江苏省苏州市常熟市中学2026-2027学年高二上学期数学周测卷 1

**基本信息** 聚焦空间向量与立体几何，以传统建筑情境（如亭子结构）和动态探究问题为载体，梯度覆盖线面平行证明、法向量应用、二面角计算等核心内容，检测空间观念与运算推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|法向量、面面距离、线面角|基础题考查空间向量工具性，如第2题用向量求平行平面距离| |多选|3/18|法向量性质、正方体轨迹|第11题结合三棱柱动态问题，考查线面角与面面夹角| |填空|3/15|轨迹方程、点面距离|第13题以正方体为背景，融合垂直关系与面积最值| |解答|5/77|面面垂直证明、体积计算|第17题以传统亭子为模型，第19题涉及棱台动态探究，体现文化传承与创新应用|

2026常熟市中学高二数学周测卷 1 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。 1.已知，，平面的一个法向量为，若平面，则     A. B. C. D. 2.两平行平面，分别经过坐标原点O 和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是 A. B. C. D. 3.已知平面内的三点，，，平面的一个法向量为，且与不重合，则(    ) A. B. C. 与相交但不垂直 D. 以上都不对 4.已知平面内有一点，平面的一个法向量为，则下列四个点中在平面内的是   A. B. C. D. 5.如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在的平面互相垂直，在EF上，且平面BDE，则M点的坐标为        A. B. C. D. 6.如图，在正四棱柱中，O是底面ABCD的中心，分别是的中点，则下列结论正确的是    A. B.   C. 平面 D. 平面 7.长方体中，，，M为侧面内的一个动点，且，记BM与平面所成的角为，则的最大值为(    ) A. B. C. D. 8.如图，已知四棱台的底面 ABCD是直角梯形，，，，平面ABCD， E是侧棱所在直线上的动点，AE与所成角的余弦值的最大值为  A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。 9.若是平面的一个法向量，是平面的一个法向量，A，B是直线b上不同的两点，则以下命题正确的是(    ) A. B. C. ，使得 D. 设与的夹角为，则， 10.在棱长为2的正方体中，点E是棱的中点，点P是底面内的一点包括边界，则下列说法正确的是    A. 存在点P，使得的周长为7 B. 存在点P，使得 C. D. 若点P满足，则点P的轨迹长度为 11.如图，在三棱柱中，侧面与是边长为2的正方形，平面平面，分别在和上，且， 则      A. 直线平面ABC B. 当时，线段MN的长最小 C. 当时，直线MN与平面所成角的正切值为 D. 当时，平面MNB与平面夹角的余弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.在空间直角坐标系中，已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则实数k的值为          . 13.如图，正方体的棱长为1，P为的中点，M在侧面上，若，则面积的最小值为          . 14.在正六棱柱中，，M，N分别为，的中点，平面CMN与直线交于点G，则          ；点A到平面CMN的距离为          . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 如图所示，四边形ABCD为矩形，平面ABCD，，M，N，Q分别是PC，AB，CD的中点． 求证：平面PAD； 求证：平面平面 16.本小题15分 在直棱柱中，底面为直角梯形，且，，，，，E是的中点，求直线与平面ABE的距离. 17.本小题15分 亭子是一种中国传统建筑，多建于园林、佛寺、庙宇，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息、避雨、乘凉如图我们可以把亭子看成由一个圆锥与一个圆柱构成如图已知圆锥高为3，圆柱高为5，底面直径为 求圆锥的母线长； 设F为半圆弧CD的中点，求P到平面ABF的距离． 18.本小题17分 如图1，，，且，D是CE中点，沿AD将折起到的位置如图，使得 求证：面面 若线段PC上存在一点M，使得平面BDM与平面CDM夹角的余弦值是，求的值. 19.本小题17分 如图，在三棱台中，上､下底面是边长分别为4和6的等边三角形，平面ABC，设平面平面，点分别在直线l和直线上，且满足 证明：平面； 若直线EF和平面ABC所成角的余弦值为，求该三棱台的体积. 答案和解析 1.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查利用向量处理线面平行，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 由题意可得，再结合平面，即可得出答案. 【解答】 解：因为，， 所以， 又因为平面， 所以， 得 故选 2.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查利用空间向量求平面与平面之间的距离，是基础题. 求出，进而可得结果. 【解答】 解：两平行平面 ， 分别经过坐标原点 O 和点 ，， 且两平面的一个法向量 两平面间的距离， 故选 3.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查面面平行的向量表示，由题意可得出，，可判断两平面的位置关系，属于基础题 【解答】 解：，， ， ， ，又， 是平面的一个法向量. 又平面与平面不重合， 4.【答案】B  【解析】解：由题意可知符合条件的点P应满足， A：， ，故不在平面内， 同理可得： B：，，故在平面内， C：，，故不在平面内， D：，，故不在平面内. 故选 5.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查空间中直线与平面垂直关系的应用，考查空间向量的坐标运算，考查运算求解能力，是基础题． 以C为坐标原点，分别以CD、CB、CE所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，由题意设，结合平面BDE，由向量数量积列关于a的方程组求解． 【解答】 解：如图，以C为坐标原点，分别以CD、CB、CE所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 设， 则，，， 平面BDE， ，解得 则M点的坐标为 故选： 6.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查利用空间向量法判断线线、线面的垂直、平行关系，属中档题. 建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明，逐项分析、判断作答. 【解答】 解：在正四棱柱中，以点D为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 令，O是底面ABCD的中心，分别是的中点， 则， ，， 对于A，显然与不共线，即与EF不平行，A不正确； 对于B，因， 则，即，B正确； 对于C，设平面的法向量为， 则，令，得， ，因此与不垂直，即不平行于平面，C不正确； 对于D，由选项C易知与不共线，即不垂直于平面，D不正确. 故选： 7.【答案】A  【解析】【分析】 本题主要考查利用空间向量求直线与平面的夹角，属于中档题. 以D为原点，DA，DC，分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设， 求出，，平面的法向量为，即可表示线面成角，利用二次函数最值即可求解. 【解答】 解：以D为原点，DA，DC，分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设， 且，，则，， 由可知，解得， 平面的法向量为， 则， 且， 当时最大的，则最大值的 故选 8.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查利用空间向量求解异面直线所成的角，属于较难题. 以D为坐标原点，DA、所在直线分别为x轴、z轴，在平面ABCD内过D作DA的垂线为y轴，建立空间直角坐标系，然后利用空间坐标系求解即可. 【解答】 解：由于平面ABCD， 如图，以D为坐标原点，DA、所在直线分别为x轴、z轴，在平面ABCD内过D作DA的垂线为y轴， 设，， 结合棱台的性质可得，，， 则，，，，， 则，， 则， 所以， 所以， 设，要求最大值，考虑， 则， 所以当，即时，AE与所成角的余弦值的最大值为， 故选 9.【答案】BCD  【解析】【分析】 本题考查命题真假的判断，考查线面平行、面面垂直、面面平行、二面角的余弦值等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 利用线面平行的性质判断A；利用面面垂直的性质判断B；利用面面平行的性质判断C；利用二面角的余弦值判断 【解答】 解：是平面的一个法向量，是平面的一个法向量，A，B是直线b上不同的两点， 对于A，，，， 反之，若，则，或，故A错误； 对于B，，， 反之，若，则，故B正确； 对于C，，，，使得， 反之，若，使得，则，，故C正确； 对于D，设与的夹角为，则二面角的定义和平面的法向量的性质得，，故D正确． 故选 10.【答案】BCD  【解析】【分析】 本题考查线线垂直的向量表示，空间向量的数量积运算，空间向量垂直的坐标表示，属于中档题. 作E关于平面对称点F，，计算可判断A，建立如图所示的空间直角坐标系，设，利用空间向量研究垂直、数量积，求空间轨迹并求得轨迹长度判断 【解答】 解：延长到F，使得，则关于平面对称，， 由正方体性质知，因此， 又， 所以， 所以的周长不可能为7，A错； 以为原点，为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，P底面内一点，设，， ， ， 当且仅当时，，即，此时P为正方形中心．B正确； ， ， ， ， ，C正确； ，， ，则即， 所以P点轨迹是平面内直线在正方形内的一条线段， 由得，由得， 因此此线段的两端点分别是的中点，由已知，D正确． 故选： 11.【答案】ACD  【解析】【分析】 本题考查直线与平面平行、直线与平面所成的角、平面与平面的夹角，空间向量的应用，属于较难题． 建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明线面平行判定A，利用两点间距离公式求出MN的长最小时的a值判定B，利用空间向量法求线面夹角与面面夹角判定 【解答】 解：因为四边形  与四边形   均为边长为2的正方形，平面  平面  ，所以  两两垂直．如图所示，以 B 为原点，  所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系， 因为  ，则  ，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  ， 易知平面 ABC 的一个法向量为  ， 因为  ， 所以  ，因为平面ABC， 所以直线  平面 ABC ，选项A正确． 因为  ， 所以当  时， MN 的长最小，故选项B错误； 当  时，  ，平面  的一个法向量为  ， 设直线 MN 与平面  所成的角为  ， 则 ⟨⟩ ， 所以 ，所以  ，所以选项C正确． 当  时， M 为  的中点， N 为  的中点，则  ，  ， 取 MN 的中点 G ，连接  ，则  ， 因为  ，所以  ， 又  ，  ， 设平面 MNB 与平面  的夹角为  ，则 ⟨⟩  ． 所以平面 MNB 与平面  的夹角的余弦值为  ，选项D正确． 故选 12.【答案】1  【解析】【分析】 本题考查面面平行的向量表示，属于基础题. 根据面面平行的向量表示，列方程组，求解即可. 【解答】 解： ， ， 存在实数使得 ，  ，解得 故答案为：  13.【答案】  【解析】【分析】 本题考查三角形面积的最小值的求法，考查利用空间向量判断线线垂直，探讨轨迹问题，属于中档题. 以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，由可得点M的轨迹即为线段，当取最小值时，面积最小，利用三角形面积公式求解即可. 【解答】 解：以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，为z轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，， 设，则，， ，，解得， 取AB中点N，连结，则点M的轨迹即为线段， 过点B作，垂足为Q， 则当M与点Q重合时，最小， 且的最小值为， 平面，且， ， 此时， 当取最小值时，面积最小， 故答案为： 14.【答案】 ；   ；   ；   【解析】【分析】 本题考查线面垂直的向量表示，点面、线面、面面距离的向量求法，属于中档题. 连接AD，BF，设其交点为由正六棱柱的性质知，，且， 取 的 中点P，连接OP，则平面以O为坐标原点，OB，OD，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．求得平面CMN的一个法向量为，设，则由求得a，再利用空间两点间的距离公式和点到平面的距离公式求解. 【解答】 解：如图，连接AD，BF，设其交点为 由正六棱柱的性质知，，且， 取 的 中点P，连接OP，则平面 以O为坐标原点，OB，OD，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系． 因为，M，N分别为，的中点， 所以，，，，则，， 设平面CMN的法向量为， 则令，则 设，则 由，解得， 又，所以 所以点A到平面CMN的距离 故答案为：4， 15.【答案】如图所示，以A为原点，以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 设，，则，因为M，N，Q分别是PC，AB，CD的中点， 所以，，， 所以，因为平面PAD的一个法向量为，  所以，即又因为MN不在平面PAD内，所以平面   ，所以，所以， 又QN不在平面PAD内，所以平面又因为，MN，平面QMN， 所以平面QMN 平面  【解析】本题主要考查了线面平行的判定，面面平行的判定，空间向量法证明线面，面面位置关系，属于基础题. 利用空间向量法证明线面平行；   利用空间向量法证明面面平行. 16.【答案】解如图，以D为坐标原点，分别以 DA，DC，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，则，，， 过点C作AB的垂线交AB于点F，易得， ，设平面ABE的法向量为，则即，，不妨取， 直线与平面ABE的距离   【解析】本题考查线面距离的向量求法，建立空间直角坐标系，求得平面ABE的法向量，即可得到直线与平面ABE的距离，属于中档题 17.【答案】解：圆锥底面圆半径为 所以圆锥母线长 易知OF，OC，OP两两垂直. 以O为原点，OF，OC，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 则，， 设平面ABF的法向量 则即 取，得，则， 所以P到平面ABF的距离  【解析】本题重点考查圆锥的结构特征和点面距离的求法，属于一般题. 利用圆锥的结构特征即可求解; 以O为原点，OF，OC，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解. 18.【答案】解：证明：因为，， ，CD，平面PCD， 所以平面PCD， 又面ABCD， 所以面面 面面ABCD，面面， 在面PCD内过D点作DC的垂线DF，可知底面ABCD， 所以可以以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DF所在直线为z轴建立空间直角坐标系 ，，，，， 则平面CDM的一个法向量是， 设，则， ， 设面BDM的法向量为， 由，即， 令，可得，， 则， 平面BDM与平面CDM夹角记为， 则， 即，解得 即平面BDM与平面CDM夹角的余弦值为时，  【解析】本题考查了面面垂直的判定以及平面与平面夹角余弦值的求解，属于中档题. 先证明出平面PCD，再由面面垂直的判定定理得出即可；   建立空间直角坐标系，设，则，根据平面BDM与平面CDM夹角的向量求法求出即可得出答案. 19.【答案】解：由三棱台知，平面ABC， 因为平面，且平面平面， 所以， 因为，所以，又， 平面， 所以平面； 取BC中点M，连接AM，以A为原点，AM为y轴，为z轴， 过点A作x轴垂直于yOz平面，建立空间直角坐标系如图，设三棱台的高为h， 则 设平面的法向量为， 则，即， 令，可得平面的一个法向量， 易得平面ABC的一个法向量， 设EF与平面ABC夹角为， ， 所以 由，得， 由知，所以， 解得，所以三棱台的体积   【解析】本题考查棱台的体积，考查向量法求线面角，考查线面垂直的判定及线面平行的性质，属于中档题. 根据线面平行的性质定理可得，再结合线面垂直的判定定理可得结果； 建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面ABC的法向量，利用线面角的向量求法及棱台的体积公式可得结果. 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $