     ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】A 【分析】根据第一列、第二行及对角线上的数字和相等列出方程组即可求解． 【详解】解：由题意得， 整理得， 解方程组得， 则． 2．根据如图给出的信息，则每件T恤价格和每瓶矿泉水的价格分别为________元． 【答案】， 【分析】通过理解图形可知本题存在两个等量关系，即每件T恤价格每瓶矿泉水的价格，每件T恤价格+每瓶矿泉水的价格．根据这两个等量关系可列出方程组． 【详解】解：可设每件T恤价格和每瓶矿泉水的价格分别为x元，y元， 则， 解得 ， 故答案为：18，2． 3．如图，的格子内填写了一些数和代数式，各行上的三个数之和相等，各列上的三个数之和相等． 3 2 (1)求和的值（用含，的代数式表示）； (2)试用等式表示，之间的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意列方程求解即可； （2）用，表示格子左下角的代数式，即可得，之间的数量关系． 【详解】（1）解：根据题意可得， 解得． （2）解：根据题意， 格子左下角的代数式可以表示为： 格子左下角的代数式还可以表示为： ， ∴， ∴． 题型11.古代问题(二元一次方程组的应用) 1．《张丘建算经》中有这样一首古诗：甲乙隔溪牧羊，二人互相商量；甲得乙羊九只，多乙一倍正当；乙说得甲九只，两人羊数一样；问甲乙各几羊，让你算个半晌． 如果设甲有羊只，乙有羊只，那么可列方程组（     ） A．B．C．D． 【答案】B 【详解】解：∵甲得乙9只羊后，甲的羊数为只，乙的羊数为只，此时甲羊数是乙的2倍， ∴． ∵乙得甲9只羊后，乙的羊数为只，甲的羊数为只，此时两人羊数相等， ∴． 联立得方程组． 2．《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有二人共车，九人步；三人共车，二车空．问：人与车各几何？译文：若每辆车都坐人，则人需要步行；若每辆车都坐人，则两辆车是空的．问：车与人各多少？设有辆车、人，根据题意，列方程组得________________． 【答案】 【详解】解：设有辆车、人， 根据题意得． 3．列方程组求解古算题： 今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？(选自《九章算术》)题目大意：5头牛、2只羊共值10两“金”；2头牛、5只羊共值8两“金”．每头牛、每只羊各值多少“金”？ 【答案】每头牛值金两，每只羊值金两 【分析】设每头牛值x两“金”、每只羊值y两“金”，由题意得，进而求解即可． 【详解】解：设每头牛值x两“金”、每只羊值y两“金”，由题意得： ，解得：； 答：每头牛值金两，每只羊值金两． 题型12.其他问题(二元一次方程组的应用) 1．费县为了改善全县中、小学办学条件，计划集中采购一批电子白板和投影机，已知购买2块电子白板比购买3台投影机多4000元，购买4块电子白板和3台投影机共需44000元，则购买一块电子白板和一台投影机分别需要（     ） A．4000元，8000元 B．8000元，4000元 C．14000元，8000元 D．10000元，12000元 【答案】B 【分析】由题中两个费用等量关系，设未知数列二元一次方程组求解． 【详解】解：设购买一块电子白板需要元，一台投影机需要元， 根据题意得，解得， ∴购买一块电子白板需要8000元，一台投影机需要4000元． 2．某商店将巧克力包装成甲、乙两种礼盒出售．晓雨原先想购买2盒甲种礼盒和5盒乙种礼盒，但他身上的钱还差3元；如果改成购买5盒甲种礼盒和2盒乙种礼盒，他身上的钱会剩下3元．每盒乙种礼盒比甲种礼盒贵________元． 【答案】 【分析】解题思路为设出甲、乙礼盒的单价和晓雨身上的总钱数，根据两种购买方案的钱数关系列出方程组，消去总钱数后即可得到乙比甲贵的钱数． 【详解】解：设每盒甲种礼盒的价格为元，每盒乙种礼盒的价格为元，晓雨身上共有元钱 根据题意得 用第一个方程减去第二个方程，得 整理得 两边同时除以，得 即每盒乙种礼盒比甲种礼盒贵元． 3．长沙市某公园的门票价格如表所示： 购票人数 人 人 100人以上 票价 10元/人 8元/人 5元/人 某校九年级甲、乙两个班共100多人去该公园举行毕业联欢活动，其中甲班有50多人不到60人，乙班不足50人，如果以班为单位分别买门票，两个班一共应付920元；如果两个班联合起来作为一个团体购票，一共要付515元，问甲，乙两班分别有多少人？ 【答案】甲班有55人，乙班有48人 【详解】解：设甲班有x人，乙班有y人， 依题意，得：， 解得：． 答：甲班有55人，乙班有48人． 题型13.求一次函数解析式 1．已知点在正比例函数的图象上，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把坐标代入解析式即可求得的值． 【详解】解：∵点在正比例函数的图象上， ∴得， 解得． 2．已知正比例函数，当自变量x的值为时，函数值，则比例系数______． 【答案】 【分析】将已知的和代入正比例函数，解关于的一元一次方程即可得到结果． 【详解】解：∵正比例函数解析式为，当时，， ∴将，代入解析式，得， 解得． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于、两点，过点的另一条直线交轴正半轴于点，且点为线段的中点． (1)求出直线的函数解析式； (2)若点是直线上的动点，连接，且，求点的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为 (2)D点坐标为或 【分析】（1）先利用解析式求出A点和B点坐标，再利用点C为线段的中点确定C点坐标，然后利用待定系数法求直线的解析式； （2）设，则根据三角形面积公式得到，然后解绝对值方程求出t，从而得到D点坐标． 【详解】（1）解：当时，， 解得， ∴， 当时，， ， ∵点C为线段的中点， ∴， 设直线的解析式为， 把，分别代入得， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：设， ∵  ， ∴， 解得或， ∴D点坐标为或． 题型14.两直线的交点与二元一次方程组的解 1．若一次函数（、为常数，且）与一次函数的图象交点的横坐标为2，则关于、的方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：当时，， ∵一次函数（、为常数，且）与一次函数的图象交点的横坐标为2， ∴一次函数（、为常数，且）与一次函数的图象交点坐标为， ∴关于、的方程组的解是． 2．直线与交点的横坐标为1，则关于的二元一次方程组的解为______． 【答案】 【分析】二元一次方程组的解对应两个一次函数图象交点的坐标，先整理方程组得到对应两个一次函数，再根据已知交点横坐标求纵坐标，即可得到方程组的解． 【详解】解：整理方程组，可得， ∵直线与交点的横坐标为， 把代入，得， ∴两条直线的交点坐标为， ∴原二元一次方程组的解为． 3．已知直线与直线相交于点． (1)求和的值； (2)求方程组的解． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将代入中，求得，再将代入中，即可求得． （2）代入，即求两条直线的交点，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵点是直线上一点， ∴当时，， ∴， ∵点在直线上， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴方程组为， 即求直线与直线的交点， ∴． 题型15.图象法解二元一次方程组 1．如图直线与直线都经过点，则方程组，的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方程组的解即为直线与直线的交点坐标进行求解即可． 【详解】解：∵直线与直线都经过点 ∴方程组的解是：． 故选择：D． 【点睛】本题考查了对一次函数与二元一次方程组的关系的理解和运用，题目比较典型，但是比较容易出错，正确理解“方程组的解即为直线与直线的交点坐标”是解题的关键． 2．已知函数和的图象交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是_______________； 【答案】 【分析】根据函数和的图象交于点P（2，-1）即可得． 【详解】解：∵函数和的图象交于点P（2，-1）， ∴关于x，y的二元一次方程组的解为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了图象法解二元一次方程组，解题的关键是掌握一次函数与二元一次方程组之间的关系． 3．利用一次函数的图象，求二元一次方程组的解． 【答案】 【分析】在直角坐标系中画出两个函数图象即可得到交点坐标，从而得到方程组的解． 【详解】解：该方程组可化为， 在平面直角坐标系中作出函数与的图象， 由图象可得，这两个函数的图象交点为， ∴方程组的解为． 题型16.求直线围成的图形面积 1．已知直线与x轴交于点A，与直线交于点B．则的面积为（     ） A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题先根据x轴上点的坐标特征求出点A的坐标，再联立两条直线的解析式求出交点B的坐标，最后利用三角形面积公式计算的面积. 【详解】解：∵ ∴当时，，解得， ∴，即， 联立，解得， ∴交点的坐标为， ∵为坐标原点，在x轴上， ∴. 2．如图，直线是一次函数的图象，与两坐标轴所围成的三角形的面积为___________． 【答案】/ 【分析】本题考查的是一次函数图象上点坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．先根据待定系数法求出直线解析式，进而求出直线与坐标轴的交点，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：由题意，；，， ∴ 解得： ∴， 把代入得：，解得： ∴直线与坐标轴的交点分别为，， ∴函数与两坐标轴围成三角形的面积为：． 故答案为：． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点B、C，与直线交于点A．已知点A的坐标为，． (1)求出直线的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)30 【分析】（1）先确定C点坐标，再利用待定系数法求解； （2）令，求出对应的x的值，即可得B点的坐标，再根据的面积求解． 【详解】（1）解：由图可知，点C在y轴的正半轴上， ∵， ∴， 设直线的解析式为，将、代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：令，则， ∴， ∴， ∴的面积． 题型17.三元一次方程组的定义及解 1．用“※”定义一种新运算：对于任意有理数，规定，其中为常数．已知，则：的值为（     ） A． B．3 C． D．1 【答案】A 【分析】根据新定义可得方程组，利用加减消元法得到，，据此计算的值即可． 【详解】解：，且，，所求为， ∴， 得， ∴， 把代入①得， ∴， ∴． 2．已知 ，则 ________． 【答案】 【分析】将三个方程相加求出的值，再分别与三个已知方程作差，即可求出的值，进而求得的值解即可； 【详解】解：根据 ，得 ， 故 ， ， 解得 ， 故 ， ； 3．数学课上，老师布置了这样一道题目：已知方程组，求的值．针对此问题，乐乐同学认为可以用“整体思想”和“消元、转化”方法求解．因为问题是求解整体的值，因此可以在原方程组中“分离”出即可，即，接下来把和分别看作一个整体，采用“代入消元法”或者“加减消元法”均可解决该问题了． (1)请你替乐乐同学完成接下来的步骤，求出的值； (2)请你用上述思想方法求解问题：已知，求的值． 【答案】(1)20 (2)1 【分析】（1）求出，然后代入①求解即可； （2）将原方程组变形成，然后同（1）求解即可． 【详解】（1）解：， 得，， 将③代入①，得，即； （2）解：将原方程组变形成， 得：， 将③代入①，得，即． 题型18.三元一次方程组的应用 1．甲、乙、丙三种商品，若购买甲5件、乙7件、丙2件，共需33元钱，购甲9件、乙13件、丙3件共需60元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需（   ）元钱 A．12 B．8 C．6 D．4 【答案】C 【分析】设甲商品每件元，乙商品每件元，丙商品每件元．利用整体思想，通过方程组变形直接求解的值． 【详解】解：设甲商品每件元，乙商品每件元，丙商品每件元．根据题意得 将第一个方程两边乘2，得． 减去第二个方程，得． 整理得． 2．小明所带的钱只能购买如图三件物品中的两件．已知毛笔与砚台的价格之和为118元，毛笔与笔洗的价格之和为108元，砚台与笔洗的价格之和为96元．那么毛笔的单价为( )元／支，砚台的单价为( )元／块，笔洗的单价为( )元／只． 【答案】 65 53 43 【分析】根据题意列方程组求解即可． 【详解】 解：设毛笔的单价为x元支，砚台的单价为y元块，笔洗的单价为z元只， 则， 解得， 即毛笔的单价为65元/支，砚台的单价为53元/块，笔洗的单价为43元/只． 3．某车间每天能生产甲种零件120个，或者乙种零件100个，或者丙种零件200个．甲、乙、丙三种零件分别取3个、2个、1个才能配成一套，车间计划30天内生产的零件正好成套．请问甲、乙、丙三种零件各应生产几天才能完成计划？ 【答案】甲、乙、丙三种零件各应生产15天、12天、3天才能完成计划 【分析】本题的等量关系为：甲生产零件的天数+乙生产零件的天数+丙生产零件的天数=30，甲、乙、丙所生产零件个数比为3:2:1，由此可得出方程组求解． 【详解】解：设甲、乙、丙三种零件各应生产天、天、天才能完成计划． 由题意，得整理，得 代入第一个方程，得，解得， 所以，即 答：甲、乙、丙三种零件各应生产15天、12天、3天才能完成计划． 【点睛】本题主要考查三元一次方程的应用，用各个生产零件的个数和相对应的比例得出等量关系，根据时间列方程，从而求出解． ✺巩固测试 一、单选题 1．我国清代康熙年间编撰的数学典籍《御制数理精蕴》中，记载了诸多“盈题”（即有余、不足类应用题），其解题思路与现代方程思想一脉相承．结合内蒙古草原牧区生活实际，可衍生如下问题：牧民合伙分配一批驮银，若每人分8锭，还剩余5锭；若每人分10锭，则缺少7锭．若设参与分配的牧民有人，驮银有锭，可列方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵参与分配的牧民有人，驮银有锭， 则当每人分锭，剩余锭时，总驮银， 当每人分锭，缺少锭时，总驮银， 因此可得方程组． 2．2026年是“十五五”的开局之年，某企业年初提出目标：2026年总产值比2025年增加，总支出比2025年减少，实现利润比2025年翻一番．已知该企业2025年的利润（总产值—总支出）为2亿元，则2026年的总产值将达到（     ） A．4亿元 B．亿元 C．6亿元 D．亿元 【答案】D 【详解】解：设2025年该企业的总产值、总支出分别是、亿元 由题意得 解得    故2026年的总产值将达到亿元 3．在大禹治水的时代，有一种神龟背负着一张神秘的图（如图1）浮出洛水，吉祥献瑞，后世称之为“洛书”，当后人将“洛书”上的数填在图2的表中时发现：每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相等，像这样的数字方阵，称为“幻方”，如果图3也是一个“幻方”，则的值为（     ） A．11 B．15 C．9 D．13 【答案】D 【分析】根据“幻方”的定义，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之可得出x，y的值，即可求出结论． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， ∴． 4．小芳用50元购买单价5元的笔记本和单价2元的圆珠笔（两种都要买），钱刚好用完，则她购买方案共有（     ）． A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】B 【分析】先设未知数，根据总费用列出方程，再结合两种商品都要买的条件，找出所有符合要求的正整数解，即可得到购买方案的数量． 【详解】设购买笔记本本，圆珠笔支，其中均为正整数， 由题意得： 整理得： ∵为正整数， ∴是整数， 又是奇数， ∴必为偶数， ∵， ∴， 解得， 结合是正偶数，可得的取值为，共种，即共有种购买方案． 5．甲、乙两人分别在A、B两地，以各自的速度同时出发．如果相向而行，两人后相遇；如果同向而行，两人后相遇；问甲从A地到B地需要（     ）． A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】设A、B两地距离为，甲的速度为，乙的速度为，同向而行需分甲速度大于乙速度、乙速度大于甲速度两种情况讨论，结合路程关系列方程求解. 【详解】解：设A、B两地距离为，甲的速度为，乙的速度为. ∵相向而行后相遇， ∴， 整理得. 同向而行分两种情况： ① 甲速度大于乙速度，甲追乙，后相遇， ∴， 整理得. 联立， 两式相加得， 解得， ∴甲走完全程的时间为， ② 乙速度大于甲速度，乙追甲，后相遇， ∴， 整理得. 联立， 两式相加得， 解得， 代入得， ∴甲走完全程的时间为； 6．已知一次函数的图象经过点和，则 k、b 的值分别为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将点和代入求解即可． 【详解】解：将点和代入，得： ， 解得：． 7．在平面直角坐标系内，一次函数与的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，求解即可． 【详解】解：∵一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2交于点A（-4，-2）， ∴方程组的解是， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解． 8．已知三元一次方程组，则（  ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查三元一次方程组的简便求解，核心是运用整体思想，无需单独求解、、的具体值，通过将三个方程左右两边分别相加，可快速得到的值． 【详解】解：已知三元一次方程组， 将三个方程左右两边分别相加，得：， 即， 两边同时除以2，得：； 故选：C． 二、填空题 9．如果与互余，且的度数比的度数小，则___________． 【答案】 【分析】根据余角的定义得到两角和为，结合题目给出的度数关系列方程组求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得． 10．现有甲、乙两种型号的帐篷共2000顶，其中甲种帐篷每顶安置6人，乙种帐篷每顶安置4人，共有9000人需要安置，设甲种帐篷顶、乙种帐篷顶，那么依题意列出的方程组是________． 【答案】 【分析】根据题意提取两个等量关系，一是甲乙帐篷总数量为2000顶，二是总安置人数为9000人，根据等量关系列方程组． 【详解】解：∵甲种帐篷顶，乙种帐篷顶，两种帐篷共2000顶， ∴可得方程， ∵甲种帐篷每顶安置6人，乙种帐篷每顶安置4人，总共有9000人需要安置， ∴可得方程， 联立两个方程得方程组． 11．如图，的格子内填写了一些数和代数式，已知格子的各行、各列及对角线上的三个数之和均相等． （1）各行、各列及对角线上的三个数之和为__________； （2）的值为__________． 【答案】 3 0 【分析】利用对角线与第三行三个数之和均相等，求出，进而得到三个数之和，求解即可． 【详解】解：（1）格子的各行、各列及对角线上的三个数之和均相等， ， ， 各行、各列及对角线上的三个数之和为； （2）三个数之和为， ，即 ． 12．我们知道，定期交换汽车前后轮胎，可降低汽车维护成本．某种汽车前轮胎行驶4万公里时报废，后轮胎行驶6万公里时报废．我们可以将轮胎报废的时候磨损程度看为1，如果在轮胎的使用寿命内只交换一次前、后轮轮胎，设该种汽车行驶x万公里之后，将前轮胎交换到了后轮的位置，然后继续行驶了y万公里后，前后轮胎同时报废．根据以上信息，可求得汽车行驶_________万公里，需要进行换胎． 【答案】 【分析】根据磨损程度列出关于x，y的二元一次方程组，求出的值即可． 【详解】解：根据题意：， 整理得：， 解得：， 则行驶万公里需要进行换胎． 13．甲加工一种零件，乙加工另一种零件．甲用型机器需要6小时才能完成任务，用型机器效率降低；乙用型机器需要10小时才能完成任务，用型机器效率提高．如果甲用型机器，乙用型机器同时开始工作，中途某一时刻交换使用机器，甲和乙同时完成任务．则甲完成任务所用的时间是__________小时． 【答案】9 【分析】考查二元一次方程组的应用，得到两个工作量1的等量关系是解决本题的关键．设甲用机器小时，机器小时；那么乙用机器小时，用机器小时，等量关系为：甲用型机器的工作量用型机器的工作量；乙用型机器的工作量用型机器的工作量，把相关数值代入求得两个时间，相加即为完成任务需要时间． 【详解】解：甲用机器每小时加工的零件，用机器加工的零件； 乙用机器每小时加工的零件，用机器加工的零件， 设甲用机器小时，机器小时；那么乙用机器小时，用机器小时，则由题意可得： ， 解得， 甲完成任务所用的时间是9小时， 故答案为：9． 14．直线与y轴交于点M，且点M到x轴的距离为5，则直线的解析式为_____． 【答案】或 【分析】直线与y轴的交点的横坐标为0，则可得交点M的纵坐标为，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，据此求解的值即可得到直线解析式． 【详解】解：在中，当时，， ∴点的坐标为； ∵ 点到轴的距离为， ∴ ， 解得或， ∴该直线的解析式为或． 15．足球联赛中，每队胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分，某队在10场比赛中得到18分．且胜的场数等于平和负的场数之和，若设该队胜的场数为，平的场数为，负的场数为，则可列方程组为_____． 【答案】 【详解】解：设该队胜的场数为，平的场数为，负的场数为， 根据题意得． 3、 解答题 16．如图，直线交x轴于点A，交直线于点P． (1)求点P的坐标． (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，联立两个函数求解即可； （2）由函数解析式确定，结合图形求解即可． 【详解】（1）解：由，解得 即点P的坐标为． （2）解：∵直线交x轴于点A， ∴当时，，即． ∵， ∴． 17．如图，直线与直线交于点A，且直线与x轴，y轴分别交于B，C两点，且两点的坐标分别为． (1)求直线的函数解析式； (2)求 的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法，求解即可； （2）根据交点的坐标，利用计算即可． 【详解】（1）解：设一次函数的解析式为 ， 根据题意，得， 解得， 故一次函数． （2）解：根据题意，得， 解得， 故， ， ； 18．水是万物生命之源，但随着人口急剧增长，水资源透支令人担忧，节约用水迫在眉睫．某城市为了避免居民用水浪费现象，制定了居民每月每户用水标准，收费为正常标准，如果超标用水，超过部分加价收费，下表是小明家2025年两个月的收费表： 时间项目 用水量 费用（元） 1月 11 28 2月 15 44 (1)请问该城市居民标准内用水及超标部分用水的价格各是多少元？ (2)小明家三月份用水量是，他有50元钱，请问他的钱够交水费吗？如果不够，还差多少？ 【答案】(1)正常收费标准为2元，超过部分4元 (2)不够交水费，还差30元 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用； （1）设正常收费标准为x元，超过部分y元，根据表格信息建立方程组解题即可； （2）先列式计算水费，再与50元比较即可； 【详解】（1）解：设正常收费标准为x元，超过部分y元， 由题意，得， 解得， 答：正常收费标准为2元，超过部分4元． （2）解：元， ， 不够， 元， 答：不够交水费，还差30元. 19．某商场计划花9万元从厂家购进50台电视机．已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元． (1)若商场想同时购进其中两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你帮助该商场设计进货方案． (2)若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元．在（1）的条件下，为使销售时获利最多，应选择哪种进货方案？ 【答案】(1)共有2种进货方案．方案一：购进甲种电视机25台，乙种电视机25台．方案二：购进甲种电视机35台，丙种电视机15台． (2)应选择购进甲种电视机35台、丙种电视机15台的进货方案． 【分析】（1）根据等量关系“两种不同型号的电视机共50台”和“买两种电视花去的费用9万元”．然后分进的两种电视是甲乙，乙丙，甲丙三种情况分别列二元一次方程组求解即可； （2）根据（1）得出的方案，分别计算出各方案的利润，然后确定出获利最多的方案即可． 【详解】（1）解：①设购进甲种电视机x台，乙种电视机y台． 则有： ，解得：， 所以购进甲种电视机25台，乙种电视机25台． ②设购进乙种电视机a台，丙种电视机b台． 则有： ，解得：，（不符合题意舍去）． ③设购进甲种电视机c台，丙种电视机d台． 则有： ，解得：． 所以购进甲种电视机35台，丙种电视机15台． 综上，共有2种进货方案．方案一：购进甲种电视机25台，乙种电视机25台．方案二：购进甲种电视机35台，丙种电视机15台． （2）解：方案一获利为：（元）； 方案二获利为：（元）． 因为， 所以应选择购进甲种电视机35台、丙种电视机15台的进货方案，此时获利最多． 20．某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走．在接力测试中发现：A型机器人走3步，接着B型机器人走4步，共需要秒；A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要秒． (1)求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？ (2)已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？ 【答案】(1)A型机器人走一步需要1秒，B型机器人走一步需要秒 (2)完成这次接力的时间可能是39秒或38秒或37秒 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用．掌握二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用是解本题的关键． （1）设A型机器人走一步需要x秒，B型机器人走一步需要y秒，根据题意列方程组求解即可； （2）设A型机器人步数为m步，B型机器人步数为n步，根据题意列出二元一次方程，求出所有符合条件的情况即可． 【详解】（1）解：设A型机器人走一步需要x秒，B型机器人走一步需要y秒． ， 解得， 答：A型机器人走一步需要1秒，B型机器人走一步需要秒． （2）解：设A型机器人步数为m步，B型机器人步数为n步． ， ， 均为正整数， 或或， ①秒， ②秒， ③秒， 答：完成这次接力的时间可能是39秒或38秒或37秒． 21．为打造“塞上湖城”生态名片，银川市对典农河的一段河道进行清淤美化．现有一段长为180米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治8米，乙工程队每天整治12米，共用时20天．求整治任务完成后，甲、乙两个工程队分别整治河道的长度． (1)小明、小华两位同学提出的解题思路如下： 小明同学：设整治任务完成后，甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米． 根据题意，得 小华同学：设整治任务完成后，m表示___________，n表示___________． 根据题意，得 请你补全小明、小华两位同学的解题思路； (2)求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？请从（1）中任选一个方程组求解．（写出完整的解答过程） 【答案】(1)，，甲工程队整治河道用的天数，乙工程队整治河道用的天数，，． (2)整治任务完成后甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米． 【分析】（1）根据题意，结合方程组的意义，补充完善即可； （2）选择适当的方法解方程组即可． 本题考查了方程组的应用，熟练掌握列方程组，解方程组是解题的关键． 【详解】（1）解：小明，小华两位同学提出的解题思路如下： 小明同学：设整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米， 根据题意，得 小华同学：设整治任务完成后，表示甲工程队整治河道用的天数，表示乙工程队整治河道用的天数， 根据题意，得 （2）解：选小明同学所列方程组解答如下： 设整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米， 根据题意，得 ②，得．③ ①，得．④ ③－④，得．把代入①，得． 答：整治任务完成后，甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米． 选小华同学所列方程组解答如下： 设整治任务完成后，甲工程队整治河道用天，乙工程队整治河道用天，根据题意，得 ． ①，得．③ ②－③，得， ．把代入①，得， ，． 答：整治任务完成后甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米． 22．某学校准备购买两种造型花卉来装扮校园，已知购买株种花卉和株种花卉共需元；购买株种花卉和株种花卉共需元． (1)求这两种花卉的单价； (2)在“五一”前夕，某花卉市场开展了促销活动，具体办法如下：种花卉按原价的七折销售，购买种花卉株以上，超出部分按原价的五折销售．设购买株种花卉需要元，购买株种花卉需要元，分别求出，关于的函数解析式． 【答案】(1) 种花卉单价为元，种花卉单价为元 (2) （为非负整数） 【分析】（1）设种花卉单价为元，种花卉单价为元，列二元一次方程组解题； （2）根据题意分别求出函数解析式即可． 【详解】（1）解：设种花卉单价为元，种花卉单价为元， 则有， 解得， ∴种花卉单价为元，种花卉单价为元； （2）解：由题意知，（为非负整数）； 当，且为整数时，， 当，且为整数时，； ∴（为非负整数）； ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $