上册 2.1 一元二次方程及其解法、根与系数的关系-【追梦之旅 · 初中同步铺路卷】2026-2027学年九年级数学单元检测卷（北师大版·河南专版）

动轨迹是射线CG,根据垂线段最短可知，当GH⊥CG 时，GH的值最小。DH=2CD=2,CH=CD-DH=3 3 -2=1,最小值=2 29 12.证明：.四边形ABCD是矩形，∴.∠DAB=∠B=90°。. DE⊥AF,.∠DAB=∠AGD=90°，.∠BAF+∠DAF= 90°，∠ADE+∠DAF=90°，∴.∠BAF=∠ADE,(4分) .:AF=DE,∴.△ABF≌△DAE(AAS),∴.AB=AD,.四边 形ABCD是正方形。 (8分) 13.证明：如图，.四边形ABCD为正方 形，∴.DC=CB,∠DCB=90°，∠DCF=D下 62》 ∠BCF=45°，在△DFC与△BFC中 (DC=CB ∠DCF=∠BCF, CF=CF ∴.△DFC≌△BFC(SAS),.∠1=∠6。BH为中线， BH=GH,.∠3=∠4。L4=L5,∠5+∠6=90°，.∠1+ ∠3=90°，即BF⊥BH。 (9分) 14.(1)证明：DE⊥BC,.∠DFB=90°，∠ACB=90°，∴. ∠ACB=∠DFB,∴.AC∥DE,.·MN∥AB,即CE∥AD,∴.四 边形ADEC是平行四边形，：.CE=AD: (3分) (2)解：四边形BECD是菱形， (4分) 理由是：D为AB中点，∴.AD=BD,·CE=AD,∴.BD= CE,:BD∥CE,四边形BECD是平行四边形，： ∠ACB=90°，D为AB中点，∴.CD=BD,∴.四边形BECD 是菱形： (7分) (3)解：当∠A=45时，四边形BECD是正方形，(8分) 理由：∠ACB=90°，∠A=45°，∴.∠ABC=45°，由(2) 可知，四边形BECD是菱形，∴.LABC=∠CBE=45°，∴ ∠DBE=90°，∴.四边形BECD是正方形。 (10分) 第二章一元二次方程 一元二次方程及其解法、根与系数的关系 1.D 2.D【解析】整理，得x2-mx+1=0,一次项的系数为-2， ∴.-m=-2,解得m=2。故选D。 3.D4.D 5.B【解析】设原来的方程为ax2+bx+c=0(a≠0)，由题 知，6 =6+1=7,。=-2×(-5)=10,所以6=-7a,c= 10a,所以原来的方程为ax2-7ax+10a=0,当a=1时，x2 7x+10=0。故选B。 6.B 7.A 【易错提醒】本题主要考查三角形三边关系、等腰三角形 的定义及解一元二次方程，在解出方程后，分类讨论，然 后要根据三角形的三边关系判断三角形是否存在，最后 得出结论。 8.B 9.010.202811.3x-4-5=012.第二象限 13.解：(1)直接开平方，得x-3=±5。 (2分) x1=8或x2=-2; (4分) (2)移项，得x2+3x=1。 (5分) 配方，得(x+2) (6分) 3 直接开平方，得x+ 2或3-3 名-3 2； (8分) (3)移项，得5x2-9x-18=0。 a=5,b=-9,c=-18,△=b2-4ac=441。 (10分) x=-bt√6-4ac_9±V49±21 2a 2x5 2x5 追梦之旅铺路卷·九年 即x1=3或x=5 6 (12分) (4)a=3,b=-9,c=1,4=b2-4ac=69。 (14分) x=-bt-4ae_9±v6丽 2a 2x3,即￥，=9+V6丽 或x2= 6 9-/69 (16分) 6 由题意，得4=3-4×1X(-2)≥0，解 (4分) (2):方程x2+3x+k-2=0的两个实数根分别为x1,x2, .x1+x2=-3,x1x2=k-2。（x1+1)(x2+1)=-1,.x1x2 +(x1+x2)+1=-1,.k-2+(-3)+1=-1,解得k=3。 (9分) 15.解：(1)x2+2x-3=(x+3)(x-1)； (2分) (2)x2-4x+3=0,(x-3)(x-1)=0,x-3=0或x-1=0,所 以x1=3,x2=1； （5分) (3)5x2+7x-6=0,(5x-3)(x+2)=0,5x-3=0或x+2= 0,所以x=5为=二2。 (9分) 一元二次方程的应用 1.C 【方法点拔】列一元二次方程解决平均增长（降低）率问 题：a(1±x)2=b,其中a为原有基础量，x为两次平均增 长（降低）率，b为增长（降低）后的现有量。 2.D 3.C【解析】设劳动基地中的道路宽为x米，由题意得， （34-2x)(18-x)=480,解得x1=2,x2=33(不符合题意， 舍去)。故选C。 4.C【解析】设涨价t元，根据题意列方程得：(10+t-8) (20-10x0与)=700(2+0(10-)=35，解得4=3,4 =5,.10+3=13(元)或10+5=15（元），即售价为13或 15元时，每天的利润可得到700元。故选C。 5.C 6.C【解析】设四个数中最小数为x,则其他三个数为x+ 1,x+7,x+8,由题意，得x(x+8)=153,解得x1=-17(舍 去)，x2=9,∴.x+1=10,x+7=16,x+8=17,9+10+16+17 =52,∴.这四个数的和为52。故选C。 路 7.(40-x)(20+2x)=1200 8.1【解析】设AB长为xm,则BC长为(5+1-2x)m。依题 意得x(5+1-2x)=4,整理得x2-3x+2=0,解方程得x1= 手 1,x2=2。当x=1时，6-2x=4;当x=2时，6-2x=2(舍 去)。∴.AB的长为1m。 案 9.14【解析】设A组共有x个班，依题意得 2x(x-1)= 21,解得x1=7,x2=-6(舍去)，∴.2×7=14（个）。 10.解：设剪掉的正方形纸片的边长为xcm。由题意，得 (30-2x)(20-2x)=264。整理，得x2-25x+84=0。解方 程，得x1=4,x2=21(不符合题意，舍去)。答：剪掉的正 方形的边长为4cm。 (9分) 11.解：(1)设x秒后，PQ=2√10，BP2+BQ2=PQ2,∴(5- x)2+(2x)2=(2√10)2，解得x1=3,x2=-1(舍去)， （4分) .3秒后，PQ的长度等于2√/10cm; (5分) (2)△PQB的面积不能等于7cm, (6分) 原因如下：设t秒后，△PQB的面积等于7cm2,则PB=5 -t,QB=2L,又SAB=7×BPXQB=7,2×(5-t)×2t= 7,∴.t2-5t+7=0, (7分) 4=(-5)2-4×1×7=-3<0,.方程没有实数根， △PQB的面积不能等于7cm2。 (9分) 及·BS·数学第32页第二章 一元二次方程及其 测试时间：40分钟 一、选择题（每小题3分，共24分） 1.下列方程中，一定是关于x的一元二次方程 的是( ) A.x2-y=2 B.2x22 =x C.ax2-3x+3=0 D.3x2-2x=2x2 2.一元二次方程2x2-(m+1)x+1=x(x-1)化 成一般形式后一次项的系数为-2，则m的 值为() A.-1 B.1 C.-2 D.2 3.用配方法解一元二次方程：x2-4x-2=0,可 将方程变形为(x-2)2=n的形式，则n的值 是( A.0 B.2 C.4 D.6 4.老师出示问题：“解方程x2-4=0”,四位同 学给出了以下答案：小琪：x=2;子航：x1=x2 =2;一帆：x1=x2=-2;萱萱：x=±2。你认为 谁的答案正确？你的选择是( A.小琪 B.子航 C.一帆 D.萱萱 5.学习情境·错解问题小影与小冬一起写作 业，在解一道一元二次方程时，小影在化简 过程中写错了常数项，因而得到方程的两个 根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次 项的系数，因而得到方程的两个根是-2和 -5。则原来的方程是( A.x2+6x+5=0 B.x2-7x+10=0 C.x2-5x+2=0 D.x2-6x-10=0 追梦之旅铺路卷·铺路帮手 元二次方程 法、根与系数的关系 测试分数：70分 6.已知a,b,c为常数，点P(a,c)在第四象限， 则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根 的情况为( A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.无法判定 7.数学思想·分类讨论已知等腰△ABC的两 边分别是方程x2-10x+21=0的两个根，则 △ABC的周长为( A.17 B.13 C.11 D.13或17 8.学习情境·接力游戏某数学兴趣小组四人 以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每 人负责完成一个步骤。如图所示，老师看 后，发现有一位同学所负责的步骤是错误 的，则这位同学是( 原方程 甲 2x2+4x-1=0→2x2+4x=1→x2+2x=1→ 丙 丁 x2+2x+1=1+1, x,=2-1 即(x+1)2=2 x2=-2-1 A.甲 B.Z C.丙 D.丁 二、填空题（每小题3分，共12分） 9.已知关于x的一元二次方程x2+3x+m-4=0 的一个实数根是1，那么m= 10.若x1,x2是方程x2-4x-2020=0的两个实 数根，则代数式x2-2x1+2x2的值等 于 11.用因式分解法解一元二次方程(3x-4)2- 25=0时，要转化成两个一元一次方程求 解，其中的一个方程是3x-4+5=0,则另一 个方程是 0 九年级·BS·数学第7页 12.若方程2x2+8x-32=0能配方成(x+p)2+q =0的形式，则直线y=px+q不经过的象限 是 三、解答题（共34分） 13.(16分)解方程。 (1)(x-3)2=25(用直接开方法)； (2)-x2-3x+1=0(用配方法)； (3)5x2-18=9x(用公式法)； (4)3x2-9x+1=0(用适当的方法)。 14.(9分)已知关于x的一元二次方程x2+3x +k-2=0有实数根： (1)求实数k的取值范围； (2)设方程的两个实数根分别为x1,x2,若 (x1+1)(x2+1)=-1,求k的值。 追梦之旅铺路卷·铺路帮手 15.(9分)根据多项式乘法可知(x+p)(x+q) =x2+(p+q)x+p9,从而我们可得十字相乘 法进行因式分解的公式x2+(p+q)x+pq= (x+p)(x+q),比如：x2-5x-6=x2+ (-6+1)x+(-6×1)=（x-6)(x+1)。据此 回答下列问题： (1)将二次三项式x2+2x-3分解因式； (2)解一元二次方程x2-4x+3=0; (3)某数学兴趣小组发现二次项系数不是 1的方程也可以借助此方法解一元二次方 程。如：3x2+x-2=0,方程分解为(x+1) (3x-2)=0,从而可以快速求出方程的解。 请你利用此方法尝试解方程5x2+7x-6 =0。 九年级·BS·数学第8页