25.3 实际问题与一元二次方程 课后同步练习 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 分层梯度合理，覆盖一元二次方程应用全类型，从基础情境到综合创新，适配新授课巩固，培养模型意识与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|传播/增长率/握手问题|单选1-5、填空11-13，情境简单直接套用公式，强化抽象能力| |能力层|图形与动态问题|单选8、填空14-15、解答16-18，结合几何直观，需构建方程解决折叠/面积问题| |综合层|含参数与新定义|单选10、解答20，涉及根与系数关系及创新概念，发展推理意识与创新意识|

25.3 实际问题与一元二次方程 课后同步练习2026-2027学年 人教版九年级数学上册 一、单选题 1．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有49人患了流感，假设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．如图，某部门举办广场舞比赛，在一块正方形绿地上搭建临时舞台（阴影部分）．若舞台中间空白部分的面积为，则正方形绿地的边长为（    ） A． B． C． D． 3．“立身以立学为先，立学以读书为本”为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆约200人次，第三个月进馆约288人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程（   ） A． B． C． D． 4．中国声谷是合肥高新区的国家级人工智能产业基地，是合肥“科创名城”的核心名片．在2025年“中国声谷杯”全国大学生人工智能创新大赛的初赛阶段，参赛的每两个队伍之间都需要进行一场项目路演答辩（单循环赛制），共进行了105场比拼．设共有个队伍参加初赛，则下列方程符合题意的是（    ） A． B． C． D． 5．实验中学数学“研学”活动小组在一次野外实践时发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数为57，则这种植物每个支干长出的小分支的个数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 6．如图所示的是一张月历表，在此月历表上用一个矩形任意圈出个数(如17，18，24，25)，如果圈出的四个数中最小数与最大数的积为153，那么这四个数的和为（   ） A．40 B．48 C．52 D．56 7．某服装店，当把进价为40元/件的衣服以100元/件的价格出售时，每天能卖出20件，经统计调查发现，若每降价1元，可多卖出6件，若降价x元，每天可盈利1800元，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 8．如图，在长方形中，，，动点从点出发，以的速度沿着向点运动，同时动点从点出发以的速度沿向点运动，若其中一个动点到达终点，另一动点也同时停止．运动时间为，将四边形以直线为轴进行翻折，得到四边形，射线经过点时，可以是（   ） A． B． C． D． 9．阿拉伯数学著作《算术之钥》书中记载着一道颇受阿拉伯人喜爱的数学题：一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前面那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了，如果平均分配，每个人可以得到10个石榴，问这群人共有多少人?设这群人共有x人，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 10．下列说法正确的是（    ） ①若，则 ②，则； ③若，则； ④实数x，y，z满足，则的最大值是20 A．①② B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 二、填空题 11．已知点在线段上，且，若，则_________． 12．一个两位数比它的十位上的数字与个位上的数字之积大40，已知十位上的数字比个位上的数字大2，则这个两位数是_______． 13．参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手21次，参加聚会的有__________人． 14．一个容器盛满纯药液，第一次倒出一部分纯药液后，用水加满；第二次又倒出同样多的药液，若此时容器内剩下的纯药液是，则每次倒出的液体是______． 15．在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为，设雕像下部高为，则可得到方程______． 三、解答题 16．把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形……按此规律排列下去，解答下列问题： （1）第5个图案中黑色三角形的个数有　　个． （2）第n个图案中黑色三角形的个数能是50个吗？如果能，求出n的值；如果不能，试用一元二次方程的相关知识说明道理． 17．如图，某校准备在校园里利用长的旧围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园，现已备足可以砌长的墙的材料（全部用完），设的长为． (1)的长为_________；的取值范围是_________； (2)当为何值时，可使矩形花园的面积为； (3)嘉嘉说：“矩形花园的面积可以为.”请你判断嘉嘉的说法正确吗？并说明理由. 18．如图，若篱笆虚线部分的长度为，当所围成矩形的面积是时墙足够长 (1)求矩形的长是多少？ (2)当矩形的长是多少矩形的面积w有最大值？最大值是多少？ 19．某批发商以每件70元的价格购进800件T恤，第一个月以单价100元销售，售出了200件，第二个月如果单价不变，预计仍可以售出200件．批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格．第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为60元，设第二个月单价降低元． (1)按要求填表： 时间 第一个月 第二个月 清仓时 单价（元） 100 ①__________ 60 销售量（件） 200 ②__________ ③__________ (2)如果批发商希望通过销售这批T恤获利8750元，那么第二个月的单价应该是多少元？ 20．我们把一元二次方程的两根记为，，若方程的两根满足，则称这个方程为对称根方程，并定义它的对称中心值为；对于两个对称根方程，若它们的对称中心值之和等于它们两根之积的差的绝对值，则称这两个方程互为互补对． 已知关于的方程 (1)求证：不论取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根； (2)若该方程是对称根方程，且对称中心值为，求的值； (3)若是它的互补对，求的值． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A A D B C C D C A 1．【答案】C 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 由题意，设每轮传染中平均一个人传染了个人，第一轮传染后患流感的人数是：，第二轮传染后患流感的人数是：，列出方程即可求解． 【详解】解：由题意设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可得： ． 故选：C． 2．【答案】A 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设正方形绿地的边长为，则舞台中间空白部分为长，宽的宽，根据舞台中间空白部分的面积为，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设正方形绿地的边长为，则舞台中间空白部分为长，宽的宽， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：正方形绿地的边长为． 3．【答案】A 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据月增长率，第三个月的进馆人次是第一个月的倍，直接列方程即可。 【详解】解：∵第一个月进馆200人次，月增长率为x， ∴第三个月进馆人次为， 又∵第三个月进馆288人次， ∴． 故选：A． 4．【答案】D 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】根据实际问题列一元二次方程． 【详解】解：∵共有个队伍参加比赛，单循环赛制中每个队伍需要和除自身外的个队伍各比赛一场， 又∵每场比赛由2个队伍共同参与，直接计算会重复计算每一场比赛， ∴总比赛场数为， 已知总比赛场数为场， ∴可得方程． 5．【答案】B 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是得出量与量之间的等量关系，建立一元二次方程，设每个支干长出的小分支个数为，根据主干、支干和小分支的总数为57，列出方程求解． 【详解】解：设每个支干长出的小分支个数为． ∵ 主干1个，支干个，小分支个， ∴， 即， 解得（舍去）， ∴ 小分支个数为7， 故选：B． 6．【答案】C 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．找出题中等量关系，并用方程表示出来是解题的关键． 根据题意，设最小数为x，则另外三个数为，根据题意可列方程，结合月历表的数据情况选出合适的数． 【详解】解：设最小数为x，则另外三个数为， 根据题意可列方程，得， 解得 (不符合题意，舍去)， ∴，，，， ∴四个数分别为9，10，16，17， ∵， 故选：C． 7．【答案】C 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，盈利由每件利润和销量决定，每件利润为售价减进价，销量随降价增加而线性增加． 【详解】解：进价40元/件，售价100元/件，降价x元后，售价为元， 每件利润为元， 原销量20件，每降价1元多卖6件，降价x元多卖件， 销量为件， 每天盈利1800元， 方程为， 故选：C． 8．【答案】D 【知识点】矩形与折叠问题、动态几何问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形 【分析】根据翻折的性质可得，由平行线的性质可得，结合射线经过点可推导出 ，从而得到，在 中利用勾股定理建立关于 的方程求解即可． 【详解】解：连接 四边形是长方形， ，， ． 由翻折的性质可知：， ∵射线经过点，即 三点共线， ， ， ． 由题意得：，， ． 在 中，， ， 解得 ，（舍去）． 点到达终点的时间为 ， ， 符合题意． 9．【答案】C 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的应用，利用倒序相加的方法求出的和，根据题意即可列出方程． 【详解】解：设这群人共有人，则这群人摘的石榴数依次为，设总的石榴数为S， 则①， 又∵② ∴由得， ∴， 又∵平均每人分得10个石榴， ∴总石榴数S也可表示为， 因此方程为， 故选：C． 10．【答案】A 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】先利用配方法将等式变形为，再根据偶次方的非负性即可判断①；利用整式的乘法法则求出，由此即可判断②；先将两个已知等式相加可得，令，则，解一元二次方程求出的值，由此即可判断③；先求出，从而可得，再利用完全平方公式求出的值，然后利用偶次方的非负性求出最大值即可判断④． 【详解】解：， ， ， ， ，说法①正确； ， ， ，说法②正确； ， ， ， 令，则， 解得或， 即或，说法③错误； ， ， ， ， 则的最大值是28，说法④错误； 综上，说法正确的是①②， 故选：A． 【点睛】本题考查了整式的乘法与完全平方公式、解一元二次方程，熟练掌握整式的运算法则是解题关键． 11．【答案】/ 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及解一元二次方程，熟记解一元二次方程的方法是解题的关键．根据题意画出图形，设，则，根据列方程求解然后列方程求解即可． 【详解】解：如图所示， 设，则 ∵点P在线段上，且，即， ∴，即， 解得或（舍去） ∴ 故答案为：． 12．【答案】64或75 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】可设个位数字为，则十位上的数字是．等量关系：十位上的数字与个位上的数字的积这个两位数．本题考查了一元二次方程的应用．正确理解关键描述语，找到等量关系准确列出方程是解决问题的关键． 【详解】解：设个位数字为，则十位上的数字是， 根据题意得， 整理，得，即， 解得，（不合题意，舍去）， 当时，，这个两位数是64； 当时，，这个两位数是75． 答：这两位数是64或75． 故答案为：64或75． 13．【答案】7 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，设有人参加聚会，每个人都与另外的人握手一次，则每个人握手次，且其中任何两人的握手只有一次，因而共有次，设出未知数列方程解答即可． 【详解】解：设有人参加聚会，根据题意列方程得，， 解得，（不合题意，舍去）； 答：有7人参加聚会． 故答案为：7． 14．【答案】21L 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，设每次倒出的液体是，根据连续倒出两次后容器内剩下的纯药液是，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设每次倒出的液体是， 根据题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 故答案为：． 15．【答案】 【知识点】列分式方程、其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】根据雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，列方程，整理为整式方程即可． 【详解】设雕像下部高为，则可得到方程：， 整理得：， 故答案为：． 【点睛】此题考查一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 16．【答案】（1）15； （2）不能，理由如下： 第n个图案中黑三角的个数为1+2+3+4+...+n=， 根据题意，得， 解得：不是整数，不合题意， 所以第n个图案中黑色三角形的个数不能是50个． 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用)、图形类规律探索 【分析】（1）第5个图案中黑色三角形的个数有（1+2+3+4+5）个； （2）根据图形的变化规律总结出第n个图形黑色三角的个数为，即可求解． 【详解】解：（1）由图形的变化规律知，第5个图案中黑色三角形的个数有：1+2+3+4+5=15， 故答案是：15； （2）略 【点睛】本题主要考查图形的变化规律和一元二次方程的应用，归纳出第n个图形黑色三角的个数为是解题的关键． 17．【答案】(1)；； (2)当为时，矩形花园的面积为； (3) 嘉嘉的说法不正确， 理由：根据题意得. ∵， ∴该方程无实数根， ∴矩形花园的面积不可以为， 即嘉嘉的说法不正确． 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）利用矩形的性可得到，即可得到BC的表达式，再根据BC大于零并小于等于即可得到x的取值范围； （2）根据花园的面积建立一元二次方程，先解方程，再根据（1）中x的取值范围进行取舍即可； （3）根据花园的面积建立一元二次方程，判断方程的解得情况即可得到答案． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）由题意得矩形花园的面积为， 当时， 整理得， 解得（舍），， ∴当时，可使矩形花园的面积为； （3）略 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意建立一元二次方程． 18．【答案】(1)矩形的长是 (2)当矩形的长是时，矩形的面积w有最大值，最大值是 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】此题考查了二次函数的应用，以及一元二次方程的应用，弄清题意是解本题的关键． （1）设矩形的一条边长为，则另一条边长为，由矩形的面积公式结合矩形的面积是，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论． （2）矩形的面积等于长乘以宽，列式得关于x的二次函数，用配方法写成顶点式，从而得解． 【详解】（1）解：设矩形的一条边长为，则另一条边长为， 由题意得：， 解得：，， 或， ， 矩形的长为， 答：矩形的长是． （2）解：根据题意，得：， ， 有最大值， 当时，w取得最大值64， 答：当矩形的长是时，矩形的面积w有最大值，最大值是 ． 19．【答案】(1)填表如下： 时间 第一个月 第二个月 清仓时 单价（元） 100 60 销售量（件） 200 (2)95元或85元 【知识点】列代数式、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）根据题意用含的代数式表示即可； （2）利用“获利8750元”，即销售额成本利润，作为相等关系列方程，解方程求出的值即可解答． 【详解】（1）解：设第二个月单价降低元， ∴第二个月的单价为元，销售量为件， 清仓时销售量为件； 表格见答案； （2）解：由题意得，， 整理得：， 解得，， 当时，； 当时，； 答：第二个月的单价应该是95元或85元． 20．【答案】(1)， ∵ ∴ ， 所以不论取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根． (2) (3)或 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用)、根据判别式判断一元二次方程根的情况、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】（1）列式计算得出方程的判别式，再进行分析，即可作答． （2）结合对称根方程以及对称中心值的定义进行列式计算，即可作答． （3）分别整理得出，，再结合这两个方程互为互补对，它们的对称中心值之和等于它们两根之积的差的绝对值，得，最后解得或，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：设的对称中心值为，该方程的根记为， 根据韦达定理得到， ∵该方程又是对称根方程，且对称中心值为， ∴， ∴， ∴． （3）解：设的对称中心值为，该方程的根记为， ∴，， ∴ ∴对称中心值， 设的对称中心值为，该方程的根记为 ∴， ∴ ∴对称中心值， ∵这两个方程互为互补对，它们的对称中心值之和等于它们两根之积的差的绝对值 ∴， ∴或 ∴或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $