1.1 空间向量及其运算（六大重点题型）专项训练-2026-2027学年高二上学期数学重点•题型讲义（人教A版选择性必修第一册）

专题1.1 空间向量及其运算 目录●重难点题型分布 重难点题型1 空间向量的有关概念 1．（24-25高二上·全国·单元测试）已知正方体的中心为O，则下列各结论中正确的是（　　） A．与是一对相反向量 B．与是一对相反向量 C．与是一对相反向量 D．与是一对相反向量 2．（24-25高二上·山东·阶段检测）给出下列命题： ①零向量的方向是任意的； ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ③若空间向量，满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数为（    ）． A． B． C． D． 3．（24-25高二下·全国·课后作业）给出下列命题： ①若空间向量满足，则； ②在正方体中，必有； ③若空间向量满足，则． 其中假命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．下列命题中为真命题的是（    ） A．向量与的长度相等 B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 C．空间非零向量就是空间中的一条有向线段 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 5．（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）下列命题为真命题的是（   ） A．若空间向量，满足，则 B．在正方体中，必有 C．若空间向量，，满足，，则 D．空间中任意两个单位向量必相等 6．（25-26高二上·四川资阳·阶段检测）（多选）下列命题中为真命题的是（    ） A．若，都是直线的方向向量，则必有 B．为空间任意一点，若，且四点共面，则 C．若为不共线的非零向量，，，则 D．若向量是三个不共面的向量，且满足等式则 重难点题型2 空间向量的线性运算 1．（25-26高二下·江苏徐州·阶段检测）在四面体中，为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江西南昌·期末）如图，在圆锥SO中，AB是底面圆的直径，是底面圆的圆心，，为SC的中点，则（    ）    A． B． C． D． 3．（25-26高二上·河南周口·阶段检测）已知四棱锥底面是平行四边形，且，若，，则（　　） A． B． C． D． 4．（多选题）如图，E，F分别是长方体的棱AB，CD的中点，下列化简结果正确的是（    ）    A． B． C． D． 5．（25-26高二上·青海海南·阶段检测）如图，在四面体中，，，分别是，，的中点，化简：______，______，______．    6．如图，在四面体OABC中，M是棱OA上靠近点A的三等分点，N，P分别是BC，MN的中点．设，，，用，，表示________． 重难点题型3 空间向量的共线 1．（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）若向量，，且，则的值是（     ） A． B．5 C．3 D． 2．（24-25高二上·辽宁·期中）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，，且，那么实数等于（　　） A．3 B．-3 C．9 D．-9 4．（25-26高二上·广东揭阳·阶段检测）已知是空间的一个基底，向量，，，若，则的值________ 5．（24-25高二上·河北邯郸·阶段检测）已知、、三个空间向量，若与共线，则的值为______． 6．（24-25高二下·全国·课后作业）已知非零向量不共线，则使与共线的k的值是_______． 重难点题型4 空间向量的共面 1．（24-25高二下·江苏淮安·期中）已知空间向量，，，若向量共面，则实数的值为（    ）. A．9 B．10 C．11 D．12 2．（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知点在平面内，且对于平面外一点，满足，则 （    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·福建福州·阶段检测）已知，，，若，，三向量共面，则（    ） A．18 B． C． D．6 4．（25-26高二上·安徽亳州·期末）已知是空间的一组基，向量，且四点共面，则__________. 5．（25-26高二上·上海·期中）已知为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且，若P，A，B，C四点共面，则实数__________. 6．（25-26高二上·天津河东·期中）在空间直角坐标系中，若，四点共面，则_____． 7．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）已知空间中点，，，，若，，，四点共面，则实数的值为________. 重难点题型5 求空间向量的数量积 1．（25-26高二上·广东·期末）在棱长为1的正方体中，的值为（     ） A．1 B． C．2 D． 2．（25-26高二上·湖南·阶段检测）在棱长为2的正方体中，（    ） A． B．4 C． D．2 3．（25-26高二上·湖南·期中）已知长方体中，，，，若，，，则（    ） A．0 B．1 C．4 D．9 4．（25-26高二上·广东汕头·阶段检测）如图，已知四面体的棱长都是4，点M为棱的中点，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 5．已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·云南·阶段检测）如图，在棱长均为1的平行六面体中，，则______.    7．（24-25高二下·上海嘉定·期末）如图，在棱长为1的正方体中，点P是对角线上的动点（点P与点A、不重合），则直线与所成角的取值范围是______． 8．（24-25高二下·甘肃张掖·期中）若，，为空间两两夹角都是120°的三个单位向量，则_______. 重难点题型6 空间向量数量积的应用 1．（25-26高二下·甘肃酒泉·期中）已知直四棱柱的棱长均为2，，则（    ） A．4 B．2 C． D． 2．（25-26高二上·广西贵港·期末）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为6，，，则的长为（   ）    A． B． C． D． 3．（25-26高二上·河南周口·阶段检测）如图，在三棱锥中，两两垂直，,在棱上，在棱上，在棱上，且，平面平面，点为线段上的一个动点（不包括端点），则（    ）    A．4 B．2 C．3 D．不确定 4．（24-25高二下·福建龙岩·阶段检测）如图，已知三棱锥的每条棱的长度都等于1，点，，分别是，，的中点，则________.    5．（2024·上海普陀·模拟预测）设，在如图所示的平行六面体中，，，，点是棱的中点，，若，则的值为________. 6．（24-25高二上·天津·阶段检测）如图，平行六面体中，，，，则线段的长度是_____. 7．（24-25高二上·广东韶关·期中）如图，在正六棱柱中，为的中点.设.若，则的值是__________.    1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1 空间向量及其运算 目录●重难点题型分布 重难点题型1 空间向量的有关概念 1．（24-25高二上·全国·单元测试）已知正方体的中心为O，则下列各结论中正确的是（　　） A．与是一对相反向量 B．与是一对相反向量 C．与是一对相反向量 D．与是一对相反向量 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】空间向量的有关概念、空间向量的加减运算 【分析】根据空间向量的加减运算法则和相反向量的概念判断即可 【详解】 所以，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误. 故选：C 2．（24-25高二上·山东·阶段检测）给出下列命题： ①零向量的方向是任意的； ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ③若空间向量，满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】空间向量的有关概念 【分析】根据零向量的定义判断①，根据相等向量的定义判断②③，根据单位向量定义判断④. 【详解】零向量是大小为的向量，零向量的方向是任意的，命题①正确； 方向相同，大小相等的空间向量相等，它们的起点不一定相同，终点也不一定相同，命题②错误； 若空间向量，满足，但由于它们的方向不一定相同，故不一定相等，③错误； 空间中任意两个单位向量由于它们的方向不一定相同，故它们不一定相等，④错误； 所以正确的命题只有个； 故选：D. 3．（24-25高二下·全国·课后作业）给出下列命题： ①若空间向量满足，则； ②在正方体中，必有； ③若空间向量满足，则． 其中假命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】相等向量、空间向量的有关概念 【分析】根据相等向量的定义易判断①为假命题；对于②借助于正方体图形推理易得；对于③由空间向量的相等定义易得. 【详解】对于①，向量相等即模相等和方向相同，故①为假命题； 对于②，如图正方体中，且则得, 故有，,且方向一致，所以，故②为真命题； 对于③，根据向量相等的定义可知成立，故③为真命题． 故选：B． 4．下列命题中为真命题的是（    ） A．向量与的长度相等 B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 C．空间非零向量就是空间中的一条有向线段 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】空间向量的有关概念 【分析】由于向量的长度与向量的方向无关，相反向量的长度相等，由此可判断AD，将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面，由此可判断B，由向量与有向线段的关系判断C. 【详解】选项A：因为空间向量与互为相反向量，所以空间向量与的长度相等，所以A正确； 选项B：将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面，所以B错误； 选项C：空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，但空间向量不是有向线段，所以C错误； 选项D：两个空间向量不相等，它们的模可能相等，也可能不相等，如向量与的模相等，所以D错误； 故选：A. 5．（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）下列命题为真命题的是（   ） A．若空间向量，满足，则 B．在正方体中，必有 C．若空间向量，，满足，，则 D．空间中任意两个单位向量必相等 【答案】BC 【难度】0.85 【知识点】空间向量的有关概念、空间向量共线的判定 【详解】A，根据向量相等的定义知，模相等且方向相同为相等向量，而A中向量与的方向不一定相同，假命题； B，由正方体的结构特征知，与的方向相同，模也相等，故，真命题； C，向量的相等满足传递性，真命题； D，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同故不一定相等，假命题． 6．（25-26高二上·四川资阳·阶段检测）（多选）下列命题中为真命题的是（    ） A．若，都是直线的方向向量，则必有 B．为空间任意一点，若，且四点共面，则 C．若为不共线的非零向量，，，则 D．若向量是三个不共面的向量，且满足等式则 【答案】CD 【难度】0.85 【知识点】空间向量的有关概念、空间向量共线的判定、判定空间向量共面 【分析】利用共线向量的意义及定理判断选项A、C；利用共面向量定理可以判断选项B,D. 【详解】对于选项A:一条直线的方向向量有多个，它们是平行向量，方向相同或相反，模长可以不同，故选项A错误； 对于选项B: 由题意可得:， 所以， 因为四点共面，所以由共面向量定理的推论可得， 即；故选项B错误； 对于选项C:因为，所以，故选项C正确； 对于选项D:假设存在不全为零的实数,，使得 不妨设，则 此时共面，与不共面矛盾， 所以只有时，，故选项D正确． 故选：CD. 重难点题型2 空间向量的线性运算 1．（25-26高二下·江苏徐州·阶段检测）在四面体中，为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量加减运算的几何表示 【分析】根据空间向量的线性运算即可求解. 【详解】在四面体中，为棱的中点， 则， 则. 2．（25-26高二上·江西南昌·期末）如图，在圆锥SO中，AB是底面圆的直径，是底面圆的圆心，，为SC的中点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】空间向量加减运算的几何表示 【分析】直接根据空间向量的线性运算即可得结果. 【详解】因为，为SC的中点， 所以， 故选：C. 3．（25-26高二上·河南周口·阶段检测）已知四棱锥底面是平行四边形，且，若，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量加减运算的几何表示 【分析】结合空间向量的线性运算计算即可求解． 【详解】因为是平行四边形，且， 则 ．显然A正确. 故选：A． 4．（多选题）如图，E，F分别是长方体的棱AB，CD的中点，下列化简结果正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】空间向量加减运算的几何表示、空间向量的加减运算 【分析】根据空间向量加减法则及其几何意义判断各项的正误. 【详解】A：，对； B：，对； C：，错； D：，对. 故选：ABD 5．（25-26高二上·青海海南·阶段检测）如图，在四面体中，，，分别是，，的中点，化简：______，______，______．    【答案】 【难度】0.94 【知识点】空间向量加减运算的几何表示 【分析】根据向量的线性运算即可. 【详解】； ； ； 故答案为：；；. 6．如图，在四面体OABC中，M是棱OA上靠近点A的三等分点，N，P分别是BC，MN的中点．设，，，用，，表示________． 【答案】， 【难度】0.65 【知识点】空间向量加减运算的几何表示、空间向量的加减运算 【分析】根据向量的拆分即可求解. 【详解】. 故答案为：. 重难点题型3 空间向量的共线 1．（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）若向量，，且，则的值是（     ） A． B．5 C．3 D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】由空间向量共线求参数或值 【分析】由条件结合空间向量共线定理可得，列方程求，由此可得结论. 【详解】因为，所以存在实数，使得， 又，， 所以，，， 解得，，， 因此. 2．（24-25高二上·辽宁·期中）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由空间向量共线求参数或值 【分析】由向量平行的坐标表示即可求解. 【详解】因为，所以，所以. 故选：C 3．已知向量，，且，那么实数等于（　　） A．3 B．-3 C．9 D．-9 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】由空间向量共线求参数或值 【分析】运用空间向量共线列式计算即可. 【详解】∵，，且， ∴， 解得，， ∴． 故选：D． 4．（25-26高二上·广东揭阳·阶段检测）已知是空间的一个基底，向量，，，若，则的值________ 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由空间向量共线求参数或值 【分析】由向量平行得到，求解即可. 【详解】因为，所以， 即，， 所以. 故答案为：. 5．（24-25高二上·河北邯郸·阶段检测）已知、、三个空间向量，若与共线，则的值为______． 【答案】0 【难度】0.85 【知识点】由空间向量共线求参数或值 【分析】由于共线，则，可得，即可求得的值. 【详解】由于共线，则，即， 所以，则. 故答案为：. 6．（24-25高二下·全国·课后作业）已知非零向量不共线，则使与共线的k的值是_______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由空间向量共线求参数或值 【分析】应用向量平行结合平面向量基本定理计算求参. 【详解】若与共线，则． 因为非零向量不共线，所以即，所以． 故答案为： 重难点题型4 空间向量的共面 1．（24-25高二下·江苏淮安·期中）已知空间向量，，，若向量共面，则实数的值为（    ）. A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】空间向量共面求参数 【分析】根据向量共面的性质来求解的值.若三个向量，，共面，则存在实数，使得，然后根据向量相等的性质列出方程组，进而求解. 【详解】因为向量，，共面，所以存在实数，使得. 则可得. 由，可列出方程组. 由可得，将其代入中，得到. 去括号得，移项合并同类项得，解得. 将代入，可得. 将，代入，可得. 故选：B. 2．（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知点在平面内，且对于平面外一点，满足，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】空间向量共面求参数、空间共面向量定理的推论及应用 【分析】根据空间共面向量定理的推论得到，解得即可. 【详解】因为点在平面内，且， 所以，解得. 故选：D 3．（24-25高二上·福建福州·阶段检测）已知，，，若，，三向量共面，则（    ） A．18 B． C． D．6 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】空间向量共面求参数 【分析】利用空间向量共面的条件建立方程，求解参数即可. 【详解】由题意知，即， 故有，，， 解得，故B正确. 故选：B. 4．（25-26高二上·安徽亳州·期末）已知是空间的一组基，向量，且四点共面，则__________. 【答案】1 【难度】0.85 【知识点】空间向量共面求参数 【分析】根据四点共面，可得存在实数m，n，使得，根据条件，代入求解，即可得答案. 【详解】因为四点共面，所以存在实数m，n，使得， 因为， 所以， 则，解得. 故答案为：1 5．（25-26高二上·上海·期中）已知为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且，若P，A，B，C四点共面，则实数__________. 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】空间向量共面求参数、空间共面向量定理的推论及应用 【分析】根据点共面，系数相加为1的性质即可求 【详解】因为A，B，C三点不共线，且， P，A，B，C四点共面， 所以，所以. 故答案为：. 6．（25-26高二上·天津河东·期中）在空间直角坐标系中，若，四点共面，则_____． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】空间向量共面求参数 【分析】借助空间向量共面的线性表示关系，通过建立方程组求解参数，核心是将四点共面转化为向量的线性组合问题. 【详解】，，. 因四点共面，故可由、线性表示，即存在实数、，使， 代入坐标得， 解得，，. 故答案为：. 7．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）已知空间中点，，，，若，，，四点共面，则实数的值为________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】空间向量共面求参数 【分析】借助空间向量的基本定理计算即可得. 【详解】、、， 由，，，四点共面， 则存在实数，使得， 即有，解得. 故答案为：. 重难点题型5 求空间向量的数量积 1．（25-26高二上·广东·期末）在棱长为1的正方体中，的值为（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求空间向量的数量积 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，再利用空间向量求数量积即可． 【详解】如图，以为原点建立空间直角坐标系， ，，，， ， ． 故选：A． 2．（25-26高二上·湖南·阶段检测）在棱长为2的正方体中，（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求空间向量的数量积 【分析】根据正方体的性质，结合空间向量数量积的定义进行求解即可. 【详解】在棱长为2的正方体中， 易知， 因为与的夹角为， 所以与的夹角为. 故选：B 3．（25-26高二上·湖南·期中）已知长方体中，，，，若，，，则（    ） A．0 B．1 C．4 D．9 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求空间向量的数量积 【分析】根据数量积的定义及数量积的运算律求解即可. 【详解】由题意知，，，两两垂直，故. 又，，， 所以. 故选：C. 4．（25-26高二上·广东汕头·阶段检测）如图，已知四面体的棱长都是4，点M为棱的中点，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求空间向量的数量积、用空间基底表示向量 【分析】根据四面体的性质，结合向量加减法求向量的数量积． 【详解】四面体的棱长都是4， 四面体的4个面均为边长是4的等边三角形， 点M为棱的中点， ， ， 故选：A． 5．已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.75 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、向量夹角的计算、空间向量数量积的应用 【分析】利用空间向量的数量积求向量的夹角. 【详解】因为，，即； 又，所以，， 设与的夹角为，则， 又，所以. 6．（25-26高二上·云南·阶段检测）如图，在棱长均为1的平行六面体中，，则______.    【答案】 【难度】0.65 【知识点】求空间向量的数量积、用空间基底表示向量、空间向量模长的坐标表示 【分析】结合图象根据向量加减法得出的表达式，根据向量模长公式得出的表达式，再根据平行六面体的性质结合已知条件计算得出相应的向量数量积与模长值，最后代入的表达式求解． 【详解】如下图所示：   ， 平行六面体棱长均为1， ， 又 ，，， ． 故答案为：． 7．（24-25高二下·上海嘉定·期末）如图，在棱长为1的正方体中，点P是对角线上的动点（点P与点A、不重合），则直线与所成角的取值范围是______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求异面直线所成的角、求空间向量的数量积 【分析】根据，得到数量积及模长，再根据夹角公式结合值域计算，最后应用角的范围求解即可. 【详解】因为点P是对角线上的动点，所以， 所以， 所以 设直线与所成角为， ， 设，单调递增，所以，所以， 所以，所以， 故答案为：. 8．（24-25高二下·甘肃张掖·期中）若，，为空间两两夹角都是120°的三个单位向量，则_______. 【答案】3 【难度】0.65 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用 【分析】应用向量数量积的运算律求向量的模即可. 【详解】由. 故答案为：3 重难点题型6 空间向量数量积的应用 1．（25-26高二下·甘肃酒泉·期中）已知直四棱柱的棱长均为2，，则（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】B 【难度】0.72 【知识点】空间向量数量积的应用 【详解】 在直四棱柱中，，， , . 2．（25-26高二上·广西贵港·期末）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为6，，，则的长为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用 【分析】由空间向量的线性运算及数量积运算求解． 【详解】由题意可得， 以顶点为端点的三条棱长均为6，, ,得 ， ， 则： . 故选：C 3．（25-26高二上·河南周口·阶段检测）如图，在三棱锥中，两两垂直，,在棱上，在棱上，在棱上，且，平面平面，点为线段上的一个动点（不包括端点），则（    ）    A．4 B．2 C．3 D．不确定 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】空间向量共面求参数、空间共面向量定理的推论及应用、空间向量数量积的应用 【分析】根据空间向量共面，可得，即可根据数量积的运算律求解. 【详解】因为点在平面内，所以， 又因为 所以； 又因为点在平面内， 所以， 因为， 所以， 由空间向量基本定理得：， 解得，即， 所以， 因为两两垂直， 所以， 所以， 故选:B． 4．（24-25高二下·福建龙岩·阶段检测）如图，已知三棱锥的每条棱的长度都等于1，点，，分别是，，的中点，则________.    【答案】/0.25 【难度】0.65 【知识点】证明线面垂直、求空间向量的数量积 【分析】根据线面垂直的性质可得，再利用向量的加法法则和共线定理，结合数量积的运算律即可求得. 【详解】分别为的中点，则，    由已知三棱锥为正三棱锥，取中点为，连接， 由已知和为正三角形，则， 又，且平面，则平面，又平面 则，即， 则. 故答案为：. 5．（2024·上海普陀·模拟预测）设，在如图所示的平行六面体中，，，，点是棱的中点，，若，则的值为________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】用定义求向量的数量积、空间向量数量积的应用、用空间基底表示向量 【分析】以为基底表示，结合题意运用数量积及向量数乘运算即可求解. 【详解】， ， ， 所以， 由，，， 可得， ，解得. 故答案为：. 6．（24-25高二上·天津·阶段检测）如图，平行六面体中，，，，则线段的长度是_____. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】空间向量数量积的应用 【分析】由空间向量的平行六面体法则可得，结合空间向量数量积的运算性质可求得线段的长度. 【详解】由空间向量数量积的定义可得， 同理可得，， 由空间向量的平行六面体法则可得， 则 ， 因此，. 故答案为：. 7．（24-25高二上·广东韶关·期中）如图，在正六棱柱中，为的中点.设.若，则的值是__________.    【答案】2 【难度】0.65 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量的数乘运算、空间向量数量积的应用 【分析】根据向量的线性运算直接表示各向量，利用转化法可得向量数量积. 【详解】， ； 由题意易知， 则，， 则 ． 故答案为：2 1 学科网（北京）股份有限公司 $