30.2 三角形的内切圆 课后练习 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 以“概念辨析-技能应用-综合实践”分层设计，覆盖三角形内切圆核心知识点，通过基础题型巩固概念，解答题深化推理，综合实践培养应用意识，适配新授课“基础巩固+能力提升”需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|内心定义、位置、性质|选择题（内心是角平分线交点）、填空题（内切圆概念），强化抽象能力与几何直观| |技能应用|半径计算、公式推导|解答题（等边三角形内切圆半径计算、直角三角形半径公式推导），发展运算能力与推理能力| |综合拓展|内外心比较、实践操作|综合题（内外心定义辨析、折纸找内心），培养模型意识与创新意识|

新人教版九年级上册 第章 直线与圆的位置关系 三角形的内切圆 课后练习（满分分，时间分钟） 【本课知识要点】 · 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。 · 三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，内心到三角形三边的距离相等。 · 任意三角形都有且只有一个内切圆，内心一定在三角形内部。 · 常用结论：直角三角形两条直角边为、，斜边为，则内切圆半径 。 · 连接内心与三个顶点，把三角形分成三个小三角形，可得：（为内切圆半径）。 一、选择题（本大题共小题，每小题分，共分） ．三角形的内心是（　　） ．三条边的垂直平分线的交点 ．三条角平分线的交点 ．三条中线的交点 ．三条高的交点 ．三角形的内心到三角形（　　） ．三个顶点的距离相等　　．三边的距离相等 ．三条高的距离相等　　．三边中点的距离相等 ．一个三角形的内切圆（　　） ．有且只有一个　　．有个 ．可能有个　　．不存在 ．如图，是的内切圆，切点分别为、、，则图中相等的线段（　　） ．　　． ．　　． ．等边三角形的边长为，则它的内切圆的半径为（　　） ．　　．　　．　　． ．在中，，两直角边分别为和，则其内切圆的半径为（　　） ．　　．　　．　　． ．在中，，则其内切圆的半径为（　　） ．　　．　　．　　． ．三角形的外心与内心的位置（　　） ．外心一定在形内　　．内心一定在形内 ．都在形内　　．都在形外 二、填空题（本大题共小题，每小题分，共分） ．与三角形各边都相切的圆叫做三角形的圆。 ．三角形的内心是三角形三条的交点。 ．三角形的内心到三角形三边的距离。 ．等边三角形的边长为，则它的内切圆的半径为。 ．在中，为内心，则度。 三、解答题（本大题共小题，满分分） ．（本题分）如图，等边的边长为，求它的内切圆的半径。 ．（本题分）写出用尺规作内切圆的作图步骤。 ．（本题分）在中，为的内心，求的度数。 ．（本题分）在中，。设其内切圆的半径为，三边长分别为、、（为斜边）。利用切线长定理推导直角三角形内切圆半径公式 ，并求出的值。 ．（本题分）已知的面积为，周长为，求内切圆的半径。 四、综合与实践（本大题共小题，满分分） ．（本题分）【阅读理解】阅读材料，回答问题。 材料：三角形的外心与内心是两个不同的"心"。外心是三角形外接圆的圆心，是三条边垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点距离相等；内心是三角形内切圆的圆心，是三条角平分线的交点，它到三角形的三条边距离相等。外心的位置与三角形的形状有关：锐角三角形的外心在形内，直角三角形的外心在斜边中点，钝角三角形的外心在形外；而内心一定在三角形内部。 问题： 分别写出外心和内心的定义； 什么三角形的内心、外心和外心重合（内心与外心是同一点）？请举例说明； 在中，，求它的外接圆半径和内切圆半径，并计算的值。 ．（本题分）【综合与实践】用折纸找三角形的内心。 准备一张三角形纸片（任意三角形）。 如何通过折叠得到一条角平分线？写出折叠方法； 折出两条角平分线，它们的交点与三角形的内心有什么关系？为什么？ 如何折出内切圆的半径并确定切点位置？ 新人教版九年级上册 第章 直线与圆的位置关系 （参考答案与解析） 一、选择题（每小题分，共分） ． ． ． ． ． ． ． ． 二、填空题（每小题分，共分） ．内切 ．角平分线 ．相等 ． ． 三、解答题 ． 【分析】内切圆的圆心在上（为中点），切点为时内切圆半径即；由高，且内心分高为:。 【详解】设内切圆的圆心为，与边的切点为，连接。 由等边三角形的对称性，在高上，且，垂足为的中点。 因为与内切圆相切于， 所以就是内切圆的半径。 ， 。 设内切圆半径，则。 连接，在中：， 又（内心到各边距离相等推出内心在对称轴上， 与均为内心到顶点的连线，由角平分线性质平分）， 在等边三角形中，内心把高分成::， 所以。 即内切圆的半径为。 【评分标准】得出得分；得出得分；求出得分（共分）。 ．作法见详解 【分析】内心是角平分线的交点，半径是内心到边的距离。 【详解】作法： ①作的平分线； ②作的平分线，两线相交于点； ③过点作，垂足为； ④以为圆心、为半径作圆。 则就是的内切圆。 依据：角平分线上的点到角两边的距离相等， 三条角平分线相交于同一点，且到三边的距离相等， 所以以为圆心、到任一边的距离为半径的圆与三边都相切。 【评分标准】步骤完整得分；说明依据得分（共分）。 ． 【分析】。 【详解】因为是的内心， 所以平分平分， 即。 在中， 。 又， 所以。 【评分标准】利用角平分线得分；列出表达式得分；求出得分（共分）。 ．推导见详解； 【分析】设内切圆与三边切点，用切线长相等把三边表示出来，相加求解。 【详解】设内切圆与、、分别相切于点、、。 由切线长定理： 。 则。 所以， 所以。 在中，， 由勾股定理得， 所以。 即内切圆的半径为。 【评分标准】设切线长得分；推出得分；求出得分（共分）。 ． 【分析】连接内心与三顶点，把三角形分成三个小三角形，各以边为底、内切圆半径为高。 【详解】设的内切圆圆心为，半径为， 三边、、的长分别为、、。 连接、、， 则被分成、、三个小三角形。 因为内切圆与三边分别切于各边上的切点， 所以到三边的距离都等于， 即三个小三角形分别以、、为底、为高。 所以 。 又，所以。 即内切圆的半径为。 【评分标准】作出辅助线并说明分割得分；得出得分；求出得分（共分）。 四、综合与实践 ． 外心：外接圆的圆心，三边垂直平分线的交点，到三顶点距离相等；内心：内切圆的圆心，三条角平分线的交点，到三边距离相等； 等边三角形（此时内心、外心、重心、垂心全部重合）； 【分析】等边三角形四心合一；斜边；。 【详解】外心：三角形外接圆的圆心， 是三角形三条边的垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等。 内心：三角形内切圆的圆心， 是三角形三条角平分线的交点，到三条边的距离相等。 等边三角形的内心与外心重合。 例如边长为的等边三角形， 它的外心和内心都是它的中心（对称轴的交点）， 此时重心、垂心、外心、内心四心合一。 在中，， 。 外接圆半径（外心是斜边中点）。 内切圆半径。 所以。 【评分标准】两个定义各得分（共分）；举例并说明得分；得分，得分，得分（共分）（合计分）。 ． 把的两边、折到一起重合（折叠后两边互相重合），折痕就是的平分线； 交点就是内心，因为两条角平分线的交点在第三条角平分线上，到三边距离相等； 过交点把某一边折上来，使折痕过交点且该边折叠后与自身重合（即折痕与该边垂直），垂足就是切点，交点到垂足的距离就是内切圆半径 【分析】折叠的本质是轴对称：两边重合的折痕是角平分线；过一点折出与已知边垂直的折痕得垂线。 【详解】折叠方法：把的边折过来，使与重合， 压平后得到的折痕就是的平分线。 道理：折叠是轴对称，折痕是对称轴， 与关于折痕对称，所以折痕平分。 同样方法折出另一条角平分线，设两条折痕相交于点。 则点就是三角形的内心。 因为在两条角平分线上， 而三角形三条角平分线交于同一点， 所以也在第三条角平分线上， 且到三边的距离相等， 故以为圆心、到任一边距离为半径的圆与三边都相切。 过点折叠纸片，使边上的折痕经过且折叠后与自身重合， 这条折痕就是到的垂线，垂足（折痕与的交点）就是切点， 的长就是内切圆的半径， 以为圆心、为半径即可画出（剪出）内切圆。 【评分标准】折叠方法与道理得分；说明交点是内心得分；方法正确得分（共分）。 学科网（北京）股份有限公司 $