30.3 正多边形与圆- 课时作业 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本同步练习围绕“正多边形与圆”，通过基础概念辨析、中档计算应用、提高综合探究的三层设计，实现从单一知识点到跨情境应用的巩固路径，适配新授课分层教学需求，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|核心概念（中心角、正多边形定义）|选择1、4直接考查中心角与边数关系、正多边形判定，夯实概念理解| |中档|公式应用（半径/边心距计算、内接图形性质）|填空13结合圆内接正三角形、正方形、正六边形边心距计算，强化运算能力| |提高|综合探究（作图、全等证明、规律归纳）|解答19通过正n边形规律探究，发展空间观念与推理意识，体现数学思维进阶|

30.3 正多边形与圆 一、选择题 1.如果正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数是(    ) A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 2.若圆内接正三角形的边长是12 cm，则该圆的半径长是(    ) A. B. C. D. 3.若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为    A. B. C. D. 1 4.下面图形中，是正多边形的是(    ) A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 等腰梯形 5.若一个圆内接正多边形的中心角是，则这个多边形是(    ) A. 正五边形 B. 正八边形 C. 正十边形 D. 正十八边形 6.如图，正五边形ABCDE内接于，F为上一点，则的度数为      A. B. C. D. 7.若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为    A. 6， B. ，3 C. 6，3 D. ， 8.中国体育代表团在巴黎奥运会上取得了优异的成绩，图1是2024年巴黎奥运会的一枚金牌，金牌正中间镶嵌了一块来自埃菲尔铁塔的正六边形铁块.这个正六边形铁块的示意图如图2所示，已知该正六边形ABCDEF的周长约120mm，则正六边形铁块的边心距约为(    ) A. 20mm B. 10mm C. D. 9.利用等分圆可以作正多边形，下列只利用直尺和圆规不能作出的多边形是    A. 正三角形 B. 正方形 C. 正六边形 D. 正七边形 10.如图，正方形ABCD内接于，E为上一点，连接若，，则的半径长为(    ) A. B. 5 C. D. 11.下面给出五个命题： ①正多边形都有内切圆和外接圆，且这两个圆是同心圆； ②各边相等的圆外切多边形是正多边形； ③各角相等的圆内接多边形是正多边形； ④正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形； ⑤正n边形的中心角，且与每一个外角相等． 其中真命题有      A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题 12.如图，在平面直角坐标系中，正六边形OABCDE的边长是2，则它的外接圆圆心P的坐标是          . 13.以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是          . 三、解答题 14.如图，已知正六边形ABCDEF内接于，且边长为4，求该正六边形的半径OA、边心距OM和中心角 15.若一个正六边形的周长为24，求该正六边形的面积．结果保留根号 16.如图，已知，点A在圆上，请以A为一顶点作圆内接正方形保留作图痕迹，不写作法 17.如图，BC是的一个内接正五边形的一边，请用等分圆周的方法，在中用尺规作图作出一个的内接正五边形请保留作图痕迹，不写作法 18.如图，点M，N分别是正五边形ABCDE的边BC，CD上的点，且，AM交BN于点 求证：≌； 求的度数． 19.如图，M，N分别是半径为R的的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，，正n边形的边AB，BC上的点，且，连接OM， 图1中的度数为          ，          用含R的式子表示 图2中的度数为          ，图3中的度数为          ; ①的度数与正n边形的边数n的关系是          直接写出结果②当，时，求的值. 答案和解析 1.【答案】A  2.【答案】B  3.【答案】A  【解析】解：如图所示，在正方形ABCD中，O是中心，OE是其内切圆半径，OD是其外接圆半径. 由题意，得，， ， 4.【答案】C  5.【答案】C  【解析】解：由题意可得： 边数为， 则这个多边形是正十边形． 故选： 一个正多边形的中心角都相等，且所有中心角的和是360度，用360度除以中心角的度数，就得到中心角的个数，即多边形的边数． 本题考查了正多边形和圆，根据多边形中心角的个数与边数之间的关系解题． 6.【答案】D  7.【答案】B  【解析】解：因为正方形内切圆半径为正方形边长的一半且正方形边长为6， 所以其内切圆半径为 又因为正方形边长是其外接圆半径的倍， 所以其外接圆半径为，故选 8.【答案】D  9.【答案】D  10.【答案】B  11.【答案】A  12.【答案】  13.【答案】  14.【答案】证明：六边形ABCDEF为正六边形，，为等边三角形．，  15.【答案】解：如图，过点O作，垂足为，，为等边三角形，且三条对角线把正六边形分成了六个全等的等边三角形．正六边形的周长为24，，，在中，根据勾股定理，得   16.【答案】解：如图，正方形ABCD即为所求作.   17.【答案】图略.  18.【答案】【小题1】 解：证明：五边形ABCDE是正五边形，，在和中，，，，≌ 【小题2】 ≌，是的外角，   19.【答案】【小题1】 【小题2】 【小题3】 ① ②易证， 当时，，如图，过点B作于点H，则，   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $