专项06一元二次方程根的判别式专项练习2026-2027学年苏科版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程根的判别式，通过基础应用、参数讨论及综合拓展构建知识网络，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|单选1-3、填空9-10|直接计算判别式判断根的情况|从定义出发，掌握Δ=b²-4ac基本计算与根的三种情况对应关系| |参数讨论|单选4-5、填空12-13|含参方程根的情况分析|结合分类讨论思想，理解参数对判别式的影响，发展逻辑推理| |综合应用|解答14-24|与函数图像、几何、新定义结合|建立代数与几何的联系，通过"勾系方程"等创新题型培养模型意识与应用能力|

专项06 一元二次方程根的判别式 专项练习 （卷面总分100分，考试用时60分钟） 班级:___________学号：___________姓名：___________得分：___________ 一、单选题（每题3分，共24分） 1．一元二次方程根的情况为（       ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】C 【详解】解：∵在一元二次方程中，，，， ∴这个方程根的判别式， ∴这个方程有两个不相等的实数根． 2．下列方程中，有实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】计算各一元二次方程的根的判别式，根据判别式的符号判断方程是否有实数根． 【详解】解：A选项：方程，，无实数根； B选项：方程，，有实数根； C选项：方程，，无实数根； D选项：方程，，无实数根． 3．下列一元二次方程中，没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A选项：方程整理为，，有实数根． B选项：方程整理为，，有实数根． C选项：，，没有实数根． D选项：，，有实数根． 4．k为实数，则关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A．必有实根 B．有两个不相等的实根 C．无实根 D．不能确定根的情况 【答案】A 【分析】计算根的判别式，配方后判断其取值范围，即可确定方程根的情况． 【详解】解：一元二次方程为， ，，， ． 为实数， ，即． 方程必有实根． 5．定义新运算：☆，例如：☆，则关于的方程☆（k是任意实数）的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．只有一个实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【详解】解：由题意，可知☆， 整理得． ， 关于的方程☆（是任意实数）有两个不相等的实数根． 6．函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（     ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据函数图象可得函数中，，再运用一元二次方程根的判别式，有两个不相等的实数根，，有两个相等的实数根，，方程无实数根的方法进行判定即可求解． 【详解】解：根据图示可得，函数中，， 关于的一元二次方程， ∴， ∴有两个不相等的实数根． 7．已知关于的一元二次方程，下列说法中正确的个数有（     ） ①若，则方程总有实数根；②若，则方程有两个相等的实数根； ③若，则方程无实数根；④若，则方程总有实数根． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】结合已知确定根的判别式的符号，即可作出判断． 【详解】解：∵一元二次方程的根的判别式为， ①当时，， 若，则，此时方程无实数根，故①错误； ②当时，，此时方程有两个相等的实数根，故②正确； ③当时，， ∵， ∴， ∴，此时方程无实数根，故③正确； ④当时，， 此时方程总有实数根，故④正确； 综上所述，正确的个数有个． 8．对于一元二次方程，给出下列说法： ①若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若是一元二次方程的根，则； ④存在实数，使得． 其中正确的是（     ） A．只有①③ B．只有①② C．只有①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根与判别式的关系、根的定义及代数变形逐一判断各命题． 【详解】解：①方程有两个不相等的实根， ， ， 则方程的判别式， 方程必有两个不相等的实根，故①正确； ②是方程的一个根，则， ， 若，等式仍然成立，但不一定成立，故②不正确； ③若是一元二次方程的根， 则由求根公式得或， 或， ，故③正确； ④存在实数，使得， 整理得，即， 因为，只需取即可满足， 例如取，，就有，故④正确． 二、填空题（每题3分，共18分） 9．判断下列一元二次方程中根的情况： ①____________________     ②_____________________ ③____________________     【答案】 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 有两个不相等的实数根 【分析】对于一元二次方程，根的判别式为，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根，先确定每个一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项，再计算根的判别式的值，根据判别式与0的大小关系判断根的情况． 【详解】解：①方程中，，，， ，因此该方程有两个不相等的实数根； ②方程中，，，， ，因此该方程有两个相等的实数根； ③方程中，，，， ，因此该方程有两个不相等的实数根； 10．一元二次方程的判别式的值为______． 【答案】16 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 故答案为：16． 11．已知函数的图像如图所示，则一元二次方程根的情况是_______    【答案】有两个不相等的实数根 【分析】根据一次函数可得，，然后计算一元二次方程根的判别式即可求解．本题考查了一次函数图象与性质，一元二次方程根的判别式，根据一次函数解析式求得、b的范围是解题的关键． 【详解】解：根据一次函数图象经过二、三、四象限，则，， ∴， 在一元二次方程中， ∵， ∴原方程有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的实数根. 12．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，若为非负整数，则的值为______． 【答案】0 【分析】直接利用当时，方程有两个不相等的实数根，进而得出的取值范围，即可得出答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∵为非负整数， ∴的值为0， 故答案为：0． 【点睛】此题主要考查了根的判别式，熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题关键． 13．已知关于x的方程，其中a、b为实数． (1)若此方程有一个根为，判断a与b的大小关系__________； (2)若对于任何实数a，此方程都有实数根，b的取值范围为__________． 【答案】 【分析】（1）把代入方程，求出的值，进行判断即可； （2）根据方程都有实数根，得到，进而求出 b的取值范围即可. 【详解】解：（1）∵方程有一个根为， ∴， 整理，得； ∵， ∴，即； （2）由题意，， ∵对于任何实数a，此方程都有实数根， ∴对于任何实数a，都有，即， ∴对于任何实数a，都有， ∵， ∴b的取值范围是. 三、解答题（共52分） 14．（本题5分）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程总有实数根； (2)若方程的一个实数根是，求另一个实数根和的值． 【答案】(1)证明：在一元二次方程中，，，， ， ∵无论取何值，，即，∴无论取何值，方程总有实数根； (2)的值为，方程的另一个实数根为． 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式证明即可； （2）将代入求出的值，再利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵方程的一个实数根是， ∴， 解得：， ∴一元二次方程， ∴， 解得：，， ∴方程的另一个实数根为． 15．（本题5分）已知关于的方程． (1)求证：无论取任何实数时，该方程总有两个实数根； (2)如果该方程的两个实数根的平方和为4，求的值． 【答案】(1)证明：． ， 无论取任何实数时，该方程总有两个实数根． (2)2 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出，进而可证出：无论取任何实数时，该方程总有两个实数根； （2）利用因式分解法解一元二次方程可求出原方程的两个根，结合该方程的两个实数根的平方和为4，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）解：， 即， 解得：． ， ， ． 16．（本题5分）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程有两个实数根； (2)若为整数，该方程的两个实数根是否可以都为正整数？请说明理由． 【答案】(1)证明：∵该方程是关于的一元二次方程， ∴ ∴该方程有两个不相等的实数根，即有两个实数根； (2)解：可以，理由如下： 由求根公式得， ∴， ∵为整数，且方程的两个实数根都为正整数， ∴为正整数 ∴为整数，且 ∵为整数， ∴的可能取值为， 当时，，两根为和，均为正整数； 当时，，两根为和，均为正整数； 当时，，不符合要求； 当时，，不符合要求 ∴该方程的两个实数根可以都为正整数． 【分析】（1）计算值，再判断的符号即可； （2）先由求根公式求出，，则为正整数，故为整数，且，则的可能取值为，，再分别代入求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 17．（本题5分）已知关于x的方程． (1)试讨论该方程的根的情况并说明理由； (2)无论m为何值，该方程都有一个固定的实数根，试求出这个根． 【答案】(1)时，方程有一个实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当且时，方程有两个不相等的实数根 (2)这个根为3 【分析】（1）分及，结合判别式的值即可判断． （2）由无论m为何值，该方程都有一个固定的实数根，又，推出，且即可解决问题． 【详解】（1）解：当时，方程为，解得， 当时 ∵ ， 若，，则方程有两个相等的实数根； 若且，，则方程有两个不相等的实数根， 综上，当时，方程有一个实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当且时，方程有两个不相等的实数根； （2）解：∵无论m为何值，该方程都有一个固定的实数根， 又∵， ∴，且 解得， ∴无论m为何值，该方程都有一个固定的实数根，这个根为3． 18．（本题5分）已知关于的一元二次方程． (1)求证该方程总有两个实数根； (2)若该方程的一个根是另一个根的2倍，求的值． 【答案】(1) 证明：∵， ， 该方程总有两个实数根； (2) 的值为或 【分析】（1）通过计算一元二次方程的根的判别式，证明判别式恒大于等于0，即可证明方程总有两个实数根； （2）先对方程因式分解得到两个根，再根据一个根是另一个根的2倍分两种情况列方程求解，即可得到的值. 【详解】（1）略 （2）解： ， 解得，， 方程的一个根是另一个根的倍， 分两种情况讨论： 当时，，解得； 当时，，解得； 综上，的值为或. 19．（本题5分）已知方程（x为实数），请你解答下列问题： (1)若，，解此方程； (2)若，求证：此方程至少有一个实数根． 【答案】(1) (2)对于一元二次方程， 根的判别式为 将代入得 任意实数的平方是非负数 ，即 此方程至少有一个实数根 【分析】（1）将代入原方程，解一元二次方程即可得到结果； （2）利用一元二次方程根的判别式，结合已知条件变形配方，证明判别式大于等于0，即可证明结论． 【详解】（1）解： 原方程为 配方得 开方得 解得； （2）略． 20．（本题5分）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根． (2)如果方程的两个实数根为，，且k与都为整数，求k所有可能的值． 【答案】(1)证明： ∵ = ∴无论k取何值， 方程都有两个不相等的实数根． (2)整数k的所有可能的值为，，，，，. 【分析】（1）计算判别式的值，然后根据判别式的意义得到结论； （2）先利用因式分解法得出方程的两个根，再结合k与都为整数，得出k的值. 【详解】（1）略 （2）∵， ∴， ∴或， ∴，或，， 当，时， ∵k与都为整数， ∴为整数，则或或或， 当，时， ， ∵k与都为整数， ∴为整数，则或． ∴整数k的所有可能的值为，，，，，. 21．（本题7分）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； (2)若的两边、的长分别是此方程的两个实数根，第三边长为，当是等腰三角形时，求的值． 【答案】(1)证明：∵， ∴无论m为何值，方程总有两个实数根； (2) 【分析】（1）计算方程根的判别式，证明判别式恒大于等于0即可证明结论； （2）先因式分解求出方程的两个根，再分和两种情况讨论，结合三角形三边关系舍去不合题意的解，得到m的值． 【详解】（1）略 （2）解：对于一元二次方程， 因式分解，得， 所以或， 解得或， 即，的长分别为，1． 分两种情况讨论： ①若，则，解得， 此时三角形的三边长分别为2，2，1，满足三角形三边关系，符合题意． ②若，则，解得， 此时三角形的三边长分别为1，1，2， 由于，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，舍去． 综上所述，． 22．（本题8分）已知，为正实数，关于的一元二次方程为． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若是方程的一个实数根，试判断代数式与的大小． 【答案】(1)证明：可变形为， 判别式为， ，为正实数，所以，可得， ∴方程有两个不相等的实数根． (2) 【分析】（1）先将原方程整理为一元二次方程的标准形式，再计算判别式，根据题中条件得到，即可得证． （2）利用方程根的定义，把代入方程，通过计算得到两个代数式完全相等． 【详解】（1）略 （2）已知是方程的一个实数根， 代入方程可得，则， ， ∴． 23．（本题8分）关于的代数式，若存在实数，使得，则称为这个代数式的等根值． (1)代数式的等根值为____________； (2)已知关于的代数式． ①求证：无论取何值，此代数式总有两个不相等的等根值； ②已知是此代数式的一个等根值，求的值和这个代数式的另一个等根值． 【答案】(1)0或1 (2) ①令整理得： 因为 即， 所以有两个不相等的根， 即代数式总有两个不相等的等根值 ②的值为，另一个等根值为2 【分析】（1）根据“等根值”的定义，将问题转化为对应的一元二次方程，解方程即可； （2）①由题得到关于的一元二次方程，计算根的判别式，如果判别式恒大于0，那么方程总有两个不相等的实数根，即代数式总有两个不相等的等根值； ②将已知的等根值代入对应的方程求解的值，再将代回方程，再解方程求出另一个根即可． 【详解】（1）由题可得， 整理得， ， 解得，； （2）①略； ②由题意得 解得： 将代入 得 即： 解得：， 所以，该代数式的另一个等根值为2． 24．【新定义】如图．四边形是证明勾股定理时用到的一个图形．是和的边长，易知．这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题： (1)写出一个“勾系一元二次方程”______________（一个即可）； (2)求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根； (3)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是．求的面积． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)证明：由题意可知：， ， ， ∴关于的“勾系一元二次方程”必有实数根． (3) 【分析】（1）直接根据“勾系一元二次方程”的定义写出方程即可； （2）利用勾股定理以及根的判别式进行证明即可； （3）先说明，再结合四边形的周长是可得，进而求得，可得；再利用完全平方公式求得，最后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：由“勾系一元二次方程”的定义可知：是“勾系一元二次方程”． （2）略 （3）解：把代入中得：，即，    ∵四边形的周长是， ， ∴， ，解之得：，     ， ， ，即， ， ， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $专项06一元二次方程根的判别式专项练习 (卷面总分100分，考试用时60分钟) 班级： 学号： 姓名： 得分： 一、单选题（每题3分，共24分） 1.一元二次方程x2-2x-5=0根的情况为() A.没有实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.无法确定 2.下列方程中，有实数根的是() A.x2-x+1=0B.x2+x-1=0 C.x2-2x+3=0 D.x2+4=0 3.下列一元二次方程中，没有实数根的是() A.x2-√2x=5 B.x(3x-5)-6=0 C.x2-x+1=0 D.x2-6x+9=0 4.k为实数，则关于x的一元二次方程x2-(k+1)x+k=0的根的情况是() A.必有实根 B.有两个不相等的实根 C.无实根 D.不能确定根的情况 5.定义新运算：a☆b=3a2-2ab-b2,例如：2☆6=3×2-2x2×6-62=-48,则关于x 的方程2x☆3=3？(k是任意实数)的根的情况是() A.有两个相等的实数根 B.没有实数根 C.只有一个实数根 D.有两个不相等的实数根 6.函数y=k+b的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2+bx-k-1=0的根的情况是 () y=kx+b A.没有实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.无法确定 试卷第1页，共6页 7.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，下列说法中正确的个数有() ①若b=0,则方程总有实数根：②若b2=4c,则方程有两个相等的实数根： ③若a=b=c,则方程无实数根：④若b=a+c,则方程总有实数根. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 8.对于一元二次方程2+bx+c=0(a≠0)，给出下列说法： ①若方程m2+c=0有两个不相等的实根，则方程m2+bx+c=0必有两个不相等的实根： ②若c是方程2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立： ③若是一元二次方程am2+bx+c=0的根，则b2-4ac=(2a+b): ④存在实数n(m≠n),使得a2+bml+c=m2+bn+c· 其中正确的是() A.只有①③ B.只有①② C.只有①③④ D.①②③④ 二、填空题（每题3分，共18分） 9.判断下列一元二次方程中根的情况： ①x2+2x-4=0 ②x2-4x+4=0 ③x2-2x-5=0」 10.一元二次方程x2+2x-3=0的判别式的值为 11.己知函数y=+b的图像如图所示，则一元二次方程bx2+x-k=0根的情况是 y y=kx+b 12.已知关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根，若m为非负整数， 则的值为 13.己知关于x的方程x2-2r-a+2b=0,其中ab为实数. (1)若此方程有一个根为2a(a<0),判断a与b的大小关系 (2)若对于任何实数，此方程都有实数根，b的取值范围为 试卷第2页，共6页 三、解答题（共52分） 14.(本题5分)已知关于x的一元二次方程x2-（m+3)x+m+2=0. (1)求证：无论m取何值，方程总有实数根： (2)若方程的一个实数根是3，求另一个实数根和m的值. 15.（本题5分)已知关于x的方程x2-x+2-4=0. (1)求证：无论取任何实数时，该方程总有两个实数根： (2)如果该方程的两个实数根的平方和为4，求m的值。 16.(本题5分)已知关于x的一元二次方程x2-(2-3)x+m-3=0. (1)求证：该方程有两个实数根： (2)若m为整数，该方程的两个实数根是否可以都为正整数？请说明理由. 试卷第3页，共6页 17.(本题5分)己知关于x的方程x2-(4m+2)x+(3+6)=0. (1)试讨论该方程的根的情况并说明理由： (2)无论为何值，该方程都有一个固定的实数根，试求出这个根 18.(本题5分)已知关于x的一元二次方程x2-(m+1)x+2(m-1)=0. (1)求证该方程总有两个实数根： (2)若该方程的一个根是另一个根的2倍，求m的值. 19.(本题5分)已知方程x+bx+c=0(x为实数)，请你解答下列问题： (1)若b=2,c=1,解此方程： (2)若b-c=1,求证：此方程至少有一个实数根， 试卷第4页，共6页 20.(本题5分)已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+k=0. (1)求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根. ②如果方程的两个实数根为，5，且k与，2都为整数，求k所有可能的值 21.(本题7分)已知关于x的一元二次方程x2-(2m+1)x+2m=0. (1)求证：无论m为何值，方程总有两个实数根： (2)若△ABC的两边AB、AC的长分别是此方程的两个实数根，第三边BC长为2，当△ABC 是等腰三角形时，求m的值. 22.（本题8分)已知m,n为正实数，关于x的一元二次方程为x2+x=n2. (1)求证：方程有两个不相等的实数根： (2)若是方程的一个实数根，试判断代数式(2x+m)2与m2+4n2的大小. 试卷第5页，共6页 23.(本题8分)关于x的代数式ax2+bx+c(a≠0)，若存在实数n,使得am+bn+c=m, 则称n为这个代数式的等根值， (1)代数式3x2-2x的等根值为 (2)已知关于x的代数式2x2+-k-3. ①求证：无论k取何值，此代数式总有两个不相等的等根值： ②已知x=-1是此代数式的一个等根值，求k的值和这个代数式的另一个等根值. 24.【新定义】如图.四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形.ab、c是Rt△ABC 和Rt△EDB的边长，易知AE=√2c.这时我们把关于x的形如m2+√2cx+b=0的一元二 次方程称为“勾系一元二次方程”. 请解决下列问题： (1)写出一个“勾系一元二次方程” (一个即可)： (2)求证：关于x的“勾系一元二次方程”m2+√2cx+b=0必有实数根： (3)若x=-1是“勾系一元二次方程”m2+√2Cx+b=0的一个根，且四边形ACDE的周长是 9W5.求△ABC的面积. √2c C e 6 b D 试卷第6页，共6页 专项06 一元二次方程根的判别式 专项练习 （卷面总分100分，考试用时60分钟） 班级:___________学号：___________姓名：___________得分：___________ 一、单选题（每题3分，共24分） 1．一元二次方程根的情况为（       ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 2．下列方程中，有实数根的是（     ） A． B． C． D． 3．下列一元二次方程中，没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 4．k为实数，则关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A．必有实根 B．有两个不相等的实根 C．无实根 D．不能确定根的情况 5．定义新运算：☆，例如：☆，则关于的方程☆（k是任意实数）的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．只有一个实数根 D．有两个不相等的实数根 6．函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（     ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 7．已知关于的一元二次方程，下列说法中正确的个数有（     ） ①若，则方程总有实数根；②若，则方程有两个相等的实数根； ③若，则方程无实数根；④若，则方程总有实数根． A．个 B．个 C．个 D．个 8．对于一元二次方程，给出下列说法： ①若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若是一元二次方程的根，则； ④存在实数，使得． 其中正确的是（     ） A．只有①③ B．只有①② C．只有①③④ D．①②③④ 二、填空题（每题3分，共18分） 9．判断下列一元二次方程中根的情况： ①____________________     ②_____________________ ③____________________     10．一元二次方程的判别式的值为______． 11．已知函数的图像如图所示，则一元二次方程根的情况是_______ 12．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，若为非负整数，则的值为______． 13．已知关于x的方程，其中a、b为实数． (1)若此方程有一个根为，判断a与b的大小关系__________； (2)若对于任何实数a，此方程都有实数根，b的取值范围为__________． 三、解答题（共52分） 14．（本题5分）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程总有实数根； (2)若方程的一个实数根是，求另一个实数根和的值． 15．（本题5分）已知关于的方程． (1)求证：无论取任何实数时，该方程总有两个实数根； (2)如果该方程的两个实数根的平方和为4，求的值． 16．（本题5分）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程有两个实数根； (2)若为整数，该方程的两个实数根是否可以都为正整数？请说明理由． 17．（本题5分）已知关于x的方程． (1)试讨论该方程的根的情况并说明理由； (2)无论m为何值，该方程都有一个固定的实数根，试求出这个根． 18．（本题5分）已知关于的一元二次方程． (1)求证该方程总有两个实数根； (2)若该方程的一个根是另一个根的2倍，求的值． 19．（本题5分）已知方程（x为实数），请你解答下列问题： (1)若，，解此方程； (2)若，求证：此方程至少有一个实数根． 20．（本题5分）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根． (2)如果方程的两个实数根为，，且k与都为整数，求k所有可能的值． 21．（本题7分）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； (2)若的两边、的长分别是此方程的两个实数根，第三边长为，当是等腰三角形时，求的值． 22．（本题8分）已知，为正实数，关于的一元二次方程为． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若是方程的一个实数根，试判断代数式与的大小． 23．（本题8分）关于的代数式，若存在实数，使得，则称为这个代数式的等根值． (1)代数式的等根值为____________； (2)已知关于的代数式． ①求证：无论取何值，此代数式总有两个不相等的等根值； ②已知是此代数式的一个等根值，求的值和这个代数式的另一个等根值． 24．【新定义】如图．四边形是证明勾股定理时用到的一个图形．是和的边长，易知．这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题： (1)写出一个“勾系一元二次方程”______________（一个即可）； (2)求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根； (3)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是．求的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $