第2章 一元二次方程 易错强化训练&第2章 一元二次方程 章末复习-【中考123】2026-2027学年九年级上册数学全程导练（北师大版·新教材）

10.解：设每床每晚提高x个2元，则每床每晚收费为(10+2x) 元，每晚租出的总床位为(100-10x)张 根据题意，得(10+2x)(100-10x)=1120. 整理，得x2-5x+6=0,x1=2,x2=3. 当x=2时，2x=4;当x=3时，2x=6. 答：每床每晚应提高4元或6元 【素养探究创新练】 11.解：(1)设3月份再生纸的产量为x吨，则4月份再生纸的 产量为(2x-100)吨.。 依题意，得x+2x-100=800,解得x=300, ∴.2x-100=2×300-100=500, 故4月份再生纸的产量为500吨： (2)依题意，得100(1+受%）×50(1+m%)=6000, 整理，得m2+300m-6400=0, 解得m1=20,m2=-320(不符合题意，舍去)， 故m的值为20. (3)设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为y, 5月份再生纸的产量为α吨，则6月份再生纸产量比上月 增长y,依题意，得 1200(1+y)2·a(1+y)=(1+25%)×1200(1+y)·a, ∴.1200(1+y)2=1500 即6月份每吨再生纸的利润是1500元. 专题6一元二次方程的其他应用 1.C[解析]由已知护士x人，每两人一班，轮流值班，可得 共有x,山种组合，又已知每8小时换班一次，每天3个 2 班次，由题意，得x1】3=70,解得名=-20（不符 合题意，舍去)，2=21.故选C. 2.A3.34或-34 4.解：设个位数字为x,则十位数字为x2-2 由题意，得10(x2-2)+x-(10x+x2-2)=36, 解得名1=3，x2=-2(不符合题意，舍去)， 十位数字为32-2=7，个位数字为3. 答：原来的两位数为73. 5.512 6.解：设每轮感染中平均1台电脑会感染x台电脑， 依题意，得1+x+(1+x)x=81 整理，得(1+x)2=81,∴1+x=9或1+x=-9, 解得1=8，x2=-10(不符合题意，舍去)， .(1+x)3=(1+8)3=729>700. 答：每轮感染中平均1台电脑会感染8台电脑，三轮感染 后，被感染的电脑会超过700台. 7.C8.109.15 10.6[解析]设早餐饮酒x斗，则午餐饮酒(x+1)斗.晚餐 饮酒(x+2)斗.根据题意，得x(x+1)+（x+1)(x+2)+ x(x+2)=146,解得x1=6,x2=-8(不符合题意，舍去). 11.解：(1)设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出x个有益 菌，由题意，得60(1+x)2=24000, 解得x1=19,x2=-21. .x>0,.x=19. 答：每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出19个有益菌， (2)由题意，得60×(1+19)3=480000（个）. 答：经过三轮培育后有480000个有益菌. 参考答案及解析 教材素材拓展一元二次方程几何解法 解：(1)C (2)一方面，大正方形的面积可表示为(x+x+2)2, 另一方面，也可表示为4x(x+2)+(x+2-x)2, .(x+x+2)2=4x(x+2)+(x+2-x)2. x(x+2)=35,,(2x+2)2=4×35+4=144. x>0,2x+2=12,.x=5. (3)上述几何解法的弊端是容易漏解， 原因：几何解法中正方形的边长与面积均为正数，无法构造出 与负数相关的图形，导致只能求出一元二次方程的正数根，无 法求出负数根. (4)② 第二章易错强化训练 1.B2.C3.-2 4.解：(1)一原方程没有化成一般形式 (2)原方程化成一般形式为x2-5x-1=0. .a=1,b=-5,c=-1, .b2-4ac=(-5)2-4×1×(-1)=29, x=5±29 2 -5+29 .x1= 2,2= 5-29 2 2 5.解：(1)x1=1,为=子(2)=3，=2 7 6.解：(1)三配方时，只在方程的左边加上一次项系数一半 的平方，而在右边没有加 (2)移项，得2x2-6x=5. 两边都除以2，得2-3x=2 5 配方，得-3+子=名+是， -只 3 2 =3+厘=3-四 2= 2 7.证明：①当m-1=0, 即m=1时，方程为-x+1=0,解得x=1, ∴此时方程有实数根； ②当m-1≠0时，4=m2-4(m-1)=m2-4m+4=(m- 2)2≥0，.此时方程有两个实数根 综上，不论m为何值，方程总有实数根 8.B 第二章章未复习 【知识体系构建】 02②>③=④<⑤±⑥-6⑦9 【常考题型训练】 1.C2.A3.54.C 5.解：(1)x=2-万，=2+万。(2)=-7,4=-2 6.A 7,k≤-1[解析]当k=1时，方程的解是x=- 8,不符合 ·13. 全程导练·九年级数学·北师版·上册 题意；当k=-1时，方程无解，符合题意；当k≠±1时，△= (k+1)2-4(2-1)×子<0k<-1.综上所述，k的取 值范围是k≤-1. 8.-18 9.(1)证明：4=(k-3)2+8(k-1)=2+2k+1=(k+1)2≥ 0,·.无论k为何值，方程总有两个实数根. (2)解：由题意，得x1+x2=-k+3,出1=-2(k-1). 1x1-x21=3,.(x1-2)2=(x1+2)2-4x12=9, .(-k+3)2+8(k-1)=9. 整理，得(k+1)2=9,解得k1=2,2=-4, 10.B 11.解：(1)由题意，得(58-2x)(22-2x)=700, 整理，得x2-40x+144=0, 解得x1=36(不符合题意，舍去)，x2=4. 答：道路的宽是4m (2)设每个车位的月租金上涨y元. 由题意，得(30+)(70-）=21120， 整理，得y2-50y+600=0,解得y1=20,y2=30. 尽可能让利于居民，∴y=20. 答：每个车位的月租金上涨20元时，停车场的月租金收人 为21120元 第三章图形的相似 1相似多边形 第1课时线段的比和成比例线段 【知识要点分类练】 1.B2.213.D4.9 2 5.解：(1)：AB=8cm,BC=12cm,A'B'=4cm,B'C'=6cm, 4g-4=1B'C61 AB=8=2,BC=12=2 2))蜘器宁瓷宁…器器 ∴.线段A'B',AB,B'C,BC是成比例线段. 6D7号 【能力提升综合练】 8.B9.B 10解：(1)设号=合=子=-40。 则a=2k,6=3c=48牛-致治-茫=号 (2)设a=2k,b=3k,c=4k, .2k+3k-4k=6,.k=6, ∴.a+b+c=2k+3k+4k=9k=9×6=54. 第2课时相似多边形的性质与判定 【知识要点分类练】 1.D2.B3.2:1 4.解：(1)：四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似， .∴.∠C=∠C1=90°，∴.∠D=360°-∠A-∠B-∠C= 360°-40°-110°-90°=120° (2):四边形ABCD与四边形A1B,CD1相似， AB BC AD BBCAID:' 。14· 名-g=Bc=1240=6, .四边形ABCD的周长为AB+BC+CD+AD=9+12+ 15+6=42. 5.C6.A 【能力提升综合练】 7.D[解析]，四边形ABCD和四边形DEFG是矩形，.AB CD,AD =BC,FG=ED,EF =DG.FG=ED =a,EF DG =A:矩形ACD与矩形DEG相仅，一能-祭设能 =,则CD=AB=kDE=a,AD=BC=kEF=仙，SACG =2CD,DG=ab,SBn=AB·BC=a6,故选项A 不符合题意；mCG=Sg移un-Sacc=2ab-号adb, 故选项B不特合题意；=7DB·EF=2a山，故选项 C不符合题意；SaDr=AD·FG=之如6，故选项D特合 题意. 8.2+1 9.证明：四边形ABCD是正方形，.∠BAD=90. .GE⊥AD,GF⊥AB, ∴∠GEA=∠GFA=90°，.四边形AFGE是矩形 G是正方形ABCD的对角线AC上的一点， .AG平分∠BAD,∴.GE=GF, .四边形AFGE是正方形， 怨品需指 且∠EAF=∠DAB,∠AFG=∠B,∠FGE=∠BCD, ∠AEG=∠D, ∴.四边形AFGE与四边形ABCD相似. 第3课时等比性质 【知识要点分类练】 1.C2.C3.C4.9 5.解：△A'BC的周长为80，.A'B+BC+A'C'=80. .AB+BC+AC=2 AB+BC+AC AB 2 AB+B'C+AC=3AB+B'C+ACAB3 ..AB+BC+AC=- (4B+BC+C)=号x0=1 39 :△ABC的周长为'g0 6D7.号是 【能力提升综合练】 8.D9.30 10(1)解：名=号号+1=号+1， 3 （2)证明合-台g-1=分-1 b a+b-+d,=b:a+b-=4:+, b=d心b÷b=d d .a-b=c-d a+b c+d全程导练·九年级数学·北师版·上册 第二章 易错强化训练 [答案P13] 易错点1忽略二次项系数不为0的条件 (2)2(3-x)2=x-3. 1.关于x的一元二次方程(m-1)x2+2x+1ml-1 =0,常数项为0，求m的值.下面是小莉和小轩的 解题过程： 小莉：由题意，得1ml-1=0,所以m=±1. ⑦易错点4配方时添项错误或漏添项 小轩：由题意，得|ml-1=0且m-1≠0，所以m 6.阅读下列解答过程，在横线上填入恰当的内容 =-1. 解方程：2x2-6x-5=0 其中解题过程正确的是 解：移项，得2x2-6x=5.（第一步) A.两人都正确 B.小轩正确，小莉不正确 两边都除以2，得父-3x=(第二步) C.小莉正确，小轩不正确 配方，得-3+号-3（第三步） D.两人都不正确 2.(内江中考)若关于x的一元二次方程(a-1)x2+ 2x+1=0有实数根，则实数a的取值范围是 3 ∴.x- 2±0 21 (第四步) A.a≤2 B.a<2 C.a≤2且a≠1 D.a<2且a≠1 x=3+10 2,x2= 3-10 3.若(m-2)x-2-x=0是关于x的一元二次方程， 2 ,(第五步) (1)上述过程是从第 步开始出错的，错 则m的值为 误的原因是 易错点2公式法解方程时，未将方程化为一般 形式 4.（吉林德惠期中)小明在解方程x2-5x=1时出现 (2)请写出正确的解答过程. 了错误，解答过程如下： a=1,b=-5,c=1,(第一步) .b2-4ac=(-5)2-4×1×1=21,(第二步) 5±21 ,X= ,(第三步) 2 ,=5+2I=5-2 ,X2= 易错点5忽略分类讨论 2 2 .(第四步) 7.已知关于x的方程(m-1)x2-mx+1=0.求证： (1)小明解答过程是从第 步开始出错 不论m为何值，方程总有实数根. 的，其错误原因是 (2)写出此题正确的解答过程 口易错点3解一元二次方程时漏根 心易错点6忽视方程有实根的隐含条件 5.解下列方程： 8.（泸州中考)关于x的一元二次方程x2+2mx+m2- (1)3x(x-1)=2(x-1); m=0的两实数根x1,七2满足xx2=2,则(x子+2)· (x2+2)的值是 () A.8 B.32 C.8或32 D.16或40 4 见此图标照微信扫码进人初中智芯学国自 第二章一元二次方程安 第二章 章末复习 [答案P13] 知识体系构建典” 等号两边都是整式 元二次方程的定义 只含有一个未知数（一元） 未知数的最高次数是① (二次) 认识一元 ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0) 二次方程 元二次方程的一般形式 二次项、一次项、常数项 元二次方程的解的定义 元二次方程的解 用估算法求一元二次方程的近似解 直接开平方法一 (mx+n)2=p(m≠0，p≥0) 配方法一步骤：一移、二化、三配、四开、五解 元 -4② 0→方程有两个不相等的实数根 解法 根的判别式 -4③ 0→方程有两个相等的实数根 公式法 △④ 0→方程没有实数根 -b⑤J02-4ac 方程 -△≥0时，求根公式：x= 2a 因式分解法一化为c-a)c-b)=0的形式，解得x=a,x2=b x1+x2=⑥ 根与系数的关系 x1x2=⑦ 应用前提：4≥0 步骤：审、设、列、解、验、答 一元二次方程 一几何图形问题 的实际应用 销售利润问题 平均变化率问题 常见类型 传播问题 单、双循环问题 数字问题 其他问题 常考题型训练单： 考点1认识一元二次方程 3.关于x的一元二次方程(m-3)x2+x+m2-8m+15 1.已知(m-3)xm-7+2026x-2026=0是关于x的 =0的常数项是0，则m的值为 一元二次方程，则m的值为 ( 考点2解一元二次方程 A.3 B.0 4.一元二次方程(x+1)2=16用直接开平方法可转 C.-3 D.±3 2.把一元二次方程x(x+1)=3x+2化为一般形式， 化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是 正确的是 ( x+1=4,则另一个一元次方程是 ) A.x2-2x-2=0 B.x2-2x+2=0 A.x-1=-4 B.x-1=4 C.x2-3x-1=0 D.x2+4x+3=0 C.x+1=-4 D.x+1=4 见此图标照微信打码进人初中智慧学园自 6 全程导练·九年级数学·北师版·上册 5.用适当的方法解下列方程： 考点5一元二次方程的实际应用 (1)x2-4x+1=0; 10.随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源 汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具.某品牌 新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增 (2)(2x+1)2+3(2x+1)=0. 加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月 销售量平均每月增长率为x,则可列方程为 ( A.8000(1+2x)=1200 考点3一元二次方程根的判别式 B.8000(1+x)2=12000 6.(河南中考)一元二次方程x2-2x=0的根的情况 C.8000+8000(1+x)+8000(1+x)2=12000 是 ( D.8000×2(1+x)=12000 A.有两个不相等的实数根 11.某社区为了解决停车难的问题，利用一块矩形空 B.有两个相等的实数根 地ABCD建了一个小型停车场，其布局如图所 C.只有一个实数根 示.已知AD=58m,AB=22m,阴影部分设计为 D.没有实数根 停车位，其余部分均为宽度为xm的道路.已知 7.(东营中考)若关于x的方程(2-1)x2+(k+ 停车位的面积（即阴影面积）为700m2. 1)x+年=0无实根，则k的取值范围是 (1)求道路的宽； (2)该停车场共有70个车位，据调查分析，当每 个车位的月租金为300元时，可全部租出； 考点④一元二次方程根与系数的关系 若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租 8.若a,b是一元二次方程x2+2x-9=0的两个根， 出1个车位.当每个车位的月租金上涨多少 则a2+2a+3ab的值为 元时，停车场的月租金收入为21120元，同 9.已知关于x的方程x2+(k-3)x-2(k-1)=0. 时尽可能让利于居民？ (1)求证：无论k为何值，方程总有两个实数根； (2)若方程有两个实数根x1,x2,且|x1-x21=3, x 求k的值 11题图 46 见此图标照微信扫码进人初中智慈学国自