2.1一元二次方程的概念 同步练习 2026-2027学年苏科版九年级上册数学

**基本信息** 聚焦一元二次方程概念，通过基础巩固、能力提升、综合拓展三层设计，实现从定义辨析到新定义应用的递进，培养抽象能力、推理意识与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|定义判定、一般形式、系数识别|单选题1-6结合口诀快速判断，填空题11-15强化整式方程特征，夯实符号意识| |能力提升|根的应用、系数关系|单选题7-10通过根求代数式值，填空题16-18转化方程形式，发展推理能力| |综合拓展|参数讨论、新定义应用|解答题20分类讨论参数，21-25引入"倒方程"概念，培养创新意识与模型观念|

2.1一元二次方程的概念（知识梳理+同步练习） 一、核心知识点：一元二次方程的定义 1. 严格定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。 2. 三大判定条件 1. 一元：只含有一个未知数（常见为x） 2. 二次：未知数的最高次数为2，不能更高、不能更低 3. 整式方程：分母不含未知数、根号不含未知数、不是分式方程 快速判断口诀 一个未知、最高二次、整式方程，三者齐全即为一元二次方程！ 二、一元二次方程的一般形式 1. 标准一般形式 2. 各项名称详解 · ：二次项，为二次项系数 · ：一次项，为一次项系数 · ：常数项 3. 核心条件 必须保证 a≠0 原因：若，则二次项消失，方程变为 ，降级为一元一次方程，不再是二次方程！ 4. 系数取值说明 · （绝对不能为0） · 可以为0（允许缺项） 三、四种常见特殊形式 只要满足，缺一次项、缺常数项均为二次方程 · 完整型： · 缺一次项： · 缺常数项： · 只含二次项： 四、方程整理成一般形式的步骤 1. 去分母：消除所有分母，转化为整式方程 2. 去括号：展开式子，去除括号 3. 移项：所有项移至左边，右边化为0 4. 合并同类项：化简式子 5. 降幂排列：按二次项、一次项、常数项顺序排列 ✨ 最终必须化成：标准形式 同步练习 一、单选题 1．（25-26八年级下·吉林·期末）一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（     ） A．1，6，2 B．1，， C．0，， D．1，，2 2．（25-26八年级下·河北张家口·期末）关于x的一元二次方程化为一般形式为（     ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·全国·单元复习）下列方程：①；②；③；④其中是一元二次方程的有（     ） A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和③ 4．（25-26九年级上·甘肃陇南·阶段检测）方程是关于的一元二次方程，则的值为（  ） A． B． C． D．以上都不对 5．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）把一元二次方程化为一般形式，正确的是（） A． B． C． D． 6．（25-26八年级·全国·暑假作业）若是关于x的一元二次方程，则（     ） A． B．且 C． D．p为一切实数 7．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知是关于x的方程的一个根，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·北京·阶段检测）一元二次方程化成一般形式后二次项的系数为，一次项的系数为，则的值为(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 9．（25-26八年级下·山东威海·期末）关于的方程中，若满足和，则该方程的根是（    ） A． B． C． D．无法确定 10．（2026·四川雅安·一模）若关于x的一元二次方程的一个根是，则（     ） A．2029 B．2023 C． D．2025 二、填空题 11．（25-26九年级上·山东临沂·阶段检测）下列方程是一元二次方程的是_____ （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） 12．（2026·广东深圳·三模）已知一元二次方程的一个根是1，请写出这个一元二次方程____． 13．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）一元二次方程的一次项系数是_________． 14．（2026·广东·中考真题）已知方程的一个根是1，则_____． 15．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）如果关于的方程是一元二次方程，那么所满足的条件是_____． 16．（25-26八年级下·河南开封·期末）将一元二次方程化为一般形式后，其二次项系数、一次项系数、常数项分别是________． 17．（25-26八年级下·广西百色·期中）已知a是方程的解，则的值是__________． 18．（25-26八年级下·福建福州·期末）已知是方程的一个根，则代数式的值为________． 三、解答题 19．（24-25八年级下·北京·随堂练习）将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数及常数项． (1)； (2)； (3)； (4) 20．（24-25九年级上·安徽宿州·阶段检测）当为何值时，方程 (1)是关于的一元一次方程． (2)是关于的一元二次方程． 21．（26-27九年级·江苏·暑假作业）定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是______； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为_____． 22．（25-26九年级上·北京大兴·期末）已知是方程的一个根，求代数式的值． 23．（25-26八年级下·北京·课后作业）设a，b，c分别是一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项，根据下列条件写出符合条件的一元二次方程： (1)，且a＋b＋c＝12； (2)． 24．（25-26八年级下·安徽合肥·阶段检测）已知t是方程的一个根，求代数式的值． 25．（24-25九年级上·辽宁丹东·期末）定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是 ； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为 ． 试卷第4页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C B C C D A C A 1．B 【详解】解：已经是一般形式， 对应可得二次项系数，一次项系数，常数项． 2．B 【详解】解：原方程为， 将方程左边按照单项式乘多项式法则展开 得， 该方程的一般形式为． 3．C 【详解】解：①是分式方程，不是一元二次方程； ②含有两个未知数，不是一元二次方程； ③是一元二次方程； ④是一元二次方程； 综上所述，③和④是一元二次方程． 4．B 【详解】方程是关于的一元二次方程， ，且． 解得． 故选：B． 5．C 【详解】解：∵ 展开左边得 移项得 合并同类项得． 6．C 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴． 7．D 【详解】解：∵是关于x的方程的一个根， ∴， ∴． 8．A 【详解】解： 展开右侧得 移项合并同类项得 由题意，该方程一次项系数为，可得 解得． 9．C 【详解】解：∵ 方程为 当时，代入方程左边得， 由题可知， ∴ 是方程的根， 当时，代入方程左边得， 由题可知， ∴ 是方程的根 ∴方程的根为． 10．A 【详解】解：将代入，得， ， ． 11．（5） 【详解】解：（1），不是整式方程，不是一元二次方程； （2），含有2个未知数，不是一元二次方程； （3），不是整式方程，不是一元二次方程； （4），未知数的最高次数为3，不是一元二次方程； （5），是一元二次方程； （6），当时，是一元二次方程； 故答案为：（5） 12．（答案不唯一） 【详解】解：设一元二次方程的一般形式为， ∵是方程的根， ∴将代入方程得：， 任意取满足条件的，例如取，，， 得到一元二次方程， 验证可知是该方程的根，符合要求． 13．1 【详解】解：在一元二次方程中， ∵一次项为， ∴一次项系数是1． 14． 【详解】解: 因为是方程的根， 将代入方程得：， 整理得， 移项得． 15． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴二次项系数， 解得， 故答案为：． 16． ，， 【详解】解：将一元二次方程移项整理为一般形式，得 ， ∴该方程的二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 17．2005 【详解】解：是方程的解， ， ， ． 18．/ 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴，即， ∴． 19．(1)方程化为一般形式为，二次项系数是3，一次项系数是，常数项是； (2)方程化为一般形式为，二次项系数是9，一次项系数是0，常数项是； (3)方程化为一般形式为，二次项系数是6，一次项系数是2，常数项是； (4)方程化为一般形式为，二次项系数是3，一次项系数是，常数项是． 20．(1)或 (2) 【详解】（1）解：根据题意得，，或， ∴或； （2）解：根据题意得，， ∴， ∴． 21．(1) (2) (3)2025 【详解】（1）解：根据新定义，方程的倒方程是：； （2）解：由题知，方程的倒方程为， 将代入此方程得，， 解得； （3）解：由题知，一元二次方程的倒方程是， ∵m是此方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴． 22．5 【详解】解：原式 ， ∵m是方程的根， ∴， 即， ∴原式的值为5． 23．(1) (2) 【详解】解：（1）设a＝3k，b＝4k，c＝5k（），则3k＋4k＋5k＝12， 解得k＝1，∴a＝3，b＝4，c＝5， ∴该一元二次方程为． （2）由题意得a＝2，b＝4，c＝5， ∴该一元二次方程为． 24．11 【详解】解：根据题意得，， ， 将代入上式得， 原式． 25．(1) (2) (3)2025 【详解】（1）解：根据新定义，方程的倒方程是：； （2）解： 由题知，方程的倒方程为， 将代入此方程得，， 解得； （3）解：由题知，一元二次方程的倒方程是， ∵是此方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴． $