25.1 一元二次方程的概念 课后同步练习 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程概念，通过基础辨析-巩固应用-综合探究三层设计，实现从概念理解到灵活运用的递进，适配新授课知识内化需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|定义、一般形式、系数识别|单选辨析方程类型，填空直接写出二次项系数，强化符号意识| |巩固|根的判断、特殊形式转化|结合表格数据判断方程根，规范一般形式转化步骤，培养推理意识| |提升|综合应用与拓展|解答题结合分式化简求值，阅读材料渗透整体代换思想，发展创新意识|

25.1 一元二次方程的概念 课后同步练习2026-2027学年 人教版九年级数学上册 一、单选题 1．下列方程是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是（     ）． A．， B．， C．， D．， 3．关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．将一元二次方程化为一般形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 5．已知一元二次方程，，，满足，，则一元二次方程的根为（    ） A．， B．， C．， D．， 6．如表是小钰同学求代数式（，为常数）的值的情况．根据表中的数据可知，关于的一元二次方程的实数根是（   ） … 0 1 2 … … 6 2 0 0 2 … A．， B．， C．， D．， 7．若关于的一元二次方程的一个根为，则代数式的值为（   ）． A．8 B． C． D．4 二、填空题 8．写出一个关于且二次项系数为2的一元二次方程______． 9．一元二次方程的一次项系数是_____． 10．）一元二次方程的特殊形式： _______ _______ _______ 【注意】 （1）将一元二次方程化为一般形式，如果二次项系数为负数，一般将方程两边同乘以－1，将二次项系数a化为_______； （2）找一元二次方程各项的系数时，首先要将一元二次方程_______，再找二次项系数、一次项系数和常数项，并且要带上前面的_______； （3）若方程中没有出现一次项 或常数项，则该项的系数为_______； 11．一元二次方程化为一般式为___________． 12．在一元二次方程的研究中小明发现，小红发现，而小刚听完他们的发现后直接说出了方程的两个解，则这个方程的根为__________． 三、解答题 13．先化简，再求值： ．其中m是方程的根． 14．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)． (2)． (3)． 15．已知关于的方程． (1)当取何值时，此方程为一元一次方程并求出此方程的根． (2)当取何值时，此方程为一元二次方程并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项． 16．阅读与思考 阅读下列材料，然后完成相应任务． 方程两边同时除以，得，即． 因为， 所以． 任务： (1)已知方程，则____________． (2)若是方程的根，求的值． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C C B C D B C 1．【答案】C 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】一元二次方程的定义是：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程．据此逐一分析选项即可． 【详解】解：A、方程中含有和两个未知数，是二元一次方程，不符合要求； B、方程中含有和两个未知数，是二元二次方程，不符合要求； C、方程只含一个未知数，的最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义，符合要求； D、方程中未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合要求． 2．【答案】C 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】先将给定一元二次方程整理为一般形式，其中为二次项系数，为一次项系数，再对应找出系数即可得到答案． 【详解】原方程为， 将方程移项整理为一般形式得或， 整理后可得，二次项系数和一次项系数为或． 3．【答案】B 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】根据一元二次方程的定义，一元二次方程的二次项系数不能为0，列出并解不等式即可． 【详解】∵一元二次方程的二次项系数不能为0 ∴ ∴ 【点睛】本题考查一元二次方程的概念，一元二次方程的二次项系数不能为0是解题关键． 4．【答案】C 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，需通过展开和移项化为标准形式． 根据一元二次方程的一般形式（），将方程左边展开并移项整理． 【详解】 ， 展开得， 移项得。 一般形式为， 故选C． 5．【答案】D 【知识点】判断是否是一元二次方程的解 【分析】本题考查了一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程的根是解题的关键．根据当时，；当时，作答即可． 【详解】解：∵一元二次方程，，，满足，， ∴当时，；当时，， ∴方程的根是，． 故选：D． 6．【答案】B 【知识点】判断是否是一元二次方程的解 【分析】本题考查了判断是否是一元二次方程的解．通过观察表格数据，找到使代数式的值为2的值，这些值即为方程 的实数根，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，方程可化为， 由表格可知，当 或 时，， ∴方程的实数根为，， 故选：B 7．【答案】C 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、代数式求值等知识点，掌握一元二次方程的解是满足方程的未知数的值是解题的关键． 将代入方程得到关于a，b的等式，然后通过变形整理即可解答． 【详解】解：将代入方程得：， ∴ ∴． 故选C．． 8．【答案】 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据二次项系数为2的条件，构造一个简单的一元二次方程即可． 【详解】解：满足条件的一元二次方程为（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 9．【答案】 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式．根据一元二次方程的一般形式，其中一次项系数是，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数是， 故答案为：． 10．【答案】 正数 化为一般形式 符号 0 【知识点】一元二次方程的一般形式、一元二次方程的定义 【分析】根据一元二次方程的定义，即可求解． 【详解】解：根据题意得： （1）将一元二次方程化为一般形式，如果二次项系数为负数，一般将方程两边同乘以－1，将二次项系数a化为正数； （2）找一元二次方程各项的系数时，首先要将一元二次方程化为一般形式，再找二次项系数、一次项系数和常数项，并且要带上前面的符号； （3）若方程中没有出现一次项 或常数项，则该项的系数为0； 故答案为：；；；（1）正数；（2）化为一般形式，符号；（3）0； 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握形如（），其中a、b、c为常数的方程叫做一元二次方程是解题的关键． 11．【答案】 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【详解】解：， 展开完全平方得， 移项、合并同类项得． 12．【答案】 【知识点】判断是否是一元二次方程的解 【详解】解：依题意，当时，代入方程左边得：，已知，即左边右边，所以是方程的一个解． 当时，代入方程左边得：，已知，即左边右边，所以是方程的一个解． 所以这个方程的根为，． 13．【答案】， 【知识点】分式化简求值、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，一元二次方程解的定义．先计算括号内的，再计算除法，然后根据一元二次方程解的定义可得，然后代入，即可求解． 【详解】解：                      ． ∵是方程的根， ∴， ∴原式． 14．【答案】(1)，二次项系数为3，一次项系数为，常数项为1 (2)，二次项系数为1，一次项系数为，常数项为6 (3)，二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】此题考查一元二次方程的一般形式，先将一元二次方程化为一般形式，根据各项确定答案： （1）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项； （2）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项； （3）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项； 【详解】（1）解：整理，得， 故二次项系数为3，一次项系数为，常数项为1． （2）整理，得， 故二次项系数为1，一次项系数为，常数项为6． （3）整理，得， 故二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为． 15．【答案】(1) ，方程的根为 (2)，二次项系数为，一次项系数为-(，常数项为 【知识点】一元二次方程的一般形式、一元一次方程的定义、一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元一次方程的定义、一元二次方程的相关概念；掌握一元二次方程中，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．是解决本题的关键． （1）根据一元一次方程的定义得出，即可求出k的值； （2）根据一元二次方程的定义得出，则，根据一元二次方程二次项系数，一次项系数，常数项的定义，即可解答． 【详解】（1）解：∵原方程为一元一次方程， ∴， 解得：．把代入原方程，得解得： （2）解：∵原方程为一元二次方程， ∴， 解得：， 该方程的二次项系数为，一次项系数为-(，常数项为． 16．【答案】(1) (2) 【知识点】分式化简求值、通过对完全平方公式变形求值、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的解，分式的求值： （1）仿照题意求解即可； （2）根据一元二次方程解的定义得，进而得到，再两边平方求解即可． 【详解】（1）解：， 两边同时除以x（），得 ， ∴， 故答案为：3； （2）解：∵m是方程的根， ∴， 两边同时除以（），得 ， ∴， ∴， ∴ ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $