30.3 正多边形与圆 同步练习 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 本练习以正多边形与圆的核心概念为载体，通过基础辨析、中档计算到综合探究的三层递进设计，实现从单一知识点到复杂问题解决的巩固路径，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|中心角、边数等核心概念|单选1直接考查中心角定义，夯实概念理解| |中档|面积、边心距等公式应用|填空10结合正方形内外切圆计算面积，强化运算能力| |提高|动态问题、旋转证明等综合探究|解答17通过旋转探究正多边形内点的关系，发展逻辑推理|

30.3 正多边形与圆 同步练习2026-2027学年人教版 九年级数学上册 一、单选题 1．正六边形的中心角的度数为（    ） A． B． C． D． 2．一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为，则该正多边形的边数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．下图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 4．下列四个命题中，正确的是（   ） （1）各角相等的圆内接五边形是正五边形；（2）各边相等的圆内接五边形是正五边形； （3）各角相等的圆内接六边形是正六边形；（4）各边相等的圆内接六边形是正六边形． A．（1）（2）（3） B．（1）（2）（4） C．（1）（3）（4） D．（2）（3）（4） 5．如图，已知的半径为4，则该圆内接正六边形的边心距的值是（    ）    A． B． C． D．3 6．科学家发现苯分子中的6个碳原子组成了一个完美的正六边形（如图1），图2是其平面示意图，点为正六边形的中心，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图，正六边形内接于，若的面积为，则的半径为（    ） A． B． C． D． 8．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”蕴含了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正十二边形的面积作近似估计，可得的估计值为（   ） A． B．3 C． D．3.14 二、填空题 9．大疆航拍无人机在距地面相同的高空，沿正多边形航线飞行完成拍摄任务，它到达正多边形的每个顶点时需要转动才能继续沿该正多边形的边飞行，则这个正多边形的边数为__________． 10．在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．如图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是___________． 11．正边形的边数变为原来的倍时，它的每个内角增加_______，每个中心角减少_____． 12．如图，在平面直角坐标系中，以正六边形的中心O为原点，顶点A，D在x轴上，若半径是4，则顶点C的坐标为______． 13．如图，正方形内接于，点P为弧上的动点（不与端点重合），连接，过点D作于点Q，连接，若的半径为，则长的最小值为 _________________ ． 三、解答题 14．如图，点A是上一点．请利用直尺和圆规完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹） (1)画出的内接正． (2)在上画出、两点，使得．（画一种即可） 15．如图，正外接圆的半径为2，求正的边长，边心距，周长和面积． 16．大圆O和小圆O为同心圆，正六边形为大圆O的内接正六边形，连接．连接与交于点K，同时小圆O与相切于点K． (1)求证：是小圆O的切线． (2)若，求阴影部分的面积．（结果用表示） 17．阅读下面材料： 小岩遇到这样一个问题：如图1，在正三角形ABC内有一点P，且PA＝1，，PC＝2，求∠APB的度数； 小岩是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造，连接，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决． (1)请你回答：图1中∠APB的度数等于____；（直接写答案） 参考小岩同学思考问题的方法，解决下列问题： (2)如图3，在正方形ABCD内有一点P，且，，．求∠APB的度数； (3)如图4，在正六边形ABCDEF内有一点P，若∠APB＝，直接写出PA，PB和PF的数量关系． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C D B A D A B 1．【答案】B 【知识点】求正多边形的中心角 【分析】本题考查了正多边形中心角的定义，注意准确掌握定义是关键． 根据题意正多边形中心角即为除以正多边形边数即可选出本题答案． 【详解】解：正六边形的中心角度数． 故选：B． 2．【答案】C 【知识点】已知正多边形的中心角求边数 【分析】根据正多边形的中心角=计算即可． 【详解】解：设正多边形的边数为n． 由题意=72°， ∴n=5， 故选：C． 【点睛】本题考查正多边形的有关知识，解题的关键是记住正多边形的中心角=． 3．【答案】D 【知识点】正多边形和圆的综合、求其他不规则图形的面积 【分析】本题主要考查了正方形的内切圆、外切圆、勾股定理等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． 如图：连接相交于O，由正方形的内切圆的半径是2，，，再运用勾股定理可得，则，最后根据圆的面积公式求解即可． 【详解】解：如图：连接相交于O， ∵正方形的内切圆的半径是2， ∴，， ∴，， ∴图中阴影部分的面积是． 故选D． 4．【答案】B 【知识点】正多边形和圆的综合 【分析】本题考查多边形与圆的关系，熟记正多边形的概念及正多边形与圆的关系是解题的关键； 根据正多边形的性质及正多边形与圆的关系逐项判断即可． 【详解】（1）各角相等的圆内接五边形是正五边形，因为圆内接五边形的角度都是相等的，所以是正五边形，故符合题意； （2）各边相等的圆内接五边形是正五边形，因为圆内接五边形的边长都相等，所以是正五边形，故符合题意； （3）各角相等的圆内接六边形，因为圆内接六边形的角度相等，但各边不一定相等，所以不一定是正六边形，故不符合题意； （4）各边相等的圆内接六边形是正六边形，因为圆内接六边形的边长都是相等的，所以是正六边形，故符合题意． 综上所述命题正确的有（1）（2）（4）， 故选：B 5．【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、正多边形和圆的综合 【分析】本题考查了正多边形，等边三角形的判定及性质，熟练掌握圆内接正多边形的相关概念是解题的关键．连接，，可得是等边三角形，根据边心距即为等边三角形的高用勾股定理求出． 【详解】解：连接，，    ∵六边形是正六边形， ∴， ∴是等边三角形， 由题意可知，则垂直平分， ∴， ∴ 故选：A． 6．【答案】D 【知识点】正多边形的内角问题、求正多边形的中心角 【分析】本题考查了正多边形的性质，中心角的计算，等腰三角形的三线合一性质，熟练掌握多边形的性质和中心角的计算是解题的关键．根据点O为正六边形的中心，得到，，继而得到，，解答即可． 【详解】∵点O为正六边形的中心， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 7．【答案】A 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、正多边形和圆的综合 【分析】本题考查的知识点是正多边形与圆的综合、等边三角形的判定与性质、勾股定理，解题关键是熟练掌握正多边形与圆的关系．作交于点，由正六边形内接于推得是等边三角形，结合三线合一定理、勾股定理即可求出的半径． 【详解】解：作交于点， 正六边形内接于， ，， 是等边三角形， ∴， ， ， 中，， 则， 解得． 故选：． 8．【答案】B 【知识点】含30度角的直角三角形、正多边形和圆的综合 【分析】本题考查了圆内接正多边形的性质，30度的作对的直角边是斜边的一半，三角形的面积公式，圆的面积公式等，正确求出正十二边形的面积是解题的关键．根据圆内接正多边形的性质可得，根据30度的作对的直角边是斜边的一半可得，根据三角形的面积公式即可求得正十二边形的面积，即可求解． 【详解】解：圆的内接正十二边形的面积可以看成12个全等的等腰三角形组成，故等腰三角形的顶角为，如图为其中一个等腰三角形，过点作交于点于点， ，的半径为1， ， ， 故圆内接正十二边形的面积为：， 的面积为， ，即的估计值为． 故选：B． 9．【答案】 【知识点】正多边形的外角问题、已知正多边形的中心角求边数 【分析】根据题意可知无人机在顶点处转动的角度即为正多边形的外角，利用多边形的外角和定理列式计算即可求解． 【详解】解：设这个正多边形的边数为， 根据题意，无人机到达正多边形的每个顶点时需要转动， 即该正多边形的每个外角为， 由多边形的外角和等于， 得． 10．【答案】 【知识点】正多边形和圆的综合 【分析】本题主要考查了正方形的内切圆、外接圆、勾股定理等知识点．如图：连接相交于O，由正方形的内切圆的半径是2，，，再运用勾股定理可得，则，最后根据圆的面积公式求解即可． 【详解】解：如图：连接相交于O， ∵正方形的内切圆的半径是2， ∴，， ∴，， ∴图中阴影部分的面积是． 故答案为：． 11．【答案】 【知识点】多边形内角和与外角和综合、求正多边形的中心角 【分析】本题考查了正多边形的外角、内角及中心角的计算方法，关键是知识的熟练应用． 分别计算出两个正多边形每个内角及中心角的度数，然后作差即可求得. 【详解】解：∵正边形的每个外角为， ∴每个内角为， ∵正边形的每个外角为， ∴正边形的每个内角为， ∴， ∵正边形的每个中心角为， 正边形的每个中心角为， ∴ 故答案是：，． 12．【答案】 【知识点】正多边形和圆的综合、写出直角坐标系中点的坐标、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查图形与坐标、涉及正多边形性质、含直角三角形性质及勾股定理等知识，熟练掌握正多边形性质、含直角三角形性质，数形结合是解决问题的关键．过点作，如图所示，利用正多边形外角性质求出内角及线段长，再由含直角三角形性质及勾股定理求出长，然后数形结合即可求解． 【详解】解：过点作，连接，如图所示： 在正六边形中，， 因为， 所以是等边三角形， ，， 在中，，则， 则由勾股定理可得， ， 故答案为：． 13．【答案】1/ 【知识点】正多边形和圆的综合、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查了圆与正多边形，勾股定理，正方形的性质等知识点，解题的关键是正确确定点的轨迹． 如图，取的中点K，以为直径作，则点Q在正方形内部的圆弧上运动（不与端点重合）．由正方形外接圆的半径可得的长，进而根据勾股定理求出的长，根据即可解决问题． 【详解】如图，取的中点K，以为直径作，连接 ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴则点Q在正方形内部的圆弧上运动（不与端点重合）． ∵四边形是正方形， ∴ ∴ ∴， ∵ ∴当B,Q,K在一条直线上时，有最小值， 此时， 故答案为：． 14．【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】正多边形和圆的综合、圆周角定理 【分析】本题考查了作图复杂作图，等边三角形的判定、圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系： （1）从A点开始，以为半径．依次画弧，这样把六等份，连接的三等份点得到的内接正三角形； （2）可作直径，再以点圆心，为半径画弧交于，则． 解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）解：如图，作直径，再以点圆心，为半径画弧交于，则． 15．【答案】正△ABC的边长为，边心距为1，周长为，面积为 【知识点】正多边形和圆的综合、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形 【分析】如图：连接，延长交于D，根据等边三角形性质得出，，进而求得；再根据勾股定理求出，即可求出，进而求得周长和面积． 【详解】解：如图：连接，延长交于D， ∵正外接圆是， ∴， ∴边心距, 由勾股定理得：， ∴三角形边长为，， ∴的周长是；的面积是． 【点睛】本题考查了等边三角形、等腰三角形的性质、勾股定理、三角形的外接圆、三角形的面积等知识点，正确作辅助线后求出的长是解题的关键． 16．【答案】(1) 证明：如图所示，连接，设交于H， ∵正六边形为大圆O的内接正六边形， ∴， ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∴， ∵小圆O与相切于点K， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点H在小圆O上， 又∵， ∴是小圆O的切线； (2) 【知识点】正多边形和圆的综合、用勾股定理解三角形、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）连接，设交于H，可证明垂直平分，则，再由切线的性质得到，进而可证明，得到，据此可证明结论； （2）证明是等边三角形，则可求出的长，进而求出的长，求出，则可求出，最后根据即可求出答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵正六边形为大圆O的内接正六边形， ∴， ∴是等边三角形， ∵小圆O与相切于点K， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正多边形与圆综合，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定，熟知切线的性质与判定定理是解题的关键． 17．【答案】(1) (2) (3) 【知识点】正多边形和圆的综合、正方形性质理解、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】（1）把△APB绕点A逆时针旋转得到，由旋转的性质可得证出是等边三角形，由等边三角形的性质求出，再由勾股定理逆定理求出，求出，即为∠APB的度数； （2）把△APB绕点A逆时针旋转得到，由旋转的性质可得，证出是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质求出，，再利用勾股定理逆定理求出 ，然后求出，即为∠APB的度数； （3）把△APB绕点A逆时针旋转得到， 由旋转的性质，，可得， 过点A作于M，设与AF相交于N，证明 再利用勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：如图2，把△APB绕点A逆时针旋转得到， 由旋转的性质， ∴是等边三角形， ∴ ∵ ∴   ∴ 故； 故答案为：． （2）如图3，把△APB绕点A逆时针旋转得到， 由旋转的性质， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴， ∴， 故． （3）如图4，∵正六边形的内角为， ∴把△APB绕点A逆时针旋转得到， 由旋转的性质，， ∴， 过点A作于M，设与AF相交于N， 设 则 ∴ ∴ 由旋转的性质可得：   ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，正方形的性质，正六边形的性质，勾股定理以及勾股定理逆定理的应用，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造出直角三角形与全等三角形是解题的关键． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $