专题05 勾股定理 章末易错必刷题型专训（60题12个考点）2026-2027学年北师大版八年级数学上册

专题05 勾股定理章末易错必刷题型专训（60题12个考点） 【易错必刷一 用勾股定理解三角形】 1．（25-26八年级下·四川绵阳·期中）一个直角三角形的两直角边长分别为7和24，下列说法正确的是（   ） A．斜边长为625 B．三角形的周长为84 C．斜边长为25 D．三角形的面积为168 【答案】C 【分析】利用勾股定理计算斜边长，再分别计算三角形的周长和面积，即可判断各选项的正误． 【详解】解：∵一个直角三角形的两直角边长分别为和， ∴由勾股定理可得该直角三角形的斜边长为 ， ∴该三角形的周长为， 该直角三角形的面积为， ∴四个选项中只有C选项中的说法正确，符合题意． 2．（25-26八年级下·湖北孝感·期中）如图，在中，，，，则的长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】利用勾股定理求解即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴． 3．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，，，，则的面积为________． 【答案】1 【分析】根据勾股定理求出，再由三角形的面积公式计算即可． 【详解】解∶∵在中，，，， ∴， ∴． 4．（25-26八年级上·四川达州·期末）如图，为等腰直角三角形，，以斜边为直角边作等腰直角三角形，再以为直角边作等腰直角三角形，…，按此规律作下去，则的长度为________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质以及规律型．利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理分别求出各边长，进而得出规律，即可得出答案． 【详解】解：为等腰直角三角形，， ， ， 为等腰直角三角形， ， 为等腰直角三角形， ， 为等腰直角三角形， ， 的长度为， ， 故答案为：． 5．（25-26八年级下·陕西商洛·期中）卸货时用斜坡木板，可以利用斜面原理实现省力搬运．如图，一辆汽车在卸货时，从车厢到地面搭了一个木板，其中，，，求木板的长． 【答案】木板的长为 【分析】利用勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵，，， ∴， 即木板的长为． 【易错必刷二 以直角三角形三边为边长的图形面积】 6．（25-26八年级上·山东济宁·期中）如图，阴影部分为正方形，则阴影部分的面积为（   ） A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，等腰三角形的判定．先证明图中的三角形为等腰直角三角形，再利用勾股定理求出正方形边长的平方即可得出结果． 【详解】解：如图， ∵阴影部分是正方形，所以， ∴， ∴， 又，∴， ∴， ∴正方形的面积． 故选：B． 7．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，以、、向外作正方形，面积依次分别记为、、，若阴影部分面积为12，则的值为（   ） A．48 B．40 C．36 D．32 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的面积，三角形的面积，熟悉相关知识点是正确解答此题的关键． 由勾股定理结合正方形的面积可知，，结合已知可推出，再结合三角形的面积与正方形的面积求解即可． 【详解】解：∵在中，， 由勾股定理得，, 结合正方形的面积可知，即， 又∵阴影部分面积为12，阴影部分与以为边的正方形等底等高， ∴， ∴， 故选：A． 8．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，若正方形的面积为，正方形的面积为，则正方形的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理，解答本题的关键要明确：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和等于斜边长的平方．直接根据勾股定理即可得出结论． 【详解】解：设正方形，，的边长分别为，，， 正方形的面积为，正方形的面积为， ，， 根据勾股定理可得， 正方形的面积． 故答案为：． 9．（25-26八年级上·广东佛山·阶段检测）如图，阴影部分表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，已知，且，则的长为______． 【答案】8 【分析】本题考查的是勾股定理，根据勾股定理得到，根据圆的面积公式、完全平方公式计算即可． 【详解】解：由勾股定理得，， ， ， ， ． 故答案为：8． 10．（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）综合与实践 【问题背景】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观，从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．如图1，在中，，以Rt的三边长向外作正方形的面积分别为． 【解决问题】试猜想之间存在的等量关系，直接写出结论______． 【拓展探究】如图2，如果以的三边长为直径向外作半圆，那么上面的结论是否成立？请说明理由． 【推广应用】如图3，在中，，三边分别为，分别以它的三边为直径向上作半圆，请直接写出图3中阴影部分的面积． 【答案】【解决问题】； 【拓展探究】解：成立，理由如下： 在中，由勾股定理得：， 根据圆的面积公式可得：， ∴； 【推广应用】30 【分析】本题主要考查勾股定理； （1）先分别列式表示出，，，再运用勾股定理可得； （2）先分别列式表示出，，，再运用勾股定理可得； （3）先分别求得三个半圆和的面积，且由勾股定理可得两个小半圆面积的和等于大半圆的面积，再根据图中阴影部分的面积等于两个小半圆和的面积的和减去大半圆的面积进行计算即可． 【详解】[解决问题]解：在中，，，，，由勾股定理得： ， 由正方形面积公式可得：， ∴； 故答案为； [拓展探究]略 [推广应用]解：如图， 根据（2）的结论，两个以直角边为直径的半圆面积等于斜边为直径的半圆面积． 阴影部分的面积直径为5与直径为12的两个半圆面积之和直角三角形的面积直角为13的半圆 直角三角形的面积， 阴影部分的面积． 【易错必刷三 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）】 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）在中，，，则（    ）． A．100 B．200 C．300 D．400 【答案】C 【分析】根据题意，那么AB就为斜边，则根据勾股定理可得：，那么原式则为，再将AB的值代入即可求出答案． 【详解】解：∵在中，且， ∴AB为的斜边， ∴根据勾股定理得：， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，正确对应斜边并能灵活运用勾股定理是解题的关键． 12．（25-26八年级下·河南驻马店·期中）如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线，，上，且，之间的距离为2， ，之间的距离为3 ，则的值是（    ） A．68 B．20 C．32 D．47 【答案】A 【分析】过A、C点作l3的垂线构造出直角三角形，根据三角形全等求出BE＝AD＝3，再由勾股定理求出BC的长，再利用勾股定理即可求出AC的长，最后得到AC2. 【详解】解：如图所示，过A作AD⊥l3于D，过C作CE⊥l3于E， ∵∠ABC=90°， ∴∠ABD+∠CBE=90°， 又∠DAB+∠ ABD=90°， ∴∠BAD=∠CBE， 在△ABD和△BEC中， ， ∴△ABD≌△BCE （AAS） ∴BE=AD=3， 在Rt△BCE中，根据勾股定理，得， 在Rt△ABC中，根据勾股定理，得 . 故答案是68. 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，此题要作出平行线间的距离，构造直角三角形，运用全等三角形的判定和性质以及勾股定理进行计算. 13．（25-26八年级上·江苏·期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，则正方形ADEC与正方形BCFG的面积之和为_____． 【答案】36 【分析】根据勾股定理、正方形的面积公式计算即可． 【详解】在Rt△ACB中，， 则正方形ADEC与正方形BCFG的面积之和 故答案为：36． 【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么． 14．（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，在一次夏令营活动中，小明从营地A出发，沿北偏东53°方向走了400m到达B点，然后再沿北偏西37°方向走了300m到达目的地C.此时A，C两点之间的距离为______m． 【答案】500 【分析】根据BE∥AD，得出∠DAB=∠ABE=53°，再根据平角的定义得出∠FBC+∠CBA+∠ABE=180°，求出∠CBA的度数，判断出△ABC是直角三角形，最后根据勾股定理求出AC的值即可． 【详解】由题意知BE∥AD， ∴∠DAB=∠ABE=53°， ∵∠FBC+∠CBA+∠ABE=180°且∠FBC=37°， ∴∠CBA=90°， ∴△ABC为直角三角形， ∵BC=300，AB=400， ∴AC=（m）． 答：A、C两点之间的距离为500m． 【点睛】此题考查用勾股定理求两点之间的距离，用方位角的知识得到直角三角形是关键． 15．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，点、分别在直线的上方． （1）在直线上找到点，使得最短．（要求：保留作图痕迹，不要求写作法） （2）在（1）的条件下，若点、到直线的距离分别为、，且点在点的东北方向，则的最短距离为______． 【答案】（1）见解析；（2）13． 【分析】（1）作点A关于直线m的对称点，连接，根据两点之间线段最短解题； （2）过点A作AE于点E，延长BD，作于点C，中，利用勾股定理解题． 【详解】解：（1）如图，点P即是所作的点． （2）如图， ， 过点A作AE于点E，延长BD，作于点C， ， 中， 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称的性质、两点之间线段最短、勾股定理等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 【易错必刷四 勾股定理的证明方法】 16．（24-25八年级上·河北保定·阶段检测）利用四个全等的直角三角形可以拼成如下图所示的“赵爽弦图”，在用“赵爽弦图”的面积验证勾股定理时，用到的相等关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的证明，根据面积关系证明勾股定理是解题的关键；根据大正方形的面积等于4个直角三角形的面积与小正方形的面积之和证明即可． 【详解】解：由题意知：大正方形的面积为，小正方形的面积为，直角三角形的面积为， 则， ， 故选：． 17．（24-25八年级上·山西临汾·期末）我们在探究平方差公式“两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差”．即时，利用了如图①的阴影部分面积表示的几何意义，从而验证了的正确性；同样的，在勾股定理的验证过程中，也运用了如图②的图形面积验证其正确性，这种验证方法体现了我们数学的（   ） A．分类讨论思想 B．数形结合思想 C．方程思想 D．类比思想 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式、勾股定理的证明，掌握根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想． 根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想． 【详解】解：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现的数学思想是数形结合思想， 故选：B． 18．（24-25八年级上·福建泉州·阶段检测）将某个图形的面积用不同方法来表示，我们可以写出某些等式，如图，你能写出的等式是 _____________ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的几何证明，解题的关键是用两种方法表示大正方形的面积．用两种方法表示大正方形的面积即可得出答案． 【详解】解：大正方形的边长为c，因此面积可以表示为， 中间小正方形的边长，因此面积可以表示为， 大正方形的面积可以用小正方形的面积加四周四个直角三角形的面积，因此大正方形面积可以表示为： ， ∴． 故答案为：． 19．（24-25八年级下·福建福州·期中）在证明勾股定理时，甲乙两位同学给出了下图所示的两种方案，则方案正确的是__________．（填“甲”或“乙”） 【答案】乙 【分析】本题考查了列代数式及勾股定理与完全平方公式的验证，理解题意，结合图形求解是解题关键．根据图形列代数式即可得出结果． 【详解】解：甲出的结果为：，不符合题意； 乙得出的结果为：，即，符合题意； 故答案为：乙． 20．（25-26八年级下·河北邢台·阶段检测）勾股定理是世界上应用最广泛的定理之一，它的验证方法有很多，图1和图2都是用4个以c为斜边，a，b为直角边的直角三角形拼成的大正方形，空白部分都是正方形． (1)用含a，b的式子表示图1的大正方形的面积：________，用含a，b，c的式子表示图2的大正方形的面积：______； (2)利用（1）中的两个式子，尝试验证勾股定理． 【答案】(1)； (2) 解：由题图可知，两个大正方形的边长都是， ∴两个大正方形的面积相等， ， 化简可得． 【分析】（1）根据题干图将正方形中各小图形面积相加即可； （2）根据两个大正方形的面积相等推导即可． 【详解】（1）解：图1的大正方形的面积； 图2的大正方形的面积； （2）略 【易错必刷五 以弦图为背景的计算题】 21．（24-25八年级下·河南漯河·期中）我国古代著作《周髀算经》中记载了“赵爽弦图”．如图，若勾，弦，则小正方形的面积是（   ） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】A 【分析】本题运用了勾股定理和正方形的面积公式，运用勾股定理和正方形的面积公式可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴小正方形的边长， ∴小正方形的面积． 故选：A． 22．（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，已知正方形、、、的边长分别是12，16，9，12，则最大正方形的边长是（   ） A．20 B．25 C．30 D．35 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用， 先根据勾股定理可得，即可求出，同理可得，接下来求出，则此题可解． 【详解】解：如图所示，根据勾股定理，得， ∵A，B，F都是正方形， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴最大正方形E的边长为25． 故选：B． 23．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图是我国古代著名的赵爽弦图的示意图，其由四个全等的直角三角形拼接成一个正方形，其中，，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理，由全等三角形的性质得，，，，由勾股定理求出，得出，然后再由勾股定理即可求出的值． 【详解】解：∵四个全等的直角三角形拼接成一个正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 24．（24-25八年级上·山东枣庄·阶段检测）如图是在北京召开的国际数学大会的会标，它是由四个相同的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的边长是，每个直角三角形较短的一条直角边的长是，则小正方形的边长为_____． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是知道小正方形的边长等于直角三角形较长直角边减去较小直角边． 先设直角三角形的两直角边分别是，，斜边是，根据勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】解：设大直角三角形的两直角边分别是，，斜边是，则， ∴， ∵大正方形的边长是，每个直角三角形较短的一条直角边的长是， ∴， 解得（舍去负值）， ∴小正方形的边长为：． 故答案为：． 25．（25-26八年级下·广西河池·期中）如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在中，，，，若图中大正方形的面积为42，小正方形的面积为5，求的值． 【答案】 【分析】根据正方形的面积公式和三角形的面积公式即可求出，，然后根据完全平方公式的变形即可求出结论． 【详解】解：小正方形面积= 4个小直角三角形的面积= ∴ ∴ 【点睛】此题考查的是全等三角形的性质和完全平方公式的变形，掌握全等三角形的性质、正方形的面积公式、三角形的面积公式和完全平方公式的变形是解决此题的关键． 【易错必刷六 用勾股定理构造图形解决问题】 26．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）消防云梯的长度是13米，在一次执行任务时，它只能停在离大楼5米远的地方（云梯底端离地面高度忽略不计），则云梯可以达到建筑物的高度是（    ） A．12米 B．13米 C．14米 D．15米 【答案】A 【分析】根据题意画出图形，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图， ∵梯子的底端离建筑物5米，梯子长为13米， ∴（米）． 答：云梯可以达到建筑物的高度是12米． 故选：A． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 27．（25-26八年级下·广西南宁·阶段检测）如图，学校有一块长方形花圃，有少数人为了走“捷径”，在花圃内走出一条不文明的“路”，其实他们仅仅少走了（    ）米，却踩伤了花草. A．1 B．2 C．1.5 D．0.5 【答案】B 【分析】根据勾股定理求出斜边的长，然后求出两直角边和与斜边的差即可． 【详解】如图，在中，已知，所以， 所以他们仅仅少走了． 故选： 【点睛】此题考查勾股定理的应用，解题关键是理解题意，利用勾股定理求出斜边后还需要继续求出多走的部分． 28．（25-26八年级下·广西北海·期中）一根旗杆在离地面12米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部5米处．则旗杆折断之前有__________米． 【答案】25 【分析】由题构造出直角三角形，求出斜边即可． 【详解】构造出直角三角形，如图： （米） 则旗杆长为：（米） 故答案为：25． 【点睛】本题考查实际问题与勾股定理的运用，属于基础题． 29．（25-26八年级下·河南许昌·期末）为了预防新冠疫情，某中学在大门口的正上方A处装着一个红外线激光测温仪离地米（如图所示），当人体进入感应范围内时，测温仪就会显示人体体温．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（米），测温仪自动显示体温，则人体头顶离测温仪的距离AD等于___米． 【答案】1.5 【分析】过点D作，则AE=0.9米，在中，根据勾股定理即可得． 【详解】解：过点D作， ∵AB=2.5米，BE=CD=1.6米，ED=BC=1.2米， ∴（米）， 在中，根据勾股定理得， ， 故答案为：1.5． 【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理． 30．（25-26八年级上·山东枣庄·阶段检测）在图中所示的长方形零件示意图中，根据所给的部分尺寸，求两孔中心A和B的距离（单位：mm） 【答案】130mm 【分析】首先根据题意算出和的长，再利用勾股定理计算出的长即可． 【详解】解：如图所示： 由题意得：（mm），（mm）， 在中：（mm）， 答：两孔中心A、B之间的距离为130mm． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题关键． 【易错必刷七 勾股树（数）问题】 31．（25-26八年级下·河南驻马店·期中）据《周髀算经》记载，我国古人早就发现了“勾股数”并用于生产生活，下列各组数中，是“勾股数”的是（    ） A．2，3，5 B．7，8，9 C．5，12，11 D．8，15，17 【答案】D 【分析】勾股数是指三个正整数，满足两较小数的平方和等于最大数的平方，根据定义逐项验证即可得出答案． 【详解】解：A、，，，不是勾股数，不符合题意； B、，，，不是勾股数，不符合题意； C、，，，不是勾股数，不符合题意； D、，，，是勾股数，符合题意． 32．（25-26八年级下·福建南平·期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别是、、、，则最大正方形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理可得大正方形的面积等于正方形、、、的面积的和，代入数据，即可求解． 【详解】解：如图， 根据勾股定理可得正方形的面积等于正方形的面积， 正方形的面积等于正方形的面积， 正方形的面积等于正方形的面积， ∴大正方形的面积． 33．（24-25八年级上·北京·阶段检测）已知勾股数的两个数分别是，，则勾股数的第三个数是______． 【答案】 【分析】此题考查了勾股数，构成一个直角三角形的三边的一组正整数，叫做勾股数，根据勾股数的定义列式计算即可，熟练掌握勾股数的定义是解题的关键． 【详解】解：设第三个数为， ∵是一组勾股数， 则， ∴，是整数，符合题意； ， ∴，不是整数，不符合题意； 综上可知：勾股数的第三个数是， 故答案为：． 34．（24-25八年级上·四川成都·期中）我们学习了勾股定理后，知道：勾股定理中的“勾”、“股”和“弦”分别指的是直角三角形中较短的直角边，较长的直角边，和直角三角形的斜边． 观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，发现这些勾股数的勾都是从3起就没有间断过的奇数，事实上，勾是3时，股和弦的算式分别是，；勾是5时，股和弦的算式分别是，．根据你发现的规律： （1）当勾是十一时，则股和弦分别为：___；（直接写出结果） （2）根据上述规律，继续观察：6，8，10；8，15，17；…，可以发现这些勾股数的勾都是从6起就没有间断过的偶数，通过探索，请用含m（m为偶数，且）的代数式来表示所有这些勾股数的股为___． 【答案】 60，61 【分析】本题主要考查了勾股数， 对于（1），通过计算，发现规律为：股是勾的平方减1的一半，弦是勾的平方加1的一半，从而写出结果； 对于（2），根据以上探索规律，偶数开头的各组数字，其股是勾的平方的四分之一减1，其弦是勾的平方的四分之一加1． 【详解】解：（1）勾是11时，股和弦的算式分别是； 故答案为：60，61； （2）6，8，10，可以写成； 8，15，17，可以写成， 根据规律，可知这些勾股数的股为：． 故答案为：． 35．（25-26八年级下·河北廊坊·期末）我们知道，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．通过观察常见勾股数“6，8，10”“8，15，17”……猜想一组正整数a，b，，当最小数a为偶数时，另两个正整数b和c满足，，则a，b，c是一组勾股数． (1)根据猜想，一组正整数中，最小数a为10，则另两个数分别是__________，__________； (2)请再举一例证明猜想成立． 【答案】(1)24，26 (2) 证明：若最小数， 则，， ∵ ∴猜想成立． 【分析】本题考查勾股定理的证明． （1）依据材料所给公式，代入计算即可； （2）再任意举例计算即可证明． 【详解】（1）解：当a为10，则，， 故答案为：24，26； （2）略 【易错必刷八 判断三边能否构成直角三角形】 36．（25-26八年级下·北京·期中）以下列长度的三条线段为边能组成直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】根据勾股定理逆定理验证：各选项计算两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，即可判断能否组成直角三角形． 【详解】A、，，，不能组成直角三角形； B、，，，不能组成直角三角形； C、，，，不能组成直角三角形； D、，，，能组成直角三角形． 37．（25-26八年级下·吉林·期末）若是的三边长，且满足，则下列结论正确的是（     ） A．是直角 B．是直角 C．是直角 D．无法判断 【答案】C 【详解】解：∵，由勾股定理逆定理知为斜边，． 38．（25-26八年级下·河北唐山·期末）长度为的铁丝_____围成直角三角形．（填“能”或“不能”） 【答案】能 【分析】此题主要考查勾股定理的逆定理，解题的关键是熟知勾股定理逆定理． 根据勾股定理逆定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴长度分别为的铁丝能围成直角三角形， 故答案为：能． 39．（25-26八年级下·四川绵阳·阶段检测）如图，分别以的三边为直径向三角形外作半圆，图中有阴影的三个半圆的面积的关系为，则是______三角形． 【答案】直角 【分析】本题考查勾股定理逆定理，根据圆的面积公式，结合题意求出是解题关键．分别求出，再结合，即可得出，说明是直角三角形． 【详解】解：∵，，， 又∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 故答案为：直角． 40．（25-26八年级下·河北雄安·期中）如图，在三角形支架中， (1)求的长； (2)判断支架外框的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)为直角三角形，理由如下： 由（1）知，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴ ∴是直角三角形． 【分析】（1）对和运用勾股定理求解即可； （2）证明三边长满足，由勾股定理的逆定理可知，为直角三角形． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在中，，， ∴ 在中，， ∴ ∴的长为； （2）略 【易错必刷九 在网格中判断直角三角形】 41．（25-26八年级下·天津·期末）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，，，三点均在格点上，则的大小是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理以及其逆定理即可得到问题答案． 【详解】解：， ， ∴， ∴是直角三角形， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理以及逆定理的运用，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．熟记勾股定理的内容是解题得关键． 42．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图，已知A、B是两格点，使得为直角三角形的格点C的个数是（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．8个 【答案】C 【分析】分三种情况，，，分别找出格点，即可得出答案． 【详解】解：当时，点、符合要求； 当时，点、符合要求； 当时，点、符合要求； 综上分析可知，使得为直角三角形的格点C的个数是6个，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的判定，分三种情况进行讨论，是解题的关键． 43．（25-26八年级下·广西钦州·阶段检测）如图，在的正方形方格图中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，则是__________三角形． 【答案】直角 【分析】结合网格图，先根据勾股定理求出、和，再根据勾股定理的逆定理即可作答． 【详解】由图可知，，，， ∴， ∴是直角三角形， 故答案为：直角． 【点睛】本题考查的是勾股定理及其逆定理的知识，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 44．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，在由25个边长为1的小正方形拼成的网格中以为边画，使点C在格点上，满足这样条件的点C共_____个． 【答案】8 【分析】如图，在5×5的正方形网格中，以为边画直角，使点C在格点上，即可解得满足这样条件的点C的个数． 【详解】解：根据题意可得以为边画直角，使点C在格点上，满足这样条件的点C共8个． 故答案为8 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，解题时要注意找出所有符合条件的点． 45．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在的正方形网格中，小正方形的顶点叫做格点，按下列要求作图： ①在正方形网格的三条不同的实线上各取一个格点； ②使其中任意两点不在同一格线上； ③连接三个格点，使之构成直角三角形． 请你按照要求，在下面的三个正方形网格中各画出一个直角三角形，并使三个网格中的直角三角形互不全等． 【答案】 如下图所示： 【分析】根据勾股定理及其逆定理即可得到结论． 【详解】解：AB2=12+22=5，BC2=42+22=20，AB2=32+42=25， ∴AB2+ BC2= AB2， ∴△ABC是直角三角形； DE2=12+12=2，EF2=32+32=18，DF2=22+42=20， ∴DE2+ EF2= DF2， ∴△DEF是直角三角形； GH2=12+32=10，HI2=12+32=10，GI2=22+42=20， ∴GH2+ HI2= GI2， ∴△GHI是直角三角形． 【点睛】本题考查了作图应用与设计作图，正确的作出图形是解题的关键． 【易错必刷十 利用勾股定理的逆定理求解】 46．（25-26八年级上·河南平顶山·期中）在中，的对边分别是a，b，c，且 则（   ） A． B． C． D．不是直角三角形 【答案】A 【分析】本题主要考查勾股定理逆定理的运用，理解题意，掌握勾股定理的逆定理的计算是关键． 将给定等式变形后，应用勾股定理的逆定理判断直角． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 由勾股定理的逆定理， 表示边所对的角为直角，即 ， 故选：A． 47．（25-26八年级上·山西太原·期中）如图，五根小棒的长度分别是，，，，．现要将它们摆成两个直角三角形，下列摆法中符合要求的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解． 【详解】解：，， 为两个直角三角形的斜边， 故选：B． 48．（25-26八年级上·江西九江·期中）在中，，，，则______°． 【答案】 90 【分析】本题考查勾股定理逆定理，能够通过勾股定理逆定理得到三角形为直角三角形是解题关键； 先通过三角形三边的长度关系得到三角形为直角三角形，进而可求解． 【详解】解：中，，，， ∴，，， ∴， ∴为直角三角形，且为斜边， ∴， 故答案为：90． 49．（25-26八年级下·内蒙古通辽·期中）如图，点E在边长为13的正方形内，，，求出图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【分析】根据题意证明，得到，据此根据进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴ ∴ ∴． 50．（25-26八年级下·福建厦门·期末）如图，在中，，垂足为D，，，，求证：是直角三角形． 【答案】证明：∵，，， ∴，，， ∴， ∴ ∴，即是直角三角形． 【分析】根据勾股定理以及逆定理求解即可． 【详解】略 【易错必刷十一 勾股定理的实际应用】 51．（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·期中）一块三角形沙地三边长分别为，则这块沙地的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据勾股定理的逆定理判断三角形形状，再利用直角三角形面积公式计算面积即可. 【详解】解：∵， ∴该三角形是直角三角形，两条直角边长分别为和， ∴这块沙地的面积为. 52．（25-26八年级下·广东珠海·期中）如图所示，一轮船以6海里/时的速度从港口出发向东北方向航行，另一轮船以8海里/时的速度同时从港口出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（   ） A．20海里 B．10海里 C．30海里 D．25海里 【答案】A 【分析】如图（见解析），先求出，的长，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，设向东北方向航行的轮船到达地为处，向东南方向航行的轮船到达地为处，连接， 由题意得：，（海里），（海里）， ∴， ∴在中，海里， 即两船相距20海里． 53．（25-26八年级下·四川广安·期中）如图，圆柱的底面周长是，高是，一只蚂蚁在点想吃到点的食物，需要爬行的最短路径是________． 【答案】10 【分析】作出圆柱的侧面展开图，根据两点之间线段最短，可知在展开图中A点和B点连接的线段即为需要爬行的最短路径，再由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，作出圆柱的侧面展开图，连接，，其中， 由题意可知：， ∴需要爬行的最短路径是， ∴由勾股定理得， ∴需要爬行的最短路径是． 54．（25-26八年级上·四川甘孜·期末）如图，学校前面有一条笔直的公路，学生放学后走，两条路可到达公路．经测量，，，现需新修建一条从学校到公路的路，则学校到公路的最短距离为______． 【答案】24 【分析】由勾股定理逆定理得出，再根据计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 55．（25-26八年级下·湖北孝感·期末）我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：如图，有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度与水的深度分别是多少？ 【答案】这根芦苇的长度为尺，水深为尺． 【分析】设水深为尺，则芦苇的长度为尺，根据勾股定理解答． 【详解】解：设水深为尺，则芦苇的长度为尺， ∵水面是一个边长为尺的正方形，芦苇在水池正中央， ∴尺， 在中，, ∴， 解得：， ∴（尺）． 答：这根芦苇的长度为尺，水深为尺． 【易错必刷十二 勾股定理逆定理的实际应用】 56．（25-26八年级上·河南郑州·期末）据记载古埃及人曾用下面的方法得到直角：他们用13个等距的结把一根绳子的一部分分成等长的12段，一个人将绳子的第1个结和第13个结握在一起，另两个人分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，且直角顶点在第4个结处．这样推理的依据是（   ） A．三角形内角和定理 B．勾股定理的逆定理 C．勾股定理 D．直角三角形两锐角互余 【答案】B 【分析】本题先计算出绳子围成三角形的三边长，再判断得到直角三角形的推理依据，用到勾股定理的逆定理的知识点． 【详解】解：设每段绳子的长度为单位1， ∵三角形三边长分别为，，， 又∵，满足三角形两边的平方和等于第三边的平方， ∴依据勾股定理的逆定理可判定该三角形是直角三角形，直角在第4个结处． 因此推理的依据是勾股定理的逆定理． 57．（24-25八年级下·云南红河·期末）据说古埃及人先在一根长绳上打等距离的个结，然后以个结间距、个结间距、个结间距的长度为边长，构成一个三角形（如图），这个三角形其中一个角便是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了勾股定理的逆定理，设结间距为，再根据勾股定理的逆定理即可求解，掌握勾股定理的逆定理的应用是解题的关键． 【详解】解：设结间距为， ∴， ∴这个三角形其中一个角是， 故选：． 58．（25-26八年级下·甘肃武威·阶段检测）为增长学生自然科学知识，培养学生的劳动技能与责任感，实验中学分给各班级一块地，让学生学习种菜．八（1）班分得一块三角形菜地，测得三角形菜地的三边长分别为，则三角形菜地的面积是________． 【答案】7.5 【分析】根据勾股定理的逆定理判断三角形的形状，再利用直角三角形的面积公式计算面积即可． 【详解】解：. 该三角形为直角三角形，两条直角边长分别为和. 三角形菜地的面积为． 59．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图是某品牌婴儿车及其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即），则该车_____（填“符合”或“不符合”）安全标准． 【答案】符合 【分析】先在中利用勾股定理求出，然后由以及勾股定理的逆定理得即可得答案． 【详解】解：在中，，dm，dm， 由勾股定理，得 因为dm，dm， 所以， 所以， 所以，即， 所以该婴儿车符合安全标准． 60．（25-26八年级下·河南洛阳·期中）为落实教育部中小学生劳动教育要求，某学校将校内如图所示的四边形空地改造成校园劳动实践基地．为了精准规划种植区域，需先测算空地相关数据．经测量，米，米，米，米，． (1)为方便分区管理，学校计划在、两点之间搭建篱笆，至少需要多少米的篱笆． (2)请计算出这块劳动实践基地的总面积，为后续的种植规划提供数据支持． 【答案】(1)至少需要米的篱笆 (2)这块劳动实践基地的总面积为平方米 【分析】（1）在中利用勾股定理求即可； （2）先由勾股定理逆定理证明是直角三角形，即可以为底，为高计算面积，再计算面积，最后把两个面积相加即为总面积． 【详解】（1）解：如图，连接， 在中，， ∵，， ∴； 答：至少需要10米的篱笆； （2）解：∵，，， ，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∵， ∴． 答：这块劳动实践基地的总面积为平方米． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 勾股定理章末易错必刷题型专训（60题12个考点） 【易错必刷一 用勾股定理解三角形】 1．（25-26八年级下·四川绵阳·期中）一个直角三角形的两直角边长分别为7和24，下列说法正确的是（   ） A．斜边长为625 B．三角形的周长为84 C．斜边长为25 D．三角形的面积为168 2．（25-26八年级下·湖北孝感·期中）如图，在中，，，，则的长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 3．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，，，，则的面积为________． 4．（25-26八年级上·四川达州·期末）如图，为等腰直角三角形，，以斜边为直角边作等腰直角三角形，再以为直角边作等腰直角三角形，…，按此规律作下去，则的长度为________． 5．（25-26八年级下·陕西商洛·期中）卸货时用斜坡木板，可以利用斜面原理实现省力搬运．如图，一辆汽车在卸货时，从车厢到地面搭了一个木板，其中，，，求木板的长． 【易错必刷二 以直角三角形三边为边长的图形面积】 6．（25-26八年级上·山东济宁·期中）如图，阴影部分为正方形，则阴影部分的面积为（   ） A．16 B．8 C．4 D．2 7．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，以、、向外作正方形，面积依次分别记为、、，若阴影部分面积为12，则的值为（   ） A．48 B．40 C．36 D．32 8．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，若正方形的面积为，正方形的面积为，则正方形的面积为______． 9．（25-26八年级上·广东佛山·阶段检测）如图，阴影部分表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，已知，且，则的长为______． 10．（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）综合与实践 【问题背景】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观，从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．如图1，在中，，以Rt的三边长向外作正方形的面积分别为． 【解决问题】试猜想之间存在的等量关系，直接写出结论______． 【拓展探究】如图2，如果以的三边长为直径向外作半圆，那么上面的结论是否成立？请说明理由． 【推广应用】如图3，在中，，三边分别为，分别以它的三边为直径向上作半圆，请直接写出图3中阴影部分的面积． 【易错必刷三 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）】 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）在中，，，则（    ）． A．100 B．200 C．300 D．400 12．（25-26八年级下·河南驻马店·期中）如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线，，上，且，之间的距离为2， ，之间的距离为3 ，则的值是（    ） A．68 B．20 C．32 D．47 13．（25-26八年级上·江苏·期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，则正方形ADEC与正方形BCFG的面积之和为_____． 14．（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，在一次夏令营活动中，小明从营地A出发，沿北偏东53°方向走了400m到达B点，然后再沿北偏西37°方向走了300m到达目的地C.此时A，C两点之间的距离为______m． 15．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，点、分别在直线的上方． （1）在直线上找到点，使得最短．（要求：保留作图痕迹，不要求写作法） （2）在（1）的条件下，若点、到直线的距离分别为、，且点在点的东北方向，则的最短距离为______． 【易错必刷四 勾股定理的证明方法】 16．（24-25八年级上·河北保定·阶段检测）利用四个全等的直角三角形可以拼成如下图所示的“赵爽弦图”，在用“赵爽弦图”的面积验证勾股定理时，用到的相等关系是（    ） A． B． C． D． 17．（24-25八年级上·山西临汾·期末）我们在探究平方差公式“两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差”．即时，利用了如图①的阴影部分面积表示的几何意义，从而验证了的正确性；同样的，在勾股定理的验证过程中，也运用了如图②的图形面积验证其正确性，这种验证方法体现了我们数学的（   ） A．分类讨论思想 B．数形结合思想 C．方程思想 D．类比思想 18．（24-25八年级上·福建泉州·阶段检测）将某个图形的面积用不同方法来表示，我们可以写出某些等式，如图，你能写出的等式是 _____________ ． 19．（24-25八年级下·福建福州·期中）在证明勾股定理时，甲乙两位同学给出了下图所示的两种方案，则方案正确的是__________．（填“甲”或“乙”） 20．（25-26八年级下·河北邢台·阶段检测）勾股定理是世界上应用最广泛的定理之一，它的验证方法有很多，图1和图2都是用4个以c为斜边，a，b为直角边的直角三角形拼成的大正方形，空白部分都是正方形． (1)用含a，b的式子表示图1的大正方形的面积：________，用含a，b，c的式子表示图2的大正方形的面积：______； (2)利用（1）中的两个式子，尝试验证勾股定理． 【易错必刷五 以弦图为背景的计算题】 21．（24-25八年级下·河南漯河·期中）我国古代著作《周髀算经》中记载了“赵爽弦图”．如图，若勾，弦，则小正方形的面积是（   ） A．4 B．5 C．8 D．10 22．（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，已知正方形、、、的边长分别是12，16，9，12，则最大正方形的边长是（   ） A．20 B．25 C．30 D．35 23．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图是我国古代著名的赵爽弦图的示意图，其由四个全等的直角三角形拼接成一个正方形，其中，，则的值是______． 24．（24-25八年级上·山东枣庄·阶段检测）如图是在北京召开的国际数学大会的会标，它是由四个相同的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的边长是，每个直角三角形较短的一条直角边的长是，则小正方形的边长为_____． 25．（25-26八年级下·广西河池·期中）如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在中，，，，若图中大正方形的面积为42，小正方形的面积为5，求的值． 【易错必刷六 用勾股定理构造图形解决问题】 26．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）消防云梯的长度是13米，在一次执行任务时，它只能停在离大楼5米远的地方（云梯底端离地面高度忽略不计），则云梯可以达到建筑物的高度是（    ） A．12米 B．13米 C．14米 D．15米 27．（25-26八年级下·广西南宁·阶段检测）如图，学校有一块长方形花圃，有少数人为了走“捷径”，在花圃内走出一条不文明的“路”，其实他们仅仅少走了（    ）米，却踩伤了花草. A．1 B．2 C．1.5 D．0.5 28．（25-26八年级下·广西北海·期中）一根旗杆在离地面12米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部5米处．则旗杆折断之前有__________米． 29．（25-26八年级下·河南许昌·期末）为了预防新冠疫情，某中学在大门口的正上方A处装着一个红外线激光测温仪离地米（如图所示），当人体进入感应范围内时，测温仪就会显示人体体温．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（米），测温仪自动显示体温，则人体头顶离测温仪的距离AD等于___米． 30．（25-26八年级上·山东枣庄·阶段检测）在图中所示的长方形零件示意图中，根据所给的部分尺寸，求两孔中心A和B的距离（单位：mm） 【易错必刷七 勾股树（数）问题】 31．（25-26八年级下·河南驻马店·期中）据《周髀算经》记载，我国古人早就发现了“勾股数”并用于生产生活，下列各组数中，是“勾股数”的是（    ） A．2，3，5 B．7，8，9 C．5，12，11 D．8，15，17 32．（25-26八年级下·福建南平·期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别是、、、，则最大正方形的面积是（   ） A． B． C． D． 33．（24-25八年级上·北京·阶段检测）已知勾股数的两个数分别是，，则勾股数的第三个数是______． 34．（24-25八年级上·四川成都·期中）我们学习了勾股定理后，知道：勾股定理中的“勾”、“股”和“弦”分别指的是直角三角形中较短的直角边，较长的直角边，和直角三角形的斜边． 观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，发现这些勾股数的勾都是从3起就没有间断过的奇数，事实上，勾是3时，股和弦的算式分别是，；勾是5时，股和弦的算式分别是，．根据你发现的规律： （1）当勾是十一时，则股和弦分别为：___；（直接写出结果） （2）根据上述规律，继续观察：6，8，10；8，15，17；…，可以发现这些勾股数的勾都是从6起就没有间断过的偶数，通过探索，请用含m（m为偶数，且）的代数式来表示所有这些勾股数的股为___． 35．（25-26八年级下·河北廊坊·期末）我们知道，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．通过观察常见勾股数“6，8，10”“8，15，17”……猜想一组正整数a，b，，当最小数a为偶数时，另两个正整数b和c满足，，则a，b，c是一组勾股数． (1)根据猜想，一组正整数中，最小数a为10，则另两个数分别是__________，__________； (2)请再举一例证明猜想成立． 【易错必刷八 判断三边能否构成直角三角形】 36．（25-26八年级下·北京·期中）以下列长度的三条线段为边能组成直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 37．（25-26八年级下·吉林·期末）若是的三边长，且满足，则下列结论正确的是（     ） A．是直角 B．是直角 C．是直角 D．无法判断 38．（25-26八年级下·河北唐山·期末）长度为的铁丝_____围成直角三角形．（填“能”或“不能”） 39．（25-26八年级下·四川绵阳·阶段检测）如图，分别以的三边为直径向三角形外作半圆，图中有阴影的三个半圆的面积的关系为，则是______三角形． 40．（25-26八年级下·河北雄安·期中）如图，在三角形支架中， (1)求的长； (2)判断支架外框的形状，并说明理由． 【易错必刷九 在网格中判断直角三角形】 41．（25-26八年级下·天津·期末）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，，，三点均在格点上，则的大小是（    ）    A． B． C． D． 42．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图，已知A、B是两格点，使得为直角三角形的格点C的个数是（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．8个 43．（25-26八年级下·广西钦州·阶段检测）如图，在的正方形方格图中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，则是__________三角形． 44．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，在由25个边长为1的小正方形拼成的网格中以为边画，使点C在格点上，满足这样条件的点C共_____个． 45．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在的正方形网格中，小正方形的顶点叫做格点，按下列要求作图： ①在正方形网格的三条不同的实线上各取一个格点； ②使其中任意两点不在同一格线上； ③连接三个格点，使之构成直角三角形． 请你按照要求，在下面的三个正方形网格中各画出一个直角三角形，并使三个网格中的直角三角形互不全等． 【易错必刷十 利用勾股定理的逆定理求解】 46．（25-26八年级上·河南平顶山·期中）在中，的对边分别是a，b，c，且 则（   ） A． B． C． D．不是直角三角形 47．（25-26八年级上·山西太原·期中）如图，五根小棒的长度分别是，，，，．现要将它们摆成两个直角三角形，下列摆法中符合要求的是（   ） A． B． C． D． 48．（25-26八年级上·江西九江·期中）在中，，，，则______°． 49．（25-26八年级下·内蒙古通辽·期中）如图，点E在边长为13的正方形内，，，求出图中阴影部分的面积是______． 50．（25-26八年级下·福建厦门·期末）如图，在中，，垂足为D，，，，求证：是直角三角形． 【易错必刷十一 勾股定理的实际应用】 51．（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·期中）一块三角形沙地三边长分别为，则这块沙地的面积为（    ） A． B． C． D． 52．（25-26八年级下·广东珠海·期中）如图所示，一轮船以6海里/时的速度从港口出发向东北方向航行，另一轮船以8海里/时的速度同时从港口出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（   ） A．20海里 B．10海里 C．30海里 D．25海里 53．（25-26八年级下·四川广安·期中）如图，圆柱的底面周长是，高是，一只蚂蚁在点想吃到点的食物，需要爬行的最短路径是________． 54．（25-26八年级上·四川甘孜·期末）如图，学校前面有一条笔直的公路，学生放学后走，两条路可到达公路．经测量，，，现需新修建一条从学校到公路的路，则学校到公路的最短距离为______． 55．（25-26八年级下·湖北孝感·期末）我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：如图，有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度与水的深度分别是多少？ 【易错必刷十二 勾股定理逆定理的实际应用】 56．（25-26八年级上·河南郑州·期末）据记载古埃及人曾用下面的方法得到直角：他们用13个等距的结把一根绳子的一部分分成等长的12段，一个人将绳子的第1个结和第13个结握在一起，另两个人分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，且直角顶点在第4个结处．这样推理的依据是（   ） A．三角形内角和定理 B．勾股定理的逆定理 C．勾股定理 D．直角三角形两锐角互余 57．（24-25八年级下·云南红河·期末）据说古埃及人先在一根长绳上打等距离的个结，然后以个结间距、个结间距、个结间距的长度为边长，构成一个三角形（如图），这个三角形其中一个角便是（   ） A． B． C． D． 58．（25-26八年级下·甘肃武威·阶段检测）为增长学生自然科学知识，培养学生的劳动技能与责任感，实验中学分给各班级一块地，让学生学习种菜．八（1）班分得一块三角形菜地，测得三角形菜地的三边长分别为，则三角形菜地的面积是________． 59．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图是某品牌婴儿车及其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即），则该车_____（填“符合”或“不符合”）安全标准． 60．（25-26八年级下·河南洛阳·期中）为落实教育部中小学生劳动教育要求，某学校将校内如图所示的四边形空地改造成校园劳动实践基地．为了精准规划种植区域，需先测算空地相关数据．经测量，米，米，米，米，． (1)为方便分区管理，学校计划在、两点之间搭建篱笆，至少需要多少米的篱笆． (2)请计算出这块劳动实践基地的总面积，为后续的种植规划提供数据支持． 学科网（北京）股份有限公司 $