第2章实数典例精讲与强化训练-2026-2027学年数学八年级上册北师大版（2024）

**基本信息** 以实数概念为核心，通过典例精讲与分层训练，系统整合二次根式运算、勾股定理应用及规律探究，突出数学思维中的运算能力与推理意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |典例精讲|3个|分母有理化、平方差公式、裂项相消法、方程思想|从实数定义（无理数、平方根）到性质（非负性），再到运算（二次根式混合运算）及应用（几何求值）| |强化训练|19题|最简二次根式判断、勾股定理逆定理、新定义运算|通过选择（概念辨析）、填空（性质应用）、解答（综合计算与实际建模），构建“概念-运算-应用”完整逻辑链|

第2章实数典例精讲与强化训练 典例精讲 1．计算 (1)． (2)． 2．已知5a+4的立方根是-1，3a+b-1的算术平方根是3 ， c是的整数部分 (1)求a、b、c的值； (2)求的平方根． 3．阅读下面材料： ； ； ； 请解决下列问题： (1)求的值； (2)计算（为正整数）的值； (3)利用上面的解法，请计算：． 强化训练 一、单选题 1．下列各数中，是无理数的为（　　） A． B． C． D．（相邻两个2之间0的个数逐次加1） 2．下列根式中是最简二次根式的为（　　） A． B． C． D． 3．实数在两个相邻的整数m与之间，则整数m是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 4．在中，，若，，则的值是（    ） A．10 B． C． D．4.8 5．若三边满足，那么的形状是（   ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 6．对于实数、，定义运算“※”如下：，则关于的结果，下列说法正确的是(    ) A．平方根是 B．算术平方根是 C．立方根是 D．立方根是 7．如图，以原点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的实数是（   ） A． B． C．-2．2 D． 8．a，b在数轴上的位置如图所示，则化简代数式的结果为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．计算：__________． 10．如果 ，那么 ________． 11．若与是同类二次根式，则的最小正整数是________． 12．已知、、分别为的三边长，化简：_________． 13．如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形，这两个小正方形面积为和，则留下阴影部分的面积为_________． 14．已知 ，代数式的值是_____． 三、解答题 15．解答下列各题 (1)； (2) (3)已知的平方根是，的立方根是4，c是的整数部分，求的值． 16．先化简，再求值． 已知，，求： (1)的值； (2)的值 17．若最简二次根式与是同类二次根式． (1)求的平方根； (2)对于任意的正实数和，我们定义新运算：，求的值． 18．如图，某海警巡逻舰在A处巡航时，发现位于A处北偏东方向距离为海里的C处有一艘可疑渔船，该渔船正沿向C的正南方向逃窜，D点位于航线上，且恰在C的正南方．巡逻舰立即从A出发，沿正东方向的航线展开追击．已知港口B在A的正东方向，两地相距110海里，B，C两地直线距离为50海里．（参考数据：，，） (1)若巡逻舰恰好在D处追上可疑渔船，求的长度； (2)在（1）的条件下，若可疑渔船的逃窜速度为8海里/时，当可疑渔船行驶4小时时，求此时巡逻舰与可疑渔船的直线距离．（结果精确到十分位） 19．观察下列计算：，，，… (1)______；______． (2)用含n的代数式表示你所发现的规律； (3)利用这一规律计算：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 典例精讲解析 1．(1) (2) 【分析】（1）根据二次根式混合运算法则，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内． （2）根据完全平方公式和平方差公式计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 2．(1)a=-1，b=13，c=3； (2)±2． 【分析】（1）直接利用立方根以及算术平方根的定义得出a，b，c的值； （2）利用（1）中所求，代入求出答案． 【详解】（1）解：∵5a+4的立方根是-1， ∴5a+4=-1， ∴5a=-5， ∴a=-1， ∵3a+b-1的算术平方根是3， ∴3a+b-1=9，即-3+b-1=9， ∴b=13， ∵c是的整数部分，而3<<4， ∴c=3， 即a=-1，b=13，c=3； （2）解：∵a=-1，b=13，c=3， ∴3a+b+2c=-3+13+6=16， ∴， ∵4的平方根是±2． 即的平方根是±2． 【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小以及算术平方根和立方根，正确把握相关定义是解题关键． 3．(1)； (2)； (3)． 【分析】通过分母有理化去掉分母中的根号，结合平方差公式化简； 类比的方法，用含的式子推导通用化简结果； 利用的结论裂项，通过抵消中间项简化求和运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 强化训练解析 1．D 【分析】本题考查无理数的定义，根据“无限不循环小数是无理数，有理数包括整数、分数（有限小数、无限循环小数）”逐一判断选项即可． 【详解】A选项，是分数，属于有理数，故本选项不符合题意； B选项是无限循环小数，属于有理数，故本选项不符合题意； C选项是有限小数，属于有理数，故本选项不符合题意； D选项（相邻两个2之间0的个数逐次加1）是无限不循环小数，属于无理数，故本选项符合题意； 故选：D 2．D 【分析】本题主要考查了最简二次根式的判断，根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式），逐项分析判断即可． 【详解】解：最简二次根式需满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式， A、，被开方数含能开得尽方的因数16，不是最简二次根式，不符合题意； B、的被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； C、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； D、的被开方数10不含分母，且10分解为，无开得尽方的因数，是最简二次根式，符合题意． 故选：D． 3．A 【分析】本题考查无理数的估算，通过确定与被开方数相邻的完全平方数，得到无理数的范围，再结合不等式性质求出的范围，进而确定整数的值. 【详解】解：∵ ∴ 即不等式两边同时加3，得，即 ∵在整数与之间 ∴ 故选：A. 4．A 【分析】本题主要考查了勾股定理，利用勾股定理求解直角三角形的斜边长度即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴根据勾股定理， ∴， 故选A． 5．D 【分析】本题考查的是非负数的性质，勾股定理的逆定理的应用，先根据非负数的性质求出三边的长度，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状． 【详解】解：∵，，，且， ∴，，， ∴，，， ∵，即， ∴是直角三角形， 故选：D 6．D 【分析】本题考查了新定义运算，平方根、算术平方根、立方根的定义．先根据新定义运算求出的值，再结合平方根、算术平方根、立方根的定义判断选项 【详解】解：∵ ∴ ∵实数范围内，负数没有平方根与算术平方根，故A、B选项错误 又∵ ∴的立方根是，故C选项错误，D选项正确 故选：D． 7．A 【分析】本题主要考查了实数与数轴，勾股定理，利用勾股定理求出的长，即可得到的长，据此可得答案． 【详解】解：由勾股定理得， 由作图方法可得， ∵点A在点B左侧，点B为原点， ∴点A表示的实数是， 故选：A． 8．C 【分析】本题考查了数轴，利用二次根式的性质化简，化简绝对值等知识点，解题的关键是正确从数轴得到的大小关系以及符号． 由数轴可得，则可化为，再化简绝对值进行整式的加减计算即可． 【详解】解：由数轴可得 ∴ ， 故选：C． 9．12 【分析】根据二次根式的性质计算即可． 【详解】解：． 10． 【分析】先根据二次根式的非负性求出的值，再代入式子求出的值，最后即可求解． 【详解】∵， ∴据题意可得，，解得：， ∴， ∴，解得：， ∴． 11． 【分析】根据同类二次根式的定义，设（为正整数），整理得，从的最小正整数开始依次代入找到的最小正整数即可． 【详解】∵与是同类二次根式， ∴设（为正整数）， 整理得， 当 时，，不是正整数，不符合要求， 当 时， ，是正整数，符合要求， ∴的最小正整数是． 12． 【分析】根据三角形三边关系判断出相关式子的正负，再利用二次根式和立方根的性质化简，去括号后合并同类项即可得到结果． 【详解】解：∵a、b、c分别为的三边长， ，， ， ． 13． 【分析】通过两个小正方形的面积，分别求出正方形的边长，进而可求阴影部分的面积. 【详解】解：∵两个小正方形面积为和， ∴两个小正方形的边长为， ∴． 14． 【分析】先将代入原式，然后利用完全平方公式、平方差公式以及二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】解：， ． 15．(1)，． (2)． (3)． 【分析】（1）先化简方程，再开平方求解即可． （2）移项得到立方式，再开立方求解即可． （3）根据平方根和立方根的定义求出，，估算得到整数，代入计算即可． 【详解】（1）解：， 两边同除以得， 开平方得， 解得，． （2） 移项得 开立方得 解得． （3）解：由题意得，解得， ，解得． 因为，所以的整数部分． 代入得． 16．(1) (2) 【详解】（1）解：∵， ， ∴， ， ∴； （2）解：由（1）得， ∴ ． 17．(1) (2) 【详解】（1）解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， ∴， ∴的平方根为； （2）解：∵，， ∴ 18．(1)40海里 (2)海里 【分析】（1）设海里，则海里，由勾股定理可得，则，解方程即可得到答案； （2）求出可疑渔船行驶4小时时的路程，以及到达点D的时间，进而求出巡逻舰的速度，从而求出巡逻舰的路程，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：设海里，则海里， 由题意得，， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得 ∴，即， 解得， ∴海里， ∴海里， 答：的长度为40海里； （2）解：∵可疑渔船的逃窜速度为8海里/时， ∴当可疑渔船行驶4小时时，行驶的路程为海里，且其到达点D的时间为小时， ∴巡逻舰的速度为海里/小时， 设可疑渔船行驶4小时时的位置在点E，巡逻舰的位置在点F， 在中，海里，海里， ∴海里， 答：此时巡逻舰与可疑渔船的直线距离约为海里． 19．(1) ； (2) 当为正整数时， (3) 【分析】（1）根据分母有理化的方法进行计算即可； （2）根据题干中提供的信息进行解答即可； （3）根据得出的规律，利用二次根式混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； ； （2）解：， ， ， … ． （3）解： ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $