2026-2027学年鲁教版（五四制）数学九年级上册期末 综合素质评价

期末 综合素质评价 一、选择题(每题3分，共30分) 1．给出以下光源：①探照灯；②车灯；③太阳；④台灯．形成的投影是中心投影的是(　　) A．②③ B．①③ C．①②③ D．①②④ 2．如图是实验室中常用的平底烧瓶，其俯视图是(　　) 　　　 3．反比例函数y＝与一次函数y＝x＋的图象有一个交点B，则k的值为(　　) A．1 B．2 C. D. 4．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一次函数y＝bx＋c和反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　) (第4题)(第5题)　(第6题) 5.如图，一束太阳光从天花板和落地窗交界处的点P射入，经过地板MN反射到天花板上形成光斑．中午和下午某时刻光线与地板的夹角分别为α，β.已知天花板与地板是平行的，且它们之间的距离为3 m，当α＝45°，β＝30°时，光斑移动的距离AB为(　　) A．3 m　　　 B．(6－6)m C．(3－3) m D．6 m 6．如图，点A，B，C，D，E均在正方形网格的格点上，DE，AB交于点F，则tan∠EFB＝(　　) A．3 B. C．2 D．2 7．如图，△ABC是等边三角形，点A和点B在x轴上，点C在y轴上，AD⊥CB，垂足为D，反比例函数y＝(k>0)的图象经过点D，若△ABC的面积为8，则k的值为(　　) A．2 B. C．3 D．4 (第7题) 　 8．已知二次函数y＝mx2－2mx＋3(m为常数，且m≠0)，当－1≤x≤2时，函数有最小值2，则m的值是(　　) A．1 B. C．1或 D．1或－ 9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90° ，∠CAB＝30° ，AD 平分∠CAB，BE⊥AD ，E 为垂足，则 的值为(　　) A．2 B. C. D. 　　(第9题)　　　(第10题) 10．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分与x轴的一个交点坐标为(－1，0)，对称轴为直线x＝1，结合图象给出下列结论：①abc>0；②3a＋c＝0；③关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别为－1和3；④若点(－2，y1)，(0，y2)，(3，y3)均在二次函数图象上，则y2<y1<y3；⑤a＋b<m(am＋b)(m为任意实数)．其中正确结论的个数为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题(每题3分，共18分) 11．对于反比例函数y＝的图象，当y≥－1时，x的取值范围是____________． 12．在锐角三角形ABC中，若＋(tan B－1)2＝0，则∠C的度数为________． 13．某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中发现每天的销售量y(个)与销售价 格x(元/个)的关系如图所示，当10≤x≤20时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为________元(利润＝总销售额－总成本)． 14．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝4，过点C作CD⊥BC，且CD＝2，连接AD，则tan∠DAC＝________． (第14题)(第15题)(第16题) 15．一个几何体由若干个大小相同的小正方体搭成，如图分别是它的左视图与俯视图，该几何体所用小正方体的个数是m，则m的最小值是________． 16.如图①，在矩形ABCD中，点E是AD边的中点，点F是AB边上的一个动点，连接EF，作FG⊥FE，交BC于点G，设AF＝x，BF＋BG＝y.图②是点F从点A运动到点B的过程中，y关于x的函数图象．当x＝2.5时，y的值最大，最大值是a，则a的值是________． 三、解答题(共72分) 17．(8分)计算： (1)cos 30°＋2－1－sin 45°－(tan 60°＋1)0； (2)cos 60°－sin 245°＋tan 230°－sin 30°. 18．(8分)如图①是一种包装盒的平面展开图，将它折叠后可得到一个几何体的模型． (1)这个几何体模型最确切的名称是____________； (2)如图②是根据a，h的取值画出的几何体的主视图和俯视图，请在网格中画出该几何体的左视图； (3)在(2)的条件下，已知h＝20 cm，求该几何体的表面积． 19．(10分)“三汇彩亭会”是达州市渠县三汇镇独有的传统民俗文化活动，起源于汉代，融数学、力学、锻造、绑扎、运载于一体(如图①)．在一次展演活动中，某数学“综合与实践”小组将彩亭抽象成如图②的示意图，AB是彩亭的中轴，甲同学站在C处．借助测角仪观察，发现中轴AB上的点D的仰角是30°，他与彩亭中轴的距离BC＝6米，乙同学在观测点E处借助无人机技术进行测量，测得AE平行于水平线BC，中轴AB上的点F的俯角∠AEF＝45°，点E，F之间的距离是4米，已知彩亭的中轴AB＝6.3米，甲同学的眼睛到地面的距离MC＝1.5米，请根据以上数据，求中轴上DF的长度．(结果精确到0.1米，参考数据≈1.73，≈1.41) 20．(10分)如图，一次函数y＝ax＋b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A(m，1)，B(2，－3)两点，与y轴交于点C. (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象直接写出不等式ax＋b>的解集； (3)设D为线段AC上的一个动点(不包括A，C两点)，过点D作DE∥y轴交反比例函数图象于点E，连接CE，当△CDE的面积最大时，求点E的坐标，并求出面积的最大值． 21．(12分)如图，某光源下有三根竖立的杆子，甲杆GH的影子为GM，乙杆EF的影子一部分落在地面EA上，另一部分落在斜坡AB上的AD处． (1)请在图中画出形成影子的光线，确定光源所在的位置R，并画出丙杆PQ在地面上的影子； (2)在(1)的结论下，若过点F的光线FD⊥AB，斜坡与地面的夹角为60°，AD＝1 m，AE＝2 m，求乙杆EF的高度(结果保留根号)． 22．(12分)某商场经销一种儿童玩具，该种玩具的进价是每个15元，经过一段时间的销售发现，该种玩具每天的销售量y(个)与每个玩具的售价x(元)之间的函数关系如图所示． (1)求y关于x的函数表达式，并求出当某天的销售量为78个时，这些玩具的销售利润． (2)每天的销售量不低于18个的情况下，若要每天获得的销售利润最大，则该玩具每个的售价是多少？最大利润是多少？ (3)根据物价部门规定，这种玩具的售价每个不能高于45元．该商场决定每销售一个这种玩具就捐款n元(1≤n≤7)，捐款后发现，该商场每天销售这种玩具所获利润随售价的增大而增大，求n的取值范围． 23．(12分)如图，抛物线y＝ax2＋bx－4(a≠0)与x轴交于点A，B(－1，0)，与y轴交于点C，OA＝OC，点D(m，0)是线段OA上一动点(不与点O，A重合)，过点D作DP⊥x轴交直线AC于点E，交抛物线于点P，连接CP. (1)求抛物线的函数表达式； (2)过点P作PQ⊥AC，垂足为Q，求PQ的最大值； (3)试探究在点D的运动过程中，是否存在点P，使得△CPE为直角三角形．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 答案 一、1.D　2.C　3.C　4.D　5.B　6.A　7.A 8．D 【点拨】易知抛物线的对称轴为直线x＝－＝1.当m>0时，抛物线开口向上，对称轴x＝1在－1≤x≤2范围内，∴当x＝1时，y＝mx2－2mx＋3取得最小值2，即 2＝m－2m＋3，解得m＝1；当m<0时，抛物线开口向下，对称轴x＝1在－1≤x≤2范围内，则离对称轴越远的点的纵坐标越小，∴当x＝－1时，y＝mx2－2mx＋3取得最小值2，即2＝m＋2m＋3，解得m＝－.∴ m的值是1或－. 9．B 【点拨】∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∴AB＝2BC，AC＝BC，设BC＝x，则AB＝2x，AC＝x.∵AD平分∠CAB，∠ACB＝90°，∴点D到AC，AB的距离相等均为CD的长，∠CAD＝∠BAD，∴＝＝，∴＝＝，∴CD＝BC＝(2－3)x，∴AD＝＝(3－)x.∵BE⊥AD，∠CAD＝∠BAD，∴sin∠CAD＝sin∠BAD，∴＝，即＝，∴BE＝x，∴＝＝＝. 10．B 【点拨】①∵抛物线的开口向上，∴a>0.∵对称轴在y轴右侧，∴－>0，∴b<0.∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c<0，∴abc>0，故①正确．②∵对称轴为直线x＝－＝1，∴b＝－2a，由图象可知，当x＝－1时，a－b＋c＝0，∴3a＋c＝0，故②正确．③∵对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点坐标为(－1，0)，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3，0)，∴关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别为－1和3，故③正确．④由图象易得y2<y3<y1，故④错误．⑤易知当x＝1时，二次函数有最小值，∴a＋b＋c≤am2＋bm＋c(m为任意实数)，∴a＋b≤m(am＋b)(m为任意实数)，故⑤错误．综上可知，①②③正确，即正确结论的个数为3. 二、11.x≤－2或x>0　12.75°　13.121 14. 【点拨】过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E.∵∠B＝∠DCB＝∠E＝90°，AB＝BC，∴四边形ABCE是正方形．∴AE＝EC＝AB＝4，∠DCA＝45°.又∵CD＝2，∴DE＝CE－CD＝2.∴AD＝＝2.过点D作DF⊥AC于点F.∵∠DCA＝45°，∠DFC＝90°，∴∠CDF＝45°＝∠DCA.∴FD＝FC，∴DC＝FD＝2，∴FD＝.∴AF＝＝3，∴tan∠DAC＝＝＝. 15．9 16. 【点拨】∵抛物线与y轴交点为(0，8)，BF＋BG＝y，∴AB＝8.∵FG⊥FE，∴∠AFE＋∠GFB＝90°.∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝∠B＝90°，∴∠AFE＋∠AEF＝90°，∴∠AEF＝∠GFB，∴△AEF∽△BFG.∴＝.∵AF＝x，∴BF＝8－x，∴BG＝y－(8－x)．设AE＝m，则＝，化简得，y＝－x2＋x＋8，∴易得－＝＝2.5，解得m＝3，则a＝－×＋×＋8＝. 三、17.【解】(1)原式＝×＋－×－1＝＋－1－1＝0. (2)原式＝－＋×－＝－＋×－＝0. 18．【解】(1)直三棱柱　(2)如图所示． (3)由题可得a＝＝10(cm)， 所以该几何体的表面积为×(10)2×2＋2×10×20＋202＝(600＋400)cm2. 19．【解】过点M作MN⊥AB，垂足为N.易知四边形CMNB是矩形．∴CM＝BN＝1.5米，MN＝CB＝6米，AN＝AB－BN＝6.3－1.5＝4.8(米)． ∵tan∠DMN＝tan 30°＝，∴DN＝MN·tan 30°＝2米． ∵sin∠AEF＝sin 45°＝，∴AF＝EF·sin 45°＝2米． ∵AF＋DN＝AN＋DF，∴DF＝2＋2－4.8≈1.5(米)． ∴中轴上DF的长度约为1.5米． 20．【解】(1)∵点B(2，－3)在反比例函数图象上，∴k＝－6， ∴反比例函数的表达式为y＝－. ∵点A(m，1)在反比例函数y＝－的图象上， ∴1＝－，解得m＝－6，∴A(－6，1)．∴解得∴一次函数的表达式为y＝－x－2. (2)根据图象可得不等式ax＋b>的解集为x<－6或0<x<2. (3)易知C(0，－2)，设点D的坐标为(－6<t<0)，则E， ∴ED＝－－＝－＋t＋2， ∴S△CDE＝×(－t)×＝－(t＋2)2＋4. ∵－<0，∴当t＝－2时，S△CDE有最大值为4，此时E(－2，3)． 21．【解】(1)如图所示，QN即为丙杆PQ在地面上的影子． (2)如图，分别延长FD，EA交于点S，易知∠ADS＝90°. ∵∠DAS＝60°，∴∠S＝30°. ∵AD＝1 m，∴AS＝2 m， ∴ES＝AS＋AE＝2＋2＝4(m)． ∴tan S＝tan 30°＝＝＝，∴EF＝ m. ∴乙杆EF的高度为 m. 22．【解】(1)设y关于x的函数表达式为y＝kx＋b， 由题意知解得∴y＝－3x＋210， 当y＝78时，－3x＋210＝78，解得x＝44， 此时利润为78×(44－15)＝2 262(元)， ∴当某天的销售量为78个时，这些玩具的销售利润为2 262元． (2)由题意得，－3x＋210≥18，解得x≤64.设每天的销售利润为W元，依题意，得W＝(x－15)(－3x＋210)＝－3x2＋255x－3 150 ＝－3(x－42.5)2＋2 268.75. ∵－3<0，且销售个数为整数，∴当x＝42或43时，W取得最大值，最大值为2 268，∴要每天获得的销售利润最大，该玩具每个的售价是42或43元，最大利润为2 268元． (3)设捐款后每天所获得的利润为Q元，依题意得，Q＝(x－15－n)·(－3x＋210)＝－3x2＋(255＋3n)x－3 150－210n， ∵抛物线的对称轴为直线x＝42.5＋0.5n，－3<0， ∴当x≤42.5＋0.5n时，Q随x的增大而增大． 由题意可知42.5＋0.5n≥45，解得n≥5， 又∵1≤n≤7，∴5≤n≤7. 23．【解】(1)对于y＝ax2＋bx－4(a≠0)，令x＝0，则y＝－4， ∴C(0，－4)，∴OC＝4，∵OA＝OC，∴OA＝4，∴A(4，0)． 根据题意得解得 ∴抛物线的表达式为y＝x2－3x－4. (2)设直线AC的表达式为y＝kx＋n，∴解得 ∴直线AC的表达式为y＝x－4. ∵DP⊥x轴，D(m，0)，∴E(m，m－4)，P(m，m2－3m－4)， ∴PE＝m－4－(m2－3m－4)＝－m2＋4m. ∵OA＝OC，∠AOC＝90°，∴∠OAC＝∠OCA＝45°. 易知PE∥y轴，∴∠CEP＝∠OCA＝45°. ∵PQ⊥AC，∴PQ＝PE＝－(m－2)2＋2. ∵－<0，0<m<4，∴当m＝2时，PQ存在最大值2. (3)存在点P，使得△CPE为直角三角形． 由(2)知∠CEP＝45°≠90°，P(m，m2－3m－4)，PE＝－m2＋4m，∠CAO＝45°.∵D(m，0)，∴OD＝m.分两种情况讨论： ①当∠PCE＝90°时，过点E作EF⊥y轴于点F，则EF＝OD＝m，OA∥EF，∴∠CEF＝∠CAO＝45°，∴CE＝EF＝m. ∵EP＝CE，∴EP＝2m， ∴－m2＋4m＝2m，解得m＝0(舍去)或m＝2.∴P(2，－6)； ②当∠EPC＝90°时，易知CP∥x轴，∴点P与点C的纵坐标相同，为－4，∴m2－3m－4＝－4，解得m＝0(舍去)或m＝3，∴P(3，－4)． 综上，点P的坐标为(3，－4)或(2，－6)． 学科网（北京）股份有限公司 $