30.2三角形的内切圆（分层作业，7大知识点）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 围绕“三角形的内切圆”核心知识点，按概念辨析、计算应用、证明作图、综合拓展分层设计，梯度从基础到综合，适配新授课知识巩固与能力提升需求，培养几何直观与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础概念层|三角形内切圆相关概念辨析|以选择、判断题为主，考查内心定义及与外心的区别（如内心是角平分线交点）| |计算应用层|与内心有关的角度、面积、半径计算|结合折叠、内切圆切点等情境，强化几何直观（如折叠后内心角度计算）| |证明作图层|内心相关证明及尺规作图|通过内接圆、直径等综合情境，培养推理能力（如内心与外接圆交点证明）| |综合拓展层|内切圆与外接圆综合应用|融合周长、面积关系及内外切圆性质，提升综合应用能力（如等边三角形内外切圆半径比）|

30.2三角形的内切圆 知识点一 相关概念辨析 1．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）三角形内切圆的圆心为（   ） A．三条高的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点 【答案】C 【详解】解：∵三角形内切圆的圆心到三角形三条边的距离相等， 又∵角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点． 2．（25-26九年级上·辽宁鞍山·阶段检测）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内心的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的内心是三角形角平分线的交点，结合常见尺规作图分析即可． 【详解】解：三角形的内心是三角形角平分线的交点， 由选项可得选项B是尺规作两个角的平分线，故符合题意． 3．（25-26九年级上·安徽淮南·期末）下列说法正确的是（   ） A．三角形的内心是三边垂直平分线的交点 B．三角形的外心是三个内角平分线的交点 C．等腰直角三角形的内心与外心重合 D．等边三角形的内心与外心重合 【答案】D 【分析】本题考查三角形内心与外心的定义，内心：三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，是三角形三个内角角平分线的交点．外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．结合定义逐一辨析选项． 【详解】解：∵三角形的内心是三个内角平分线的交点，外心是三边垂直平分线的交点． ∴A选项说法错误，B选项说法错误； ∵等腰直角三角形的外心在斜边中点处，内心在三角形内部，二者不重合． ∴C选项说法错误； ∵等边三角形的内角平分线与三边垂直平分线重合，其内心与外心为同一点． ∴D选项说法正确． 故选：D． 4．（25-26九年级上·河北沧州·期中）下列说法中，不正确的是（    ） A．经过三个点一定可以作圆 B．从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等 C．三角形三条内角平分线的交点是三角形内切圆的圆心，叫做该三角形的内心 D．三角形三边垂直平分线的交点是三角形外接圆的圆心，叫做该三角形的外心 【答案】A 【分析】本题考查了不在同一直线上的三点确定一个圆，切线长定理，三角形内心的定义，三角形外心的定义，正确理解圆的相关概念和性质是解题的关键．根据圆的相关性质逐一判定即可． 【详解】解：A选项：不在同一直线上的三点确定一个圆．当 三个点共线时无法作圆， A选项不正确，此选项符合题意； B选项：从圆外一点可以引圆的两条切线 ，它们的切线长相等．正确，此选项不符合题意； C选项：三角形的三条内角平分线交于一点，这点是三角形的内心，正确，此选项不符合题意； D选项：三角形的三边垂直平分线交于一点，这点是三角形外接圆的圆心，它到三个顶点的距离相等，它是三角形的外心，正确，此选项不符合题意； 故选：A． 知识点二 与内心有关的计算 1．（25-26九年级上·山西吕梁·期末）如图，将三角形纸片沿折叠，点C恰好与的内心I重合．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理，折叠的性质，三角形内心的性质，角平分线的定义等．根据三角形内角和定理得出，根据折叠的性质和三角形内心的性质得出，平分，平分，求得，据此计算即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵沿折叠，点恰好与的内心重合， ∴，平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）如图所示，的内切圆与、、分别相切于点D、E、F，若，则的度数是________． 【答案】 【分析】连接，先根据圆周角定理得到，再根据切线的性质得，，则，然后根据四边形内角和计算的度数． 【详解】解：连接，如图，    ∵， ∴， ∵是的内切圆与、、分别相切于点D、E、F， ∴，， ∴， ∴， ∴． 3．（25-26八年级上·上海崇明·期末）如图，点是的内心，过点作，垂足为点．如果的面积为，那么的周长为__________． 【答案】 【分析】本题考查三角形内心的性质，角平分线的性质，连接，过点作，根据三角形内心的性质可得，再根据的面积为，可得，进而可得结果． 【详解】解：连接，过点作， ∵点是的内心， ∴平分，平分，平分， ∵，， ∴， ∵的面积为， ∴，即， ∴． 故答案为：． 4．（25-26九年级上·广东汕头·期末）如图，是等边三角形的内切圆，分别与、、切于点D、E、F．若，则求阴影部分的面积_______． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的内切圆求阴影部分面积，熟练掌握相关知识求内切圆半径是解题的关键；连接、，，过点E作于G，过点D作于H，求出，和弓形面积即可解答． 【详解】解：连接、，，，并延长交于K，过点E作于G，过点D作于H， ∵是等边三角形的内切圆，分别与、、切于点D、E、F． ∴，，平分，，，，且， ∴，点K与点F重合，即O，F，B三点共线， ∴垂直平分，同理垂直平分，垂直平分， ∴点D是的中点，点F是的中点， ∴，，， ∵，则， ∴，， ∴，， ∴弓形面积为， ∴阴影部分的面积为， 故答案为． 知识点三 与内心有关的证明 1．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，是圆的内接三角形，点在弦上，且点为的内心． (1)求证：； (2)若为直径，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查圆的综合，涉及三角形内心，圆周角定理，勾股定理等知识点； （1）由内心可得，，则，即可得到，得到； （2）作交的延长线于点F，由为直径，得到，则，，在中求出，再证明，得到，则，最后根据求解即可． 【详解】（1）证明：∵点为的内心， ∴，， 由题意得， ∴， ∴， ， ∴， ∴； （2）解：作交的延长线于点F， ∵， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，点，，在上，是直径，点是的内心，连接，并延长交于点，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（）连接，由圆周角定理得，又点是的内心，即平分，所以，通过圆周角定理得， 然后通过平行线的性质可得，最后通过切线的判定方法即可求证； （）过作于点，则，证明四边形是正方形，所以，由，设，则，，，由勾股定理得，即，求得，所以，，再由即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的直径， ∴， ∵点是的内心， ∴平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：过作于点，则， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， 由，设，则，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴（负值已舍去）， ∴，， ∴ ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，扇形面积公式，三角形内心，切线的判定，正方形的判定与性质，解方程等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 3．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的内心，的延长线交的外接圆于点D． (1)求证：； (2)若，，求外接圆的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)3 【分析】本题考查了三角形的内心、圆周角定理、勾股定理、弧与弦的关系等知识，熟练掌握圆周角定理是解题关键． （1）先根据三角形内心的定义可得，，再根据圆周角定理可得，然后证出，根据等腰三角形的判定即可得证； （2）连接，先根据圆周角定理可得是的直径，，再求出，然后在中，利用勾股定理求出的长，由此即可得． 【详解】（1）证明：∵是的内心， ∴，， 由圆周角定理得：， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图，连接， ∵是的外接圆，且， ∴是的直径， ∴， ∵是的内心， ∴， ∴， ∴， 由（1）已证：， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴外接圆的半径为． 4．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图，中，，点是的内心．点在边上．以点为圆心．长为半径的圆恰好经过点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，，延长交于，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）延长交于，利用三角形内心性质，以及等腰三角形性质，证明， ，再根据切线判定定理证明即可； （2）根据等腰三角形性质得到，再利用勾股定理计算求解，即可解题． 【详解】（1）证明：延长交于， 点是的内心． 分别平分， ， 中，， ， ， ， ， ， ， ， 为半径， 是的切线； （2）解：由（1）知， ，，平分， ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形内心性质，等腰三角形性质，切线判定定理，勾股定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 知识点四 作出三角形的内心 1．（25-26九年级上·湖北宜昌·期末）如图，已知I是的内心，的平分线与的外接圆相交于点． (1)用尺规作图作出的外接圆，保留作图痕迹； (2)求证：． 【答案】(1) 解：如图，即为所求； (2) 证明：连接，如图所示： ∵I是的内心， ∴为角平分线，为角平分线， ∴点、、共线，， ∵， ， ∴， ∴． 【分析】本题考查尺规作图，等腰三角形的判定，圆周角定理，三角形的外角性质，圆的外接圆和内心等，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）利用尺规作图画出线段、线段的垂直平分线，相交于点O，以O为圆心，为半径画圆，即为的外接圆； （2）连接，I是的内心可得为角平分线，为角平分线，利用三角形外角定理和圆周角定理可得，即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 2．（25-26九年级上·福建龙岩·期末）如图，为的直径，平分交于点，，． (1)作的内心；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求的长． 【答案】(1) 如图所示，点即为所求作的点． (2) 【分析】（1）利用三角形内心是角平分线交点的性质，通过尺规作图作的角平分线交得到内心． （2）先根据圆周角定理及直径所对圆周角为直角，结合勾股定理求出的长度；再由角平分线性质推出弧与弧相等，得到，从而确定为等腰直角三角形；最后通过角的等量代换证明，进而求出的长度． 【详解】（1）略 （2）解：连接 是直径， ， 在中：， 平分， ， ， ，， 又在中：， ， 平分， ， 又， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了三角形内心的定义、圆周角定理、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理及等腰三角形的判定是解题的关键． 3．（25-26九年级上·天津西青·期末）如图，在每个小正方形边长为1的网格中，内接于圆，顶点，，均在格点上 （1）线段的长为_____； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出的内心，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明，画图时所有添加的线不超过5条）．_____ 【答案】 5 利用等腰三角形的性质找到线段的垂直平分线，找到线段垂直平分线，交于点，交内接于圆于点，由垂径定理得到点是的中点，连接交于点，则点为的内心 【分析】（1）结合网格，利用勾股定理求解即可； （2）利用等腰三角形的性质找到线段的垂直平分线，找到线段垂直平分线，交于点，交外接圆于点，由垂径定理得到点是的中点，连接交于点，则点为的内心． 【详解】解：（1）， 故答案为：5； （2）如图，点为的内心． 故答案为：利用等腰三角形的性质找到线段的垂直平分线，找到线段垂直平分线，交于点，交内接于圆于点，由垂径定理得到点是的中点，连接交于点，则点为的内心． 4．（25-26九年级上·河南信阳·阶段检测）如图，在中，． (1)实践与操作：在图1中用尺规作图法作出的内心I；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)证明与应用：如图2，与的三边分别相切于，连接ID、IE， ①判断四边形的形状并证明； ②若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)①正方形，证明见解析；② 【分析】（1）三角形内心是三条角平分线的交点，用尺规作、的角平分线，交点即为内心I． （2）①由切线性质得，，结合，先证四边形是矩形；再由（半径相等），证得矩形为正方形．②先在中求出，；设半径为，得，；根据切线长定理，列方程求解得． 【详解】（1）解：如图，点I为所求， （2）解：①四边形是正方形，理由如下： ∵是的内切圆，即、、都是的切线， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； ②已知，，， 则． 在中，，由勾股定理得： 设的半径为， 因为四边形是正方形， 所以，则，． 由切线长定理，，． 因为， 所以： ； 所以，的半径为． 【点睛】本题考查了三角形内切圆与内心，切线长的性质，勾股定理、角平分线的定义、解决本题的关键是掌握三角形内切圆与内心的含义与性质． 知识点一 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 1．（25-26九年级上·江苏南通·期末）中，，，，则内切圆的半径等于（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形内切圆及勾股定理，熟练掌握三角形的内切圆及勾股定理是解题的关键；由题意易得，然后根据“三角形的内切圆的半径即为三角形的内心到三角形三条边的距离”，进而根据等积法可进行求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 设内切圆的半径为r，则有：， ∴； 故选：A． 2．（25-26九年级上·江西南昌·期末）如图，在Rt中，，是的内切圆，三个切点分别为，，，若，，则的半径是（    ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】C 【分析】本题考查切线长定理、三角形的内切圆及勾股定理，解题的关键是理解切线长定理、三角形的内切圆的性质． 根据切线长定理得到，，，代入求解即可得到答案． 【详解】解：连接，， 设的半径为， 在四边形中，， 四边形为矩形， 又， 四边形为正方形， 则， 由切线长定理得：，， ，， 在中，， ， 解得：或（负值舍去）， 故选：C． 3．（25-26九年级上·广东东莞·期末）如图，为的内切圆，与三边的切点分别为D、E、F，则的面积为__________（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内切圆，切线的性质，勾股定理等知识，根据面积法求出半径r是解题的关键． 连接，，，，，，设，先由勾股定理求出的长，然后由面积法可求出半径r，从而根据圆的面积公式可计算出圆的面积． 【详解】解：如图，连接，，，，，． 设， 由勾股定理得． ， ， 解得， 的面积为． 故答案为：． 4．（25-26九年级上·天津·阶段检测）如图，在中，，是的内切圆，三个切点分别为D，E，F，若，，则的面积是______． 【答案】54 【分析】本题主要考查切线的性质、三角形的内切圆、勾股定理、全等三角形的判定与性质，灵活运用相关性质定理是解题的关键． 由，，可得，如图：连接，根据切线的性质易证可得：，同理可得：，设，则，再根据勾股定理列方程求得的值，进而确定，最后运用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 如图：连接， ∵是的内切圆，三个切点分别为D，E，F， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， 设，则， ∵， ∴， ∴，解得：或负值舍去， ∴． ∴． 故答案为：54． 知识点二 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 1．（25-26九年级上·云南曲靖·期末）如图，的内切圆分别与相切于点，且，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得到，，，数形结合可得到的周长． 【详解】解：∵的内切圆分别与相切于点，且， ∴， ∴， ∴的周长， 故选：A． 2．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，在中，，，为的内切圆，且半径为，若的面积为，则的长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了切线的性质，过分别作、、，分别交、、于、、，连接、、，由切线的性质得，由三角形的面积求解即可． 【详解】解：过分别作、、，分别交、、于、、，连接、、， 是的内切圆，且半径为， ， ， ， 解得， 故选：D． 3．（25-26九年级上·江西宜春·阶段检测）如图，已知是等边的内切圆，若的半径为2，则的面积为_______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内切圆的性质，等边三角形的性质、含的直角三角形性质等知识点，内切圆的圆心是三角形角平分线交点是解题的关键． 连接、连接并延长交于点，在直角中，，利用含的直角三角形性质求解出，进而求出等边的边长和高，由此即可解题． 【详解】解：连接、连接并延长交于点， ∵等边， ∴， 又∵是等边的内切圆， ∴是的角平分线，即，， ，， 又∵是的切线，的半径为2， ∴是切点，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为． 4．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，的内切圆分别与，，相切于点D，E，F，且，．若的周长为36，则的长为________． 【答案】8 【分析】本题考查了三角形内切圆、切线长定理．由切线长定理可得，，，从而得出的值，再由三角形周长得出的值，设，列出关于x的方程求解x的值，即可得出的值． 【详解】解：∵的内切圆分别与，，相切于点D，E，F， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴， 又∵的周长为36， ∴， 设， ∴， ∴， 解得：， 即的长为8， 故答案为：8． 知识点三 三角形内切圆与外接圆综合 1．（25-26九年级上·山东临沂·期末）如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的内心，等腰三角形的性质，圆周角定理，掌握内心的定义是解题的关键．连接，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得的度数，进而由圆周角定理得，再根据内心的定义可得，据此即可求解． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， ， 点是的内心， ． 故选：D． 2．（25-26九年级上·天津宝坻·阶段检测）若等边内接于等边的内切圆，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形的内切圆与内心的性质，由于、都是等边三角形，因此它们的外心与内心重合；可过内切圆的圆心O分别作、的垂线，连接、；在构建的含特殊角的直角三角形中，用的半径分别表示出、的长，进而可求出它们的比值． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴它们的内心与外心重合． 如图，过点O作的垂线，交于E，连接、． 设圆O的半径为R． 中，∵， ∴，即． 中，∵， ∴，即． ∴． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·江西宜春·期末）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于，过作直线． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，，求的半径． 【答案】(1) 证明：连接，与交于点，如下图所示： ∵点为的内心， ∴平分， 即， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， 且为的半径， ∴是的切线． (2) 证明：连接，如下图所示： ∵点为的内心， ∴平分， ∴， 又∵， ∴， 即， ∴． (3)的半径为 【分析】本题主要考查了三角形的内心性质，切线的判定与性质，勾股定理，三角形的外接圆与外心，圆周角定理． （1）连接，与交于点，由的内心得到平分，再由得到 垂直平分，由即可得到，即可证明是的切线； （2）连接，通过内心的性质，圆周角定理，可证出，即可证明； （3）在中，由勾股定理求出的长度，令的半径为，则，，在中，由勾股定理得，得出方程，求解得出的值即可． 【详解】（1）证明：略； （2）证明：略； （3）解：∵，， 在中，由勾股定理得， 令的半径为， 则，， 在中，由勾股定理得， 得方程， 解得， 故的半径为． 4．（25-26九年级上·江西上饶·期末）已知，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若的边恰好为的直径，延长至点，使得，连接．求证：直线为的切线． 【答案】(1) 证明：如图，连接． ∵点是的内心， ∴平分，平分， ∴，， ∵是的外角， ∴， ∵，， ∴， ∴． (2) 证明：如图，连接． 由（1）知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴直线是的切线． 【分析】（1）连接，首先结合三角形的内心定义可得，，进而结合角的和差关系以及三角形的外角性质进行角的运算即可推出，得到； （2）连接，利用相等的圆周角所对的弧相等，相等的弧所对的弦相等，得到，进而推出，即，得证． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查三角形内心的定义，外角的性质，等腰三角形的性质和判定，相等的圆周角所对的弧相等，相等的弧所对的弦相等，切线的判定，熟练掌握相关定理是解题的关键． 1．（25-26九年级上·浙江金华·期末）如图，三角形纸片的三边之比，是它的内切圆，的三条切线、、分别交的边于点D、E、F、G、M、N，则、、的周长之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了切线长定理，全等三角形的判定与性质及三角形周长计算．设，，，分别过点O作，，，，，，由切线长定理知，，，分别连接，，，，，，利用“”证明，同理可得，，，，，从而得出，，，，，设，，，将，，的周长分别用含a、b、c的式子表示出来，联立的周长表达式求得，进而得出a、b、c含k的表达式，最终经过计算得出比值． 【详解】解：由题意知，设，，， 如图，分别过点O作，，，，，， 由切线长定理知，从点B引两条切线，，则有， 同理得：，， 分别连接，，，，，， 在和中， ， ∴， ∴， 同理，易证得：，，，，， ∴，，，，， 设，，， ∴， ， ， ∴，即， ∴，，， ∴，，， ∴， 故选：D． 2．（25-26九年级上·江苏南京·期末）在中，，．若是的内切圆，则的半径的最大值是________． 【答案】1 【分析】设的内切圆的半径为r，与、、分别相切于D、E、F，连接、、， 则平分，，可得，利用切线长定理可得，，进而得出，当r最大时，最大，延长至，使，连接，则点在以为弦，所对圆周角为的圆弧上运动，作的外接圆，当为的直径，即点A与点重合时，的值最大，此时为等边三角形，即可求得答案． 【详解】解： 设的内切圆的半径为r，与、、分别相切于D、E、F，连接、、， 则， ， ， ， ， ， ． ， ． ， ，， 平分． ． ， ． ． 当r最大时，最大． 延长至，使，连接则． ， ， ， 点在以为弦，所对圆周角为的圆弧上运动， 作的外接圆，当为的直径，即点A与点重合时，的值最大， 此时， ， ， 为等边三角形． ． ． ． 的内切圆的半径为r的最大值为1， 故答案为：1 【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形内切圆，三角形外接圆，解直角三角形等，作出辅助圆，利用直径是圆中最大弦是解题关键． 3．（25-26九年级上·重庆渝北·期末）如图，在中，，，、分别是的内心和外心，连接，若，则的长______． 【答案】 【分析】过内心作三角形三边的垂线，利用内心到三边距离相等的性质，结合判定四边形 为正方形，然后设正方形边长为，结合含角的直角三角形边长关系和的长度建立方程，求出正方形边长，再通过证明得到，结合外心的性质算出，最后在中用勾股定理求出． 【详解】解：如图，过点作，，，连接， ，，， ，， 点为的外心， ， 点为的内心， ，平分， ， 四边形是正方形， ， 设正方形边长为，则， ， ， ， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形内心和外心的定义与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，含角的直角三角形的边长关系，掌握三角形内心和外心的性质是解题关键． 4．（25-26九年级上·四川自贡·期末）如图，是的直径，内接于，点为的内心，连接并延长交于点，是上任意一点，连接，，，． (1)若，求的度数； (2)求证：； (3)若，，求的周长． 【答案】(1) (2) 证明：如图，连接， ∵点为的内心， ∴平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）由圆内接四边形可得，，结合是的直径可得，，根据三角形内角和定理，计算出； （2）连接，由内心的性质可知，平分，平分，则，．结合圆周角定理可得，，由三角形外角的性质可证明，于是得到； （3）作，垂足为，结合内心的性质和圆周角定理，容易证明进而都是等腰直角三角形．根据等腰直角三角形的性质并使用勾股定理，依次计算出、、和，相加求得求的周长． 【详解】（1）解：由圆内接四边形的性质可知，， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴； （2）略 （3）解：作，垂足为， 由（2）可得，平分， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在直角中，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在直角中，， ∴， 在直角中，， ∴， 在直角中，， ∴的周长为． 【点睛】本题考查圆周角定理，三角形内心的性质，三角形内角和定理与外角的性质，等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理，熟练掌握相关知识并正确添加辅助线是解题关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 30.2三角形的内切圆 知识点一 相关概念辨析 1．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）三角形内切圆的圆心为（   ） A．三条高的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点 2．（25-26九年级上·辽宁鞍山·阶段检测）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内心的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·安徽淮南·期末）下列说法正确的是（   ） A．三角形的内心是三边垂直平分线的交点 B．三角形的外心是三个内角平分线的交点 C．等腰直角三角形的内心与外心重合 D．等边三角形的内心与外心重合 4．（25-26九年级上·河北沧州·期中）下列说法中，不正确的是（    ） A．经过三个点一定可以作圆 B．从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等 C．三角形三条内角平分线的交点是三角形内切圆的圆心，叫做该三角形的内心 D．三角形三边垂直平分线的交点是三角形外接圆的圆心，叫做该三角形的外心 知识点二 与内心有关的计算 1．（25-26九年级上·山西吕梁·期末）如图，将三角形纸片沿折叠，点C恰好与的内心I重合．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）如图所示，的内切圆与、、分别相切于点D、E、F，若，则的度数是________． 3．（25-26八年级上·上海崇明·期末）如图，点是的内心，过点作，垂足为点．如果的面积为，那么的周长为__________． 4．（25-26九年级上·广东汕头·期末）如图，是等边三角形的内切圆，分别与、、切于点D、E、F．若，则求阴影部分的面积_______． 知识点三 与内心有关的证明 1．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，是圆的内接三角形，点在弦上，且点为的内心． (1)求证：； (2)若为直径，且，求的长． 2．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，点，，在上，是直径，点是的内心，连接，并延长交于点，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 3．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的内心，的延长线交的外接圆于点D． (1)求证：； (2)若，，求外接圆的半径． 4．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图，中，，点是的内心．点在边上．以点为圆心．长为半径的圆恰好经过点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，，延长交于，求的长． 知识点四 作出三角形的内心 1．（25-26九年级上·湖北宜昌·期末）如图，已知I是的内心，的平分线与的外接圆相交于点． (1)用尺规作图作出的外接圆，保留作图痕迹； (2)求证：． 2．（25-26九年级上·福建龙岩·期末）如图，为的直径，平分交于点，，． (1)作的内心；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求的长． 3．（25-26九年级上·天津西青·期末）如图，在每个小正方形边长为1的网格中，内接于圆，顶点，，均在格点上 （1）线段的长为_____； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出的内心，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明，画图时所有添加的线不超过5条）．_____ 4．（25-26九年级上·河南信阳·阶段检测）如图，在中，． (1)实践与操作：在图1中用尺规作图法作出的内心I；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)证明与应用：如图2，与的三边分别相切于，连接ID、IE， ①判断四边形的形状并证明； ②若，求的半径． 知识点一 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 1．（25-26九年级上·江苏南通·期末）中，，，，则内切圆的半径等于（   ） A．1 B． C． D． 2．（25-26九年级上·江西南昌·期末）如图，在Rt中，，是的内切圆，三个切点分别为，，，若，，则的半径是（    ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 3．（25-26九年级上·广东东莞·期末）如图，为的内切圆，与三边的切点分别为D、E、F，则的面积为__________（结果保留） 4．（25-26九年级上·天津·阶段检测）如图，在中，，是的内切圆，三个切点分别为D，E，F，若，，则的面积是______． 知识点二 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 1．（25-26九年级上·云南曲靖·期末）如图，的内切圆分别与相切于点，且，则的周长为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，在中，，，为的内切圆，且半径为，若的面积为，则的长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 3．（25-26九年级上·江西宜春·阶段检测）如图，已知是等边的内切圆，若的半径为2，则的面积为_______． 4．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，的内切圆分别与，，相切于点D，E，F，且，．若的周长为36，则的长为________． 知识点三 三角形内切圆与外接圆综合 1．（25-26九年级上·山东临沂·期末）如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·天津宝坻·阶段检测）若等边内接于等边的内切圆，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·江西宜春·期末）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于，过作直线． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，，求的半径． 4．（25-26九年级上·江西上饶·期末）已知，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若的边恰好为的直径，延长至点，使得，连接．求证：直线为的切线． 1．（25-26九年级上·浙江金华·期末）如图，三角形纸片的三边之比，是它的内切圆，的三条切线、、分别交的边于点D、E、F、G、M、N，则、、的周长之比为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏南京·期末）在中，，．若是的内切圆，则的半径的最大值是________． 3．（25-26九年级上·重庆渝北·期末）如图，在中，，，、分别是的内心和外心，连接，若，则的长______． 4．（25-26九年级上·四川自贡·期末）如图，是的直径，内接于，点为的内心，连接并延长交于点，是上任意一点，连接，，，． (1)若，求的度数； (2)求证：； (3)若，，求的周长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $