第2章一元二次方程典例精讲与强化训练2026-2027学年数学九年级上册苏科版

**基本信息** 以“解法-应用-创新”三阶逻辑构建一元二次方程训练体系，通过分层题型实现从方法掌握到数学思维（运算能力、推理意识、模型观念）的递进培养。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |典例精讲|3道|解方程方法分类（配方法/公式法/因式分解法）、新定义问题概念迁移（逆根方程用根与系数关系）、应用题等量关系建模（增长率/利润问题）|从解法技巧到概念应用，再到实际问题建模，形成“操作-理解-迁移”链条| |强化训练|19题（8单+6填+5解）|根的判别式应用、根与系数关系转化、新定义多解讨论（倍根/倒方程）、几何动态问题分类（运动时间）|覆盖基础概念（定义/解法）、综合应用（判别式/系数关系）、创新拓展（新定义/动态几何），体现“基础-综合-创新”层级|

第2章一元二次方程典例精讲与强化训练 典例精讲 1．解方程： (1)（用配方法）； (2)（用公式法）； (3)（用因式分解法）； (4)（用适当的方法）． 2．已知关于的一元二次方程（）有两个非零实数根，且其中一个根为另一个根的倒数，则称这样的一元二次方程为“逆根方程”． (1)一元二次方程是“逆根方程”吗？请说明理由． (2)若一元二次方程是“逆根方程”，求此方程的两个根． 3．随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万辆．某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆，售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价，使平均每周的销售利润为96万元． (1)求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； (2)为推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 强化训练 一、单选题 1．一元二次方程的解是（    ） A． B． C．， D．， 2．关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 3．将一元二次方程配方，得到方程，其中“▲”表示的数是（   ） A．3 B．6 C．9 D．10 4．已知关于的一元二次方程有两个实数根，，且满足，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为20米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块96平方米的长方形菜地作为实践基地．如图所示，设长方形的一边长为米，根据题意可列方程（   ） A． B． C． D． 6．2025年安徽省新能源汽车产量、出口量均跃居全国首位．据统计，安徽省2024年新能源汽车产量较2023年增长，2025年较2024年增长．若设这两年安徽省新能源汽车产量的年平均增长率为，则可列出的方程是(   ) A． B． C． D． 7．如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿边向点匀速运动，同时另一点从点出发，以的速度沿射线匀速运动，当的面积为时，运动时间为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 8．新定义：若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”．若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则代数式的值为（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 二、填空题 9．已知方程，当______时，是关于x的一元二次方程． 10．已知关于x的方程的一根为1，则该方程的另一根为_________． 11．若m、n是一元二次方程的两个实数根，多项式的值是_______． 12．已知，是方程的两个实数根，则=_________ ． 13．三角形两边长分别为3和6，第三边是方程的根，则三角形的周长为______． 14．定义新运算：对于两个不相等的实数、，我们规定符号表示、中的较大值，如：，． （1）______； （2）若，则的值是______． 三、解答题 15．解方程． (1)（用直接开方法）； (2)（用配方法）； (3)（用公式法）； (4)（用适当的方法）． 16．关于x的一元二次方程． (1)当方程有两个不相等的实数根时，求k的取值范围． (2)若方程有两个实数根、且满足，求k的值． 17．“乒乓球”被称作我国的国球，一直代表着全世界的最高水平．据统计在伦敦世乒赛结束后的两个月内，我市从事乒乓球运动的人数从3.2万人快速增加到了5万人． (1)求我市参加乒乓球运动人数的月均增长率； (2)为支持市民参与乒乓球运动，市政府决定从某公司购买一批乒乓球台．该公司规定：若购买不超过100台，每台售价1600元；若超过100台，每增加10台，售价每台可降低40元，但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种乒乓球台的台数． 18．为了方便居民收取快递，某小区计划在小区内的空地搭建一个面积为30平方米的快递投放点．如图是快递投放点的设计图，该快递投放点为矩形且一边靠墙；这堵墙长10米，在垂直于墙的两边分别开设“进口”和“出口”两道1.5米宽的门．围建投放点的三边（不含靠墙的一边和两道门）共需高度适当的板材14米．请求出这个快递投放点的边和的长． 19．“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是______； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 典例精讲解析 1．(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解： 解得，； （2）解： ， 此时，，， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，； （3）解： ∴或， 解得，； （4）解： 解得，． 2．(1) 是，理由如下： 解： 解得， 两个根均为非零实数，且其中是的倒数，符合“逆根方程”的定义 一元二次方程是“逆根方程”； (2) 方程的两个根为和 【分析】（1）先求解给定的一元二次方程，得到两个根后，根据“逆根方程”的定义判断即可； （2）根据“逆根方程”的定义得到两根乘积为1，利用根与系数的关系求出的值，再代入原方程求解即可得到两个根． 【详解】（1）略 （2）解：设方程的两个根为 该方程是“逆根方程” 由一元二次方程根与系数的关系得 ， 解得 将代入原方程得： 整理得 由求根公式得 方程的两个根为和． 3．(1) (2)万元 【分析】（1）由平均增长率问题的解法，列一元二次方程求解即可； （2）设下调后每辆汽车的售价为万元，由等量关系列一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为， 根据题意，得， 解得，（负值不符合题意，舍去）， 答：从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为； （2）解：设下调后每辆汽车的售价为万元，则每辆汽车的销售利润为万元，平均每周可售出辆， 根据题意，得， 解得，， 此次销售尽量让利于顾客， ， 答：下调后每辆汽车的售价为21万元． 强化训练解析 1．C 【详解】解：， 则或， 解得：，． 2．B 【详解】解：将原方程整理为一元二次方程的一般形式，得， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴原方程有两个不相等的实数根． 3．C 【分析】本题考查一元二次方程的配方法，根据配方法的规则，计算一次项系数一半的平方，即可得到▲表示的数. 【详解】对一元二次方程配方时，若二次项系数为1，需要在等式两边同时加上一次项系数一半的平方. ∵原方程为，一次项系数为， ∴一次项系数的一半为 ， ∴， ∴等式两边同时加9，▲表示的数是9， 4．D 【分析】利用一元二次方程根和系数的关系解答即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根，， ∴，， ∵， ∴， 解得． 5．B 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，先用x表示出矩形的另一条边长，利用矩形的面积公式，列出方程即可． 【详解】解：设矩形的一边长为x米，则另一边长为米， 由题意，得：. 6．B 【详解】解：设2023年安徽省新能源汽车产量为基准量1，按逐年实际增长率计算，2024年产量为，2025年产量为； 若两年年平均增长率为，则2025年产量也可表示为， 因此可列方程：． 7．C 【分析】设运动时间为，根据题意列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设运动时间为，其中，则，, ， 的面积为， ， 解得：或， 即当的面积为时，运动时间为或． 8．B 【分析】通过因式分解求解一元二次方程的两个根，再根据“倍根方程”的定义分两种情况讨论根的关系，最终求解得到的值． 【详解】解：， ， 解得，． 关于的一元二次方程是“倍根方程”， 分两种情况：①当时，即，此时， ②当时，即，此时． 综上所述，代数式的值为或． 9． 【分析】根据一元二次方程的定义，得到关于的方程与不等式，求解即可得到结果． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， ，解得． 10． 【分析】把代入方程，求出，再解方程即可． 【详解】把代入方程，得， 解得， 一元二次方程为， 两边同除以2，得， ， ，， 该方程的另一根为． 11．11 【分析】利用一元二次方程根的定义将高次项降次，再结合根与系数的关系代入求值． 【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个实数根， ∴根据一元二次方程根的定义，得，即， 根据一元二次方程根与系数的关系，得，， 将代入多项式，得： 把，代入上式： ． 12．2025 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系中两根之和的公式进行计算即可． 【详解】解：对于一元二次方程（），若，是其两个实数根， 则， 在方程中，，， 所以． 13．15 【分析】先利用因式分解法求解一元二次方程，再根据三角形三边关系舍去不符合题意的根，最后计算周长即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， 当时，，能构成三角形，周长为 ； 当时，，不能构成三角形， 则三角形的周长为． 14． 或 【分析】（1）通过平方比较法判断与的大小，从而确定二者中的最大值； （2）根据的正负分类讨论的取值，分别建立方程求解并结合前提条件筛选出符合要求的解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴． （2）由题意得，，即， 当时，，即， 解得，， ∵，， ∴x的值为； 当时，， 即，解得，， ∵，， ∴． 综上，的值是或． 15．(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解：直接开平方，得， 或， ，； （2）解：移项，得， 配方，得， 直接开平方，得， ，； （3）解：移项，得． ， ， ， ，； （4）解：， ， ， ，． 16．(1) (2) 【分析】（1）根据根的判别式的意义得到，解不等式即可得到k的取值范围； （2）根据根与系数的关系得，，利用完全平方公式，由得到，然后解方程后通过k的范围确定k的值． 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． （2）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根、， ∴，， ∴， 解得，． ∵方程有两个实数根， ∴，解得， ∴． 17．(1) (2)购买的这种乒乓球台的台数为200台 【分析】（1）设该市参加乒乓球运动人数的年均增长率为，利用在世乒赛结束后的两个月参加健身运动的人数在世乒赛结束后的首月参加乒乓球运动的人数该市参加乒乓球运动人数的年均增长率，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设购买台这种乒乓球台，求出购买100台这种乒乓球台所需费用，由该值等于24万元，利用总价单价数量，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合每台售价不得少于1000元，即可确定结论． 【详解】（1）解：设我市参加乒乓球运动人数的月均增长率为x， 由题意得：， 解得（不符合题意，舍去）， 答：我市参加乒乓球运动人数的月均增长率为； （2）解：（元）元， ∴购买的乒乓球台数超过100台． 设购买的这种乒乓球台的台数为m台， 由题意得：， 解得， 又， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：购买的这种乒乓球台的台数为200台． 18．的长为6米，的长为5米 【分析】设的长为x米，则的长为米，根据计划在小区内的空地搭建一个面积为30平方米的快递投放点，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设的长为x米，则的长为米， 根据题意得， 解得，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意舍去． 答：的长为6米，的长为5米． 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据倒方程定义，交换二次项系数与常数项，直接写出倒方程； （2）先写出原方程的倒方程，再将解代入倒方程，解方程求出参数； （3）先写出倒方程，利用方程根的意义得到，整体代入降次，求出代数式的值． 【详解】（1）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是； （2）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是， ∵是一元二次方程的倒方程的解， ∴把代入方程， 得， 解得； （3）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是， ∵是一元二次方程的倒方程的一个实数根， ∴把代入方程， 得， ∴． 【点睛】本题为新定义题型，读懂“倒方程”：交换二次项系数和常数项，一次项系数不变，再结合方程根的意义、整体代入法求解． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $