精品解析：2025年山东省实验中学推荐生招生考试科学素养试题（数学部分）

2025年山东省实验中学推荐生招生考试 科学素养试题（数学部分） 1. 在中，被5除余数是1的数总和为（ ） A. 3939 B. 3940 C. 4040 D. 4041 2. 如图，三棱锥的各棱长均为1，点分别在棱上，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 3 3. 对于每个正整数，抛物线与轴交于，两点，以表示这两点的距离，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法比较 5. 设，函数的图象不可能是（ ） A. B. C. D. 6. 某学校a，b，c三个小组进行循环比赛，每天比赛一场，胜者第二天接着与另外一组比赛，输者休息一天，第三天接着比赛，已知a组赢了10场，b组赢了12场，c组赢了14场，则a组一共比赛的场数是（ ） A. 21场 B. 22场 C. 23场 D. 24场 7. 若实数a，b满足，则___________． 8. 盒子中有红球3个，蓝球5个，白球7个，则至少取出___________个球，才能保证拿到所有颜色的球． 9. 学校里有30位老师会打乒乓球，60位老师会打羽毛球，20位老师会打篮球，有80位老师至少会一种球类，三种球都会的老师有5位，则会且仅会两种球类的老师有___________位． 10. 柯西不等式最早在1821年由柯西提出，其形式为，等式成立当且仅当存在实数，使得．利用柯西不等式解决下面的问题：已知，则的最小值为___________． 11. 已知是整数，则的最大值，最小值之和为_____． 12. 如图，AB是圆O的直径，弦CD与AB交于点E，过A作圆的切线与CD的延长线交于点F，D为EF的中点，若，则___________． 13. 先从A点走到点，再从点走到点，则可供选择的最短路线有___________条．（走格点） 14. 已知不等式对满足的一切实数m恒成立，则x的取值范围为______． 15. “活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明，“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度（单位：千克/年）是养殖密度（单位：尾/立方米）的函数．当时，的值为2千克/年；当时，是的一次函数；当时，因缺氧等原因，的值为0千克/年． （1）当时，求函数关于的函数解析式； （2）当养殖密度为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？求出最大值及等号条件． 16. 如图，抛物线交轴于两点（点A在点B的左侧），交轴于点C，点P在线段上（可以与点重合），点P关于与的对称点分别为与交于点，与交于点． （1）求点坐标； （2）求的最小值； （3）求的取值范围． 17. 给定一个函数，设函数的最大值为，求的最小值． 18. 设函数的定义域为．如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数．如果存在一个非零常数，使得对每一个都有，且，那么函数就叫做周期函数．请利用上述定义解决下面问题：已知是一个奇函数，且对任意有，当时，. （1）求证：是周期函数； （2）求在区间上的解析式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年山东省实验中学推荐生招生考试 科学素养试题（数学部分） 1. 在中，被5除余数是1的数总和为（ ） A. 3939 B. 3940 C. 4040 D. 4041 【答案】B 【解析】 【分析】设被5除余数是1的数是，根据该数的范围，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，结合为非负整数，即可求解． 【详解】解：设被5除余数是1的数是， 根据题意得：， 解得：， 又为非负整数， ， 被5除余数是1的数总和为． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 2. 如图，三棱锥的各棱长均为1，点分别在棱上，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】将三棱锥展开，采用将军饮马模型确定的位置以及的最小值． 【详解】由题意得三棱锥每个面都是等边三角形，将三棱锥展开， 作B点关于的对称点，连接，交延长线于点，连接，交于点，交于点R，连接BQ，交AC于点P， 此时的最小值， ， ， ， ， ， 3. 对于每个正整数，抛物线与轴交于，两点，以表示这两点的距离，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先整理，然后求出一元二次方程的根，根据两点间的坐标差求出距离，找出规律解答即可． 【详解】由题意得，， 令，则， ． ． 4. 已知，则之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法比较 【答案】A 【解析】 【分析】设，则，，代入可得，，可证，进而得出答案． 【详解】设，则， 可得，， 因为，即， 且，，可得，所以. 5. 设，函数的图象不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对m分类讨论，利用对勾函数的单调性，逐一进行判断图象即可. 【详解】， 当时，图象如A选项； 当时，时， 因为在单调递增，得在单调递增； 时，令，得为对勾函数， 所以在单调递增，单调递减， 所以根据复合函数单调性得在单调递减，单调递增，图象C符合； 当时，时， 因为在单调递减，故在单调递减； 时为对勾函数， 所以在单调递减，单调递增，图象D符合； 由CD可知当时，在不会单调递减，B不符合. 6. 某学校a，b，c三个小组进行循环比赛，每天比赛一场，胜者第二天接着与另外一组比赛，输者休息一天，第三天接着比赛，已知a组赢了10场，b组赢了12场，c组赢了14场，则a组一共比赛的场数是（ ） A. 21场 B. 22场 C. 23场 D. 24场 【答案】C 【解析】 【分析】设组一共比赛了场，则输了场，休息了场，根据各组赢的场数、输的场数、休息的场数总和都是，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】设组一共比赛了场，则输了场，休息了场， 根据题意得：， 解得：， 组一共比赛了23场． 7. 若实数a，b满足，则___________． 【答案】3 【解析】 【分析】整理原式，再利用因式分解法解方程即可． 【详解】若实数满足， 则， 即， 因式分解可得，， ，， ，. 8. 盒子中有红球3个，蓝球5个，白球7个，则至少取出___________个球，才能保证拿到所有颜色的球． 【答案】13 【解析】 【分析】利用抽屉原理，找到数量最多的两个颜色是蓝球和白球，在这两种球数量和的基础上，再取一个球一定是红球,此时能保证拿到所有颜色的球，即可求解. 【详解】由题意可知：数量最多的两个颜色是蓝球和白球，其中蓝球5个，白球7个，共12个，取出这12个球，再取一个球一定是红球. 因此，至少取出个球，才能保证拿到所有颜色的球． 【点睛】本题考查的是抽屉原理，正确理解抽屉原理是解题的关键． 9. 学校里有30位老师会打乒乓球，60位老师会打羽毛球，20位老师会打篮球，有80位老师至少会一种球类，三种球都会的老师有5位，则会且仅会两种球类的老师有___________位． 【答案】20 【解析】 【分析】三集合容斥，总人次 = 至少会一种人数 + 仅会两种人数 三种都会人数，据此变形求解仅会两类的数量. 【详解】先把会三种球的人数加起来：（人）， 这里面，只会两种球的人被重复算了1次，三种球都会的人被重复算了2次， 而实际至少会一种的只有80人，三种球都会的5人，多算了2次，一共多算：， 用总加和减去多算的部分，再减去实际的总人数，剩下的就是只会两种球的人数：． 10. 柯西不等式最早在1821年由柯西提出，其形式为，等式成立当且仅当存在实数，使得．利用柯西不等式解决下面的问题：已知，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由柯西不等式证明，等式成立当且仅当存在实数，使得．然后再以此结论求解. 【详解】由柯西不等式，对任意有 ， 当且仅当存在实数，使得，即时等式成立， 所以， 等式成立当且仅当存在实数，使得． 所以， 当且仅当时，等式成立． 的最小值为． 11. 已知是整数，则的最大值，最小值之和为_____． 【答案】 【解析】 【分析】对分式做分离常数变形得到，根据是整数，为非零整数，的最大值为、最小值为． 【详解】， 当时，随着的增大而减小， 当时，随着的增大而减小， 所以当时，取到最大值8，当时，取到最小值2， 所以的最大值，最小值之和为． 12. 如图，AB是圆O的直径，弦CD与AB交于点E，过A作圆的切线与CD的延长线交于点F，D为EF的中点，若，则___________． 【答案】24 【解析】 【分析】设，连接，推导出，，可得，，结合三角形相似可得，进而可得，再证明，结合三角形相似的性质运算求解. 【详解】设，连接， 因为是的直径，弦与交于点，的切线与的延长线交于点， 则，，，可得， 又因为为EF的中点，则，可得， 因为，，则， 可得，， 又因为，则， 且，，则， 结合可知，则， 可得，即，解得或（舍去）， 则，， 可得，则， 又因为，，则， 可得，则， 所以． 13. 先从A点走到点，再从点走到点，则可供选择的最短路线有___________条．（走格点） 【答案】18 【解析】 【详解】解：设每个小正方形的边长为1， 从到的最短路径，总要向右走2个单位，向上走2个单位，共走4个单位长度，有种走法， ①先从向上走2个单位，再向右走2个单位， ②先从向上走1个单位，再向右走2个单位，再向上走1个单位， ③先从向上走1个单位，再向右走1个单位，再向上走1个单位，再向右走1个单位， ④先从向右走2个单位，再向上走2个单位， ⑤先从向右走1个单位，再向上走2个单位，再向右走1个单位， ⑥先从向右走1个单位，再向上走1个单位，再向右走1个单位，再向上走1个单位. 从点走到点最短路线，总要向右走2个单位，向上走1个单位，共走3个单位长度，有种走法． ①先从向上走1个单位，再向右走2个单位， ②先从向右走1个单位，再向上走1个单位，再向右走1个单位， ③先从向右走2个单位，再向上走1个单位. 所以先从点走到点，再从点走到点，根据乘法原理，可供选择的最短路线共有种走法. 【点睛】先看从点走到点可走的最短路线，再看从点走到点可以走的最短路线. 本题考查了分步乘法计数原理，观察图形中最短路线分别列举是解题的关键. 14. 已知不等式对满足的一切实数m恒成立，则x的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】设，原题意化为对恒成立，利用二次函数性质列不等式组，解一元二次不等式组即可． 【详解】设， 则不等式对满足的一切实数m恒成立 对恒成立． 当时， 即解得 故x的取值范围是． 故答案为： 15. “活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明，“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度（单位：千克/年）是养殖密度（单位：尾/立方米）的函数．当时，的值为2千克/年；当时，是的一次函数；当时，因缺氧等原因，的值为0千克/年． （1）当时，求函数关于的函数解析式； （2）当养殖密度为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？求出最大值及等号条件． 【答案】（1） （2）当养殖密度为10时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为千克/立方米 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用待定系数法求出函数解析式. （2）由（1）求出年生长量函数，再分段求出最大值并比较大小即可. 【小问1详解】 依题意，当时，关于的函数解析式为； 当时，设关于的函数解析式为， 将代入，得，解得 当时，关于的函数解析式为， 所以函数关于的函数解析式为. 【小问2详解】 设年生长量为， 依题意，， 当时，，随的增大而增大， 因此当时，取得最大值，最大值； 当时，， 当且仅当时取等号，而，即的最大值为， 所以当养殖密度为10时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为千克/立方米. 16. 如图，抛物线交轴于两点（点A在点B的左侧），交轴于点C，点P在线段上（可以与点重合），点P关于与的对称点分别为与交于点，与交于点． （1）求点坐标； （2）求的最小值； （3）求的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分别令，求出对应的值即可解答； （2）设点，，再表示出直线MN的斜率，进而表示出，得到表达式，再利用二次函数的性质即可解答； （3）由（2）的信息，利用两点间距离公式及二次函数性质求出最值即可. 【小问1详解】 令，得或3，而点A在点B的左侧，因此点的坐标为； 令，得，因此的坐标为． 【小问2详解】 由（1）知点，直线方程为，设点， 直线的方程为，即，设点， 由点关于直线对称，得，解得， 即点，由点关于直线对称，得点， 当直线的斜率存在时，，， 显然， ， 又直线MN的方程为， 分别与方程，方程联立，解得， 于是 ，当且仅当时取等号， 当时，，， 所以有最小值为. 【小问3详解】 由（2）知点，点，， 因此，当且仅当时取等号， 当时，；当时，， 所以. 17. 给定一个函数，设函数的最大值为，求的最小值． 【答案】 【解析】 【分析】先根据的几何意义得到，再根据的几何意义得到其最小值. 【详解】函数的几何意义是数轴上点到点的距离， 在闭区间上，绝对值函数的最大值一定出现在区间的两个端点处. ，， 因此在区间上的最大值. 代表取到点、点两个距离中的较大值， 要让这个较大距离最小，应取在和的中点处，即​， 此时，​，两个距离相等， 即的最小值为. 18. 设函数的定义域为．如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数．如果存在一个非零常数，使得对每一个都有，且，那么函数就叫做周期函数．请利用上述定义解决下面问题：已知是一个奇函数，且对任意有，当时，. （1）求证：是周期函数； （2）求在区间上的解析式. 【答案】（1）证明:因为是一个奇函数，且对任意有， 则， 于是，， 所以是以4为周期的函数. （2） 【解析】 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 因为是一个奇函数， 所以当时，， 又因为是以4为周期的函数， 所以当时，，则. 【点睛】本题考查函数的定义，根据所给的定义，结合函数的性质是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $