2.2.3 用因式分解法求解一元二次方程 同步训练 2026-2027学年 北师大版九年级上册数学

**基本信息** 本练习以“基础巩固-能力提升-综合创新”三层设计，覆盖因式分解法解一元二次方程从基本应用到跨情境综合的知识路径，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层（单选）|直接解方程、方法选择、错误辨析|通过第6题方法选择、第9题解法判断巩固运算规范| |提升层（填空）|整体代换、几何应用|第11题（x²+y²整体求解）、14题（菱形对角线）体现抽象能力| |综合层（解答）|步骤书写、纠错、新定义运算|第20题纠错培养推理严谨性，23题新运算提升创新意识|

2.2.3用因式分解法求解一元二次方程 同步训练 一、单选题（每题3分，共30分） 1．方程的两个根为（　　） A． B． C． D． 2．（初中数学浙教版八下精彩练第二章质量评估卷）用因式分解法解下列方程，正确的是（　　） A． ，则 ，或 B． ，则 ，或 C． ，则 ，或 D． ，则 3．方程（x﹣1）（x+2）＝2（x+2）的根是（　　） A．1，﹣2 B．3，﹣2 C．3 D．1 4．用因式分解法把方程 分解成两个一次方程，正确的是（　　） A． B． C． D． 5．已知实数x，y满足 且 ，则 的值为（　　） A． B． C． D．2 6．一元二次方程5x2﹣2x=0，最适当的解法是（　　） A．因式分解法 B．配方法 C．公式法 D．直接开平方法 7．若关于 的方程 的根是整数，则满足条件的整数 的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．已知一个直角三角形的两边长是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长为（　　） A．3 B． C．3或 D．5或 9．关于x的方程x（x﹣1）＝3（x﹣1），下列解法完全正确的是（　　） A B C D 两边同时除以（x﹣1）得，x＝3 整理得，x2﹣4x＝﹣3∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣3， b2﹣4ac＝28 ∴x＝＝2± 整理得，x2﹣4x＝﹣3配方得，x2﹣4x+2＝﹣1 ∴（x﹣2）2＝﹣1 ∴x﹣2＝±1 ∴x1＝1，x2＝3 移项得，（x﹣3）（x﹣1）＝0∴x﹣3＝0或x﹣1＝0 ∴x1＝1，x2＝3 A．A B．B C．C D．D 10．已知直角三角形的两条直角边的长是方程x2﹣7x+12＝0的两根，则这个直角三角形外接圆的半径（　　） A．7 B．2.5 C． D．5 二、填空题（每空3分，共21分） 11．已知：（x2+y2）（x2+y2﹣1）＝20，那么x2+y2＝　 　． 12．（初中数学浙教版八下精彩练习专题分类突破二用适当的方法解一元二次方程）若代数式x2+5x+6与-x+1的值相等，则x的值为　 　. 13．已知（x+3）（x﹣2）+m＝x2+x，则一元二次方程x2+x﹣m＝0的根是 　 　． 14．若菱形的两条对角线分别是方程x2-14x+48=0的两个实数根，则菱形的边长为　 　． 15． （1）如果（2m+n）2+3（2m+n）=0，则2m+n的值为　 　. （2）若实数x，y满足（x2+y2+2）（x2+y2-1）=0，则x2+y2的值为　 　. 16．对于实数m，n，先定义一种断运算“ ”如下： ，若 ，则实数x的值为　 　. 三、解答题（共8题，共52分） 17．解方程： （1） （2） （3） （4） 18．（初中数学浙教版八下精彩练习专题分类突破二用适当的方法解一元二次方程）选择适当的方法解下列方程： （1）2x2-9x+9=0 （2）（x+4）2=5（x+4） （3）（x+1）2=4x （4）2x2-8x-1=0 19．解方程： （1）2x2﹣3x+1＝0（配方法） （2）x（x﹣2）+x﹣2＝0（因式分解法） 20．以下是小滨在解方程时的解答过程. 解：原方程可化为 解得原方程的解是. 小滨的解答是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程. 21．先化简，再求值： ，其中m为方程 的一根. 22．已知两个整式 ， ． （1）若 的值是1，求 和 的值； （2）若 的值是0，求 的值． 23．定义新运算“”如下：当a≥b时，ab=ab-a；当ab=ab+b. （1）计算：（-2）（-） （2）若2x（x+1）=0，求x的值. 24． （1）用配方法解一元二次方程除了课本的方法，也可以用下面的配方方式： 将 两边同时乘以 并移项，得到 ，两边再同时加上 ，得（ ▲ ）2 .请用这样的方法解方程： ； （2）华裔数学家罗博深在2019年提出了一种全新的一元二次方程解法，对于 ，将等式左边进行因式分解，得到以下形式： （从这里可以看出方程的解为 ， ） 即 因为 ，所以 、 的平均数为 ，不妨设 ， ， 利用 ，得 ，所以 ，即能求出 的值. 举例如下：解一元二次方程 ，由于 ，所以方程的两个根为 ，而 ，解得 ，所以方程的解为 ， . 请运用以上方法解如下方程① ；② 答案解析部分 1．【答案】D 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【解析】【解答】解：∵ ∴ ∴ 故答案为：D． 【分析】利用十字相乘法求出一元二次方程的解即可。 2．【答案】B 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【解析】【解答】解：A、方程的右边不为0，故A错误； B、∵（2x-2）（3x-4）=0，∴2x-2=0或3x-4=0，故B正确； C、方程的右边不为0，故B错误； D、x（x+2）=0，∴x=0或x+2=0，故D错误. 故答案为：B. 【分析】用因式分解法时，方程的右边为0，才可以达到化为两个一元一次方程的目的，据此逐项进行判断，即可得出答案. 3．【答案】B 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【解析】【解答】解：∵， ∴， ∴， 解得或， 故答案为：B． 【分析】先移项，再利用因式分解法求解一元二次方程即可。 4．【答案】C 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【解析】【解答】解：根据题意得， ， ∴ ， ∴ 或 ． 故答案为：C 【分析】先求出，再利用因式分解法求解即可。 5．【答案】A 【知识点】分式的值；因式分解法解一元二次方程 【解析】【解答】解：∵ ，得 ， 即 . ∴ 或 . 即 或 . ∵ ，所以 ， . 故答案为：A. 【分析】原方程可变形为x6-26x3y3-27y6=0，给方程两边同时除以y6，求出的值，根据x2≠y2可得=3，给分式的分子、分母同时除以y2，然后将=3代入计算即可. 6．【答案】A 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【解析】【解答】解：∵在方程5x2-2x=0中，常数项为0， ∴解该方程最适当的方法是“因式分解法”. 故答案为：A. 【分析】观察方程可得常数项为0，利用因式分解法可将方程化为两个一次方程，据此解答. 7．【答案】C 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【解析】【解答】解：当k=0时，原方程为－x+1=0，解得：x=1， ∴k=0符合题意； 当k≠0时，kx2-（k+1）x+1=（kx-1）（x-1）=0， 解得：x1=1，x2=， ∵方程的根是整数， ∴为整数，k为整数， ∴k=±1， 综上所述，满足条件的整数k为0、1和﹣1． 故答案为：C. 【分析】分两种情况：当k=0时，可求出x的值，根据x的值为整数可得出k=0符合题意；k≠0时，利用分解因式法解一元二次方程可求出x的值，再根据x的值为整数结合k的值为整数即可得出k的值．综上即可得出结论． 8．【答案】D 【知识点】因式分解法解一元二次方程；勾股定理 【解析】【解答】解：， 因式分解得：，解得：，， 情况1：当为斜边的长时，此时斜边长为5， 情况2：当，，都为直角边长时，此时斜边长为， 这个直角三角形的斜边长为5或， 故答案为：D． 【分析】利用因式分解法解一元二次方程，再利用勾股定理即可得出答案。 9．【答案】D 【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程 【解析】【解答】解：A.不能两边同时除以（x﹣1），会漏根，故A错误； B.化为一般式，a＝1，b＝-4，c＝3，故B错误； C.利用配方法解答，整理得，x2﹣4x＝﹣3，配方得，x2﹣4x+22＝1，故C错误； D.利用因式分解法解答，完全正确. 故答案为：D. 【分析】当x=1时，不能同时除以x-1，据此判断A；将方程化为一般形式，得到a、b、c的值，据此判断B；根据配方法的步骤可判断C；根据因式分解法可判断D. 10．【答案】B 【知识点】因式分解法解一元二次方程；勾股定理 【解析】【解答】解：x2﹣7x+12＝0， （x﹣3）（x﹣4）＝0， 解得x＝3，x＝4； 所以直角三角形的两条直角边为：3、4， 由勾股定理得：斜边长＝ ＝5； 所以直角三角形的外接圆半径长为2.5， 故答案为：B． 【分析】先求出直角三角形的两条直角边为：3、4，再利用勾股定理计算求解即可。 11．【答案】5 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【解析】【解答】解： （x2+y2）（x2+y2﹣1）＝20， ∴（x2+y2）2-（x2+y2）-20=0， ∴[（x2+y2）-5][（x2+y2）+4]=0， ∴x2+y2-5=0或x2+y2+4=0， ∴x2+y2=5或-4（舍去）. 故答案为：5. 【分析】把x2+y2看作一个整体，解关于x2+y2的一元二次方程，结合x2+y2>0，即可求解. 12．【答案】x1=-1，x2=-5 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【解析】【解答】解：∵ 代数式x2+5x+6与-x+1的值相等 ， ∴x2+5x+6=-x+1 ∴x2+6x+5=0 ∴（x+1）（x+5）=0 解之：x1=-1，x2=-5. 故答案为：x1=-1，x2=-5. 【分析】利用已知条件可得到方程x2+5x+6=-x+1，再利用因式分解法求出方程的解. 13．【答案】或 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【解析】【解答】解：∵（x+3）（x﹣2）+m＝x2+x， ∴， ∵x2+x﹣m＝0， ∴， 解得：或. 故答案为：或. 【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可。 14．【答案】5 【知识点】因式分解法解一元二次方程；菱形的性质 【解析】【解答】解：∵x2-14x+48=0， ∴x=6或x=8， ∴该菱形的对角线长分别为6或8， ∴由勾股定理可知：菱形的边长为=5， 故答案为：5. 【分析】先利用十字相乘法求出x=6或x=8，再利用菱形的性质和勾股定理可得菱形的边长。 15．【答案】（1）0或-3 （2）1 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【解析】【解答】解：（1）∵ （2m+n）2+3（2m+n）=0， ∴（2m+n）（2m+n+3）=0 解之：2m+n=0或2m+n+3=0 ∴2m+n=0或-3. 故答案为：0或-3. （2）∵ （x2+y2+2）（x2+y2-1）=0 ∴x2+y2+2=0或x2+y2-1=0 解之：x2+y2=1或x2+y2=-2， ∵x2+y2≥0 ∴x2+y2=1. 故答案为：1. 【分析】（1）将（2m+n）看着整体，利用因式分解法求出2m+n的值. （2）观察方程，将x2+y2看着整体，可得到x2+y2+2=0或x2+y2-1=0，可求出x2+y2的值；再根据x2+y2≥0，可确定出x2+y2的值. 16．【答案】3 【知识点】解一元一次方程；因式分解法解一元二次方程；定义新运算 【解析】【解答】解：当x≥－2时，x2+x－2=10， 解得：x1=3，x2=－4（不合题意，舍去）； 当x＜－2时，（－2）2+x－2=10， 解得：x=8（不合题意，舍去）； ∴x=3. 故答案为：3. 【分析】当x≥-2时，根据定义的新运算可得x2+x-2=10，求解即可；当x＜-2时，根据定义的新运算可得(-2)2+x-2=10，求解即可. 17．【答案】（1）解：方程分解因式得：（2x＋3）（2x−3）＝0， 可得2x＋3＝0或2x−3＝0， 解得： ； （2）解： ， a=1，b=6，c=-5， ∵△=b2-4ac=62-4×1×（-5）=56>0， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴ ， ∴ （3）解： ， 整理，得： ， 分解因式得：（x− ）2＝0， 解得：x1＝x2＝ ； （4）解： ， 整理，得： ， 分解因式得：（x+2）（x−4）＝0， 解得：x1＝-2，x2＝4. 【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程 【解析】【分析】（1）此方程是一元二次方程的一般形式，方程的左边易于利用平方差公式分解因式，故此题利用因式分解法求解即可； （2）首先求出判别式的值，然后结合求根公式进行计算； （3）首先将方程化为一般形式，发现方程的左边易于利用完全平方公式分解因式，接下来利用直接开平方法进行计算； （4）对右边的式子进行分解，然后移至左边，方程的左边易于利用提取公因式法分解因式，故此题利用因式分解法求解即可. 18．【答案】（1）解：2x2-9x+9=0 ∴（2x-3）（x-3）=0 ∴2x-3=0或x-3=0 解之： x1=3，x2=. （2）解：将原方程转化为： （x+4）2-5（x+4）=0 ∴（x+4）（x+4-5）=0\ ∴x+4=0或x-1=0 解之： x1=-4，x2=1 （3）解：（x+1）2=4x ∴x2-2x+1=0 ∴（x-1）2=0 ∴x-1=0 解之： x1=x2=1. （4）解： 2x2-8x-1=0 ， ∵b2-4ac=64+8=72 ∴ ∴. 【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程 【解析】【分析】（1）观察方程特点：左边可以分解因式，延长利用十字相乘法解方程. （2）将（x+4）看着整体，先移项，再利用因式分解法解方程. （3）首先将方程化为一般形式可得x2-2x+1=0，利用完全平方公式分解可得(x-1)2=0，据此求解； （4）首先求出判别式的值，然后借助求根公式进行计算. 19．【答案】（1）解：x2﹣x＝﹣， x2﹣x+＝﹣+， （x﹣）2＝， x﹣＝±， 所以x1＝1，x2＝ （2）解：（x﹣2）（x+1）＝0， x﹣2＝0或x+1＝0， 所以x1＝2，x2＝﹣1 【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程 【解析】【分析】（1）首先将常数项移至右边，然后方程的两边都除以2，将二次项系数化为1，给方程两边同时加上一次项系数一半的平方“ ”，将方程的左边配方成一个完全平方式，然后利用直接开方法进行计算； （2）此方程是一元二次方程的一般形式，方程的左边易于利用提取公因式法分解因式，故此方程利用因式分解法求解即可. 20．【答案】解：有错； 正确解答过程如下： 原方程化为，， 移项，得， 提公因式，得， ∴或， ∴解得原方程的解是或； 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【解析】【分析】观察分析小滨的解题过程可知错误在于方程两边同时除以（x-3），而当x-3=0时，就违背了等式的性质，原方程的解就减少了，正确的解法是：移项，提公因式（x-3）可将原方程化为两个一元一次方程求解. 21．【答案】解：原式 ； ， ， 或 ， 或1， 由题意可知， ， 将 代入原式得，原式 . 【知识点】分式的化简求值；因式分解法解一元二次方程 【解析】【分析】对括号中的式子进行通分，然后将除法化为乘法，再约分即可对原式进行化简，利用因式分解法求出方程的解，选取一个使分式有意义的m的值代入化简后的式子中计算即可. 22．【答案】（1）解：∵ 的值是1，∴ ， ∴ ； ∴ （2）解：∵ 的值是0， ∴ ， 即 ， ，∴ 或 【知识点】整式的加减运算；因式分解法解一元二次方程 【解析】【分析】（1）先求出x+2=1， 再求出x=-1，最后计算求解即可； （2）先求出x2+3x+2=0，再计算求解即可。 23．【答案】（1）解：原式=（-2）×（-）-= （2）解：当2x≥x+1，即x≥1时，2x（x+1）-2x=0， 解得x=0（不合题意，舍去）； 当2x<x+1，即x<x+1时，2x（x+1）+（x+1）=0， （x+1）（2x+1）=0， 解得x1=-1，x2=- 故x的值为-1或-. 【知识点】因式分解法解一元二次方程；定义新运算 【解析】【分析】（1）利用定义新运算的法则： 当a≥b时，ab=ab-a；当ab=ab+b；先列式，再进行计算. （2）利用定义新运算，分情况讨论：当2x≥x+1；当2x<x+1时，分别建立关于x的方程，解方程求出符合题意的x的值. 24．【答案】（1）解：2ax+b； ， 两边同时乘以12再加25，移项得： . . ， （2）解：① . . 方程的两个根为 ， 而 ，解得 ， ， . ② . 两边同时除以3得： ， . 方程的两个根为 ， 而 解得 ， ， . 【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程 【解析】【解答】解：（1）∵ ， ∴ ， 故答案为： 【分析】（1）利用完全平方公式将等号左边因式分解即可得出结论； 将方程两边同时乘以12再加25，然后移项，再将方程左边写成完全平方式，然后利用直接开平方法解方程即可； （2）①模仿例题解方程即可；② 先将方程两边同时除以3 ，再仿照例题解方程即可. 1 学科网（北京）股份有限公司 $