第三章《 图形的相似》单元巩固练习 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 北师大版九年级上册《图形的相似》单元卷，通过选择、填空、解答题（10/6/8题，30/18/72分）全面覆盖相似三角形判定与性质、位似变换等核心知识，注重几何直观与推理能力，情境化问题体现应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|相似三角形性质、位似坐标变换|结合投影机投影（题2）等情境，基础巩固与概念辨析结合| |填空题|6/18|相似比、面积比、实际测量|融入直角三角形测树高（题13），考查计算与模型意识| |解答题|8/72|相似证明、位似作图、综合测量|分层设计，从基础证明（题19）到跨学科测量（题20），发展推理与应用能力|

第三章《 图形的相似》单元巩固练习 2026-2027学年北师大版数学九年级上册 一、选择题（每题3分，共30分） 1．如图，点D、E分别是AB、AC的中点，则：S四边形DBCE=（　　） A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：3 2．如图所示，一架投影机插入胶片后图像可投到屏幕上. 已知胶片与屏幕平行，A点为光源，与胶片BC的距离为0.1米，胶片的高BC为0.038米，若需要投影后的图像DE高1.9米，则投影机光源离屏幕大约为(　　) A．6米 B．5米 C．4米 D．3米 3．如图，，则下列结论不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 4．如图，在中，按如下步骤作图： ①在和上分别截取，，使，分别以点M和N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O，作射线交于点D， ②分别以点C和D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，作直线交于点E，交于点F． 根据以上作图，若，，，则线段的长为（　　） A． B． C．5 D． 5．如图，四边形ABCD和四边形 A'B'C'D'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点A的坐标为（2， 0) ， 点A'的坐标为（3， 0) . 若 CD 的长为3， 则C'D'的长为（　　） A． B．4 C． D．5 6．在平面直角坐标系中，已知点，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应的坐标是（　　） A． B． C．或 D．或 7．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点 O，AB=8，BC=12，点E在CD上，且DE=2，连接OE，并延长与AD的延长线相交于点 F，则 DF的长为 (　　) A．5 B．6 C．7 D．8 8．如图，在矩形中，，，若，则线段的长为（　　） A． B．3 C． D．4 9．如图，矩形中，点在线段上，连接，平分交于点 ，过点 作，垂足为点，交于点．若，，则的面积为（　　） A． B． C． D． 10．已知：如图，D，E，F，G分别是△ABC边上的点，满足DE∥AB，FG∥AC，DE 交FG 于点M.若 其中 则四边形 AGME 面积的最小值为 (　　) A． B． C． D． 二、填空题（每题3分，共18分） 11．已知，则　 　． 12．如图，D，E 分别是△ABC 的边AB，AC 上的点，∠AED=∠B，AF⊥DE，垂足为 F.如果 AF=2，BC=6，△ABC 的面积为9，那么△ADE 的面积为　 　. 13．如图，小睿同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边与点在同一直线上，已知纸板的两条直角边，，测得边离地面的高度，，则树的高度为　 　． 14． 如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠B=90°，AB=8，BC=4，点E在边AB上，AE=3，连接CE，且∠DCE=∠BCE.点F在BC的延长线上，连接DF.若DF=DC，则线段CF的长为　 　. 15．如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点为边的中点，的面积为，的面积为，…的面积为，则n＝　 　． 16．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AD，DC上，已知∠AEB＝∠DFE＝∠BFE，且AB＝4，BC＝6，DE＝2，DF＝1，则BE的长为　 　． 三、解答题（共8题，共72分） 17．如图，矩形ABCD中，AC是对角线，请解决下列问题： （1）将△ABC绕点A旋转后，点B的对应点为点E，点C的对应点为点F，且点E在线段AC上，请用尺规作出旋转后的图形（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，若AB=2，BC=4，EF与AD交于点G，求FG的长. 18． 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，的顶点和均为格点（格点的交点）.已知点A和的坐标分别为(-1，-3)和(2，6). ⑴在所给的网格图中描出边AB的中点，并写出D点的坐标； ⑵ 以点O为位似中心，将放大得到，使得点A的对应点为，请在所给的网格图中画出. 19． 如图， 在 中，AD平分 ， E是AB上一点， 且. （1） 求证： （2） 若.AC=4，AD=6，BE=3， 求AE， BD 的长. 20．在综合实践活动中，某数学兴趣小组准备测量操场围墙外一棵大树的高度.要求在操场里利用现有工具皮尺、测角仪(高度1.5m)和笔直的竹竿(长度2m)进行测量. （1）小刚建议这样测量：如图1，线段AC表示所要测量的大树，在操场上F点处蹲下，眼睛视线沿着竹竿DE (长度2m)顶部E恰好看到树顶端A，此时竖直竹竿DE 与小刚FG 的水平距离DF=2m.小刚将观测点F 后移13m到F 处，采用同样方法，测得D'F'=3m.小刚眼睛距离地面的高度FG=F'G'=0.8m，点F'，D'，F ，D与树的底部C在同一水平线上.据此可知点E到BG 的距离EH为 m，图中两组相似三角形是 ，请帮助小刚计算出此树的高度 (结果精确到0.1m). （2）小明提出可以这样改进：如图2，在点F 处安置测角仪(高度1.5m)测得树顶端A的仰角∠AGB =26.7，前行到点E 处测得树顶端A的仰角 点E，F与树的底部C在同一水平线上，量得EF=16m.请按此方案求树的高度(结果精确到0.1m).(参考数据 （3）两种方法算出树的高度一致吗?如果不一致，请分析原因(写出一条即可). 21．如图，在△ABC中，AD是角平分线，∠ADE=∠B. （1）求证：△ABD∽△ADE. （2）若AE=4，AB=9，且△ADE的面积为8，求△ABD的面积. 22．如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F. （1）求证：DE-BF=EF； （2）若AB=2，BG=1，求线段EF的长. 23．如图，在正方形 ABCD中，点G是对角线BD上一点，CG的延长线交 AB于点E，交 DA的延长线于点 F，连接AG. （1） 求证： CG=AG； （2） 求证： （3） 若 求 EF的长. 24．在和中，，，，连接BD，CE. （1） 如图①将绕点A旋转，在旋转过程中，线段BD与CE总保持相等的数量关系，请说明理由. （2） 如图②，，，，把绕点A旋转，点P为射线BD与CE的交点，当E在BA延长线上时，求线段CP的长度（只求图中的情况）. （3） 在②的条件下，在旋转过程中，点P为射线BD与射线CE的交点，当四边形ADPE为正方形时，直接写出线段PB长度的值. 答案解析部分 1．【答案】B 【解析】【解答】解：∵点D、E分别是AB、AC的中点， ∴ ， ， 即 ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴：S四边形DBCE=1：3． 故答案为：B． 【分析】根据三角形的中位线定理“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”DE∥BC， ，根据相似三角形的判定可得 ，由相似三角形的面积的比等于相似比即可求解． 2．【答案】B 【解析】【解答】解：如图所示，过A作AG⊥DE于G，交BC与F， ∵BC∥DE， ∴△ABC∽△ADE， ∵AG⊥BC，AF=0.1m，设AG=h， 则：，即， 解得：h=5m． 故答案为：B． 【分析】过A作AG⊥DE于G，交BC与F，证明△ABC∽△ADE，利用相似三角形对应边的高的比等于相似比，可得，代入数据计算，即可得到投影机光源离屏幕的大概距离. 3．【答案】B 【解析】【解答】解：∵ A.，故该选项正确，不符合题意； B.，故该选项不正确，符合题意； C.，故该选项正确，不符合题意； D.，故该选项正确，不符合题意； 故选：B． 【分析】 两条直线被一组平行线截得的对应线段成比例，注意必须是对应线段成比例． 4．【答案】D 【解析】【解答】解：连接DE， 由作法得CD平分∠ACB， ∴∠ECD=∠FCD(角平分线的定义)， ∵EF垂直平分CD， ∴CE＝DE(线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等)， ∴∠ECD=∠EDC， ∴∠FCD=∠EDC， ∴DE//BC， ∴ ∴， ∵，，， ∴， ∴DE=2， ∴CE=DE=2， ∴， ∴AE=4. 故答案为：D. 【分析】连接DE，首先根据尺规作图，可得出CD平分∠ACB，EF垂直平分CD，从而得出∠FCD=∠EDC，进而可得出DE∥BC，即可得出，进而，由已知线段可先求出DE的长，再进一步求出AE的长。 5．【答案】C 【解析】【解答】解：由题意得，四边形ABCD和四边形A'B'C'D'的相似比为 ∴ ∵CD的长为3， ∴ 故答案为：C. 【分析】由题意得，四边形ABCD和四边形A'B'C'D'的相似比为，则，进而可得答案. 6．【答案】D 【解析】【解答】解：∵点，以O为位似中心，相似比为， ∴点的对应点的坐标为：或， 即或， 故答案为：D． 【分析】 本题考查位似变换的性质，熟知平面直角坐标系中位似图形对应点坐标的变化规律是解题关键. 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k；已知点A(-4，2)，以原点为位似中心，相似比为把△AOB缩小，当位似图形与原图形在原点同侧时，点A的对应点坐标为；当位似图形与原图形在原点异侧时，点A的对应点坐标为，由此可得出答案． 7．【答案】B 【解析】【解答】解：取中点，连接， 是中点，是中点， 是中位线，，，， ， ， ， 设，则，，， ， ， 解得：， ， ， ， ． 故答案为：B. 【分析】取中点，连接，根据平行四边形的性质得到ON是△ABD的中位线，即可求出ON和DN长，然后根据平行线得到，根据对应边成比例解答即可． 8．【答案】B 【解析】【解答】解：∵在矩形中，，，， ∴， ∴， ∵ ，， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：B． 【分析】 根据勾股定理求出，再证明，根据相似三角形的性质计算比值即可解答． 9．【答案】B 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90° ，AD∥BC， ∵EM⊥AF ， ∴∠ANE=∠ANM=∠ENF=90° ， ∴∠ABC=∠ANE ， ∵AE 平分∠BAF， ∴∠BAE=∠NAE， 在△ABE和△ANE中， ∴△ABE≌△ANE（AAS） ∴AB=AN=6，BE=NE=2， 设EF=x ， ∴BF=BE+EF=x+2， ∵∠ENF=∠ABC=90° ，∠EFN=∠AFB ， ∴△EFN∽△AFB ， ∴， ∴AF=3EF=3x，NF=BF=， ∵AF=AN+NF， ∴ 解之：； ∴， ∵AD∥BC， ∴△EFN∽△MAN ， ∴即 解之：MN=8 ， ∴. 故答案为：B. 【分析】利用矩形的性质和角平分线的概念易证∠ABC=∠ANE，∠BAE=∠NAE，利用AAS可证得△ABE≌△ANE，利用全等三角形的性质可求出AN、EN的长；设EF=x ，可表示出BF的长，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似易证△EFN∽△AFB ，利用相似三角形的性质可表示出AF、NF的长，根据AF=AN+NF，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到NF的长；由AD∥BC可证得△EFN∽△MAN ，利用相似三角形的性质可求出MN的长；然后利用三角形的面积公式可求出△AMN的面积. 10．【答案】B 【解析】【解答】解： ，即 ​​​​​​​ ​​​​​​​ ，即 当时，随着a的增大而增大 当时有最小值，最小值 故答案为： B. 【分析】先由三角形相似的预备定理可得，再由面积比等于相似比的平方可得DF与BF的比值，同理可得DF与DC的比值，即DC与BC的比值可得，再由三角形相似的预备可得，再结合已知可得，再利用割补法可得是关于a的二次函数，且二次项系数为正，则在对称轴的右侧随着a的增大而增大，再利用二次函数图象上点的坐标特征结合已知a的取值范围求出的最小值即可. 11．【答案】 【解析】【解答】解：∵， ∴， 故答案为：． 【分析】本题考查比例的基本性质，核心是通过等式变形将已知条件转化为比例式。已知且，根据等式的基本性质，在等式两边同时除以（因，除数不为0，等式仍然成立），等式左边化为，右边化为，因此可直接得出。 12．【答案】4 【解析】【解答】解：过点A作 '于点H， 的面积为9， 故答案为：4. 【分析】过点A作 于点H，根据 的面积及BC的长求出AH的长，再证得 ，即可求出AE与AB的比值，再证 根据相似三角形面积之比等于相似比的平方即可求出 的面积. 13．【答案】5.5 【解析】【解答】解：由题意可得：， ， ， ，即， ， ， 故答案为：5.5． 【分析】根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得BC，再根据边之间的关系即可求出答案. 14．【答案】​​​​​​​ 【解析】【解答】解：如图， 延长CE交DA延长线于点G，过D作DH⊥BF于点H，则∠BHD=90， ∵DF =DC， ∴CH=FH=CF， ∵AD//BC，B= 90， ∴∠B=∠GAE=90，∠B+ ∠BAD= 180° ， ∴∠B=∠BAD=∠BHD = 90°， ∴四边形ABHD是矩形， ∴AB=DH=8，AD= BH， ∵∠AEG= ∠BEC， ∴AEG△BEC ， ∴， ∴AB=8，AE=3， ∴BE=5， ∴， ∴AG=， ∵AD//BC， ∴∠G= ∠BCE， ∵∠DCE= ∠BEC， ∴∠G= ∠DCE， ∴CD=CG 设CH=FH=x，则AD=BH=4+x ∴CD=GD=4+x+=x+， 由勾股定理得CD2=CH2+DH2 ∴ 解得x= ∴CF=2CH= 故答案为：. 【分析】 延长CE交DA延长线于点G，过D作DH⊥BF于点H，则∠BHD=90°，由三线合一的性质可得 CH=FH=CF，结合角度的和差运算可证明四边形ABHD是矩形，所以AB= DH=8，AD= BH，又∠AEG=∠BEC ，则可证AEG△BEC ，利用相似三角形的性质计算可得AG=，然后通过平行线的性质和等角对等边可得CD=GD，设CH=FH=x，则AD=BH=4+x，CD=GD=x+，最后通过勾股定理求出x的值即可解答. 15．【答案】128 【解析】【解答】解：个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点分别为边，，，，的中点， ， ， ， ， ， ， ， 即， ∴当的面积为时， ， 解得． 故答案为：128． 【分析】首先根据正方形性质及三角形面积公式求得的面积，又由平行于三角形一边得直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似即可得，然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求得，然后代数求解即可． 16．【答案】 【解析】【解答】解：延长、交于点，过点作于点， ∵四边形是平行四边形，∴，。 ∴，又∵，∴，∴。 ∵，∴。 又∵，∴，∴。 ∵，，∴，∴。 ∵，∴为的中点。 ∵，，∴，∴。 ∴。 在中，由勾股定理得： 。 在中，由勾股定理得： 。 ∵，∴，∴。 即，解得 故答案为： 【分析】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理。通过延长线段构造等腰三角形和相似三角形，利用等腰三角形三线合一求出相关线段长度，再结合勾股定理和相似三角形的性质计算的长。 17．【答案】（1）图形如图所示： （2）解：∵在矩形 中， ∴， 由（1）知， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】【分析】本题考查图形的旋转作图与相似三角形的判定及性质。 （1）作图时以A为圆心、AB长为半径画弧，与AC的交点即为点E，再以A为圆心、AC长为半径画弧，结合旋转角相等的特点确定点F的位置，连接EF即可得到旋转后的三角形； （2）先根据旋转的性质得到对应边、对应角相等，结合矩形的内角特征证明与相似，利用相似三角形对应边成比例求出EG的长度，再由EF与BC相等，通过线段差求出FG的长。 18．【答案】解：⑴如图所示，点 D 即为边AB 的中点，点 D的坐标为(-2，-1)； ⑵如图所示，△A1B1C1即为所求作的三角形. 【解析】【分析】（1）利用网格特点及矩形的对角线互相平分，可得到点D的位置，并写出点D的坐标.. （2）利用位似的定义，将△ABC以O为位似中心，将△ABC放大2倍，可得到点B、C的对称点，然后画出△A1B1C1即可. 19．【答案】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵， ∴，即，解得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，解得：． 【解析】【分析】（1）由角平分线的定义得到，即可得到、然后根据三角形外角得到，再结合，根据两角对应相等的两三角形相似证明即可； （2）根据相似三角形的对应边成比例求出；然后推理证明，根据对应边成比例解答即可． 20．【答案】（1）解：1.2m；△GHE∽△GBA 和 △GHE∽△GBA 由题意可得，，，，，则． 第一次测量：， ，即， 第二次测量：， ，即， ，解得， ，解得， 此树的高度为． （2）解：由题意可得， FG=1.5m， ∠AGB=20.7， ∠ADB=45°， GD =EF =10m， 在Rt△ABD中， ∠ADB=45°， ∴△ABD为等腰直角三角形， ∠ABD=90°， ∴AB =BD 在Rt△ABG中， 即 解得AB≈16， ∴此树的高度为AB+BC=AB+FG=16+1.5=17.5m. （3）不一致. 原因：小刚的方法在测量过程中需要保证眼睛、竹竿顶端、树顶端三点严格共线，实际操作中容易产生视觉偏差，因此会导致两种方法算出树的高度不一致 【解析】【解答】（1）解：由题意可得，， ， 图中两组相似三角形是 和 ， 故答案为：1.2m； 和 ； 【分析】 （1）根据线段的和差得到EH长，然后根据平行线得到 和 ，根据对应边成比例得到，求出GB长解答即可． （2）根据△ABD是等腰直角三角形得到，在中，利用正切的定义求出AB长解答即可． （3）比较两种方法的结果，从两人的测量过程的步骤分析误差的原因即可． 21．【答案】（1）证明：∵AD是∠BAC的角平分线， ∴∠BAD=∠DAE． 又∵∠ADE=∠B， ∴△ABD∽△ADE （2）解：∵△ABD∽△ADE ∴ ∴AD2=AB·AE=9×4=36 ∴AD=6 ​​​​​​​∴ ​​​​​​​∴S△ABD=18 【解析】【分析】(1)利用角平分线的定义得到一组对应角相等，结合已知条件中的另一组对应角相等，根据“两角分别相等的两个三角形相似”即可证明； (2)利用相似三角形对应边成比例求出AD的长，再利用“相似三角形面积的比等于相似比的平方”这一性质，建立面积与边长的关系式，从而求出△ABD的面积. 22．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=AB，∠BAD=90°， ∵DE⊥AG，BF∥DE， ∴∠AED=∠BFA=90°， ∵∠BAD=90°， ∴∠DAE+∠BAF=90°， 在Rt△ABF中，∠ABF+∠BAF=90°， ∴∠DAE=∠ABF， 在△ADE和△BAF中， ∴△ADE≌△BAF（AAS）， ∴DE=AF，AE=BF， ∴AF=AE+EF， ∴DE=BF+EF， 即 （2）在 Rt△ABG 中，AB=2，BG=1， 由勾股定理得： AG===， ∵ △ABG 的面积可表示为： S△ABG=⋅AB⋅BG=⋅AG⋅BF ， 代入数据：×2×1=××BF 解得：BF=。 由（1）知 AE=BF=。 又 ∵ △ADE≅△BAF， ∴ DE=AF。 在 Rt△ADE 中，由 △ADE∼△GAB 得： DE=， ∴ AF=DE=， ∴ EF=AF−AE=−=。 ∴线段 EF 的长为。 【解析】【分析】（1）由正方形的性质（边相等、角为直角），结合垂直和平行关系，得到 ∠AED=∠BFA=90∘；再通过 “同角的余角相等” 得到 ∠DAE=∠ABF；最后利用 AAS 证明 △ADE≅△BAF，由全等三角形的对应边相等，结合线段和差关系，证得 DE−BF=EF。 （2）由勾股定理求出 AG 的长度；再利用三角形面积公式求出 BF（即 AE）的长度；结合（1）中的全等结论，求出 DE（即 AF）的长度；最后通过线段差 EF=AF−AE 计算出结果。 23．【答案】（1）证明：∵BD是正方形ABCD的对角线， ∴∠CDB=∠ADB=45°， DC=DA， 在△CDG和△ADG中， ∴△CDG≌△ADG (SAS)， ∴CG=AG； （2）证明：∵四边形 ABCD是正方形， ∴∠CBE=∠FDC=90°， CB=CD=AB， CB∥DF， ∴∠BCE=∠DFC， ∴△BCE∽△DFC， 即 （3）解：∵ ∵四边形ABCD是正方形， ∴CD∥AB， CD=AB， CB∥AD， ∴BE∥CD， ∴∠EBG=∠CDG， ∠BEG=∠DCG， ∴△BEG∽△DCG， 设 则CD=6x， ∵AF∥CB， ∴∠FAE=∠CBE， ∠AFE=∠BCE， ∴△AFE∽△BCE， ∴EF的长为 【解析】【分析】(1)根据正方形的性质得到∠CDB=∠ADB=45°，DC=DA，证明△CDG≌△ADG(SAS)，根据全等三角形的性质即可得证； (2)根据正方形的性质得到∠CBE=∠FDC=90°，CB=CD=AB，CB//DF， 证明△BCE~△DFC，根据相似三角形的性质即可得证； (3)根据正方形的性质证明△BEG~△DCG，可得，设，则CD=6x，得到，再证明△AFE~△BCE，根据相似三角形的性质可得，代入数据求解即可. 24．【答案】（1）解：， ， ， ，， ， ； （2）解：，，， ， ， ， ， ， 又，，， ，， ， ； （3）解：，，， ， 为正方形，如图，当点P在线段BD上时， ， ； 当点P在BD的延长线上时， ； 综上所述，或. 【解析】【分析】(1)通过证明三角形全等得出线段相等关系； (2)先证明三角形相似，再利用相似三角形的性质求出线段长度； (3)根据正方形的性质，分点P在线段BD上和在线段BD延长线上两种情况，利用勾股定理求出PB的长度。 学科网（北京）股份有限公司 $