2.1 等式性质与不等式性质 同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册（河南专用）

**基本信息** 分层明确且梯度合理，以“基础巩固+拔高提升”为路径，覆盖不等式性质从概念理解到综合应用，适配新授课知识内化与能力进阶需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础题|单一性质应用（比较大小、命题真假判断）|单选题1-6直接考查性质辨析，填空题11强化作差法应用，贴合课时基础目标| |拔高题|综合性质与逻辑推理（参数范围、充要条件证明）|★7-8结合多性质交叉应用，★15通过证明题发展推理能力，体现数学思维的严谨性|

2.1等式性质与不等式性质同步练（河南专用） 教材知识梳理 不等关系与不等式 （1）两个实数比较大小的方法 ①作差法 横线上为______ ②作商法 （2）不等式的性质 ①对称性：________； ②传递性：，________； ③可加性：，，； ④可乘性：，；，； ⑤可乘方：________（，）； ⑥可开方：（，）． 【答案】 ；； 同步练（最新河南同步考题，题号前加“★”的为拔高题目） 一、单选题 1．（2025高二上·河南·学业考试）若，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据不等式的性质对各个选项分析判断可得结果. 【详解】对于A：取，显然有，所以A不正确； 对于B：取，则，所以B不正确； 对于C：因为，由不等式的性质，得，所以C不正确； 对于D：由，由不等式的传递性得，故D正确. 故选：D. 2．（25-26高一上·河南郑州·期中）已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由不等式性质判断AD选项，作差法和不等式性质得到B正确，举出反例得到C错误. 【详解】A选项，，故，两边同除以得 ，即，两边同加上得，A错误； B选项，， 因为，所以， 则，，B正确； C选项，不妨设，则，C错误； D选项，两边同乘以得，D错误. 故选：B 3．（25-26高一上·河南郑州·期中）已知，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．必要不充分条件 D．充分不必要条件 【答案】D 【分析】根据充分条件、必要条件的定义及不等式的性质判断即可. 【详解】由，则，得到，故充分性成立； 由不一定得到，当时，，故必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：D 4．（25-26高一上·河南焦作·阶段检测）已知，比较和的大小关系（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用作差法比较大小即可. 【详解】由， 则. 故选：D 5．（25-26高一上·河南新乡·期中）下列不等式是成立的充分条件的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用特殊值法，利用充分条件的概念判断ABD，利用不等式的性质和充分条件的概念判断C. 【详解】对于A，当时，满足，但是，故A错误； 对于B，当时，由得，故B错误； 对于C，若成立，则有，进而有，故C正确； 对于D，当时，满足，但是，故D错误. 故选：C. 6．（24-25高三上·河南驻马店·阶段检测）若，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对A，当时可判断；对B，当时和两种情况讨论；对C，当时可判断；对D，当，时可判断. 【详解】对A，当时，，故A错误； 对B，当时， 当时，，则，故B正确； 对C，当时，，故C错误； 对D，当，时，，故D错误. 故选：B ★7．（25-26高一上·河南郑州·期中）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式的性质求解. 【详解】由题知，所以，A错误； 因为，所以，B错误； 因为，所以，C错误； 因为，所以，D正确. 故选：D． ★8．（25-26高一上·湖北孝感·开学考试）已知实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】方法一：利用待定系数法，结合不等式的基本性质可求得的取值范围. 方法二：利用双换元法，结合不等式的性质求得正确答案. 【详解】方法一：设，则， 所以解得即 ， 因为则 因此． 方法二：设，则， 所以， 又因为，所以， 因此． 故选：D 二、多选题 9．（25-26高一上·湖南常德·期末）如果，，，，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】利用举反例来判断AC，利用不等式性质来判断BD. 【详解】当时，，此时，故A错误； 当时，，所以，故B正确； 当时，，此时，故C错误； 因为，所以，则由两边同时除以，即可得，故D正确； 故选：BD ★10．（25-26高一上·河南南阳·期中）对于实数，，，正确的命题是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则， D．若，，则 【答案】ABD 【分析】利用作差法，作商法和特值法依次判断选项即可. 【详解】对选项A，因为，所以，， 所以，故A正确； 对选项B，，，所以， 因为，所以，即，故B正确； 对选项C，令，，满足，不满足，.故C错误； 对选项D，因为，， 所以，故D正确. 故选：ABD 三、填空题 11．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知，且，则______.（填中最恰当的一个） 【答案】 【分析】利用作差法，比较大小， 即可得答案. 【详解】由，则， ， 故， 故答案为： ★12．（25-26高一上·河南·阶段检测）若，，则的取值范围是_________________. 【答案】 【分析】根据不等式的性质即可计算出的取值范围. 【详解】显然，故，故，故取值范围为. 故答案为: ★13．（25-26高三·全国·一轮复习）已知，，则的取值范围为________. 【答案】 【分析】由待定系数法可得，利用不等式性质求解即可. 【详解】设， 则， 令，解得， 故， 因为，， 所以， 所以，即， 所以的取值范围为. 故答案为： 四、解答题 14．（24-25高一上·河南信阳·阶段检测）（1）试比较与的大小 （2）已知，，求，的取值范围. 【答案】（1）；（2）； 【分析】（1）作差法比较即可； （2）由不等式的性质计算即可. 【详解】（1）因为 所以. （2）因为，所以， 所以； 因为，所以， 所以. ★15．（25-26高一上·河南焦作·阶段检测）设a，b，c，d均为正实数，且，证明： (1)若，则； (2)的充要条件是. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）要证，只需证 ，平方后结合条件即可证明； （2）分别证充分性和必要性即可. 【详解】（1）因为，， 由题设，，得. 因此. （2）（ⅰ）若，则.即. 因为，所以，由（1）得. （ⅱ）若，则， 即. 因为，所以， 于是. 因此. 综上，的充要条件是. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $2.1等式性质与不等式性质同步练（河南专用) 教材知识梳理 不等关系与不等式 (1)两个实数比较大小的方法 a-b>0= a,b∈R, ①作差法 a-b=0= a,b∈R, a-b<0 a,b∈R; 横线上为 >1=a>bla∈R,b>0l, 6 ②作商法 =1=a=ba∈R,b>0l, b <1aa<ba∈R,b>0. b (2)不等式的性质 ①对称性：a>b一 ②传递性：a>b,b>c→ ③可加性：a>ba+c>b+c,a>b,c>d→a+c>b+d: ④可乘性：a>b,c>0→ac>bc:a>b>0,c>d>0→ac>bd: ⑤可乘方：a>b>0→(n∈N,n≥1)： ⑥可开方：a>b>0→Va>Vb(n∈N,n≥2). 同步练（最新河南同步考题，题号前加“★”的为拔高题目） 一、单选题 1.(2025高二上·河南·学业考试)若a,b,c∈R,则下列命题为真命题的是() A.若a>b,则a2>b2 B.若a>b,则ac2>bc2 C.若a<b<0,则a<ab D.若a>b,b>c,则a>c 2.(25-26高一上·河南郑州期中)已知a<b<0<c,则下列不等式一定成立的是() A.1tc<1+c B. bc-b b a c-a 试卷第1页，共3页 C.ab≤c2 D.ac>bc 3.(25-26高一上河南郑州·期中)已知a,b,c∈R,则“ac>bc”是“a>b”的 () A.充要条件 B.既不充分也不必要条件 C.必要不充分条件 D.充分不必要条件 4.(25-26高一上·河南焦作·阶段检测)已知a∈R,比较M=a2+3a-1和N=2a-2的 大小关系() A.M≤N B.M<N c.M≥N D.M>N 5.(25-26高一上河南新乡·期中)下列不等式是a>b成立的充分条件的是() A.a2>b2 B.ac>bc C.ac2>bc2 D.a>b 6.(24-25高三上河南驻马店阶段检测)若a>b>0,则下列结论一定成立的是（) 1、1 A.ab>ab2 B.- ab ab C.a'<b3 D.a-c>c-b ★7.(25-26高一上河南郑州期中)若a>-b>0,则() A.a<b b71 B. C.a<-b D.ab>b2 a ★8.(25-26高一上湖北孝感开学考试)已知实数x,y满足1≤x+y≤4，-1≤x-y≤2， 则4x-2y的取值范围是() A.-4≤4x-2y≤10 B.-3≤4x-2y≤6 C.-5≤4x-2y≤13 D.-2≤4x-2y≤10 二、多选题 9.(25-26高一上湖南常德·期末)如果a,b,c,d∈R,ab≠0，则下列说法正确的是 () A.若a>b,则上<是 B.若ac2>bc2,则a>b a b C.若a>b,c>d,则ac>bd 11 D.若a>b,则 ab2 ab ★10.(25-26高一上河南南阳期中)对于实数0，b,C,正确的命题是() 试卷第2页，共3页 A.若a>b,则a>a+b>b 2 B.若a>b>0,则a>ab>b c.若1 a>6,则a>0,b<0 D.若a>b>0,c>0,则只>a+c bb+c 三、填空题 1+a1+6Ns,0+b 1山.（2526商-b上海阶段检利)已如0<a合且M=。b 1+a1+b 则MN.(填>，≥，=，<，≤中最恰当的一个) ★12.2526商-上河南阶段检测)若-3<X≤-1,27<y≤81，则支的取值范国是 ★13.(25-26高三全国一轮复习)已知1≤x+y≤2，-2≤x-y≤1，则x-2y的取 值范围为 四、解答题 14.（2425高一上：河南信阳阶段检测)(1)试比较x+1x+5与x+3的大小 (2)已知4≤x≤5,2≤y≤3，求-y,X的取值范围. ★15.(25-26高一上河南焦作阶段检测)设a,b,c,d均为正实数，且a+b=c+d, 证明： (1)若ab>cd,则a+b>c+Vd: 2ya+b>c+a的充要条件是la-b<lc-d 试卷第3页，共3页