专题03 判别式、根与系数的关系及含参数问题（专项训练）数学新教材北师大版九年级上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程判别式与根与系数关系，以5类常考题型为主线，通过精选期末、中考真题构建从基础应用到综合创新的训练体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常考题型·精准突破|5题型15题|覆盖基础判断、参数求解、代数式求值、综合应用及新定义问题|从判别式基础应用到根与系数关系拓展，形成概念理解-技能应用的逻辑链| |综合攻坚·知能拔高|14道综合题|综合考查知识迁移与创新应用|递进至含参数综合及新定义问题，培养抽象能力、推理意识与模型观念|

专题03 判别式、根与系数的关系及含参数问题 常考题型·精准突破 题型1 根据判别式判断一元二次方程根的情况（重） 题型2 根据一元二次方程根的情况求参数（高频） 题型3 利用根与系数的关系求代数式的值（高频） 题型4 判别式和根与系数的关系的综合问题（难） 题型5 判别式和根与系数的关系的新定义型问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1根据判别式判断一元二次方程根的情况 1．A 2．A 3．B ◆题型2 根据一元二次方程根的情况求参数 4． 5． 6．且 ◆题型3 利用根与系数的关系求代数式的值 7． 8．15 9． 【答案】（1）解：关于x的方程有两个实数根， ∴， 故答案为：5；； （2）解：∵ ∴原式． ◆题型4 判别式和根与系数的关系的综合问题 10． 【答案】(1)证明：已知一元二次方程为， 可得，，， ∴， ， ，即， 方程总有两个不相等的实数根． （2）解：方程的两个实数根为，，由根与系数的关系得：，， 又， 可得方程组， 解得， 将，代入，得，即， 解得． 11． 【答案】（1）解：∵该一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得； （2）解：由一元二次方程的根与系数的关系，得 ，． ， ， 整理，得， 解得或． 又， ． 12． 【答案】（1）证明：由题意可知 ， ， ， 即， 该方程总有两个不相等的实数根； （2）解：，是方程的两个根， ，. ， ，即， 解得， 检验：当时，，所以是原分式方程的解． ◆题型5 判别式和根与系数的关系的新定义型问题 13． 【答案】（1）①，，，，，，，故①是“等差”二次方程； ②，，，，，，，故②不是“等差”二次方程； ③，，，，，，，故③是“等差”二次方程； ④，a，b，c，，，，故④不是“等差”二次方程． 综上，符合条件的有①③； （2）当时，代入原方程得：， ∵由得， ∴将代入得：， ∴， ∵根据韦达定理，， ∴， ∴； （3）∵，是“等差”二次方程的两个根， ∴根据韦达定理，，， ∵由得，即， ∴， ∴，即， 整理得， ∴． 14． 【答案】（1）解：，因式分解得， 解得，， ，，， 方程不是“和积方程”． （2）解：对于方程，其判别式恒成立， 故方程总有两个实数根， ，因式分解得， 解得，， 由“和积方程”定义得：， 或， 解得或． （3）解：方程有两个实数根， ， 展开得，即， 解得， 由韦达定理得：，， 又方程是“和积方程”， 则， 即 ， ， 分两种情况： ， 化简得 ，解得或， ，舍去，符合； ， 整理得 ， 由求根公式得 ， ，均符合条件， 综上，的值为或或． 15． 【答案】（1）解：∵， ∴， 解得：，， ∵，不符合邻根方程的定义， ∴不是邻根方程； （2）解：∵关于x的方程是邻根方程， ∴解方程可得：， ∴， ∴， 故或； （3）解：∵关于x的方程（a、b是常数）是邻根方程，设两个根分别为、， ∴， 由根与系数的关系：， ∴， ∴， 设， ∴， ∴当时，， 答：代数式的最大值为16． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．C 2．A 3．A 二、填空题 4．9 5．且 6． 三、解答题 7． 【答案】(1)且 (2) 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， 且． （2）解：设方程的两个不相等的实数根为，， ∵方程的一个根是另一个根的两倍， ∴不妨设， ， ∴， ， ∴， ， ， 解得， 经检验，是该分式方程的解． 8． 【答案】(1)证明：方程为一元二次方程，故即， 判别式， 方程总有两个实数根． （2）解：由求根公式得      计算得，， 两根均为整数，为整数， ， 解得或 ． 9． 【答案】(1)且 (2)①；② 【详解】（1）解：是关于的一元二次方程， ，则， 关于的一元二次方程有两个实数根， ，解得， 综上所述，的取值范围是且； （2）解：当时，，整理得， ，是一元二次方程的两个实数根， ， ①； ②． 10． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵方程有两个实数根， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是关于x的方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 11． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：判别式为 ， 则无论取何值时，原方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由韦达定理得，， 由于， 则， 解得， 因此m的值为． 12． 【答案】（1）解：在方程中，，， ∴方程①的“换位方程”为． (2)当时，对于方程①及其“换位方程”均有 ， ∴方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根． （3）解：∵方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根， ∴，， ， ∴， 当时，方程①与其“换位方程”相同，不符合题意， ∴ 解得：或， 当时，代入方程①得，， 解得：； 当时，代入方程①得，， 解得：． 13． 【答案】(1)， (2)或 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵方程的两个实数根为，， ∴， ∵， ∴， 即：， ， 解得：或， ∵， ∴所求值均符合题意． 14． 【答案】（1）是 （2） （3）证明过程见详解 （4）或 【详解】解：（1）∵，，， ∴3、6、12是“组合平方数”； 故答案为：是； （2）如果、n、4是“组合平方数”， ∴当时， 解得，； 当时，被开方数小于0，不符合题意，舍去； 当时，由算术平方根是大于等于0的数得到不符合题意，舍去； 故答案为：； （3）证明：已知关于的一元二次方程（）有实数根， ∵设为有理数，且）为该方程的两根之和，为该方程的两根之积，方程的两个根分别用表示， ∴， ∴，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是“组合平方数”； （4）当时，是“组合平方数”，即是“组合平方数”， ∴当时，，，， ∴， 整理得，，则， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴， ∴（负值舍去），即， ∴是“组合平方数”； 当时，，， ∴， 整理得，，则， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴， ∴（负值舍去），即， ∴是“组合平方数”； ∵， ∴不符合题意； 综上所述，或． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03判别式、根与系数的关系及含参数问题 内容概览 目常考题型精准突破 题型1根据判别式判断一元二次方程根的情况（重） 题型2根据一元二次方程根的情况求参数（高频） 题型3利用根与系数的关系求代数式的值（高频） 题型4判别式和根与系数的关系的综合问题（难） 题型5判别式和根与系数的关系的新定义型问题（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1根据判别式判断一元二次方程根的情况 1.(25-26八年级下·北京房山期末)关于方程x2+6x+9=0的根的情况，下列说法正确的是() A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 2.(2026四川遂宁·中考真题)关于x的一元二次方程x+mx-1=0的根的情况是() A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 3.(2026河南驻马店三模)定义新运算：a⊕b=a2-b+2.例如，3⊕2=32-3×2+2=5，关于x的方 程x⊕m=3的根的情况是() A.有两个相等的实数根 B.有两个不等的实数根C.没有实数根D.无法确定 ◆题型2根据一元二次方程根的情况求参数 4.(25-26八年级下陕西西安期末)已知关于x的一元二次方程(m-2)x+2x+1=0有两个相等的实数根， 则m的值为一 5.(25-26八年级下山东日照·期末)若关于x的一元二次方程2x-x+c=0有实数根，则c的取值范围是 1/6 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.(25-26八年级下·山东威海期末)关于x的方程k2-6x+3=0有两个不相等的实数根，则k的取值范 围是 ◆题型3利用根与系数的关系求代数式的值 7.(25-26八年级下福建泉州期末)已知七，x2是方程x2-3x-8=0的两个根，则xx2+x+x3= 8.(25-26八年级下山东泰安·期末)已知m、n是一元二次方程x2-3x-6=0的两个根，则 m2-mn+n-2m的值为. 9.(25-26八年级上·上海青浦期末)关于x的方程2x2-10x+5=0有两个实数根x、x2,请求下列各式的 值： (1)填空：x+x=；X·=一 )+ (②xx, ◆题型4判别式和根与系数的关系的综合问题 10.(25-26八年级下·江苏扬州期末)已知关于x的一元二次方程x2-2x-m2=0 (1)求证：方程总有两个不相等的实数根： (2)若方程的两个实数根分别为a,B,且a+2P=5,求m的值. 11.(25-26八年级下安徽蚌埠期末)若关于x的一元二次方程x-2(k+)x+k+2=0有两个不相等的 实数根， (1)求k的取值范围： (2)已知方程的两个实数根分别为a,B,且(a+1)(B+1)=13,求k的值. 12.(25-26八年级下·安徽蚌埠期中)已知关于x的一元二次方程2-2mx+2m-3=0. (1)求证：该方程总有两个不相等的实数根， ,1+1=2,求m的值. (2②若x”x是方程2-2r+2m-3=0的两个根，且无石 ◆题型5判别式和根与系数的关系的新定义型问题 13.(25-26八年级上浙江宁波期末)规定：如果实数a,b,c满足a-b=b-C,那么称一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)为“等差”二次方程. 216 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)下列方程是“等差”二次方程的有 (填序号)： @3+4+50@+2x-3=0:图-1E0:@5r+r+ (2)若“等差”二次方程a心2+br+c=0(a≠0)的一个根为2，求这个方程的另一个根： (3)若m,n是“等差”二次方程ar+bx+c=0(a≠0)的两个根，请写出m,n的数量关系，并说明理由. 14.(25-26九年级下·山东烟台期中)定义：若关于x的一元二次方程有两个实数根1，，且满足 x+x=:x,则称此类方程为“和积方程”· +斗-号0是方程 (1)方程x2-5x+6=0 (填是或不是)“和积方程”； (2②)关于x的方程x-(n+3)x+3n=0是“和积方程”，则n=一： (3)若关于x的一元二次方程r+(2m+)x+m+2m=0是“和积方程”，求m的值. 15.(25-26八年级下安徽六安期中)如果关于x的一元二次方程ax2+br+c=0(a≠0)有两个实数根，且 其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”，例如：一元二次方程x+x=0的两个根 是x=0,=-1,则方程x2+x=0是“邻根方程”. (1)判断方程x2+4x-5=0是否是“邻根方程”，并说明理由； (2)已知关于x的方程x-(m-l)x-m=0(m是常数)是“邻根方程”，求m的值： (3)若关于x的方程ar2+bx+1=0(a,b是常数，且a>0)是“邻根方程”，试求出代数式12a-b的最 大值. 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1.(2026内蒙古通辽模拟预测)关于x的一元二次方程2x2-6x+k2+6=0根的情况为（) A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.无实数根 D.只有一个实数根 3/6 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(25-26八年级下浙江杭州期末)已知x,x2是一元二次方程x2-5x-8=0的两个根，则+x2-xx2 的值为() A.13 B.-13 C.3 D.-3 3.(2026河南商丘模拟膜测)已知关于x的一元二次方程子2+(m-1)x+m=0有两个相等的实数根， 则的值是() 1 A. B. C.-2 D.2 二、填空题 4.(25-26九年级上甘肃张掖阶段检测)定义新运算，对于任意实数m、n有m☆n=mn-m-n,则方程 2x☆(x+)=0的根的判别式的值为 5.(25-26九年级下·北京西城开学考试)若关于x的一元二次方程ax+2x+1=0有两个不相等的实数根， 则实数a的取值范围是 6.(25-26九年级下山东淄博期末)已知m,n是方程x2-2026x+1=0的两个实数根，则 (m2-2025m+2)(n2-2025n+2)的值为. 三、解答题 7.(25-26八年级下·安徽马鞍山期末)已知关于x的一元二次方程ax2-2x-1=0有两个不相等的实数根 (1)求4的取值范围. (2)若方程的一个根是另一个根的两倍，求a的值. 8.(25-26八年级下北京阶段检测)已知关于x的一元二次方程(a-3)x2-(a-2)x+1=0 (1)求证：方程总有两个实数根： (2)若方程的两个根均为整数，求整数a的值. 9.(25-26八年级下安徽毫州期末)已知a,b是关于x的一元二次方程(m-)x-2x+1=0的两个实数 根. (1)求m的取值范围： (2)当m=-2时， ①求a2+b的值： ②求-3a2-a+b的值. 416 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10.(25-26九年级上广东江门期中)设x2是关于x的方程x2-5x+2k-1=0的两个实数根. (1)求k的取值范围： (2)若x2+x2=17,求k的值. 11.(25-26九年级上江西新余阶段检测)己知关于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m=0 (1)求证：无论取何值时，原方程总有两个不相等的实数根. (2)若x,五是原方程的两根，且+为2-52=17.求m的值. 12.(25-26八年级下·湖南长沙期末)定义：方程ax2+bx+c=0(ac≠0)与方程cx2+bx+a=0互为 “换位方程”.如一元二次方程2x2-3x-1=0的“换位方程”是-x2-3x+2=0.已知关于x的一元二次 方程①：+(2m+1)x+m-2=0,其中m≠2. (1)写出方程①的“换位方程”： (2)求证：当m≠2时，方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根： (3)若方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根x,求这个公共根及m的值. 13.(25-26九年级上：广东韶关·期末)【阅读材料】若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的 两根为5：七则+与=合，与七=台这就是一元二次方程根与系数的关系。根据上达材料，结合你 所学的知识，完成下列问题： (1)【材料理解】一元二次方程2x2-5x-1=0的两根为，x2,则x+七3=，x·x3= (②【类比运用】已知关于x的一元二次方程-(2k+):+-2=0,若方程的两个实数根为5，与，满 足+x=2xx3+5,求k的值. 14.(25-26八年级上·上海普陀·期末)【阅读理解】如果三个实数中有两个数乘积的算术平方根等于第三 个数，那么我们把这三个实数称为“组合平方数”· (1)3、6、12“组合平方数”；（填“是”或“不是”） (2)如果-2、n、4是“组合平方数”，那么n=一： 【问题探究】在学习一元二次方程时，我们知道一元二次方程ax'+bx+c=0(a≠0)的根的情况是由系数 a、b、c确定的 已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)有实数根，请回答下列问题. (3)设pp为有理数，且p≠0)为该方程的两根之和，p为该方程的两根之积.求证：a、人。是 “组合平方数”； 516 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (4)当a=1时，a6c(b-c≠1)是“组合平方数”，且b2+2c2=15.求b和c的值. 616 专题03 判别式、根与系数的关系及含参数问题 常考题型·精准突破 题型1 根据判别式判断一元二次方程根的情况（重） 题型2 根据一元二次方程根的情况求参数（高频） 题型3 利用根与系数的关系求代数式的值（高频） 题型4 判别式和根与系数的关系的综合问题（难） 题型5 判别式和根与系数的关系的新定义型问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1根据判别式判断一元二次方程根的情况 1．（25-26八年级下·北京房山·期末）关于方程的根的情况，下列说法正确的是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题通过计算一元二次方程的判别式的值，根据判别式的意义判断根的情况． 【详解】解：∵方程中，，，， ∴， 根据判别式的意义，当时，方程有两个相等的实数根， ∴该方程有两个相等的实数根． 2．（2026·四川遂宁·中考真题）关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】利用根的判别式的符号即可得出结论. 【详解】解：∵对于一元二次方程，，， ∴判别式， 又∵任意实数的平方非负，即， ∴， ∴ 原方程有两个不相等的实数根. 3．（2026·河南驻马店·三模）定义新运算：．例如，，关于的方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查新定义运算与一元二次方程根的判别式，先根据新定义将方程整理为一元二次方程的一般形式，再计算根的判别式，根据判别式的符号判断根的情况． 【详解】根据新运算，将展开得， 整理为一元二次方程一般式得， 计算根的判别式： ， 又任意实数的平方非负，即， ， 方程有两个不相等的实数根． ◆题型2 根据一元二次方程根的情况求参数 4．（25-26八年级下·陕西西安·期末）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义可得二次项系数不为，再根据方程有两个相等的实数根，可得根的判别式的值为，据此列方程求解即可得到的值． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， ，即． 方程有两个相等的实数根， ， 整理得， 解得． ，符合题意， 故m的值为． 5．（25-26八年级下·山东日照·期末）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】当一元二次方程有实数根时，根的判别式大于等于，据此列不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴，即， 解得， ∴的取值范围是． 6．（25-26八年级下·山东威海·期末）关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________． 【答案】且 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式．方程有两个不相等的实数根，说明该方程为一元二次方程，因此二次项系数不为，且根的判别式大于，据此列出不等式求解即可． 【详解】解：关于的方程有两个不相等的实数根 该方程为一元二次方程，且根的判别式 可得 解不等式， 移项得，， 系数化为得，， 综上可得：的取值范围是且． ◆题型3 利用根与系数的关系求代数式的值 7．（25-26八年级下·福建泉州·期末）已知，是方程的两个根，则__________． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出、，整体代入代数式求值． 【详解】解：，是方程的两个根， 则，， 故． 8．（25-26八年级下·山东泰安·期末）已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为____________． 【答案】15 【分析】先利用根的定义对所求代数式降次，再根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入化简后的代数式计算即可． 【详解】解：是一元二次方程的两个根， 由一元二次方程根的定义得，即， 由根与系数的关系得，， 将代入所求代数式得： ． 9．（25-26八年级上·上海青浦·期末）关于的方程有两个实数根，请求下列各式的值： (1)填空：_____；_____； (2)； 【答案】(1)5； (2)8 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握根与系数的关系，乘法公式的变形计算是 关键． （1）确定一元二次方程二次项，一次项，常数项的值，根据根与系数的关系代入求值即可； （2）根据分式的计算法则得到，代入计算即可． 【详解】（1）解：关于x的方程有两个实数根， ∴， 故答案为：5；； （2）解：∵ ∴原式． ◆题型4 判别式和根与系数的关系的综合问题 10．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】(1)证明：已知一元二次方程为， 可得，，， ∴， ， ，即， 方程总有两个不相等的实数根． (2) 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式计算，通过判断证明结论； （2）根据根与系数的关系得到两根之和，联立已知条件求出两根，再根据两根之积得到关于的方程，求解即可得到的值． 【详解】（1）略 （2）解：方程的两个实数根为，，由根与系数的关系得：，， 又， 可得方程组， 解得， 将，代入，得，即， 解得． 11．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期末）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）一元二次方程有两个不相等实数根，则判别式，代入系数解不等式得到的范围； （2）先由一元二次方程根与系数关系写出两根和、两根积，展开进行代换，得到关于的一元二次方程，求出解后结合第（1）问的取值范围舍去不符合的解． 【详解】（1）解：∵该一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得； （2）解：由一元二次方程的根与系数的关系，得 ，． ， ， 整理，得， 解得或． 又， ． 12．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个不相等的实数根． (2)若，是方程的两个根，且，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查利用判别式判断一元二次方程根的情况，根与系数的关系，熟练掌握判别式公式和根与系数的关系是解题的关键． （1）根据判别式判断即可； （2）利用根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）证明：由题意可知 ， ， ， 即， 该方程总有两个不相等的实数根； （2）解：，是方程的两个根， ，. ， ，即， 解得， 检验：当时，，所以是原分式方程的解． ◆题型5 判别式和根与系数的关系的新定义型问题 13．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）规定：如果实数，，满足，那么称一元二次方程为“等差”二次方程． (1)下列方程是“等差”二次方程的有______（填序号）； ①；②；③；④ (2)若“等差”二次方程的一个根为，求这个方程的另一个根； (3)若，是“等差”二次方程的两个根，请写出，的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①③； (2)； (3)，理由见解析． 【分析】（1）根据定义代入解题即可求解； （2）先把代入原方程得：，再由得，联立两个式子消掉，得，再根据韦达定理，即可求解； （3）先根据韦达定理得，，再由得，通过变形得，再将代入即可求解． 【详解】（1）①，，，，，，，故①是“等差”二次方程； ②，，，，，，，故②不是“等差”二次方程； ③，，，，，，，故③是“等差”二次方程； ④，a，b，c，，，，故④不是“等差”二次方程． 综上，符合条件的有①③； （2）当时，代入原方程得：， ∵由得， ∴将代入得：， ∴， ∵根据韦达定理，， ∴， ∴； （3）∵，是“等差”二次方程的两个根， ∴根据韦达定理，，， ∵由得，即， ∴， ∴，即， 整理得， ∴． 14．（25-26九年级下·山东烟台·期中）定义：若关于的一元二次方程有两个实数根，且满足，则称此类方程为“和积方程”． 例如：，即，解得， ，是“和积方程”． (1)方程______（填是或不是）“和积方程”； (2)关于的方程是“和积方程”，则______； (3)若关于的一元二次方程是“和积方程”，求的值． 【答案】(1)不是 (2)或 (3)或或 【分析】（1）求出方程两根，计算与，根据“和积方程”定义判断； （2）先因式分解求出方程两根，再根据列等式求解； （3）先用根的判别式确定取值范围，再由韦达定理表示、，根据求解． 【详解】（1）解：，因式分解得， 解得，， ，，， 方程不是“和积方程”． （2）解：对于方程，其判别式恒成立， 故方程总有两个实数根， ，因式分解得， 解得，， 由“和积方程”定义得：， 或， 解得或． （3）解：方程有两个实数根， ， 展开得，即， 解得， 由韦达定理得：，， 又方程是“和积方程”， 则， 即 ， ， 分两种情况： ， 化简得 ，解得或， ，舍去，符合； ， 整理得 ， 由求根公式得 ， ，均符合条件， 综上，的值为或或． 15．（25-26八年级下·安徽六安·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”，例如：一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”． (1)判断方程是否是“邻根方程”，并说明理由； (2)已知关于的方程（是常数）是“邻根方程”，求的值； (3)若关于的方程（，是常数，且）是“邻根方程”，试求出代数式的最大值． 【答案】(1)不是“邻根方程” (2)或； (3)的最大值为16 【分析】（1）先解方程，再结合新定义可得答案； （2）先解方程，再利用新定义建立方程，再解方程即可； （3）利用根与系数的关系表示出，进一步化简得，整体代入，通过配方可求出t最大值． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：，， ∵，不符合邻根方程的定义， ∴不是邻根方程； （2）解：∵关于x的方程是邻根方程， ∴解方程可得：， ∴， ∴， 故或； （3）解：∵关于x的方程（a、b是常数）是邻根方程，设两个根分别为、， ∴， 由根与系数的关系：， ∴， ∴， 设， ∴， ∴当时，， 答：代数式的最大值为16． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（2026·内蒙古通辽·模拟预测）关于的一元二次方程根的情况为（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【答案】C 【分析】通过计算判别式并判断其符号即可确定方程根的情况即可 【详解】解：对于一元二次方程， 其中，，， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 因此方程无实数根 2．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】若一元二次方程的两根为，，则有，，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴． 3．（2026·河南商丘·模拟预测）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】解：根据题意，得， ∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， 故选：A． 二、填空题 4．（25-26九年级上·甘肃张掖·阶段检测）定义新运算，对于任意实数m、n有，则方程的根的判别式的值为__________． 【答案】9 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，熟练根的判别式是解题关键．根据题意得出方程是，再根据根的判别式公式求解即可． 【详解】解：根据题意， 则， 故答案为：9． 5．（25-26九年级下·北京西城·开学考试）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是______． 【答案】 且 【分析】先根据一元二次方程的定义确定二次项系数不为0，再利用根的判别式建立不等式，联立求解即可得到的取值范围； 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， ∵该方程有两个不相等的实数根， ∴根据一元二次方程根的判别式， 即：， 解得：， 实数的取值范围是且． 6．（25-26九年级下·山东淄博·期末）已知，是方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义和根与系数的关系得到，，，代入所求代数式进行解答即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，，， ∴，， ∴ 三、解答题 7．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求a的取值范围． (2)若方程的一个根是另一个根的两倍，求a的值． 【答案】(1)且 (2) 【分析】（1）根据一元二次方程的定义及根的判别式列出不等式，求解即可； （2）设方程的两个不相等的实数根为，，则，，可求出，，根据列出关于a的方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， 且． （2）解：设方程的两个不相等的实数根为，， ∵方程的一个根是另一个根的两倍， ∴不妨设， ， ∴， ， ∴， ， ， 解得， 经检验，是该分式方程的解． 8．（25-26八年级下·北京·阶段检测）已知关于 的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的两个根均为整数，求整数 的值． 【答案】(1)证明：方程为一元二次方程，故即， 判别式， 方程总有两个实数根． (2)或 【分析】（1）证明即可； （2）根据求根公式，表示出两个根，利用整数的性质，求解即可； 【详解】（1）略 （2）解：由求根公式得      计算得，， 两根均为整数，为整数， ， 解得或 ． 9．（25-26八年级下·安徽亳州·期末）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)求的取值范围； (2)当时， ①求的值； ②求的值． 【答案】(1)且 (2)①；② 【分析】（1）由一元二次方程定义及根与判别式关系求解即可； （2）由一元二次方程根与系数关系及根的定义得到相关等式，对所求代数式恒等变形后整体代入计算即可． 【详解】（1）解：是关于的一元二次方程， ，则， 关于的一元二次方程有两个实数根， ，解得， 综上所述，的取值范围是且； （2）解：当时，，整理得， ，是一元二次方程的两个实数根， ， ①； ②． 10．（25-26九年级上·广东江门·期中）设是关于x的方程的两个实数根． (1)求k的取值范围； (2)若，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程根与系数的关系． （1）根据题意可知，方程有两个实数根，则有，从而求出k的取值范围；（2）因为是关于x的方程的两个实数根，所以，，再由，可得，从而求得k的值． 【详解】（1）解：∵方程有两个实数根， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是关于x的方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 11．（25-26九年级上·江西新余·阶段检测）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值时，原方程总有两个不相等的实数根． (2)若，是原方程的两根，且．求m的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查一元二次方程的解、根与系数的关系，熟练掌握利用判别式判断方程解的情况、根与系数的关系是解题的关键． （1）通过计算判别式，方程总有两个不相等的实数根进行证明即可； （2）由韦达定理得，，代入，求出m的值即可． 【详解】（1）证明：判别式为 ， 则无论取何值时，原方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由韦达定理得，， 由于， 则， 解得， 因此m的值为． 12．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）定义：方程（）与方程互为“换位方程”．如一元二次方程的“换位方程”是．已知关于的一元二次方程①：，其中． (1)写出方程①的“换位方程”； (2)求证：当时，方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根； (3)若方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根，求这个公共根及的值． 【答案】(1) (2)当时，对于方程①及其“换位方程”均有 ， ∴方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根． (3)或，或 【分析】（1）根据“换位方程”的定义解答即可； （2）根据一元二次方程根的判别式得出，即可得出结论； （3）把分别代入方程①及其“换位方程”可得，根据时两方程相同得出，解方程得出或，分别代入方程①求出的值即可得出答案． 【详解】（1）解：在方程中，，， ∴方程①的“换位方程”为． （2）解：略 （3）解：∵方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根， ∴，， ， ∴， 当时，方程①与其“换位方程”相同，不符合题意， ∴ 解得：或， 当时，代入方程①得，， 解得：； 当时，代入方程①得，， 解得：． 13．（25-26九年级上·广东韶关·期末）【阅读材料】若关于的一元二次方程（）的两根为，，则，．这就是一元二次方程根与系数的关系．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)【材料理解】一元二次方程的两根为，，则_______，_______； (2)【类比运用】已知关于的一元二次方程．若方程的两个实数根为，，满足，求的值． 【答案】(1) ， (2) 或 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，关键是熟练应用知识点解题； （1）根据根与系数的关系求解即可； （2）根据根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵方程的两个实数根为，， ∴， ∵， ∴， 即：， ， 解得：或， ∵， ∴所求值均符合题意． 14．（25-26八年级上·上海普陀·期末）【阅读理解】如果三个实数中有两个数乘积的算术平方根等于第三个数，那么我们把这三个实数称为“组合平方数”． （1）3、6、12_____“组合平方数”；（填“是”或“不是”） （2）如果、n、4是“组合平方数”，那么_____； 【问题探究】在学习一元二次方程时，我们知道一元二次方程的根的情况是由系数确定的． 已知关于的一元二次方程（）有实数根，请回答下列问题． （3）设为有理数，且）为该方程的两根之和，为该方程的两根之积．求证：是“组合平方数”； （4）当时，是“组合平方数”，且．求和的值． 【答案】（1）是 （2） （3）证明过程见详解 （4）或 【分析】本题主要考查算术平方根的运用，理解题意，正确列式计算是关键． （1）根据“组合平方数”的定义，分类计算即可求解； （2）根据“组合平方数”的定义，结合算术平方根中被开方数的特点，算术平方根的结果，分类计算即可求解； （3）分别用含的式子表示出，结合“组合平方数”的定义计算即可； （4）根据“组合平方数”的定义，分类讨论即可． 【详解】解：（1）∵，，， ∴3、6、12是“组合平方数”； 故答案为：是； （2）如果、n、4是“组合平方数”， ∴当时， 解得，； 当时，被开方数小于0，不符合题意，舍去； 当时，由算术平方根是大于等于0的数得到不符合题意，舍去； 故答案为：； （3）证明：已知关于的一元二次方程（）有实数根， ∵设为有理数，且）为该方程的两根之和，为该方程的两根之积，方程的两个根分别用表示， ∴， ∴，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是“组合平方数”； （4）当时，是“组合平方数”，即是“组合平方数”， ∴当时，，，， ∴， 整理得，，则， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴， ∴（负值舍去），即， ∴是“组合平方数”； 当时，，， ∴， 整理得，，则， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴， ∴（负值舍去），即， ∴是“组合平方数”； ∵， ∴不符合题意； 综上所述，或． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $